Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.1 CHƯƠNG 1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Nội dung  Phép thử và biến cố, các loại biến cố và quan hệ giữa các biến cố.  Xác suất (quan điểm cổ điển, thống kê, hình học ).  Các cơng thức tính xác suất: • Cơng thức cộng xác suất. • Xác suất có điều kiện và cơng thức nhân xác suất. • Cơng thức xác suất đầy đủ và cơng thức Bayes. • Cơng thức Bernoulli. 1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ – CÁC LOẠI BIẾN CỐ 1.1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.1.1. HAI VÍ DỤ KINH ĐIỂN Ví dụ 1.1. Tung đồng xu hai mặt (sấp, ngửa) cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang – đó là một phép thử. Vài kết cục có thể hoặc khơng thể xảy ra: • Mặt sấp xuất hiện. • Mặt ngửa xuất hiện. • Hoặc mặt sấp, hoặc mặt ngửa xuất hiện. • Khơng mặt nào xuất hiện. Chúng còn gọi là các biến cố sinh ra bởi phép thử đang xét. Ví dụ 1.2. Gieo một con xúc xắc sáu mặt cân đối và đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang – đó cũng là một phép thử. Sinh ra bởi phép thử này có thể kể một vài biến cố dưới đây. • Mặt k chấm xuất hiện (k = 1, 2, … , 6). • Mặt có số chấm lẻ xuất hiện. • Mặt có số chấm chẵn xuất hiện. • Mặt có số chấm khơng q k xuất hiện ( k = 1, 2, … , 6). • Mặt có số chấm lớn hơn 6 xuất hiện. • Mặt có số chấm nhỏ hơn 7 xuất hiện. Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.2 1.1.2. MÔ TẢ PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ  Phép thử là việc hành động, một thí nghiệm trong khoa học xác suất nhằm nhiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Phép thử ln được thực hiện trong một nhóm các điều kiện nào đó hồn tồn xác định. Ta thường đồng nhất phép thử với nhóm điều kiện xác định nó. 1.2. 2.1.  Mỗi khi thực hiện xong phép thử, ắt sẽ dẫn đến một trong những sự kiện (hay kết cục) nhất định. Biến cố là sự kiện liên quan đến phép thử và có thể xẩy ra, cũng có thể khơng xẩy ra sau khi phép thử kết thúc. Các biến cố sẽ đặc trưng cho phép thử. CÁC LOẠI BIẾN CỐ 1.2.1. BIẾN CỐ CHẮC CHẮN Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định phải xẩy ra sau khi thực hiện xong phép thử. Ta thường ký hiệu biến cố chắc chắn là U. 1.2.2. BIẾN CỐ KHÔNG THỂ CÓ Biến cố khơng thể có là biến cố khơng thể xảy ra khi phép thử được thực hiện. Biến cố khơng thể có được ký hiệu là ∅. 1.2.3. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Biến cố ngẫu nhiên (BCNN) là biến cố có thể xảy ra, cũng có thể khơng xẩy ra khi thực hiện xong phép thử; Trước khi phép thử được thực hiện, ta chỉ có thể dự đốn nhưng khơng thể khẳng định chắc chắn về sự xẩy ra hay khơng xẩy ra của biến cố đó. Biến cố ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các mẫu tự in hoa A, B, C… Ví dụ 1.3. • Bóc ngẫu nhiên 1 tờ lịch trong năm – đó là một phép thử. Biến cố “bóc được tờ lịch ngày 30 tháng 2” là biến cố khơng thể có. Biến cố “bóc được tờ lịch ghi ngày 14 tháng 2” là biến cố ngẫu nhiên. Biến cố “bóc được tờ lịch ghi