CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số:………………………………… 1.Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh khai thác bài toán tìm hai số khi biết Tổng (hiệu) và Tỉ số. 2.Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy trong môn Toán lớp 4 và Toán 5. 3.Mô tả bản chất của sáng kiến: 3.1.Tình trạng giải pháp đã biết a. Ưu điểm: - Giúp cho học sinh biết cách khai thác và nắm cách giải từng bài toán dạng Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng. - Rèn kĩ năng tư duy phân tích và tổng hợp. - Khi giảng giải, giáo viên phân tích rồi tổng hợp để các em biết giải. Từ đó, các em rút ra kinh nghiệm cho bản thân. - Mỗi dạng toán, giáo viên thường chú ý khai thác dữ kiện bài toán để học sinh tìm ra được cách giải. - Kiểm tra, đánh giá mức độ tiếp thu của các em sau mỗi bài tập đã phân loại đã làm. - Tham mưu với Ban giám hiệu, tổ trưởng chuyên môn để có sự hỗ trợ đầu tư về điều kiện cơ sở vật chất, trang thiết bị - thư viện giúp cho giáo viên và học sinh có nhiều cơ hội trong việc đọc, tìm những bài toán hay. b. Khuyết điểm: - Các em không “thu gom” được những nhóm bài tập nào thuộc dạng bài toán đã học do các em tiếp thu bài chậm. - Do một số em còn thụ động trong học toán, nghĩa là thầy giảng sao thì trò làm vậy mà chưa có sự tích cực tìm tòi để khai thác bài toán. Mặt khác, các em ít chịu đọc sách báo hay sưu tầm những bài toán khó. Từ đó, dẫn đến việc các em chỉ giải 1 được những bài toán thuộc dạng Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng mà giáo viên đã cung cấp. 3.2.Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến  Mục đích của sáng kiến: Giúp học sinh: - Phân biệt rõ được dạng toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng bao gồm những dạng nào và mỗi dạng cần khai thác ra sao để từ đó học sinh nắm chắc cách giải bài toán ở dạng đơn giản hay phức tạp. Qua đó, đút rút cho các em có nhiều bài học kinh nghiệm trong giải toán. - Từ việc nắm chắc cách giải từng nhóm cụ thể của dạng toán mà tôi nghiên cứu sẽ giúp cho các em hứng thú trong học Toán, các môn học khác và trong cuộc sống của chính bản thân các em. - Thoát khỏi tâm lí e dè, lo sợ và thiếu tự tin khi giải những bài toán khó. Từ đó, nhằm phát triển cho các em về tư duy trừu tượng để tiếp tục học giỏi các bậc học sau này. - Cuối cùng là các em biết vận dụng những phương pháp, cách giải các nhóm thuộc dạng toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng để giải quyết những vấn đề trong cuộc sống của chính bản thân hay của gia đình và xã hội đặt ra.  Nội dung giải pháp a. Những điểm khác biệt: - Trước đây, khi dạy những dạng toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng hầu như giáo viên chỉ chú ý đến việc hướng dẫn học sinh tìm cách giải và kết quả của từng bài toán cụ thể dù đó là bài toán khó hay dễ mà chưa chú ý đến việc phân nhóm, dạng cho các dạng bài toán này. - Giúp cho học sinh biết phân nhóm, cách khai thác và nắm chắc cách giải bài toán từng nhóm cụ thể thuộc dạng toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng. - Khi