PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong quá trình giảng dạy toán học phổ thông trung học ,để giúp học sinh say mê sáng tạo trong học toán cần phải làm cho học sinh hiểu rõ ,toán học không những là công cụ cho các môn khoa học tự nhiên mà còn được ứng dụng trong đời sống hàng ngày.Bên cạnh đó học toán giúp cho các em học sinh hình thành và phát triển tư duy lôgic, khả năng tìm tòi, tư duy sáng tạo, khả năng phân tích trong toán học và đời sống .Từ đó giúp cho học sinh vốn kiến thức và biết vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn.Bài toán tích phân là một trong những bài toán nằm trong chương trình toán học phổ thông, là một dạng toán có ứng dụng thực tiễn cao.Trong các đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp hàng năm thường có các bài toán về tích phân hoặc sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể ngoài ra tích phân còn được sử dụng ở một số bài toán đại số tổ hợp.Tích phân là một trong những bài toán khó đối với học sinh và có bài cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính tích phân.Vì vậy khi gặp bài toán tích phân học sinh thường rất ngại, hoặc lúng túng không biết cách giải.Trong phạm vi nghiên cứu đề tài tôi chỉ đề cập đến vấn đề :Khi nào thì giải bài toán tích phân bằng phương pháp đổi biến số (Đổi biến số về hàm số và ngược lại hàm số về biến số),hoặc dùng phương pháp tích phân từng phần .Qua đó giúp cho các em say mê sáng tạo trong học toán ,hình thành và phát triển tư duy toán học.Vì vậy tôi chọn đề tài: “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng và phát triển tư duy toán học qua việc giải một số bài toán tích phân”.Từ đó giúp các em biết cách giải tốt hơn, hiểu sâu hơn các bài toán về tích phân nhằm nâng cao kết quả học tập của học sinh . PHẦN II: CÁC GIẢI PHÁP CẢI TIẾN 1. Thực trạng vấn đề: Khi gặp một số bài toán về tích phân học sinh còn lúng túng về cách giải quyết bài toán, các em không biết nên đổi biến như thế nào? Nên chọn cách giải nào cho phù hợp đối với các bài toán liên quan đến dùng phương pháp đổi biến số và bài toán về tích phân từng phần.Vấn đề đặt ra là làm thế nào để nâng cao chất lượng giảng dạy và kết quả học tập của học sinh?. 2. Phương pháp nghiên cứu:Sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:Học sinh trung học phổ thông ôn thi tốt nghiệp, Đại học, Cao đẳng ,Trung học chuyên nghiệp . 4. Cách thực hiện: - Đưa ra hệ thống lý thuyết tích phân. - Phân loại bài tập và phương pháp giải. 5. Nội dung: A. CƠ SỞ KHOA HỌC: 1.Cơ sở lý thuyết: 1.1, Định nghĩa tích phân: 1.2, Các tính chất: 1 1.3, Bảng nguyên hàm: 1.4, Các phương pháp tính tích phân: a. Phương pháp biến đổi số. b. Phương pháp tích phân từng phần. Trên đây là các kiến thức cơ bản trong chương trình trung học phổ thông. Ngoài ra cần trang bị thêm cho các em một số kết quả tích phân của hàm số chẵn,hàm số lẻ: * Hàm s ố chẵn : Hàm số f(x) liên tục [-a;a],f(x) là hàm số chẵn khi đó : ∫∫ = − aa