một trong các tháng 1, 2, 3, … , 12” là biến cố chắc chắn. • Một người mua một tờ vé số - đó là một phép thử. Các biến cố vé số đó trúng độc đắc, trúng giải nhất, trúng giải nhì, trúng giải ba, trúng giải khuyến khích, khơng trúng giải nào là những biến cố ngẫu nhiên. Biến cố vé số đó hoặc trúng giải, hoặc khơng trúng giải là biến cố chắc chắn. Biến cố vé số đó vừa trúng giải nhất vừa khơng trúng giải nào là biến cố khơng thể có. Ví dụ 1.4. Bây giờ xét lại hai ví dụ kinh điển về tung đồng xu và gieo xúc xắc. Hãy kể các biến cố chắc chắn, khơng thể có và BCNN. 2. PHÉP TOÁN VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ TỔNG CỦA CÁC BIẾN CỐ • Tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu A + B ( hay A∪B), là biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê (A+B xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A xẩy ra, hoặc B xẩy ra). • Tổng của n biến cố A 1 , A 2 … A n , ký hiệu 1 n i i A = ∑ = A 1 + A 2 + … + A n (hay 1 n i i A = U ), là một biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một biến cố A i nào đó ( i∈{1, 2, … , n}) xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy ( 1 n i i A = ∑ xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A 1 xẩy ra, hoặc A 2 xẩy ra, …, hoặc A n xẩy ra). 2.2. TÍCH CỦA CÁC BIẾN CỐ • Tích của hai biến cố A và B, ký hiệu AB ( hay A∩B), là biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy (AB xẩy ra) ⇔ (A xảy ra và B xẩy ra). • Tích của n biến cố A 1 , A 2 , … , A n , ký hiệu n i in A = ∏ = A 1 A 2 … A n (hay 1 n i i A = I ), là biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố A i đều xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. ( n i in A = ∏ xẩy ra) ⇔ (A 1 xẩy ra, A 2 xẩy ra, … và A n xảy ra). 2.3. BIẾN CỐ XUNG KHẮC VÀ BIẾN CỐ ĐỐI LẬP • Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng khơng thể cùng xảy ra khi phép thử được thực hiện. Tức là A.B = ∅. • Hai biến cố đối lập với nhau nếu chúng xung khắc và sau phép thử nhất thiết phải xẩy ra hoặc biến cố này hoặc biến cố kia. Biến cố đối lập của A là được ký hiệu là A . Như vậy, sau khi thực hiện phép thử, nhất định có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra. Tức là ; . AAU AA ⎧ + = ⎪ ⎨ = ∅ ⎪ ⎩ Nói riêng, hai biến cố đối lập thì xung khắc. Ngược lại nói chung là sai. Ví dụ 1.5. Một sinh viên thi hai mơn Tốn cao cấp và Kinh tế lượng. Gọi T là biến cố sinh viên đó đậu mơn Tốn cao cấp, K là biến cố sinh viên đó đậu mơn Kinh tế lượng. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua T, K: a) Sinh viên đó đậu ít nhất một mơn. b) Sinh viên đó đậu cả hai mơn. c) Sinh viên đó bị trượt mơn Tốn cao cấp. d) Sinh viên đó bị trượt cả hai mơn. e) Sinh viên đó chỉ đậu mơn Kinh tế lượng. I.3 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê f) Sinh viên đó chỉ đậu một mơn. g) Sinh viên đó đậu khơng q một mơn. Giải Gọi các biến cố trong các câu a, b, c, d, e, f, g lần lượt là A, B, C, D, E, F, G. Ta có a) A = T + K (= T K + T K + TK) ; b) B = TK ; c) T (= T K + T K ); d) D = T K ; e) T K ; f) T K + T K ; g) G = T K + T K + T K ( = D + F = B ). 