giảng giải, giáo viên phân tích rõ ràng trước sau như một, cung cấp cho các em những kinh nghiệm bản thân và gợi ý để các em biết cách khai thác bài 2 toán triệt để bằng sơ đồ nếu có thể hoặc dùng cấu tạo số để giải quyết những bài toán khó. - Mỗi dạng toán, giáo viên thường lưu ý những chỗ học sinh thường có tư duy lệch lạc không có liên quan đến các dữ kiện bài toán đưa ra. - Luôn kiểm tra, đánh giá mức độ tiếp thu của các em sau mỗi nhóm toán đã phân loại thuộc dạng toán đã nêu. - Giáo viên luôn nâng cao ý thức tự học tự rèn trên sách báo, trên mạng, sinh hoạt tổ khối, tham quan học tập đồng nghiệp để cập nhật thường xuyên thêm những thông tin về chuyên môn, những cách giải toán hay nhằm giúp cho việc nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán để từ đó các em vận dụng vào các vòng tự luyện Violympic. Xuất phát tình hình như vậy nên tôi nghiên cứu và đưa ra phân dạng bài toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng thành những nhóm như sau: a) Các bài toán áp dụng trực tiếp Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng. b) Các bài toán khai thác điều kiện về tổng (hiệu) trong bài toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng. c) Các bài toán khai thác điều kiện về tỉ số trong bài toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng. d) Các bài toán khai thác điều kiện về tổng (hiệu) và tỉ số trong bài toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng. e) Các bài toán về tỉ số Trên cơ sở phân nhóm như vậy, GV sẽ dễ dàng hướng dẫn các em nắm chắc các dạng bài, cách khai thác các điều kiện của đề bài để giải đúng các bài tập. Sau đây là các minh chứng cụ thể cho từng nhóm bài:  Các bài toán áp dụng trực tiếp Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng: 3 Ví dụ 1: Lớp 5A có 40 học sinh. Biết rằng số HS nữ bằng 2 3 số HS nam. Tính số HS nữ, HS nam. Phân tích: Ở dạng toán này, các em cần xác định được: Tổng số là 40 HS; Tỉ số của HS nữ so với HS nam là 3: 2. Tức là nếu coi số HS nữ gồm 3 phần bằng nhau thì số HS nam gồm 2 phần như thế. Tổng số HS cả lớp gồm 5 phần. Từ đó, các em giải được bài toán Ví dụ 2: Tìm hai số khi biết hiệu và thương của hai số là 0,75. Phân tích: HS cần xác định được: Hiệu là 0,75; Tỉ số là 0,75 tức là 100 75 hay 4 3 Từ đó, áp dụng bài mẫu các em sẽ tính được. Bài giải Ta có sơ đồ: Số thứ nhất: 0,75 Số thứ hai: Theo sơ đồ, ta thấy giá trị một phần bằng nhau là 0,75. Vậy số thứ nhất là: 0,75 x 3 = 2,25 Số thứ hai là: 0,75 x 4 = 3 Đáp số: 2,25 và 3. Nhận xét: Nhóm bài tập này khá đơn giản với các em. Song việc nắm chắc phương pháp giải bài tập trong nhóm này thì các em dễ dàng tiếp thu các bài tập thuộc nhóm sau. Do vậy, trong khi làm toán, tôi luôn yêu cầu HS tự tìm thêm nhiều cách giải khác để nắm chắc kiến thức hơn.  