SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM DẠY PHẦN SO SÁNH PHÂN SỐ Ở MÔN TOÁN 6 I. Đặt vấn đề Toán là môn học cơ bản trong chương trình phổ thông nói chung và trong chương trình THCS nói riêng. Học toán hay giải bài toán là yêu cầu thường xuyên trong mọi hoạt động và suy nghĩ. Do đó, trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như trong quá trình dạy giải toán số học nói riêng, người dạy học và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là : Sau khi học xong lí thuyết cần phải nắm chắc kiến thức cơ bản từ đó vận dụng sáng tạ o, có hiệu quả vào bài toán, tìm được lời giải của bài toán đó rồi dù là đơn giản hay phức tạp cần suy nghĩ, kiểm tra lí thuyết, lật lại vấn đề xem có cách nào cho ta kết quả hay hơn, tìm được cái mới hơn rồi lại đi tìm cái mới hơn nữa, cứ thế chúng ta sẽ tìm ra được những điều thú vị. Là một người trực tiếp chỉ đạo về công tác chuyên môn tôi nghĩ làm thế nào để tổ chức các chuyên đề cho giáo viên, để giáo viên truyền lại cho học sinh nắm được bài, hiểu bài và biết vận dụng để từ đó giải được các bài tập từ đơn giản đến phức tạp và có kết quả cao trong các kỳ thi. Chính vì vậy tôi đã tìm tòi, đọc tài liệu tham khảo … để cùng với các giáo viên khác làm cho học sinh biết vận dụng sáng tạo, có hiệu quả “phương pháp so sánh phân số” vào các bài toán so sánh phân số. Loạ i toán này quen thuộc đối với học sinh lớp 6. Đó là điều băn khoăn trăn trở đối với tôi trong quá trình chỉ đạo và giảng dạy. Từ đó tôi nghĩ đến việc vận dụng sáng tạo lí thuyết các phương pháp so sánh phân số vào các bài toán có liên quan đến so sánh phân số mà hiện nay học sinh đang nghèo nàn về phương pháp. Bài viết này tôi xin đưa ra một số phương pháp so sánh phân số. Đó là điều băn khoăn trăn tr ở đối với tôi trong quá trình chỉ đạo và giảng dạy. Từ đó tôi nghĩ đến việc vận dụng sáng tạo lí thuyết các phương pháp so sánh phân số vào các bài toán có liên quan đến so sánh phân số mà hiện nay học sinh đang nghèo nàn về phương pháp. Bài viết này tôi xin đưa ra một số phương pháp so sánh phân số. II. Giải quyết vấn đề. Tóm tắt lí thuyết các phương pháp so sánh phân số. (Trong tập hợp Q+) quen thuộc là : 1. Quy đồng các phân số đã cho rồi so sánh các t ử số với nhau 2. Viết các phân số đã cho dưới dạng các phân số cùng tử số rồi so sánh các mẫu với nhau. 3. So sánh phân số theo tính chất: nếu ad < bc thì d c b a  4. So sánh tỉ số các phân số đã cho với 1 theo tính chất : Nếu x : y <1 thì x < y (y ≠ 0) 5. Viết các phân số dưới dạng số thập phân rồi so sánh các số thập phân. 6. So sánh các số nghịch đảo của các phân số theo tính chất : Cho a,b,c d ≠ 0, nếu c d a b  thì d c b a  7. Dựa vào tính chất bắc cầu của quan hệ thứ tự : Nếu n m b a  và d c n m  thì d c b a  8. So sánh “phần bù của một phân số đối với đơn vị” theo tính chất nếu 1;  d c b a và d c b a  11 thì d c b a  Tiếp theo tôi