a dxxfdxxf 0 )(2)( * Hàm s ố lẻ: Hàm số f(x) liên tục [-a;a],f(x) là hàm số lẻ khi đó : 0)( = ∫ − dxxf a a Phương pháp chứng minh: Đặt t = - x 2.Cơ sở thực tiễn. Trong một số năm học trước đây khi chưa sử dụng đề tài thì kết quả học tập của học sinh phần này tương đối thấp.Qua quá trình dạy học ,tôi đã áp dụng đề tài vào các lớp mà tôi được phân công giảng dạy kết quả đáng khích lệ .Từ chỗ các em thấy rất khó khăn khi giải các bài toán dạng này ,sau khi được học chuyên đề này học sinh không còn thấy lo ngại khi làm các bài tập về tích phân nữa ,mà các em lại say mê ,có hứng thú hơn,tự tin hơn khi làm bài. B.BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 1. Phương pháp đổi biến số : Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức: ∫∫ = ′ )( )( )( )()].([ bu au x b a duufdxuxuf Trong đó u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K .Hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f[u (x) ] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K. Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo 2 dạng sau đây: Dạng 1: Đặt f(x) = t (Đổi hàm số về biến số) Dạng 2: Đặt x = g(t) (Đổi biến số về hàm số) Dạng 1:Sử dụng cách đặt t = f(x) Trước khi làm bài học sinh cần nhận dạng bài tập để lựa chọn cách đặt. Sau khi lựa chọn phương pháp đặt thì bài toán sẽ đưa về tích phân đơn giản hơn dễ giải hơn nhưng học sinh cần lưu ý đổi cận. Sai lầm thường mắc phải của học sinh là sau khi đặt các em quên không đổi cận.Sau đây là một số ví dụ minh hoạ và bài tập tương tự: Ví dụ 1: Tính tích phân : dxxI ∫ −= 2 0 3 .48 Hướng dẫn giải 2 Đặt tx =− 3 48 dttdxtx 23 3 4 1 48 −=⇒=−⇒ Đổi cận: 20 =⇒= tx ; 02 =⇒= tx Khi đó: 3 16 3 4 3 2 0 43 2 0 === ∫ tdttI . Vậy 3.48 2 0 3 =− ∫ dxx * Học sinh có thể dùng cách đặt: tx =− 48 Giáo viên yêu cầu học sinh về tự làm . Điều quan trọng là học sinh thành thạo sử dụng phép vi phân dxxfxfad )()]([ ′ ±=± . Bài tập: Tính các tích phân sau: 1. dxxxI ∫ = π 0 sincos 2. dx x xI e ∫ += 1 1 ln1 3. xdxxI cossin41 6 0 ∫ += π 4. dx x xx I e ∫ + = 1 3 2 ln2ln Ví dụ 2: Tính tích phân : ∫ −= 1 0 35 1 dxxxI Hướng dẫn giải Đặt tx =− 3 1 tdtdxxtx 231 223 =−⇒=−⇒ Đổi cận x = 0 1 =⇒ t ; x=1 0 =⇒ t .Khi đó I = 45 4 ) 5 1 3 1 ( 3 2 ) 53 ( 3 2 )( 3 2 )1( 3 2 1 0 1 0 53 1 0 422 =−=−=−=− ∫ ∫ tt dttttdttt Vậy 45 4 1 1 0 35 =− ∫ dxxx * Có thể giải theo cách khác như đặt tx =− 3 1 .Giáo viên yêu cầu học sinh về tự làm. Bài tập: Tính các tích phân sau: 3 1. dxxxI 2 2 0 3 3 .8 ∫ −= 2. ∫ −= 1 0 23 1 dxxxI 3. ∫ += 2 0 32 1 dxxxI 4. xdxxxI 2 2/ 0 6 3 cossin.cos1 ∫ −= π Ví dụ 3: Tính tích phân : ∫ + = 1 0 12x xdx I Hướng dẫn giải Đặt tx =+ 12 tdtdxtdtdxtx =⇒=⇒=+⇒ 2212 2 Đổi cận: x = 0 1 =⇒ t ; x =1 3 =⇒ t Khi đó: 2 3 3 1 ) 3 ( 2 1 )1( 2 1 3 1 3 1 3 2 −=−=−= ∫ t t dttI . Vậy 2 3 3 1 12 1 0 −= + ∫ x xdx *Có thể giải theo cách khác như đặt 2x + 1 = t .Giáo viên yêu cầu học sinh về tự làm. Bài tập: Tính các tích phân sau: 1. dx x x I ∫ + + = 3 0 2 1 1 2. dx x x I ∫ + = 2 1 