2.4. BIẾN CỐ SƠ CẤP - KHÔNG GIAN CÁC BIẾN CỐ SƠ CẤP – NHÓM ĐẦY ĐỦ CÁC BIẾN CỐ • Biến cố sơ cấp là biến cố khơng thể phân tích được qua các biến cố nào khác ∅ và khác chính nó. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử được gọi là khơng gian mẫu. Khơng gian mẫu thường được ký hiệu là Ω. Cũng có khi dùng chính ký hiệu U của biến cố chắc chắn để ký hiệu. • Tập hợp n biến cố (n ≥ 2) A 1 , A 2 ,…,A n được gọi là một nhóm (hay hệ) đầy đủ các biến cố nếu sau khi thực hiện phép thử, có một và chỉ một trong các biến cố đó xẩy ra. Tức là φ = ≤≠ ≤ ⎧ ⎨ +++= ⎩ L 12 , 1 ; . ij n A Aijn A AAU Nói riêng, { } ,AA là một nhóm đầy đủ gồm hai biến cố. Ngược lại , mỗi nhóm đầy đủ hai biến cố ắt phải gồm hai biến cố đối lập. Ví dụ 1.6. Xét lại ví dụ về gieo con xúc xắc. Đặt • là biến cố mặt i chấm xuất hiện, i A 6,1=i . • C là biến cố mặt chẵn chấm xuất hiện. • L là biến cố mặt lẻ chấm xuất hiện. Khi đó , , , , , là tất cả các biến cố sơ cấp. Khơng gian các biến cố sơ cấp là . 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A {} 654321 ,,,,, AAAAAA=Ω Các biến cố C, L khơng là biến cố sơ cấp vì: 246 135 ; . CAAA LAA A =++ ⎧ ⎨ =++ ⎩ 2.5. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP • Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau, nếu sự xẩy ra hay khơng xẩy ra của biến cố nào trong chúng đều khơng ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố còn lại. • Hệ n biến cố (n ≥ 3) A 1 , A 2 …, A n gọi là độc lập tồn phần nếu A 2 độc lập với A 1 , A 3 độc lập với A 1 A 2 , … , A n độc lập với A 1 A 2 …A n-1 . I.4 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê Ví dụ 1.7. Hai sinh viên Lan và Tuấn cùng đi thi mơn Kinh tế lượng. Gọi L, T lần lượt là biến cố Lan, Tuấn đậu. Rõ ràng L và T độc lập với nhau. Chú ý Hai biến cố đối lập thì khơng thể độc lập vì sự xẩy ra của biến cố này đã phủ định sự xẩy ra của biến cố kia. 2.6. VÀI TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ 1) Tính giao hốn: A B B A + = + và ABBA = . 2) Tính kết hợp: () ( ) CBACBA + + = ++ và ( ) ( ) CBACBA = . 3) Tính phân phối: () CABACBA + = + và ( ) ( )( ) CABACBA + + = + . 4) A A A =+ ; AAA = . ; ( ) AA = . 5) Luật DeMorgan: • nn AAAAAA LL 2121 .=+++ . • 12 1 2 nn A AA A A A=+++ . 3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 3.1. NHẬN XÉT – Ý NGHĨA CỦA XÁC SUẤT  Các biến cố ngẫu nhiên có đặc điểm chung là có thể xẩy ra, có thể khơng xẩy ra sau khi thực hiện phép thử. Khi phép thử chưa thực hiện xong ta khơng thể biết chắc chắn là biến cố ngẫu nhiên mà ta quan tâm có xẩy ra hay khơng. Tuy nhiên dường như ta vẫn trực cảm được rằng biến cố này dễ xẩy ra hơn, còn biến cố kia khó xẩy ra hơn. Nói một cách khác, khả năng (dễ hay khó) xẩy ra của mỗi biến cố ngẫu nhiên nói chung là khác nhau  Ta muốn lượng hóa, tức là tìm cách đo khả năng xẩy ra của mỗi biến cố bởi một con số. Con số đó gọi là xác suất của biến cố đang xét. Nói rõ hơn, xác suất của một biến cố A nào đó là một số, ký hiêu P(A), dùng để đo khả năng (dễ hay khó) xẩy ra của biến cố A. Xác suất P(A) càng nhỏ thì biến cố A càng khó xẩy ra, xác suất P(A) càng lớn thì biến cố A càng dễ xảy ra.  