xin nêu thêm vài cách so sánh khác : 9. Ta có tính chất. Nếu d c b a  thì d c db ca b a     Chứng minh : Từ d c b a  => ad < bc  ad + ab < bc + ab => a(b+d) < b(a+c)  db ca b a    (1) d c b a  => ad < bc => ad + dc < bc + dc  d(a+c) < c(b+d) => d c db ca    (2) Từ (1) và (2) => b a < d c db ca    (đpcm) 10. Từ tính chất đã nêu ở cách 9 ta dễ dàng suy ra tính chất sau : Nếu d c b a  thì b a < d c dbn can    (n = 1,2,3…) Chứng minh : Từ d c b a  => ad <bc  ad + abn < bc + abn => a(d+bn) < b (c+an)  bnd anc b a    (1) Lại có từ : d c b a  => ad<bc  adn < bcn => adn + dc < bcn + dc  d(an+c) < c(bn+d)  d c dbn can    (2) Từ (1) và (2) => b a < d c dbn can    Xin giới thiệu một số ví dụ . Bài 1: So sánh bằng nhiều phương pháp khác nhau. Xem trong hai phân số 7 5 và 16 13 thì phân số nào lớn hơn. Đây là một bài toán đơn giản nhưng chứa đựng nhiều vấn đề trong chương trình toán 6. Ở bài toán này do 4 số 5,7,13,16 đôi một nguyên tố cùng nhau. Nên khi áp dụng các cách giải 1,2,3,4 vào bài toán trên ta đều qui về so sánh 5,16 và 7,13 . Vận dụng cách thứ 9 ta làm như sau : Vì 3 2 7 5  nên 3 2 27 35 7 5     Từ 9 8 7 5  suy ra 9 8 16 13 7 5  vậy 16 13 7 5  Hoặc vận dụng cách thứ 10 ta làm như sau : Vì 3 2 7 5  nên 3 2 22.7 32.5 7 5     suy ra 16 13 7 5  Ví dụ 2: So sánh các phân số 82 35 và 83 36 ; 99 97 và 991 969 ; 2010 2006 và 2013 2009 Khi so sánh các phân số trên rõ ràng ta nên áp dụng các cách 6,7,8 tương ứng là hợp lý nhất. + Để vận dụng cách thứ 10 vào ví dụ 1 ta cần viết : 13 = 5.2 + 3 ; 16 = 7.2 + 2 Tương tự chẳng hạn ta so sánh 2 phân só sau : 95 89 và 954 895 Ta có 95 89 < 4 5 nên 95 89 < 410.95 510.89   < 4 5 Do đó 95 89 < 954 895 * Một điều thú vị là nhờ so sánh các phân số mà ta có một cách chứng minh tính chất sau : Cho a , b , c, d  N , nếu a < b  c < d và a + d = b + c thì ad < bc Thật vậy từ giả thiết suy ra      db dcba 0 => d cd b ab    => bcad d c b a d c b a  11 Nghĩa là : Cho hai số tự nhiên biến thiên có tổng không đổi, thế thì tích của chúng càng lớn nếu hiệu của chúng càng nhỏ. Ví dụ : 95.98 > 94.99 a 2 > (a-1)(a+1) (1) Thật ra tính chất này cũng đúng với a,b,c, d  Q + Khi đó ta xét các tỉ số tương ứng thay cho phân số, rõ ràng bài toán đơn gian nhưng cũng chứa nhiều vấn đề lý thú Sau đây ta xét tiếp một số ví dụ: Ví dụ 3: a. So sánh các phân số theo cách hợp lí nhất: 96 47 và 100 49 Ta có: 100 49 96 47 100 49 496 247 4 2 96 47      b. 91 18 và 14 23 Hướng dẫn: 114 23 115 23 5 1 90 18 91 18  c. 523 310 1 523 213 ; 520 310 1 520 210 52 21  Ta có: 523 310 520 310  Nên 523 213 52 21  d. 9191 1313 và 7 1 7373 1111  Hướng dẫn: 7373 1111 73 11 77 11 7 1 91 13 9191 1313  e. 3n n và )( 36 13 Nn n n    Hướng dẫn: 36 13 36 3 12       n n n n n n g. 810 510 7 7   và 710 610 8 8   Hướng dẫn: 810 13 1 810 510 77 7     Và 710 13 1 710 610 88 8     Do 710 13 810 13 87    Nên 710 610 810 510 8 8 7 7      f. 110 110 2009 2010   A và 110 110 2010 2011   B Hướng dẫn: 1010 9 1 10 2010   A và 1010 9 1 10 2011   B Do 1010 9 1010 9 20112010    Nên A B  Ví dụ 4: a. So sánh hai phân số sau: 110 110 16 15   và 110 110 17 16   Giải: Ở bài này trước hết ta so sánh: 110 )110.