3 2 2 3. dx xx I ∫ + = 2 1 3 1 1 4. dx xx I ∫ = 4 6 2 cotsin 1 π π 5. ∫ − = 3ln 2ln 2 1 x x e dxe I 6. ∫ + = 4 7 2 9xx dx I 7. ∫ + = 32 5 2 4xx dx I 8. ∫ + = 3 1 2 1ln .ln e xx dxx I 9. ∫ − = 3 2 2 1x dx I Những tích phân có biểu thức dưới dấu tích phân chứa căn ở mẫu nhưng sử dụng cách đặt ở trên không được thì ta cần chọn cách đặt khác như: Ví dụ 4: Tính tích phân : ∫ + = 1 0 2 4x dx I Hướng dẫn giải 4 Đặt txx =++ 4 2 dt t dx x dtdx x xx dtdx x x 1 4 1 4 4 ) 4 1( 22 2 2 = + ⇒= + ++ ⇒= + +⇒ Đổi cận 20 =⇒= tx ; 511 +=⇒= tx Khi đó 2 51 lnln 51 2 51 2 + === + + ∫ t t dt I . Vậy 2 51 ln 4 1 0 2 + = + ∫ x dx Bài tập: Tính các tích phân sau: 1. ∫ − = 3 2 2 1x dx I 2. ∫ + = 1 0 6 2 1x dxx I 3. ∫ + = 1 0 2 ax dx I ( a > 0) 4. ∫ − +++ = 1 1 2 11 xx dx I Ví dụ 5: Tính tích phân : a. dxxxxI ∫ = π 0 2 cossin b. dxxxI ∫ = π 2 0 3 cos c. dx xx x I ∫ + = 2 0 cossin cos π Hướng dẫn giải a. Đặt dtdxxt −=⇒−= π Đổi cận 0;0 =⇒==⇒= txtx ππ .Khi đó : IdxxxdttttdtttdttttI −=−=−= ∫∫∫∫ ππππ πππ 0 2 0 2 0 2 0 2 cossincossincossincossin)( Do đó 3 2 cos 3 1 coscoscossin2 0 3 0 2 0 2 π πππ π ππ =−=−== ∫∫ xxxddxxxI .Hay 3 π =I b. Đặt dtdxxt −=⇒−= π 2 Đổi cận 02;20 =⇒==⇒= txtx ππ Khi đó IdxxdtttdttdtttI −=−=−= ∫∫∫∫ ππππ πππ 2 0 3 2 0 3 2 0 3 2 0 3 cos2coscos2cos)2( 5 Do đó 0)sin 3 (sin)sin1(cos 2 0 3 2 0 2 2 0 3 =−=−== ∫∫ π ππ π πππ xinxsxdxdxxI . Hay 0 = I c. Đặt dtdxtx −=⇒−= 2 π Đổi cận 02/;2/0 =⇒==⇒= txtx ππ Khi đó dx xx x dt tt t I ∫∫ + = + = 2 0 2 0 cossin sin cossin sin ππ .Do đó 42 cossin sin cossin cos 2 2 0 2 0 2 0 2 0 ππ π πππ =⇒=== + + + = ∫∫∫ Ixdxdx xx x dt xx x I * Đối với những bài tập dạng này cần nhắc học sinh chú ý dựa vào cận của tích phân để lựa chọn cách đặt cho phù hợp.Sau khi đặt xong thường đưa về tích phân ban đầu hoặc tích phân đơn giản hơn,dễ giải hơn. Bài tập: Tính các tích phân sau: 1. dx xx xx I ∫ + − = 2 0 3 )sin(cos sin4cos5 π 2. dxxxI )sincos( 2 0 ∫ −= π 3. dxxI )tan1ln( 4 0 += ∫ π 4. dxxxfI ∫ = π 2 0 )(cos 5. dx x x I x ∫ + + = + 2 0 cos1 cos1 )sin1( ln π Ví dụ 6: Tính tích phân : dx x xx I ∫ + = 2 0 1cos 2sin.cos π Hướng dẫn giải Đặt xdxdttx sincos1 −=⇒=+ Đổi cận 12/;20 =⇒==⇒= txtx π Khi đó dt t t I ∫ − = 2 1 2 )1( 2 12ln2)ln24() 1 2(2 2 1 2 2 1 −=+−=+−= ∫ tttdt t tI . Bài tập: Tính các tích phân sau: 6 1. dx x x I ∫ + − = 4 0 2 12sin sin21 π 2. dxxexI x ∫ += 4 0 sin )cos(tan π 3. dxxxI ∫ = 3 0 2 tansin π 4. dx xx x I ∫ ++ = π 0 1sincos 2cos 5. dx xxx x I ∫ +++ − = 4 0 )cossin1(22sin ) 4 sin( π π Ví dụ7: Tính tích phân : dx x I x ∫ − + = π π 13 sin 2 . Hướng dẫn giải * Ta có xxf 2 sin)( = là hàm số chẵn .