Chú ý rằng, trong khoa học xác suất, ta chủ yếu quan tâm đến sự xẩy ra hay khơng xẩy ra của các biến cố chứ dường như khơng mấy quan tâm đến bản chất thực tế của biến cố. Bởi thế, nếu hai biến cố A, B khác nhau nhưng có xác suất bằng nhau, tức là chúng có khả năng xẩy ra như nhau thì về một mặtnào đó, có thể xem là chúng tương đương với nhau.  Vấn đề đặt ra là, với mỗi biến cố A đã cho, làm thế nào để xác định P(A)? Dưới đây ta sẽ giới thiệu một vài cách xác định P(A). Chú ý rằng dù xác định xác suất như thế nào thì nó cũng phải thỏa mãn những tính chất hiển nhiên như sau • P(∅) = 0% = 0; P(U) = 100% = 1; • 0% = 0 ≤ P(A) ≤ 1 = 100%, v A. ới mọi biến cố ngẫu nhiên I.5 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.6 3.2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN Giả sử sau khi thực hiện phép thử ta có tất cả n trường hợp đồng khả năng, trong đó có đúng m trường hợp thuận lợi cho biến cố A xẩy ra. Khi đó xác suất P(A) của A được định nghĩa như là tỷ số của số trường hợp thuận lợi và số tất cả các trường hợp. Tức là n m AP A =)( Nhận xét • Định nghĩa cổ điển của xác suất đơn giản, dễ hiểu, dễ tính tốn. • Tuy nhiên định nghĩa này chỉ áp dụng được khi số tất cả các trường hợp đồng khả năng sau phép thử là một số hữu hạn. Ví dụ 1.8. Tung một con xúc xắc sáu mặt, cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang. Tính khả năng (xác suất) để a) Mặt 6 chấm xuất hiện ; b) Mặt có số chấm chẵn xuất hiện. Giải Vì con xúc xắc có sáu mặt (cân đối, đồng chất ) với số chấm từ 1 đến 6 nên sau khi gieo (tức là thục hiện xong phép thử), có đúng 6 trường hợp đồng khả năng Ta đặt tên các biến cố như sau : A i là biến cố mặt i chấm xuất hiện; i = 6,1 ; C là biến cố mặt có số chấm chẵn xuất hiện . Theo u cầu đề bài, ta cần tính P(A 6 ) và P(C). Dễ thấy số trường hợp thuận lợi cho A 6 và C xẩy ra lần lượt là m 6 = 1 và m C = 3. Do đó a) 6 1 () 6 PA = ; b) 31 () 62 PC = = ( = 0, 5 = 50%). Nhận xét • Để dễ trực cảm được khả năng xẩy ra của biến cố, xác suất của biến cố thường được để dưới dạng phần trăm. • 1 () ; 1,2, ,6 6 i PA i== ; P(L) = 50% ( L là biến cố mặt có số chấm lẻ xuất hiện). 3.3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM THỐNG KÊ Giả sử ta thực hiện một phép thử τ nhiều lần (trong những điều kiện hồn tồn giống nhau) và quan sát để đếm số lần xẩy ra của biến cố A.  Nếu trong n lần thực hiện phép thử τ có m lần xuất hiện biến cố A, thì tỷ số n k )A(f n = được gọi là tần suất xuất hiện A trong n lần thử, m được gọi là tần số xuất hiện biến cố A.  