Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi Tuyển sinh đại học ,cao đẳng năm 2002 Đề chính thức Môn thi : Toán, Khối D ( Thời gian làm bài : 180 phút ) _________________________________________ CâuI ( ĐH : 3 điểm ; CĐ : 4 điểm ). Cho hàm số : () 1x mx1m2 y 2 = (1) ( m là tham số ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = -1. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và hai trục tọa độ. 3. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng x y = . Câu II ( ĐH : 2 điểm ; CĐ : 3 điểm ). 1. Giải bất phơng trình : ( ) x3x 2 . 02x3x2 2 . 2. Giải hệ phơng trình : = + + = + .y 22 24 y4y52 x 1xx 2x3 Câu III ( ĐH : 1 điểm ; CĐ : 1 điểm ). Tìm x thuộc đoạn [ 0 ; 14 ] nghiệm đúng phơng trình : 04xcos3x2cos4x3cos =+ . Câu IV ( ĐH : 2 điểm ; CĐ : 2 điểm ). 1. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4 cm ; AB = 3 cm ; BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD). 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 02yx2 =+ và đờng thẳng m d: ()() () =++++ =+++ 02m4z1m2mx 01mym1x1m2 ( m là tham số ). Xác định m để đờng thẳng m d song song với mặt phẳng (P). Câu V (ĐH : 2 điểm ). 1. Tìm số nguyên dơng n sao cho 243C2 C4C2C n n n2 n 1 n 0 n =++++ . 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy , cho elip (E) có phơng trình 1 9 y 16 x 22 =+ . Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định tọa độ của M , N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất . Tính giá trị nhỏ nhất đó . Hết Chú ý : 1. Thí sinh chỉ thi cao đẳng không làm câu V 2. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh : Số báo danh www.boxmaths.com 1 Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao đẳng năm 2002 Môn Toán, khối D Đáp án và thang điểm đề thi chính thức Câu Nội dung Điểm ĐH CĐ I 3đ 4đ 1. 1 1,5 Khi m = -1 ,ta có 1x 4 3 1x 1x3 y = = -TXĐ : 1x - CBT : () > = 1x,0 1x 4 y 2 , hàm số không có cực trị. 1/4 1/4 3ylim x = ; =+= + 1x1x ylim;ylim . - BBT : x - 1 + y / + + + y -3 -3 - 1/4 1/4 - TC: x=1 là tiệm cận đứng vì = ylim 1x . y=-3 là tiệm cận ngang vì 3ylim x = 1/4 1/4 - Giao với các trục : x = 0 y = 1; y = 0 x = - 1/3. 1/4 - Đồ thị : x y 1/4 1/2 www.boxmaths.com 2 2. 1 1,5 Diện tích cần tính là : dx 1x 1x3 S 0 3/1 = 1/4 1/2 = 0 3/1 0 3/1 1x dx 4dx3 1/4 1/4 3/1 0 1xln4 3 1 .3 = 1/4 1/2 3 4 ln41+= ( đvdt). 1/4 1/4 3. 1 1 Ký hiệu () 1x mx1m2 )x(f 2 = . Yêu cầu bài toán tơng đơng với tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm: (H) () = = .x)x(f x)x(f / / 1/4 1/4 Ta có (H) () () = = 0 1x mx 0 1x mx / 2 2 1/4 1/4 () ()()() () = + = 0 1x mx1xmx2 0 1x mx 2 2 2 1/4 1/4 Ta thấy với 1m ; x = m luôn thoả mãn hệ ( H ) . Vì vậy 1m , (H) luôn có nghiệm , đồng thời khi m = 1 thì hệ ( H ) vô nghiệm. Do đó đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x khi và chỉ khi 1m . ĐS : 1m . 1/4 1/4 II 2đ 3đ 1. 1 1,5 Bất phơng trình > = 0x3x 02x3x2 02x3x2 2 2 2 1/4 1/2 TH 1: . 