Đặt dtdxtx −=⇒−= Đổi cận ππππ −=⇒==⇒−= txtx ; Khi đó: Idttdt t dttdt t dt t I tt t t −= + −= + = + − = ∫∫∫∫∫ −−−− − ππ π π π π π π π 0 2 2 2 22 sin2 13 sin sin 13 sin3 13 )(sin π π π =−=−=⇒ ∫ 0 0 )2sin 2 1 ()2cos1(2 ttdttI .Do đó 2 π = I * Hoặc đặt dtdxtx −=⇒−= Đổi cận ππππ −=⇒==⇒−= txtx ; Khi đó: Idttdt t dttdt t dt t I tt t t −−= + −= + = + − = ∫∫∫∫∫ −−−−− − π π π π π π π π π π )2cos1( 2 1 13 sin sin 13 sin3 13 )(sin 2 2 22 π π π π π =−=−=⇒ − − ∫ )2sin 4 1 2 1 ()2cos1( 2 1 2 ttdttI .Do đó 2 π = I Bài tập: Tính các tích phân sau: 1. dx x I x ∫ − + = 2/ 2/ 2 15 2sin π π 2. dx xx I x ∫ − + + = 4/ 4/ 66 16 cossin π π 7 3.Bài tập tổng quát: Tính tích phân dx a xf I b b x ∫ − + = 1 )( f(x) liên tục và chẵn [-b;b] a > 0 ; a khác 1. * Thông qua một số bài tập trên học sinh trở nên thành thạo hơn trong việc tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng này. Dạng 2:Sử dụng cách đặt x = g(t) * Nếu hàm số dưới dấu tích phân chứa căn bậc 2 mà biểu thức trong căn là 1-x 2 hoặc 22 xa − (a>0) .Phương pháp chung là: + Đặt x = sint hoặc x = asint với       −∈ 2 ; 2 ππ t + Đặt x = cost hoặc x = acost với       −∈ 2 ; 2 ππ t Vì mối quan hệ trong hệ thức: 1sincos 22 =+ xx ,từ bài toán liên quan đến biểu thức đại số chuyển về bài toán liên quan đến biểu thức lượng giác đơn giản hơn dễ giải hơn. Ví dụ 1: Tính tích phân sau: ∫ −= 1 0 22 1 dxxxI Hướng dẫn giải Cách 1:Đặt x= sint       −∈ 2 ; 2 ππ t tdtdx cos =⇒ Đổi cận x = 0 0 =→ t ;x=1 2 π =→ t Khi đó I = ∫∫∫ − == 2 0 2 0 2 2 0 22 2 4cos1 4 1 2sin 4 1 cossin πππ dt t tdttdtt 16 )4sin 32 1 8 1 ()4cos1( 8 1 2/ 1 2 0 π π π =−=−= ∫ ttdtt . Vậy 16 1 1 0 22 π =− ∫ dxxx 8 Cách 2: Đặt x= cost       −∈ 2 ; 2 ππ t học sinh tự làm,vì các em đã nhận biết được cách đổi biến số dạng này. Bài tập: Tính các tích phân sau: 1. ∫ − = 2 2 0 2 2 1 dx x x I 2. dx x x I ∫ − = 2 1 2 2 4 3. ∫ −= 1 0 23 1 dxxxI 4. ∫ += 4 0 2 sin1 cos tan π dxx x x I * Nếu hàm số dưới dấu tích phân là phân thức có mẫu chứa biểu thức 22 xa + hoặc căn bậc hai của 22 xa + (a > 0)Phương pháp chung là : + Đặt x = a tant với ) 2 ; 2 ( ππ −∈ t + Đặt x = a cott với ) 2 ; 2 ( ππ −∈t Vì mối quan hệ trong hệ thức: α α α α 2 2 2 2 sin 1 cot1; cos 1 tan1 =+=+ , mà từ bài toán liên quan đến đa thức phức tạp các em sẽ chuyển về bài toán dạng lượng giác đơn giản hơn ,dễ hiểu hơn,dễ giải hơn. Ví dụ 2: Tính tích phân sau: a. ∫ + = 2 0 2 2x dx I b. ∫ − ++ = 0 1 2 22xx dx I Hướng dẫn giải a. ∫ + = 2 0 2 2x dx I Đặt tx tan2 = ; ) 2 ; 2 ( ππ −∈ t ; dttdx )tan1(2 2 += Đổi cận: x = 0 0 =→ t ; 4 2 π =→= tx 9 Khi đó 8 2 2 2 2 2 )tan1(2 )tan1(2 4 0 4 0 4 0 2 2 π π ππ === + + = ∫∫ tdt t dtt I b. ∫∫ −− ++ = ++ = 0 1 2 0 1 2 1)1(22 x dx xx dx I Đặt tx tan1 =+ ) 2 ; 2 ( ππ −∈ t ; dttdx )tan1( 2 += Đổi cận: 01 =⇒−= tx ; 4 0 π =⇒= tx Khi đó 4 tan1 )tan1( 4 0 4 0 4 0 2 2 π π ππ === + + = ∫∫ tdt t dtt I * Thông qua ví dụ a,b từ bài toán với các biểu thức đa thức phức tạp các em học sinh dễ dàng chuyển về bài toán dạng lượng giác đơn giản hơn,dễ giải hơn. Đôi khi giáo viên có thể hướng dẫn để các em tìm ra quy luật từ đó có thể tự ra các đề bài tương tự và tự làm. Bài tập:Tính các tích phân sau: 1. ∫ + = 1 0 4 1 4 x xdx I 2. ∫ + + = 1 0 2 2 1 )1( x x e dxe I 3. dx x x xxI ) 1 sin( 1 0 32 ∫ + += 4. ∫ − ++ + = 1 1 2 52 )12( xx dxx I * Có những bài tập các em phải dùng đổi biến hai lần như: Ví dụ 3: Tính tích phân sau: ∫ − = 2 2 2 1xx dx I Hướng dẫn giải Đặt yx =− 1 2 Đổi cận: 32;12 =⇒==⇒= yxyx Ta có: ∫∫ + = + = 3 1 2 3 1 2 1)1( y dy yy ydy I 10 [...]