Khi số lần thử đủ lớn, tần suất f n (A) sẽ dao động xung quanh một giá trị ổn định nào đó. Giá trị đó được gọi là xác suất của biến cố A. Một cách chính xác, ta định nghĩa Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê P (A) = lim ( ) n n f A →+∞ . Nhận xét • Định nghĩa thống kê của xác suất cũng đơn giản, dễ hiểu, nhưng rất khó tính tốn một cách chính xác. • Người ta thường xun áp dụng định nghĩa này khi xác định xác suất của nhiều sự kiện, hiện tượng trong thực tiễn. Tuy nhiên, thay cho tính tốn chính xác, ta xấp xỉ P(A) với chính tần suất f n (A) của A khi n (số lần lặp phép thử) đủ lớn. Ví dụ 1.9. Khi tung nhiều lần một đồng tiền cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động quanh giá trị 0,5. – Buffon: tung 4.040 lần, số lần sấp là 2.048, tần suất là 0,5080. – Pearson: tung 12.000 lần, số lần sấp là 6.019, tần suất là 0,5016. – Pearson: tung 24000 lần, số lần sấp là 12.012, tần suất là 0,5005. Như vậy, xác suất để xuất hiện mặt sấp là 0,5 = 50%. 3.4. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM HÌNH HỌC Trong nhiều trường hợp, ta có thể dùng hình học để xác định xác suất. Ta sẽ giới thiệu định nghĩa này thơng qua một ví dụ cụ thể. Ví dụ 1.10. (Bài tốn hai người gặp nhau) Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm xác định vào khoảng từ 20h đến 21h. Mỗi người đến (và chắc chắn đến) địa điểm đã hẹn trong khoảng thời gian đó một cách độc lập, chờ 20 phút, nếu khơng gặp người kia thì bỏ đi. Tính khả năng ( xác suất ) để hai người gặp nhau. Giải Gọi G là biến cố hai người gặp nhau; X, Y là thời điểm đến của mỗi người. Rõ ràng X, Y đều là một điểm ngẫu nhiên trong đoạn [20; 21]. Để G xẩy ra, tức là hai người gặp nhau, ta phải có 20XY−≤ (phút) = 1 3 (giờ). Xem cặp (X, Y) như là một điểm trên mặt phẳng tọa độ. Khi đó ta được hai miền phẳng (D) = { (X, Y) / 20 ≤ X ≤ 21; 20 ≤ Y ≤ 21}: biểu diễn tất cả các trường hợp; (G) = { (X, Y) ∈(D) / 1 3 XY − ≤ }: biểu diễn các trường hợp thuận lợi cho biến cố G xẩy ra. Rõ ràng miền (G) càng to so với (D) thì khả năng gặp nhau của hai người càng lớn. Do đó sẽ là rất hợp lý khi ta định nghĩa P(G) chính là tỷ số diện tích của hai miền (G) và (D), tức là P(G) = 5 () 5 9 () 1 9 SG SD = = . I.7 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê 4. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 4.1. TRƯỜNG HP CÁC BIẾN CỐ XUNG KHẮC • Cho hai biến cố A, B là hai biến cố xung khắc. Ta có cơng thức cộng xác suất như sau )()()( BPAPBAP + = + • Cho n biến cố A 1 , A 2 ,…,A n xung khắc từng đơi, ta có cơng thức cộng xác suất như sau )( )()() ( 2121 nn APAPAPAAAP + + + = + + 4.2. TRƯỜNG HP CÁC BIẾN CỐ BẤT KỲ Với A, B, C là các biến cố bất kỳ (khơng nhất thiết xung khắc). Ta có cơng thức cộng xác suất tổng qt như sau ).()()()( BAPBPAPBAP − +=+ ; ( ) () () () ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P AB P BC P CA P ABC++ = + + − − − + . 