Các bài toán khai thác điều kiện về tổng (hiệu) trong “Bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”. Ví dụ 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số mới lớn gấp 13 lần số cần tìm. 4 Phân tích: Trong bài toán này, HS phải xác định được số tự nhiên ban đầu có dạng ab, nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được số 9ab. Từ đó, các em biết phân tích cấu tạo số để tìm hiệu: 9ab = 9 x 100 + ab . Như vậy, hiệu số của số mới và số cần tìm là 900 đơn vị. Từ đó, các em vẽ được sơ đồ và giải được bài toán. Bài giải Khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số có hai chữ số thì mới đó tăng thêm 900 đơn vị. Theo đề bài, ta có sơ đồ: Số cần tìm: 900 Số mới: Nhìn lên sơ đồ ta thấy số cần tìm là: 900 : (13 - 1) = 75 ĐS: 75 Ví dụ 4: Bạn Bình có 22 viên bi gồm bi đỏ và bi xanh. Bình cho em 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Bạn An lại cho Bình thêm 7 viên bi đỏ nữa, lúc này Bình có số bi đỏ gấp đôi số bi xanh. Hỏi lúc đầu Bình có bao nhiêu viên bi đỏ, bao nhiêu viên bi xanh? Phân tích: HS xác định được: Tỉ số đề bài đã cho vào thời điểm số bi của bạn Bình đã thêm vào và bớt đi một lượng thì ta được: Bi đỏ gấp đôi số bi xanh. Vậy chúng ta cần xác định tổng số bi của bạn Bình trong thời điểm đó có bao nhiêu viên? Bài giải Tổng số bi của bạn Bình sau khi cho em và nhận thêm của bạn An là: 22 - (3 + 2) + 7 = 24 (viên) Ta có sơ đồ sau khi Bình cho em và nhận của bạn An: Bi xanh: Bi đỏ: 24 viên Số bi xanh lúc sau là: 5 24 : (2 + 1) = 8 (viên) Số bi xanh lúc đầu là: 8 + 2 = 10 (viên) Số bi đỏ lúc đầu là: 22 - 10 = 12 (viên) Nhận xét: Ở nhóm bài tập này, đề bài thường cho tỉ số ở một thời điểm cố định, các điều kiện khác như tổng hoặc hiệu không cùng thời điểm với tỉ số. Vậy cần xác định tổng (hiệu) của các đại lượng tương ứng với thời điểm đưa ra tỉ số của đề bài. Các bài toán khai thác điều kiện về tỉ số trong “Bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”. Ví dụ 5: Một cửa hàng gạo, có tổng số gạo nếp và gạo tẻ là 1950 kg. Sau khi đã bán 6 2 số gạo nếp và 7 3 số gạo tẻ thì số gạo còn lại của 2 loại giống nhau. Hỏi lúc đầu cửa hàng có bao nhiêu kg gạo nếp? Bao nhiêu kg gạo tẻ? Phân tích: Bài toán cho biết tổng số của hai số thì HS phải tìm bằng cách thực hiện các phép tính như sau để xác định tỉ số của 2 loại gạo: Bài giải Phân số chỉ số gạo nếp còn lại là: 6 4 6 2 1 =− (số gạo nếp) Phân số chỉ số gạo tẻ còn lại là: 7 4 7 3 1 =− (số gạo tẻ) Theo bài ra, ta có 6 4 số gạo nếp bằng 7 4 số gạo tẻ hay 6 1 số gạo nếp bằng 7 1 số gạo tẻ. Khi đó, GV hướng dẫn HS dựa vào cách tìm thành phần chưa biết trong bài toán tìm x để tìm ra được số gạo nếp là 6 phần còn số gạo tẻ là 7 phần rồi vẽ sơ đồ và đưa bài toán về dạng điển hình (tổng – tỉ) để giải: 6 Gạo nếp: Gạo tẻ: Ví dụ 6: Cuối HKI, lớp 5B có số HS giỏi bằng 7 3 số HS còn lại của lớp. Cuối HKII có thêm 4 HS giỏi nữa nên tổng số HS giỏi bằng 3 2 số HS còn lại của lớp. Hỏi lớp 5B có bao nhiêu HS giỏi cuối HKII ? Phân tích: Vì số HS còn lại của lớp ở 2 học kì khác nhau và số HS của cả lớp không thay đổi nên ta đưa tỉ số HS giỏi ở cả 2 kì so với số HS cả lớp rồi tính. Cụ thể là: Cuối HKI, lớp 5B có số HS giỏi bằng 7 3 số HS còn lại của lớp nghĩa là số HS giỏi 3 