2 1 x2x02x3x202x3x2 22 ==== 1/4 1/4 TH 2: > > 0x3x 02x3x2 0x3x 02x3x2 2 2 2 2 >< 3x0x 2x 2 1 x 1/4 www.boxmaths.com 3 3x 2 1 x < 1/4 1/4 Từ hai trờng hợp trên suy ra ĐS: 3x2x 2 1 x = 1/4 1/4 2. 1 1,5 Hệ phơng trình = = y2 y4y52 x 2x3 1/4 1/2 =+ >= 0y4y5y 0y2 23 x 1/4 1/4 === >= 4y1y0y 0y2 x 1/4 1/4 = = = = 4y 2x 1y 0x 1/4 1/2 III 1đ 1đ Phơng trình ()() 01x2cos4xcos3x3cos =++ 0xcos8xcos4 23 = () 02xcosxcos4 2 = 0xcos = 1/4 1/2 + = k 2 x. 1/4 1/4 [] 3k2k1k0k14;0x ==== 1/4 ĐS : ; 2 x = 2 3 x = ; 2 5 x = ; 2 7 x = . 1/4 1/4 IV 2đ 2đ 1. 1 1 Cách 1 Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB 1/4 1/4 Lại có () ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 1/4 1/4 Do đó có thể chọn hệ toạ độ Đêcac vuông góc, gốc A sao cho B(3;0;0) , C(0;4;0), D( 0;0;4). Mặt phẳng (BCD) có phơng trình : 01 4 z 4 y 3 x =++ . 1/4 1/4 Khoảng cách cần tính là : 17 346 16 1 16 1 9 1 1 = ++ (cm). 1/4 1/4 www.boxmaths.com 4 Cách 2 Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB 1/4 1/4 Lại có () ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 1/4 1/4 D H C A E B Gọi AE là đờng cao của tam giác ABC; AH là đờng cao của tam giác ADE thì AH chính là khoảng cách cần tính. Dễ dàng chứng minh đợc hệ thức: 2222 AC 1 AB 1 AD 1 AH 1 ++= . 1/4 1/4 Thay AC=AD=4 cm; AB = 3 cm vào hệ thức trên ta tính đợc: cm 17 346 AH = 1/4 1/4 Cách 3: Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB 1/4 1/4 Lại có () ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 1/4 1/4 Gọi V là thể tích tứ diện ABCD, ta có V= 8ADACAB 6 1 = . áp dụng công thức )BCD(dt V3 AH = với V = 8 và dt( BCD) =2 34 ta tính đợc cm 17 346 AH = . 1/2 1/2 2 1 1 Cách 1: Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến () 0;1;2n . Đờng thẳng m d có vec tơ chỉ phơng ()( )( )() () m1m;1m2; 1m2m1u 2 ++ . 1/4 1/4 Suy ra u. n =3(2m+1). m d song song với (P) )P(d nu m 1/4 1/4 www.boxmaths.com 5 () = PA,dA 0n.u m Ta có : điều kiện 0n.u = 2 1 m = 1/4 1/4 Mặt khác khi m = - 1/2 thì m d có phơng trình : = = 0x 01y , mọi điểm A( 0;1;a) của đờng thẳng này đều không nằm trong (P), nên điều kiện () PA,dA m đợc thoả mãn. ĐS : m = - 1/2 1/4 1/4 Cách 2: Viết phơng trình d m dới dạng tham số ta đợc = += += m)t.m(12z t1)(2m1 y 1)tm)(2m(1 x 2 1/4 1/4 m d // (P) hệ phơng trình ẩn t sau =+ = += += 02yx2 t)m1(m2z t)1m2(1y t)1m2)(m1(x 2 vô nghiệm 1/4 1/4 phơng trình ẩn t sau 3(2m+1)t+1 = 0 vô nghiệm 1/4 1/4 m=-1/2 1/4 1/4 Cách 3: m d // (P) hệ phơng trình ẩn x, y, z sau (H) ()() =++++ =+++ =+ 02m4z)1m2(mx 01myx1x1m2 02yx2 vô nghiệm 1/4 1/4 Từ 2 phơng trình đầu của hệ phơng trình trên suy ra + = = 3 4m2 y 3 1m x 1/4 1/4 Thế x , y tìm đợc vào phơng trình thứ ba ta có : )6m11m( 3 1 z)1m2( 2 ++=+ 1/4 1/4 Hệ (H) vô nghiệm 2 1 m = 1/4 1/4 V 2đ 1. 1 Ta có : () = =+ n 0k kk n n xC1x , 1/4 Cho x = 2 ta đợc = = n 0k kk n n 2C3 1/4 5n32433 5n === . 1/2 www.boxmaths.com 6 2. 1 Cách 1 Giả sử M(m;0) và N(0;n) với m > 0 , n > 0 là hai điểm chuyển động trên hai tia Ox và Oy. Đờng thẳng MN có phơng trình : 01 n y m x =+ 1/4 Đờng thẳng này tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi : 1 n 1 9 m 1 16 22 = + . 