4.3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ĐỐI LẬP Cho biến cố A trong phép thử τ, A có biến cố đối lập là A . Ta có cơng thức )(1)( APAP −= . Ví dụ 1.11. Theo thống kê của Bộ nơng nghiệp Hoa kỳ, diện tích tồn bộ các nơng trại tại nước này được cho bởi bảng sau Diện tích (ha) Tần suất Biến cố Dưới 10 0,087 A 10-49 0,192 B 50-99 0,156 C 100-179 0,173 D 180-259 0,098 E 260-499 0,143 F 500-999 0,085 G 1.000-1999 0,040 H Từ 2.000 trở lên 0,026 I Chọn ngẫu nhiên một nơng trại. Sử dụng bảng thống kê trên, hãy tính xác suất để nơng trại được chọn có diện tích: a) Từ 100 đến 499 ha. b) Nhỏ hơn 2.000 ha. c) Khơng dưới 50 ha. I.8 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê Giải Gọi J, K, L lần lượt là các biến cố nơng trại được chọn thỏa mãn u cầu của các câu a, b, c. Ta cần tính các xác suất P(J), P(K), P(L). Từ bảng đã cho ta thấy: J = D + E + F; K = I ; L = A B + . Vì các biến cố đã cho trong bảng từng đơi xung khắc nên ta có: a) P(J) = P( D + E + F) = P(D) + P(E) + P(F) = 0, 414 = 41, 4%. b) P(K) = ()PI = 1 – P(I) = 1 – 0,026 = 0,974 = 97,4%. c) P(L) = P( A B+ ) = 1 – P(A+B) = 1 – P(A) – P(B) = 1 – 0,087 – 0,192 = 0, 721 = 72,1%. Kết luận: P(J) = 41,1%; P(K) = 97,4%; P(L) = 72,1%. Ví dụ 1.12. Tại một câu lạc bộ âm nhạc, thăm dò 100 người thì thấy có 80 người thích nhạc Văn Cao; 70 người thích nhạc Trịnh Cơng Sơn; 60 người thích nhạc của cả hai nhạc sỹ trên. Chọn ngẫu nhiên một người trong số họ. Tính xác suất để người này thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ trên. Giải Đặt C là biến cố người được chọn thích nhạc Văn Cao. S là biến cố người được chọn thích nhạc Trịnh Cơng Sơn. T là biến cố người được chọn thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ trên. Do C, S khơng xung khắc nên áp dụng cơng thức xác suất cộng P (T) = P (C + S) = P (C) + P (S) – P (CS) = 0,8 + 0,7 – 0,6 = 0,9 = 90%. Kết luận: Xác suất để người được chọn thích nhạc của ít nhất một trong hai nhạc sỹ trên là 90%. 5. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 5.1. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT KHI CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP • Với A, B là hai biến cố độc lập, ta có cơng thức nhân xác suất như sau )().().( BPAPBAP = • Cho n biến cố A 1 , A 2 …, A n độc lập tồn phần. Cơng thức nhân xác suất đối với chúng như sau )()()(( n21n21 AAA)A AA PPPP K = Ví dụ 1.13. Tung con xúc xắc 3 lần. Tính xác suất mặt một chấm xuất hiện ít nhất 2 lần. Giải Gọi A i là biến cố xuất hiện mặt một chấm ở lần tung thứ i, i= 1,2,3. Gọi A là biến cố mặt một chấm xuất hiện ít nhất 2 lần. Ta cần tính P(A). Rõ ràng là I.9 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê 123123123123 A AA A AA A AA A AAA=+++ . Do đó () () 123123123123 PA PAAA AAA AAA AAA=+++ () ( ) ( ) () 12 3 123 123 123 PAAA PAAA PAAA PAAA=+++. Vì các biến cố xuất hiện mặt một chấm ở mỗi lần tung độc lập với nhau nên ta có 123123123123 115 5 ()()()()()() 666 216 PAAA PAAA PAAA PA PA PA === =××= ; 123 1 2 3 111 1 ()()()() 666 216 PAAA PA PA PA ==××= . Kết luận: () 2 27 PA = . 5.2. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT KHI CÁC BIẾN CỐ KHÔNG ĐỘC LẬP Cho A, B là hai biến cố tùy ý. Giả sử B đã xẩy ra rồi. Khi đó xác suất của biến cố A (được tính trong điều kiện biết biến cố B đã xảy ra) được gọi là xác suất (có điều kiện) của A trong điều kiện B (đã xảy ra), ký hiệu là P(A/B). Cơng thức xác suất có điều kiện như sau (.) () () A B PAB P PB = ; (.) () () B A PBA P PA = . Do đó (.) ( )() A B PAB P PB= ; ()() () () B A A B PPA P PB = . Rõ ràng là khi A, B độc lập thì )()( APP B A = và )()( BPP A B = . Từ đây ta có thể tổng qt cơng thức nhân cho n biến cố bất kỳ A 1 , A 2 , … ,A n (khơng nhất thiết độc lập) như sau ()() ( ) ( ) ( ) 12 n 1 2 1 3 12 12 1 A A A A A / A / / nn PPPAPAAPAAA − = K A . Ví dụ 1.14. Một lơ hàng có 20 sản phẩm, trong đó có hai sản phẩm xấu. Chọn lần lượt mỗi lần một sản phẩm cho đến khi phát hiện đủ hai sản phẩm xấu thì dừng. Tính xác suất để dừng lại ở lần chọn thứ 3 nếu a) Chọn khơng hồn lại. b) Chọn có hồn lại. Giải Đặt X i là biến cố chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ i, 20,1=i . D là biến cố dừng lại ở lần chọn thứ 3. Ta cần tính P(D). Dễ thấy 321321 XXXXXXD += (các biến cố này xung khắc với nhau). Do đó () () ( ) 123 123 PD PX XX PX XX=+ . a) Chọn khơng hồn lại. Các biến cố khơng độc lập. Do đó ta có: 321 ,, XXX I.10 [...]... sản xuất 25%, phân xưởng II sản xuất 35%, phân xưởng III sản xuất 40% số bóng đèn Tỉ lệ sản phẩm hỏng của mỗi phân xưởng trên tổng số sản phẩm do phân xưởng đó sản xuất lần lượt là 3%, 2%, 1% Một người mua một bóng đèn do nhà máy sản xuất Tính xác suất để a) Sản phẩm này tốt b) Biết rằng sản phẩm này hỏng Tính xác suất để nó do phân xưởng III sản xuất Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.11 Chương 1: Lý Thuyết. .. = P( A ) Pn(k; p) là xác suất để biến cố A xuất hiện đúng k lần trong n phép thử Bernoulli (còn gọi là xác suất để có đúng k lần thành cơng trong n lần thử) • Pn(k1, k2; p) là xác suất để A xuất hiện ít nhất k1 lần , nhiều nhất k2 lần trong n phép thử Bernoulli (còn gọi là xác suất để trong n lần thử số lần thành cơng ít nhất là k1, nhiều nhất là k2) Ta có cơng thức Bernoulli như sau Pn ( k , p ) =... Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ Giải Đặt A là biến cố sản phẩm này do phân xưởng I sản xuất B là biến cố sản phẩm này do phân xưởng II sản xuất C là biến cố sản phẩm này do phân xưởng III sản xuất T là biến cố sản phẩm này tốt Khi dó A, B, C là nhóm đầy đủ, còn T là biến cố sản phẩm này hỏng a) Ta cần tính P(T) Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có P (T ) = P (T A) P ( A) + P (T B ) P ( B ) + P(T C )... ta có cơng thức xác suất đầy đủ như sau n P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P ( B / Ai ) = P ( A1 ) P ( B / A1 ) + P ( A2 ) P ( B / A2 ) + L + P ( An ) P ( B / An ) i =1 6.2 CÔNG THỨC BAYES Giả thiết hồn tồn như giả thiết của cơng thức xác suất đầy đủ Ta có cơng thức Bayes như sau P ( A ) P ( B / Ak ) P ( Ak ) P ( B / Ak ) = P ( Ak / B ) = n k P( B) ∑ P( Ai ) P( B / Ai ) i =1 Ví dụ 1.15 Một nhà máy sản xuất bóng... được lặp đi lặp lại nhiều lần thì nên dùng cơng thức Bernoulli và tính tốn ngay Nếu hành động khơng lặp thì chuyển sang bước tiếp theo • Bước 2 Xét quan hệ giữa biến cố