phần, học sinh còn lại 7 phần, tức lớp học đó có 10 phần hay nói cách khác số học sinh giỏi cuối HKI bằng 10 3 số HS của lớp, HKII có thêm 4 HS giỏi nữa nên tổng số HS giỏi bằng 3 2 số HS còn lại của lớp và tương tự cách phân tích như trên ta tìm được số HS giỏi cuối HKII bằng 5 2 số HS của lớp: HSG kì 1 4hs HSG kì 2 7 1950 kg Từ sơ đồ trên, HS dễ dàng nhận ra được 4 HS giỏi chính là 10 1 số HS cả lớp. Như vậy, lớp học đó có HS giỏi cuối HKI là: 4 x 10 = 40 (HS); HS giỏi cuối kì II là: 4 x 4 = 16 (HS). Ví dụ 7: Chị tôi năm nay 20 tuổi. Khi tuổi chị tôi bằng tuổi tôi hiện nay thì tuổi tôi bằng 3 2 tuổi chị tôi lúc đó. Tính tuổi tôi hiện nay. Phân tích: Ở bài tập này, HS phải biểu thị mối quan hệ giữa tuổi chị với tuổi em ở hai thời điểm khác nhau qua sơ đồ như sau: Lúc trước Tuổi tôi: Tuổi chị tôi: Hiện nay Tuổi tôi: Tuổi chị tôi: Vì hiệu giữa tuổi chị và em không thay đổi nên ta thấy tuổi em hiện nay là: 20 : 4 x 3 = 15 (tuổi) Nhận xét: Nhóm bài tập này, đề bài thường có tỉ số “ẩn”, chỉ cho biết tổng (hiệu hoặc tỉ số khác. Để giải được bài toán, đòi hỏi HS phải xác định được tỉ số trong mối quan hệ khác với cái đã cho của đề bài. Sau đó có thể đưa bài toán về dạng bài toán dạng toán điển hình rồi giải. Các bài toán khai thác cả điều kiện về tổng, hiệu và tỉ số trong “Bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”. Ví dụ 8: Tìm một phân số sao cho khi cộng 1 vào tử số và giữ nguyên mẫu số thì bằng 1. Nếu cộng vào mẫu số 4013 và giữ nguyên tử số thì được 3 1 Phân tích: HS phải xác định được hiệu số giữa tử số và mẫu số ban đầu bằng 1, xác định được hiệu số giữa tử số và mẫu số nếu như thêm 1 lượng vào mẫu số 8 20 tuổi 4013 đơn vị và giữ nguyên tử số. Khi đó, hiệu giữa tử và mẫu là 4013 và tỉ số giữa tử số và mẫu số là 3 1 rồi các em đưa ra cách giải. Bài giải Nếu cộng 1 vào tử số và giữ nguyên mẫu số thì bằng 1 hay tử số bằng mẫu số. Vậy phân số đã cho có tử số bé hơn mẫu số 1 đơn vị. Theo đề bài, ta có sơ đồ: Tử số: 4013 Mẫu số: 1 Nhìn lên sơ đồ, ta thấy tử số của phân số đã cho là: (4013 + 1) : 2 = 2007 Mẫu số của phân số đó là: 2007 + 1 = 2008 ĐS: 2008 2007 Ví dụ 9: Tổng số tuổi của 2 anh em bé hơn 2 lần tuổi anh là 3 tuổi. Hiệu giữa tuổi anh và tuổi em bé hơn tuổi em là 5 tuổi. Tính tuổi anh và tuổi em. Phân tích: HS phải vẽ được sơ đồ biểu thị 2 lần tuổi anh hơn tổng tuổi anh và tuổi em là 3 tuổi. Từ đó suy ra được hiệu tuổi anh và em. Sau đó lại vẽ tiếp sơ đồ biểu thị tuổi em lớn hơn hiệu giữa tuổi anh và tuổi em là 5 tuổi. Bài giải Theo đề bài, ta có sơ đồ thứ nhất: Tuổi anh Tuổi em Tổng tuổi anh và tuổi em: 3 tuổi Hai lần tuổi anh: Tuổi anh Tuổi anh Nhìn lên sơ đồ, ta thấy hiệu giữa tuổi anh và tuổi em là 3. Vậy ta có sơ đồ thứ hai: 9 Tuổi em: Hiệu tuổi anh và em: 5 tuổi 3 tuổi Vậy tuổi em là: 3 + 5 = 8 (tuổi) Tuổi anh là: 8 + 3 = 11 (tuổi) ĐS: Anh: 11 tuổi Em: 8 tuổi Nhận xét: Nhóm bài tập này, yêu cầu HS suy luận từ cái đã cho ở trong bài hoặc có thể biểu thị bằng sơ đồ để tìm ra tổng (hiệu) và tỉ số. Nhóm bài tập này khó đối với các