... làm bài để các em tiếp thu được tốt hơn - Phải cho học sinh tiếp cận với nhiều bài toán, dạng toán khác nhau với nhiều cách giải ,suy luận khác nhau - Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích ,tư duy theo nhiều hướng để tìm ra lời giải tối ưu nhất,ngắn gọn nhưng chặt chẽ, logic - Phát huy tối đa tính tích cực khả năng sáng tạo,chủ động trong giải toán - Động viên, khích lệ học sinh nỗ lực học tập ,rèn. .. cứu và áp dụng thực hiện giảng dạy đề tài này cho các em học sinh lớp 12 ,các buổi ôn thi tốt nghiệp, đại học ,cao đẳng,THCN,các buổi bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các năm trước kết quả thu được đáng khích lệ Học sinh không còn thấy lo ngại khi làm các bài tập về tích phân nữa ,mà các em lại say mê ,có hứng thú hơn , đã tự rèn cho bản thân khả năng tư duy ,phát huy được tính sáng tạo ,tích cực làm bài. .. xét sau để các em khéo léo đặt và sử dụng đưa bài toán về tích phân đơn giản hơn dễ giải hơn,tạo cho các em say mê giải toán ,và tin tư ng hơn vào khả năng của bản thân b ∫ Nhận xét Khi gặp tích phân dạng I = P ( x )Q ( x) dx a * Nếu P(x) là đa thức của x ,Q(x) là một trong các hàm số cosx; sinx ; a x thì ta u = P( x) thường đặt  dv = Q( x )dx Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1 2 2x a I = ∫ (1 +... học sinh nỗ lực học tập ,rèn luyện. Cần tập trung vào khâu sửa bài làm của học sinh, kiểm tra, đánh giá ,và chữa bài tỉ mỉ cho học sinh, vì rất nhiều học sinh tiếp thu tốt nhưng khi trình bày thì không chặt chẽ hay bị mất điểm Trên đây là một số kinh nghiệm được rút ra từ thực tế giảng dạy Rất mong được sự quan tâm ,trao đổi ,đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để bổ sung vào đề tài nhằm hoàn thiện hơn,góp... đặt Đặt ( làm tư ng tự như ví dụ 4 dạng 1 của phương pháp đổi biến số) Bài tập: Tính các tích phân sau: 5 1 I = ∫ x − 9 dx 2 4 a 2 2 2 I = ∫ x + a dx (a > 0 ) 0 PHẦN III: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM 1.Kết quả nghiên cứu: Khi chưa giảng dạy đề tài này trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh hay vướng mắc trong quá trình lựa chọn cách đặt , đứng trước một bài tập học sinh không biết... Điểm . triển tư duy toán học. Vì vậy tôi chọn đề tài: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng và phát triển tư duy toán học qua việc giải một số bài toán tích phân .Từ đó giúp các em biết cách giải tốt hơn, hiểu. trong đời sống hàng ngày.Bên cạnh đó học toán giúp cho các em học sinh hình thành và phát triển tư duy lôgic, khả năng tìm tòi, tư duy sáng tạo, khả năng phân tích trong toán học và đời sống .Từ. số (Đổi biến số về hàm số và ngược lại hàm số về biến số) ,hoặc dùng phương pháp tích phân từng phần .Qua đó giúp cho các em say mê sáng tạo trong học toán ,hình thành và phát triển tư duy toán