cần tính xác suất và các biến cố đơn giản hơn để quyết định cần dùng cơng thức nào trong các cơng thức cộng , nhân xác suất đầy đủ hay Bayes Rõ ràng khi gặp các biến cố tổng hay tích thì dùng các cơng thức cộng, nhân xác suất Còn khi thấy... đạn là Tk Khi đó ta có một nhóm đầy đủ là T0, T1, T2, T3, T4 Theo cơng thức xác suất đầy đủ, P(D) được tính bởi cơng thức : P(D) = 4 ∑ P(T K =0 K )P(D/TK ) Từ đề bài suy ra P(D/T1) = 0,2 ; P(D/T2) = 0,5 ; P(D/T3) = 0,8 ; P(D/T4) = 1, còn hiển nhiên P(D/T0) = 0 _ Ta cần tính P(Tk), k = 0,4 Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.13 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ Xạ thủ bắn 4 phát đạn một cách độc... ( B) = 1 (C ) 3 (C C 3 2 3 6 9 1 2 3 2 1 3 3 3 ) + C 9C 6.C 8 + C 9C 6.C 7 + C 9.C 6 = 528 ≈ 8,93% 5915 15 b) Áp dụng cơng thức Bayes, ta có 3 1 C7 C92C6 3 3 P( M 2 ) P( B / M 2 ) C15 C15 9 P( M 2 / B) = = = ≈ 40,91% 528 P( B) 22 5915 Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.12 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ 7 CÔNG THỨC BEC-NU-LI (BERNOULLI) 7.1 DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI Một dãy n phép thử (0 < n... Còn khi thấy hành động được chia hai giai đoạn, các kết cục của giai đoạn sau phụ thuộc vào từng kết cục của giai đoạn đầu thì nói chung là dùng cơng thức xác suất đầy đủ hoặc Bayes • Bước3 Đọc kỹ các số liệu đã cho trong giả thiết của bài tốn để ráp vào các cơng thức đã dùng và tính tốn đến đáp số Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.14 ... lần đầu chọn được 2 bóng mới Giải Gọi Mi là biến cố lần đầu chọn được i bóng mới, i = 0,3 Khi đó Mo, M1, M2, M3 là một nhóm đầy đủ các biến cố Đặt B là biến cố lần hai chọn được 3 bóng mới a) Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ, ta có P(B) = P(Mo)P(B/Mo) + P(M1)P(B/M1) + P(M2)P(B/M2) + P(M3)P(B/M3) Ta có: P (M o ) = P( B / M o 3 1 2 2 1 3 C6 ; P(M ) = C9 C6 ; P(M ) = C9 C6 ; P(M ) = C9 ; 1 2 3 3 3 3... 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ Xạ thủ bắn 4 phát đạn một cách độc lập và xác suất bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần khơng thay đổi Do đó ta có dãy 4 phép thử Bernoulli với p = 0,6, q = 0,4 Áp dụng cơng thức Bernoulli ta được 0 P(T0) = P4(0 ; 0,6) = C 4 p 0 q 4 = 0,44 = 0,0256 ; 1 P(T1) = P4(1 ; 0,6) = C 4 p 1 q 3 = 4.0,6.0,43 = 0,1536 ; 2 P(T2) = P4(2 ; 0,6) = C 4 p 2 q 2 = 6.0,62.0,42 = 0,3456 . 3 21 ,, XXX I .10 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê  )/()/()()( 213 1 213 21 XXXPXXPXPXXXP = 218 1 2 1 20 19 18 20 .19 19 0 ===  )/()/()()( 213 1 213 21 XXXPXXPXPXXXP. I.9 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ Tài Liệu Xác Suất Thống Kê 12 312 312 312 3 A AA A AA A AA A AAA=+++ . Do đó () () 12 312 312 312 3 PA PAAA AAA AAA AAA=+++ () ( ) ( ) () 12 3 12 3 12 3. 0, 414 = 41, 4%. b) P(K) = ()PI = 1 – P(I) = 1 – 0,026 = 0,974 = 97,4%. c) P(L) = P( A B+ ) = 1 – P(A+B) = 1 – P(A) – P(B) = 1 – 0,087 – 0 ,19 2 = 0, 7 21 = 72 ,1% . Kết luận: P(J) = 41, 1%;