em. Do đó, GV cần kiên trì hướng dẫn để giúp các em khai thác tốt các điều kiện bài toán đã cho để các em giải bài toán dễ dàng. b. Cách thức thực hiện sáng kiến: - Triển khai sáng kiến rộng rãi cho GV khối 4, 5 trong các lần họp Tổ chuyên môn. - Nhờ GV trong khối 5 sưu tầm thêm một số bài toán thuộc 5 dạng toán đã nêu để giải nhằm nâng cao trình độ chuyên môn trong quá trình thực hiện. - Rút kinh nghiệm sau mỗi lần họp tổ để tháo gỡ những vướng mắc (nếu có). c. Các bước thực hiện cụ thể của giải pháp mới: Trên cơ sở phân nhóm như vậy, GV sẽ dễ dàng hướng dẫn các em nắm chắc các dạng bài, cách khai thác các điều kiện của đề bài để giải đúng các bài tập. - Giúp HS biết phân biệt được 5 nhóm, biết cách khai thác và nắm chắc cách giải bài toán từng nhóm cụ thể thuộc dạng toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng. - Tôi luôn tạo mọi điều kiện để học sinh phát hiện bài toán cho gì ? Hỏi gì ? Tóm tắt (vẽ sơ đồ) thế nào? để phát hiện ra vấn đề cần giải quyết. - Hướng dẫn các em biết cách khai thác triệt để các dữ kiện bài toán để hình thành bằng sơ đồ đoạn thẳng để các em dễ hình dung về cách giải bởi tâm sinh lí 10 [...]... Đại học Tiểu học Ba Tri 2 Phạm Thị Thúy Hoa 15/5/1973 Đình Chiểu – Lê Thị Ngọc Mai 24/4/1967 số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số bài toán khai thác GV Khối 5 Đại học Tiểu học Ba Tri 3 trực tiếp Tìm hai của chúng Sưu tầm Các TH Nguyễn bài toán áp dụng điều kiện về tổng (hiệu) trong bài toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số TH GV Khối Cao của chúng Sưu tầm Các Nguyễn 5 – Chủ đẳng bài toán khai thác. .. Tiểu điều kiện về tỉ số Chiểu – đoàn học trong Ba Tri bài toán Tìm hai số khi 14 biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng Sưu tầm Các bài toán khai thác TH Nguyễn 4 Lê Thị Xuyến 10/5/1969 Đình Cao GV Khối đẳng 5 Tiểu Chiểu – học Ba Tri điều kiện về tổng (hiệu) và tỉ số trong biết tổng (hiệu) 5 Duyên 23/3/1978 Đình GV Khối 5 Chiểu – Ba Tri TH 6 Nguyễn Nguyễn Thị Kim Hạnh 26/10/1977 Đình tỉ số của chúng Sưu... những giải pháp trong sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn HS khai thác bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số, tôi thấy học sinh nắm vững hơn về dạng toán này Qua đó, chất lượng môn toán lớp tôi cũng được nâng lên một cách rõ rệt Phạm Thị Thúy Hoa: Sáng kiến kinh nghiệm của thầy Thành giúp học sinh lớp tôi chủ nhiệm phân biệt và giải tốt 5 nhóm dạng toán trong sáng kiến đã nêu từ đơn giản đến... TH Nguyễn toán Tìm hai số khi và Khưu Thị Cẩm bài Đại học bài toán về tỉ số Tiểu học Cao GV Khối đẳng 5 Tiểu Chiểu – Ba Tri học Sưu tầm chung các dạng toán đã nêu trong sáng kiến 3.6 Các điều kiện để áp dụng sáng kiến: - Giáo viên: + Phải có một trình độ giải toán nhất định + Không ngừng tìm tòi những bài toán hay và khó + Phải biết minh họa bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng hoặc dùng cấu tạo số + Giảng... tạo số để giải quyết những bài toán khó - Khi giảng giải, GV phân tích rõ ràng trước sau như một, cung cấp