1/4 Theo BĐT Côsi ta có : () 2 2 2 2 22 22222 n m 9 m n 1625 n 9 m 16 nmnmMN ++= ++=+= 499.16225 =+ 7MN 1/4 Đẳng thức xảy ra >> =+ = 0n,0m 49nm n m9 m n16 22 2 2 2 2 21n,72m == . KL: Với ( ) ( ) 21;0N,0;72M thì MN đạt GTNN và GTNN (MN) = 7. 1/4 Cách 2 Giả sử M(m;0) và N(0;n) với m > 0 , n > 0 là hai điểm chuyển động trên hai tia Ox và Oy. Đờng thẳng MN có phơng trình : 01 n y m x =+ 1/4 Đờng thẳng này tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi : 1 n 1 9 m 1 16 22 = + . 1/4 Theo bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có () 49 n 3 .n m 4 .m n 9 m 16 nmnmMN 2 22 22222 = + ++=+= . 7MN 1/4 - Đẳng thức xảy ra >> =+ = 0n,0m 7nm n 3 :n m 4 :m 22 21n,72m == . KL: Với ( ) ( ) 21;0N,0;72M thì MN đạt GTNN và GTNN (MN) = 7. 1/4 Cách 3: Phơng trình tiếp tuyến tại điểm (x 0 ; y 0 ) thuộc (E) : 1 9 yy 16 xx 00 =+ 1/4 www.boxmaths.com 7 Suy ra toạ độ của M và N là 0; x 16 M 0 và 0 y 9 ;0N + +=+= 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 y 9 x 16 9 y 16 x y 9 x 16 MN 1/4 Sử dụng bất đẳng thức Côsi hoặc Bunhiacôpski (nh cách 1 hoặc cách 2) ta có : 22 7MN 1/4 - Đẳng thức xảy ra 7 213 y; 7 78 x 00 == . - Khi đó ( ) ( ) 21;0N,0;72M và GTNN (MN) = 7 1/4 Hết www.boxmaths.com * Giỏo trỡnh Toỏn Cao ng i Hc Cao Hc. * Ti Liu Toỏn Thi Toỏn cho hc sinh THPT. * Phn mm Toỏn. * Giỏo Trỡnh T in Phn Mm Hc Ting Anh. * Cỏc Phn mm ng dng khỏc. 8 Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học ,cao đẳng năm 2002 Hớng dẫn chấm thi môn toán khối D Câu I: 1. -Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm. -Nếu TS xác định đúng hàm số và chỉ tìm đúng 2 tiệm cận thì đợc 1/4 điểm. 2. Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm. 3. -Nếu TS dùng điều kiện nghiệm kép thì không đợc điểm. -Nếu TS không loại giá trị m = 1 thì bị trừ 1/4 điểm. Câu II: 1. -Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm. -Nếu TS kết luận nghiệm sai bị trừ 1/4 điểm . -Nếu TS sử dụng điều kiện sai: < 0)x(g 0)x(f 0)x(g 0)x(f 0)x(g).x(f và dẫn đến kết quả đúng sẽ bị trừ 1/4 điểm. 2. TS làm đúng ở bớc nào đợc điểm ở bớc đó. Câu III: TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó . Câu IV: TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó . Câu V: 1. TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó. 2. TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó. Hết www.boxmaths.com * Giỏo trỡnh Toỏn Cao ng i Hc Cao Hc. * Ti Liu Toỏn Thi Toỏn cho hc sinh THPT. * Phn mm Toỏn. * Giỏo Trỡnh T in Phn Mm Hc Ting Anh. * Cỏc Phn mm ng dng khỏc. Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 Môn thi: toán Khối D Đề chính thức Thời gian làm bài: 180 phút _______________________________________________ Câu 1 (2 điểm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 24 (1) 2 xx y x + = . 2) Tìm để đờng thẳng dy m : 2 2 m mx m= + cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. Câu 2 (2 điểm). 