(10 16 15   và 110 )110.(10 17 16   Ta có 110 )110.(10 16 15   = 110 9 1 110 1010 1616 16     Nếu cộng 1 số tự nhiên  0 vào tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 thì được một phân số bé hơn phân số đã cho. Ví dụ 5: a. So sánh hai biểu thức A= 100 1 3 1 2 1 1  B = 4 5 Hướng dẫn giải : ở biểu thức A ta tách làm 2 nhóm số hạng : A= ( 50 1 2 1 1  )+( 100 1 52 1 51 1  )>  50. 100 1 50. 50 1 2 3 2 1 1  Vậy A> 2 3 > 4 5 do đó A>B b. Cho A= 2222 100 1 4 1 3 1 2 1  So sánh A với 4 3 Hướng dẫn giải : Ta có A< 100.99 1 4.3 1 3.2 1 2 1 2  = ) 100 1 99 1 ( ) 4 1 3 1 () 3 1 2 1 ( 4 1  4 3 2 1 4 1 100 49 4 1 100 1 2 1 4 1  Vậy A< 4 3 Ví dụ 6: Chứng minh rằng : a. 100 99 100 1 3 1 2 1 222  b. 4 11 3 1 2 1 333  n Giải : Ở bài toán này cần hướng dẫn cho học sinh biết. a. Ta có : n 2 >n(n-1) => nnnn n 1 1 1 )1( 11 2      Nên 2 1 1 2 1 2  3 1 2 1 3 1 2  ……… 100 1 99 1 100 1 2  Cộng theo vế ta có 100 99 100 1 1 100 1 3 1 2 1 222  b. 4 11 3 1 2 1 333  n Bài này cần phân tích được vấn đề là : Ta áp dụng tính chất (1) vừa nêu trên thì n 2 >(n+1)(n-1) => n 3 >(n-1)n(n+1) => )1( 1 )1( 1 )1()1( 22 3       nnnnnnn n (n= 1,2,3… ) Cách giải : Ta có 12 1 4 1 2 1 3  24 1 12 1 3 1 3  ……… nnnn n )1(2 1 )1(2 11 3     Cộng theo vế ta có : 4 1 )1(2 1 4 11 3 1 2 1 333    nn n (đpcm) III. Kết luận Kiến thức về phân số nhìn một cách đơn thuần thì nó đơn giản nhưng thực chất nó chứa đựng nhiều vấn đề phức tạp và rộng, nên khi dạy phần phân số giáo viên cần khai thác tìm tòi thêm nhiều tài liệu khác mà trong chương trình học của khối 6 chưa đề cập tới Ở bài viết này bản thân tôi mới nêu ra được vấn đề nhỏ là một số phương pháp so sánh phân số mà tôi đã áp dụng khi dạy cho học sinh đại trà và một số chi tiết sử dụng khi dạy cho học sinh khá và giỏi Kết quả sau mấy năm giảng dạy ở khối 6 bản thân thấy vận dụng phương pháp này học sinh hiểu bài nhiều và giải các bài tập có liên quan một cách nhanh chóng hơn, mong các bạn cùng đọc, tham khảo và góp thêm ý kiến để cho kinh nghiệm thêm phong phú để từ đó vận dụng đại trà trong giảng dạy ./. . SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM DẠY PHẦN SO SÁNH PHÂN SỐ Ở MÔN TOÁN 6 I. Đặt vấn đề Toán là môn học cơ bản trong chương trình phổ thông nói. t ử số với nhau 2. Viết các phân số đã cho dưới dạng các phân số cùng tử số rồi so sánh các mẫu với nhau. 3. So sánh phân số theo tính chất: nếu ad < bc thì d c b a  4. So sánh tỉ số. các phân số đã cho với 1 theo tính chất : Nếu x : y <1 thì x < y (y ≠ 0) 5. Viết các phân số dưới dạng số thập phân rồi so sánh các số thập phân. 6. So sánh các số nghịch đảo của các phân