cho các em những kinh nghiệm bản thân - Mỗi dạng toán, giáo viên thường lưu ý những chỗ học sinh thường nghĩ sai vấn đề mà không thấy có sự liên quan giữa các dữ kiện đã cho trong bài toán - Tôi luôn lưu ý học sinh: khi khai thác bài toán cần khai thác một cách tổng hợp các dữ kiện đã cho và luôn... mà học sinh có tư duy học toán nhạy bén hơn Lê Thị Xuyến: Vận dụng sáng kiến này, học sinh lớp tôi có hứng thú hơn khi học toán vì các em biết cách tư duy để tìm và phân biệt những nhóm toán mà trong sáng kiến đã nêu 13 Khưu Thị Cẩm Duyên: Vận dụng những giải pháp toán trong sáng kiến kinh nghiệm để giảng dạy các dạng toán khác, tôi thấy học sinh phát huy rất tốt về tính chủ động, sáng tạo khi học toán, ... sinh phát huy rất tốt về tính chủ động, sáng tạo khi học toán, giải toán Nguyễn Thị Kim Hạnh: Giúp học sinh củng cố lại và khắc sâu hơn dạng toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”, học sinh phát triển hơn về tư duy trừu tượng 3.5 Danh sách những giáo viên tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: Ngày, TT Họ và tên tháng, năm sinh Trình Nơi Chức độ Nội dung công công tác danh chuyên việc hỗ... giải các bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết Tổng (hiệu) và Tỉ số từ cơ bản đến nâng cao Do đó, tôi nghĩ rằng phương pháp này giáo viên Tiểu học trong tỉnh có thể áp dụng và một số tỉnh bạn có thể tham khảo và vận dụng để nâng cao chất lượng giảng dạy 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến: Đề tài này được tôi vận dụng từ năm học 2011 - 2012 Với mục đích và các giải pháp đã nêu trong... các vấn đề có liên quan trong bài toán 15 + Lưu ý những chỗ HS thường nghĩ sai vấn đề để các em có nhiều kinh nghiệm trong giải toán - Học sinh: + Phải tích cực trong học tập + Thường xuyên ôn tập và xem lại những dạng toán mà GV đã cung cấp + Thường xuyên đọc sách, báo để tìm bài toán hay + Luôn tìm mọi cách để khai thác bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng hoặc dùng cấu tạo số - Nhà trường: + Luôn tạo mọi... dụng vào thi Violympic Toán trên mạng 3.3.Khả năng áp dụng của giải pháp: Sáng kiến này giúp phần nào cho giáo viên Tiểu học như tôi hiểu sâu sắc hơn về bản chất khi hướng dẫn học sinh giải toán nghĩa là không chỉ hướng dẫn cho học sinh cách giải mà gợi ý cho các em thấy được sự liên quan mật thiết giữa các dữ kiện để các em nắm được từng dạng cụ thể Qua đó, nhằm nâng cao khả năng giải các bài toán . bài toán khai thác điều kiện về tỉ số trong bài toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng. d) Các bài toán khai thác điều kiện về tổng (hiệu) và tỉ số trong bài toán Tìm hai số. Các bài toán áp dụng trực tiếp Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng. b) Các bài toán khai thác điều kiện về tổng (hiệu) trong bài toán Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số. về tổng, hiệu và tỉ số trong Bài toán tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”. Ví dụ 8: Tìm một phân số sao cho khi cộng 1 vào tử số và giữ nguyên mẫu số thì bằng 1. Nếu cộng vào