1) Giải phơng trình 222 sin tg cos 0 24 2 xx x = . 2) Giải phơng trình . 22 2 22 xx xx+ =3 Câu 3 (3 điểm). 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc cho đờng tròn Oxy 4)2()1( :)( 22 =+ yxC và đờng thẳng : 1 0dxy = . Viết phơng trình đờng tròn ( đối xứng với đờng tròn qua đờng thẳng Tìm tọa độ các giao điểm của và . ')C (C ()C .d ) (')C 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đờng thẳng 32 : 10. k xkyz d kx y z 0+ += ++= Tìm để đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng k k d (): 2 5 0Pxyz += . 3) Cho hai mặt phẳng và vuông góc với nhau, có giao tuyến là đờng thẳng ()P ()Q . Trên lấy hai điểm với , AB AB a= . Trong mặt phẳng lấy điểm , trong mặt phẳng ( lấy điểm sao cho , ()P C )Q D AC B D cùng vuông góc với và . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và tính khoảng cách từ đến mặt phẳng AC BD A AB== ABCD () B CD theo . a Câu 4 ( 2 điểm). 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 x y x + = + trên đoạn [ ] 1; 2 . 2) Tính tích phân 2 2 0 I xxd= x . Câu 5 (1 điểm). Với là số nguyên dơng, gọi n 33 n a là hệ số của 33n x trong khai triển thành đa thức của (1 . Tìm n để 2 )(2) n xx ++ n 33 26 n a n = . Hết Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm . Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: www.boxmaths.com [...]... (SCD) (1,00 im) Gi I l trung im ca AD Ta cú: IA = ID = IC = a CD AC Mt khỏc, CD SA Suy ra CD SC nờn tam giỏc SCD vuụng ti C 0,50 0,50 S H 0,50 A I B D C SH SA 2 SA 2 2a 2 2 = = = 2 = 2 2 2 2 SB SB 3 SA + AB 2a + a Gi d1 v d 2 ln lt l khong cỏch t B v H n mt phng (SCD) thỡ d 2 SH 2 2 = = d 2 = d1 d1 SB 3 3 3VB.SCD SA.SBCD = Ta cú: d1 = SSCD SSCD 1 1 SBCD = AB.BC = a 2 2 2 1 1 SSCD = SC.CD =... thích gì thêm Họ và tên thí sinh Số báo danh www.boxmaths.com Bộ giáo d c và đào tạo Đáp án - Thang điểm đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 Môn: Toán, Khối D Đề chính thức Câu I (Đáp án - thang điểm có 4 trang) Nội dung ý 1 Điểm 2,0 Khảo sát hàm số (1,0 điểm) m = 2 y = x 3 6x 2 + 9x + 1 a) Tập xác định: R b) Sự biến thi n: y ' = 3x 2 12x + 9 = 3(x 2 4x + 3) ; y... (Q), mà AC AC (Q) AC AD, hay 0,5đ 0,5 đ CAD = 900 Tơng tự, ta có BD nên H BD (P), do đó CBD = 900 Vậy A và B 0,25đ A, B nằm trên mặt cầu đờng kính CD Và bán kính của mặt cầu là: CD 1 R= = BC 2 + BD 2 D 2 2 Q 1 a 3 0,25đ = AB 2 + AC 2 + BD 2 = 2 2 Gọi H là trung điểm của BC AH BC Do BD (P) nên BD AH AH (BCD) 1 a 2 0,5đ Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) và AH = BC = 2 2 B A...Bộ giáo d c và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi chính thức Môn thi : toán Khối D Nội dung điểm 2điểm Câu 1 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số y = x2 2 x + 4 x2 1 điểm Tập xác định : R \{ 2 } Ta có y = y ' = 1 4 x2 2 x + 4 = x+ x2 x2 4 ( x 2) 2 = x2 4 x 2 x=0 y'= 0... BC2 IC2 + ID 2 = a 2 2 2 2 a Suy ra d1 = 2 2 a Vy khong cỏch t H n mt phng (SCD) l: d 2 = d1 = 3 3 Trong tam giỏc vuụng SAB ta cú: 0,50 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì đợc đủ điểm từng phần nh đáp án quy định Ht 4/4 www.boxmaths.com B GIO DC V O TO THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2008 Mụn thi: TON, khi D Thi gian lm bi 180 phỳt, khụng k thi gian... Liu Toỏn Thi Toỏn cho hc sinh THPT * Phn mm Toỏn * Giỏo Trỡnh T in Phn Mm Hc Ting Anh * Cỏc Phn mm ng dng khỏc 4 0,75đ 0,25đ Bộ giáo d c và đào tạo -Đề chính thức Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 Môn: Toán, Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề - Câu I (2 điểm) y = x 3 3mx 2 + 9x + 1 (1) với m là tham số Cho hàm số 1) Khảo sát... SM.SB Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì đợc đủ điểm từng phần nh đáp án quy định Ht 4/4 www.boxmaths.com B GIO DC V O TO CHNH THC THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2007 Mụn thi: TON, khi D Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt PHN CHUNG CHO TT C TH SINH Cõu I (2 im) 2x x +1 1 Kho sỏt s bin thi n v v th ( C ) ca hm s ó cho Cho hm s y = 2 Tỡm... Oxyz cho hai ng thng x+yz2 = 0 x 1 y + 2 z +1 v d1 : = = d2 : 3 2 1 x + 3y 12 = 0 a) Chng minh rng d1 v d 2 song song vi nhau Vit phng trỡnh mt phng (P) cha c hai ng thng d1 v d 2 b) Mt phng ta Oxz ct hai ng thng d1 , d 2 ln lt ti cỏc im A, B Tớnh din tớch tam giỏc OAB ( O l gc ta ) Cõu IV (2 im) 2 1) Tớnh tớch phõn I = ( esin x + cos x ) cos xdx 0 2) Tớnh giỏ tr ca biu thc M = A 4 +1 + 3A 3... chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thang, ABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cnh ( ) bờn SA vuụng gúc vi ỏy v SA = a 2 Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB Chng minh tam giỏc SCD vuụng v tớnh (theo a) khong cỏch t H n mt phng ( SCD ) -Ht Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm www.boxmaths.com H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: B GIO DC V O TO CHNH THC Cõu I P N - THANG IM THI TUYN... Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh s bỏo danh www.boxmaths.com B GIO DC V O TO P N - THANG IM K THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2006 Mụn: TON, khi D CHNH THC (ỏp ỏn - Thang im cú 04 trang) Cõu I í 1 Ni dung im 2,00 Kho sỏt s bin thi n v v th (C) ca hm s (1,00 im) y = x 3 3x + 2 TX: S bin thi n: y ' = 3x 2 3, y ' = 0 x = 1, x = 1 0,25 Bng bin thi n: x y' - . www.boxmaths.com 1 Bộ giáo d c và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao đẳng năm 2002 Môn Toán, khối D Đáp án và thang điểm đề thi chính thức Câu Nội dung Điểm ĐH CĐ I . đào tạo Đáp án - Thang điểm đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 Đề chính thức Môn: Toán, Khối D (Đáp án - thang điểm có 4 trang) Câu ý Nội dung Điểm I 2,0 1 Khảo. Cỏc Phn mm ng dng khỏc. Bộ giáo d c và đào tạo Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 Môn: Toán, Khối D Đề chính thức Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (2