Mục lục Lời cam đoan 3 Lời cảm ơn 4 Mở đầu 6 I Kiến thức chuẩn bị 16 I.1 Đại số Steenrod môđulô 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 I.1.1 Xây dựng các toán tử Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 I.1.2 Đại số Steenrod là một đại số Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I.2 Lý thuyết bất biến và đối bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 I.3 Các toán tử squaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 I.3.1 Toán tử squaring cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 I.3.2 Toán tử squaring Kameko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 I.3.3 Toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson . . . . . . . . . 24 II Nghiên cứu bước đầu về đồng cấu chuyển Singer hạng 5 27 II.1 Đồngcấuchuyểnđạisố 29 II.2 Một hệ sinh của A-môđun P 5 tạibậc11 30 II.3 Các GL 5 -bấtbiến 36 II.4 Chứng minh Định lý II.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 II.5 KếtluậnChươngII 46 III Toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson và Đồng cấu Lannes - Zarati 47 1 III.1Chuẩnbị 49 III.2 Biểu diễn ở mức độ dây chuyền của toán tử squaring đối ngẫu theo các bất biếnDickson 49 III.3 Toán tử squaring là một đẳng cấu trên ảnh của nó . . . . . . . . . . . . . 51 III.4 Bậc triệt tiêu của toán tử squaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 III.5 Bậc triệt tiêu của toán tử squaring tại những hạng nhỏ . . . . . . . . . . . 63 III.6 ´ Ưng dụng để khảo sát đồng cấu Lannes-Zarati . . . . . . . . . . . . . . . 65 III.7KếtluậnChươngIII 74 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo 74 Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án 75 Tài liệu tham khảo 76 2 Bảng một số ký hiệu F 2 Trường với 2 phần tử S n Mặt cầu n-chiều V s Nhóm 2-abel sơ cấp hạng s BV s Không gian phân loại của nhóm V s GL s := GL(V s ) Nhóm tuyến tính tổng quát của V s , đẳng cấu với nhóm các s × s-ma trận khả nghịch trên trường F 2 RP ∞ Không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều H ∗ (X) Đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F 2 H ∗ (X) Đối đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F 2 A Đại số Steenrod (môđulô 2) Ext ∗ A (F 2 , F 2 ) Đối đồng điều của đại số Steenrod (môđulô 2) Tor A ∗ (F 2 , F 2 ) Đồng điều của đại số Steenrod (môđulô 2) π S ∗ (S 0 ) Nhóm đồng luân ổn định của S 0 5 Mở đầu Phân loại đồng luân các ánh xạ liên tục giữa hai mặt cầu (có thể có số chiều khác nhau) là bài toán trung tâm của Tôpô đại số kể từ năm 1930, khi H. Hopf [70, 71] tìm ra các ánh xạ không tầm thường, ngày nay mang tên ông: S 3 → S 2 , S 7 → S 4 , S 15 → S 8 . Các ánh xạ Hopf này quan hệ mật thiết với cấu trúc đại số trên trường số thực có phép chia của trường số phức, thể quaternion, và đại số Cayley. Một trong những công cụ cơ bản để nghiên cứu bài toán phân loại đồng luân là các toán tử Steenrod, đượ c ký hiệu là Sq i : H ∗ (X; F 2 ) → H ∗+i (X; F 2 ),vớii ≥ 0, tác động tự nhiên trên đối đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F 2 . Các toán tử Sq i được Steenrod [51] xây dựng năm 1947. Đến năm 1952, ông [52] mở rộng kết quả này cho đối đồng điều hệ số trong F p với p là một số nguyên tố lẻ. Các toán tử Steenrod cho phép nhận biết sự khác nhau của các không gian mà cấu trúc vành đối đồng điều không thể nhìn thấy. Lược sử việc phát hiện ra các toán tử này được tóm tắt như sau. Bằng cách dùng đồng điều, người ta đã phân loại được các đa tạp 2 chiều, compact, liên thông, định hướng được. Cụ thể, mọi đa tạp như thế đều đồng phôi với một xuyến với g "lỗ" M g , hay mặt cầu được gắn g "quai", với g ≥ 0 nào đó. Trong thập niên 1940, Pontrjagin viết một số bài báo đưa ra khẳng định tương tự cho những đa tạp 3 chiều, compact, liên thông, định hướng được. Nhưng sau đó, người ta tìm thấy các phản ví dụ cho điều này: tồn tại những đa tạp ba chiều như thế có cùng vành đối đồng điều nhưng không đồng phôi với nhau. Steenrod phát hiện rằng nguyên nhân của sự kiện đó là có những toán tử Sq i thực hiện việc kết nối các phần tử đối đồng điều của những đa tạp đã cho theo những cách khác nhau. Đại số sinh bởi các Sq i (i ≥ 0) với phép cộng và phép hợp thành các toán tử 6 thông thường được gọi là đại số Steenro d (mô đulô 2), và được ký hiệu là A. Cấu trúc của đại số này, sau đó, được làm sáng tỏ hơn bởi Adem [4], Cartan [63], Serre [69], và Milnor [38 ]. Cụ thể, đại số Steerod (môđulô 2) là đại số tenxơ trên các Sq i môđulô các quan hệ Adem [4]: Sq a Sq b = [ a 2 ]  k=0  b − 1 − k a − 2k  Sq a+b−k Sq k , (với 0 <a<2b). Tác động của các toán tử Steenrod lên tích đối đồng điều thỏa mãn công thức Cartan [63]: Sq k (xy)= k  i=0 Sq i (x)Sq k−i (y). Trong [69], trên cơ sở nghiên cứu bài toán xác định đối đồng điều mô đulô 2 của các không gian Eilenberg-Mac Lane, Serre chỉ ra rằng đại số Steenrod là đại số của tất cả các toán tử đối đồng điều ổn định (theo nghĩa "giao hoán với phép treo") trên phạm trù các không gian tôpô. Trong [38], Milnor thu được những kết quả đẹp và bất ngờ về đại số Steenrod khi khảo sát nó như một đại số Hopf. Nói riêng, ông chứng minh rằng đối ngẫu của đại số Steenrod là một đại số đa thức với những phần tử sinh được xác định tường minh. Adams đã xây dựng trong [1] một dãy phổ, sau này mang tên ông, với trang E 2 là đối đồng điều của đại số Steenrod Ext ∗ A (F 2 , F 2 ) và hội tụ đến thành phần 2-xoắn của nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu π S ∗ (S 0 ). Kể từ sau công trình đó, việc xác định Ext ∗ A (F 2 , F 2 ) trở thành một trong các bài toán quan trọng hàng đầu của lý thuyết đồng luân ổn định. Ext ∗ A (F 2 , F 2 ) được nghiên cứu tập trung và sâu sắc từ năm 1960 (Adams [2], Wang [56], May [36], Tangora [55], Lin [32], Lin-Mahowald [33] và rất nhiều công trình khác). Tuy nhiên, cho đến nay, nó vẫn còn là một đối tượng khó hiểu. Bài toán xác định Ext s A (F 2 , F 2 ) vẫn còn mở đối với s ≥ 5. Nhằm nghiên cứu Ext s A (F 2 , F 2 ) thông qua lý thuyết bất biến, Singer xây dựng trong [48] đồng cấu chuyển Tr s : F 2 ⊗ GL s PH ∗ (BV s ) −→ Ext s,s+∗ A (F 2 , F 2 ), trong đó BV s là không gian phân loại của nhóm 2-abel sơ cấp hạng s,vàPH ∗ (BV s ) là không gian con của H ∗ (BV s ) gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương. Ông chỉ ra rằng Tr s là một đồng cấu rất thực chất (không tầm thường). 7 Nói riêng, Tr s là một đẳng cấu với s =1, 2 và Tr := ⊕ s Tr s là một đồng cấu đại số. Năm 1991, Boardman [6] khẳng định thêm giá trị của đồng cấu chuyển khi chứng minh Tr 3 cũng là một đẳng cấu. Từ đó, đồng cấu chuyển đại số Tr được kỳ vọng là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod. Đặc biệt, Singer đưa ra giả thuyết sau đây. Giả thuyết 1. (W. M. Singer [48, Giả thuyết 1.1]) Đồng cấu chuyển Tr s : F 2 ⊗ GL s PH ∗ (BV s ) −→ Ext s,s+∗ A (F 2 , F 2 ) là một đơn cấu với mọi s ≥ 0. Đồng cấu Tr s được xây dựng trong [48] hoàn toàn bằng công cụ đại số. Tuy nhiên, nó được chỉ ra là ánh xạ cảm sinh bởi đồng cấu chuyển hình học tr s : π ∗ ((BV s ) + ) → π ∗ (S 0 ) trên trang E 2 của dãy phổ Adams (xem Kahn-Priddy [30], Mitchell [40], Singer [48]). Đối ngẫu của PH ∗ (BV s ) là F 2 ⊗ A P s , trong đó P s là đại số đa thức trên s biến, mỗi biến có bậc bằng 1. Bài toán xác định một cơ sở cho không gian véctơ phân bậc F 2 ⊗ A P s (hay là xác định một hệ sinh tối thiểu của P s xem như một A-mô đun) chính là nội dung bài toán "hit" đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu Tôpô đại số (Peterson [43], Singer [47, 48], Wood [60], Priddy [45], Kameko [31], Alghamdi-Crabb-Hubbuck [5], N. H. V. Hưng [18]- [22], N. H. V. Hưng-T. N. Nam [23, 24], Bruner-Hà-Hưng [10], T. N. Nam [67], N. Sum [54]). Liulevicius có lẽ là người đầu tiên chỉ ra rằng tồn tại các toán tử Sq i : Ext s,s+d A (F 2 , F 2 ) → Ext s+i,2(s+d) A (F 2 , F 2 ) trên đối đồng điều của đại số Steenrod có hầu hết các tính chất của toán tử Steenrod tác động trên đối đồng điều của không gian tôpô (xem [35]). Tuy nhiên, điểm khác biệt là Sq 0 : Ext s,s+d A (F 2 , F 2 ) −→ Ext s,2(s+d) A (F 2 , F 2 ) không là ánh xạ đồng nhất. Ngày nay, nó được gọi là toán tử squaring cổ điển. Trong khi giải bài toán "hit" với s ≤ 3, Kameko [31] xây dựng toán tử Sq 0 :(F 2 ⊗ GL s PH ∗ (BV s )) d −→ (F 2 ⊗ GL s PH ∗ (BV s )) 2d+s trên miền xác định của đồng cấu chuyển như là một dạng tương tự của toán tử squaring cổ điển. Thật ra, trong công trình nói trên, Kameko không ký hiệu toán tử này là Sq 0 , ông cũng không nhận ra mối quan hệ của nó với toán tử squaring cổ điển. Boardman [6] và Minami [39] sau đó chỉ ra rằng toán tử nói trên, sau này được gọi là toán tử squar- 8 ing Kameko, giao hoán với toán tử Sq 0 trên Ext s,s+∗ A (F 2 , F 2 ) qua đồng cấu chuyển đại số Tr s : Ext s,s+∗ A (F 2 , F 2 ) → F 2 ⊗ GL s PH ∗ (BV s ). Nhóm tuyến tính tổng quát GL s tác động chính qui trên V s , và do đó, trên H ∗ (BV s ) cũng như trên H ∗ (BV s ). Hơn nữa, các tác động của A và của GL s trên H ∗ (BV s ) giao hoán với nhau. Do đó, tác động chính qui của A trên H ∗ (BV s ) cảm sinh một tác động của A trên F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s ). Nhận xét rằng F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s ) là đối ngẫu của đại số Dickson [14] gồm tất cả các phần tử của H ∗ (BV s ) bất biến dưới tác động của GL s . Trong [18], N. H. V. Hưng phát hiện ra rằng tồn tại một toán tử, cũng được gọi là squaring, Sq 0 : P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) d −→ P(F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) 2d+s , là một dạng tương tự của toán tử squaring cổ điển, và tương thích với toán tử squar- ing Kameko. Ông [21] chứng minh rằng các toán tử Sq 0 trên Ext s,s+∗ A (F 2 , F 2 ) và trên P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) giao hoán với nhau qua đồng cấu Lannes-Zarati ϕ s : Ext s,s+∗ A (F 2 , F 2 ) −→ P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )). Để hiểu ý nghĩa của công trình này của N. H. V. Hưng, chúng tôi nói qua vài nét về Giả thuyết cổ điển về lớp cầu và Đồng cấu Lannes - Zarati. Lấy Q 0 S 0 là thành phần chứa điểm gốc của QS 0 = lim n Ω n S n . Nhóm đồng luân của thành phần Q 0 S 0 chính là nhóm đồng luân ổn định tại điểm gốc của S 0 . Bài toán tìm ảnh của đồng cấu Hurewicz H : π S ∗ (S 0 ) ∼ = π ∗ (Q 0 S 0 ) → H ∗ (Q 0 S 0 ; F 2 ) được đặt ra khoảng 40 năm trước, nhưng chưa được giải quyết. Giả thuyết cổ điển về lớp cầu là một phán đoán khó liên quan đến bài toán này: đồng cấu Hurewicz chỉ phát hiện được các phần tử của π S ∗ (S 0 ) có bất biến Hopf bằng 1 hoặc bất biến Kervaire bằng 1. (Xem Curtis [13], Snaith- Tornehave [50], Wellington [57].) Đồng cấu Lannes-Zarati, được xây dựng trong [64, 66], như là một phân bậc liên kết của đồng cấu Hurewicz H : π S ∗ (S 0 ) ∼ = π ∗ (Q 0 S 0 ) → H ∗ (Q 0 S 0 ) trên trang E 2 của dãy phổ Adams hội tụ đến π S ∗ (S 0 ) (xem Lannes-Zarati [65], Goerss [16]). Mặt khác, trong dãy phổ Adams hội tụ về π S ∗ (S 0 ), các phần tử với bất biến Hopf bằng 1 hoặc bất biến Kervaire bằng 1 được đại diện bởi các chu kỳ vĩnh cửu nào đó trong Ext 1,∗ A (F 2 , F 2 ) và trong Ext 2,∗ A (F 2 , F 2 ); trên các lớp này ϕ 1 và ϕ 2 không tầm thường (xem Adams [2], Browder [8], Lannes-Zarati [66]). Từ đó, N. H. V. Hưng đưa ra dạng đại số của Giả thuyết cổ điển về các lớp cầu như sau. 9 Giả thuyết 2. (N. H. V. Hưng [18, Giả thuyết 1.2]) Đồng cấu Lannes-Zarati ϕ s : Ext s,s+d A (F 2 , F 2 ) −→ P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) d bằng 0 tại mọi phần tử có gốc d dương với s>2. Giả thuyết này đã được N. H. V. Hưng chứng minh cho s =3, 4 trong [18, 21]. Mặt khác, N. H. V. Hưng và F. P. Peterson [26] chứng minh rằng ϕ := ⊕ s ϕ s là một đồng cấu đại số và trên cơ sở đó chỉ ra rằng đồng cấu này bằng 0 trên mọi phần tử phân tích được có chiều đồng điều lớn hơn 2. Vì vậy, để chứng minh phần còn lại của Giả thuyết 2, ta chỉ cần xét ϕ s trên các phần tử không phân tích được. Mối liên hệ giữa ba toán tử squaring nói trên với đồng cấu chuyển đại số và đồng cấu Lannes-Zarati có thể tóm lược bởi biểu đồ giao hoán sau. (F 2 ⊗ GL s PH ∗ (BV s )) d ✲ Tr s Ext s,s+d A (F 2 , F 2 ) ✲ ϕ s P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) d ❄ ❄ ❄ Sq 0 Sq 0 Sq 0 (F 2 ⊗ GL s PH ∗ (BV s )) 2d+s ✲ Tr s Ext s,2(s+d) A (F 2 , F 2 ) ✲ ϕ s P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) 2d+s . N. H. V. Hưng chỉ ra trong [18] rằng hợp thành j ∗ s = ϕ s ◦ Tr s : F 2 ⊗ GL s PH ∗ (BV s ) → P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) là đồng cấu cảm sinh từ phép đồng nhất trên V s , và các toán tử Sq 0 trên F 2 ⊗ GL s PH ∗ (BV s ) và trên P(F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) giao hoán với nhau qua j ∗ s . Hơn nữa, ông cùng với T. N. Nam [23] chứng minh rằng j ∗ s =0với mọi s>2. Đây chính là câu trả lời khẳng định cho dạng yếu của Giả thuyết cổ điển về các lớp cầu. Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu hai vấn đề sau đây. Thứ nhất, chúng tôi bước đầu khảo sát đồng cấu chuyển đại số hạng 5 trong mối liên hệ với Giả thuyết 1 của Singer. Như đã nói ở trên, Tr s là một đẳng cấu với s =1, 2, 3 (xem Singer [48], Boardman [6]). Tr 4 đã được khảo sát hoàn toàn đầy đủ bởi Bruner-Hà- Hưng [10], N. H. V. Hưng [22], L. M. Hà [17], T. N. Nam [68], và Hưng-Quỳnh [28]. Với số chiều đồng điều s ≥ 5, N. H. V. Hưng chỉ ra rằng tồn tại vô số bậc mà tại đó Tr s không là một đẳng cấu (xem [22, Định lý 1.2]). Điều khác lạ của chứng minh Định lý 1.2 trong [22] là ở chỗ: ta vẫn chưa biết tại những bậc đó Tr s không là một toàn cấu hay không là một đơn cấu. Do vậy, Giả thuyết 1 cho đến nay vẫn còn để ngỏ. Bàn về giả thuyết này, 10 Định lý 1.5 của N. H. V. Hưng trong [22] nói rằng nếu Tr s phát hiện được một phần tử tới hạn, thì Tr s không là đơn cấu, và hơn nữa, Tr k không là đơn cấu tại vô hạn bậc với mỗi k>s. Trong đó, một phần tử được gọi là tới hạn nếu nó bị triệt tiêu bởi toán tử squaring cổ điển và gốc của nó thỏa mãn một điều kiện số học nào đó (xem [22, Định nghĩa 5.2]). Chẳng hạn, P (h 2 ) là phần tử tới hạn có bậc đồng điều nhỏ nhất. Hơn nữa, tích của P (h 2 ) với các phần tử Adams h n sinh ra các phần tử tới hạn tại các bậc đồng điều lớn hơn 5 (xem [22, Mệnh đề 5.5]). Vì thế, chúng tôi muốn kiểm chứng khả năng áp dụng Định lý 1.5 của [22] cho phần tử P (h 2 ). Câu hỏi đặt ra là liệu phần tử P (h 2 ) có nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển hay không. Nếu P (h 2 ) ∈ Im( Tr 5 ), thì Tr 5 không là một đơn cấu, và do đó Giả thuyết 1 của Singer bị bác bỏ. Tuy nhiên, theo quan điểm của Định lý 1.5 trong [22], kết quả của chúng tôi ở Chương II về phần tử P (h 2 ) phần nào "ủng hộ" Giả thuyết 1 của Singer. (Xem Định lý 1.) Thứ hai, chúng tôi khảo sát toán tử squaring Sq 0 trên đối ngẫu của đại số Dickson P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) với s ≥ 3. Tác động của Sq 0 trên môđun nói trên đã được mô tả tường minh với s ≤ 4 (xem N. H. V. Hưng [18, §5]). Một mặt, chúng tôi nghiên cứu tính "đẳng cấu ở tận cùng" của toán tử Sq 0 (xem Định lý 2). Hiện tượng này tương tự với thuộc tính của toán tử squaring Kameko được N. H. V. Hưng phát hiện trong [22]: Xuất phát từ một bậc bất kỳ của F 2 ⊗ GL s PH ∗ (BV s ) và tác động toán tử squaring Kameko Sq 0 liên tiếp (s − 2) lần, ta sẽ rơi vào một miền mà tại đó Sq 0 trở thành một đẳng cấu. Tính "đẳng cấu ở tận cùng" của toán tử squaring trên P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) cho chúng ta một số thông tin về không gian này (xem Hệ quả III.3.2). Lưu ý rằng P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) được xác định hoàn toàn với s ≤ 5, và còn chưa được biết với s>5. Mặt khác, chúng tôi xác định một số điều kiện trên các bậc của P(F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) tại đó Sq 0 triệt tiêu. Các kết quả theo hướng này được ứng dụng hiệu quả vào việc nghiên cứu dạng đại số của Giả thuyết cổ điển về lớp cầu (xem Hệ quả 5, Mệnh đề 6, Mệnh đề 7). Luận án được chia làm 3 chương. Trong Chương I, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản được dùng trong phần chính của luận án, bao gồm đại số Steenrod, lý thuyết bất biến và đối bất biến, các toán tử squaring. Các kết quả mới của luận án được trình bày trong Chương II và Chương III. Trong Chương II, chúng tôi chứng minh khẳng định sau. 11 Định lý 1. Phần tử P (h 2 ) ∈ Ext 5,16 A (F 2 , F 2 ) không nằm trong ảnh của đồng cấu chuyển Tr 5 :(F 2 ⊗ GL 5 PH ∗ (BV 5 )) 11 → Ext 5,16 A (F 2 , F 2 ). Khẳng định này cho thấy Định lý 1.5 của N. H. V. Hưng trong [22] không áp dụng được cho phần tử tới hạn P (h 2 ). Do đó, theo quan điểm của định lý này, ta có thêm một sự kiện "ủng hộ" Giả thuyết 1 của Singer về tính đơn cấu của đồng cấu chuyển. Không gian (F 2 ⊗ GL 5 PH ∗ (BV 5 )) 11 là đối ngẫu của (F 2 ⊗ A P 5 ) GL 5 11 , trong đó P 5 là đại số đa thức trên 5 biến, mỗi biến có bậc bằng 1. Bước mẫu chốt trong chứng minh Định lý 1 là khẳng định rằng (F 2 ⊗ A P 5 ) GL 5 11 =0(xem Mệnh đề II.3.1). Lưu ý rằng, bằng việc sử dụng máy tính, R. R. Bruner chỉ ra rằng (F 2 ⊗ A P 5 ) 11 là một không gian véctơ 315 chiều, và không gian con các GL 5 -bất biến của nó có số chiều bằng 0. Để chứng minh (F 2 ⊗ A P 5 ) GL 5 11 =0, thay vì đi tìm một cơ sở gồm 315 phần tử của (F 2 ⊗ A P 5 ) 11 (khá lớn và tương đối khó), chúng tôi dùng một số lập luận thay thế trên một hệ sinh của không gian đó. Trong Chương III, chúng tôi trình bày các kết quả thu được trong nghiên cứu toán tử squaring Sq 0 trên P(F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) và các ứng dụng của nó trong khảo sát dạng đại số của Giả thuyết cổ điển về các lớp cầu. Gọi D s là đại số Dickson [14] gồm tất cả các GL s -bất biến của H ∗ (BV s ), D s = H ∗ (BV s ) GL s = F 2 [Q s,0 , ,Q s,s−1 ], trong đó Q s,i là bất biến Dickson có bậc 2 s − 2 i . Đặt d(i 0 , ,i s−1 ) ∈ F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s ) là đối ngẫu của đơn thức Q i 0 s,0 Q i s−1 s,s−1 theo cơ sở gồm tất cả các đơn thức của D s theo các biến Q s,0 , ,Q s,s−1 . Định lý sau đây, cũng được đánh số như Định lý III.3.1, là kết quả thứ nhất của Chương III. Định lý 2. Toán tử squaring Sq 0 : P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) → P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) là một đẳng cấu trên ảnh của nó Im(Sq 0 ). Hơn nữa, nếu d(i 0 , , i s−1 ) ∈ P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) thì Sq 0 d(i 0 , , i s−1 )=      d(s − 2, 2i 1 +1, , 2i s−1 +1), nếu i 0 = s − 2, 0, nếu trái lại. Dãy {a i | i ≥ 0} gồm các phần tử trong P (F 2 ⊗ GL s H ∗ (BV s )) (hoặc trong F 2 ⊗ GL s PH ∗ (BV s ), hay trong Ext s A (F 2 , F 2 )) được gọi là một họ Sq 0 nếu a i = Sq 0 (a i−1 ) với mọi i>0. Một họ 12 [...]... ra trong [4] Tiên đề 6 và Tiên đề 7 là hệ quả của năm tiên đề đầu tiên Các tiên đề này xác định duy nhất toán tử Sq i (Xem [53, Chương VII].) Serre [69] chứng minh rằng cùng với phép cộng và phép hợp thành các toán tử thông thường, các toán tử Steenrod sinh ra tất cả các toán tử đối đồng điều ổn định (theo nghĩa "giao hoán với phép treo") Đại số các toán tử đối đồng điều ổn định được gọi đại số Steenrod. .. squaring cổ điển (Liulevicius [35]), toán tử squaring Kameko (Kameko [31]), và toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson (N H V Hưng [18]) I.3.1 Toán tử squaring cổ điển Theo Liulevicius [35], tồn tại các toán tử squaring s+i,2(s+d) Sq i : Exts,s+d (F2 , F2 ) → ExtA A (F2 , F2 ), có hầu hết các tính chất như toán tử Steenrod Sq i tác động trên đối đồng điều của các không gian tôpô Nói riêng, (1)... ); (3) các toán tử Sq i (i ≥ 0) thỏa mãn công thức Cartan Tuy nhiên, Sq 0 A không là ánh xạ đồng nhất, và được gọi là toán tử squaring cổ điển 22 Toán tử squaring cổ điển Sq 0 có thể được xây dựng đơn giản như sau Gọi A∗ là đối ngẫu của A, và F : A∗ → A∗ là đồng cấu Frobenius cho bởi F (ξ) = ξ 2 Khi đó, Sq 0 chính là đồng cấu được cảm sinh từ đối ngẫu của F , F∗ : A → A, trên đối đồng điều của A, s,2(s+d)... tính của đại số Steenrod Ta nói một phần tử bậc g của A là không phân tích được nếu nó không là một tổng các tích của các phân tử nào đó bậc nhỏ hơn g s Định lý I.1.2 ([53, Chương I, Định lý 4.3]) Phần tử Sq 2 là không phân tích được, và s đại số Steenrod A được sinh bởi Sq 0 và Sq 2 với s ≥ 0 18 I.1.2 Đại số Steenrod là một đại số Hopf Cho A là một đại số phân bậc có đơn vị Khi đó, A được gọi là một đại. .. v11 vpp ⊗ v1p+1 vqs , ∆s , do đó là một đẳng cấu không gian véctơ và cảm sinh một đồng cấu đối tích trên ∆ = s≥0 trên Γ = s≥0 Γs Lưu ý rằng Γ∧ không là đối đại số con của Γ (chẳng hạn ψ1,1(Q−1Q2 ) = 2,0 2,1 −1 2 v1 ⊗ v1 + 1 ⊗ v1) Tuy nhiên, Γ∧ đẳng cấu với một đối đại số thương của Γ, và hơn nữa, Γ∧ đẳng cấu với đối ngẫu của đại số (vi phân) Λ trong [7] (xem [47, Định lý 8.4]) 25 Lấy A 0 Sq∗ :... ứng dụng sâu sắc trong việc nghiên cứu đồng cấu chuyển Singer (xem Boardman [6], Minami [39], Bruner-Hưng-Hà [10], N H V Hưng [22], T N Nam [68]) I.3.3 Toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson Toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson Sq 0 : P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))d −→ P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))2d+s GLs GLs do N H V Hưng xây dựng như sau Trong [18], ông xét đồng cấu Sq 0 := 1 ⊗ Sq 0 : F2 ⊗ H∗ (BVs... Bổ đề I.3.2 và Định lý 3.9 của [20] (nói rằng bao hàm Ds ⊂ Γ∧ là s biểu diễn ở mức độ dây chuyền của đồng cấu Lannes- Zarati đối ngẫu), N H V Hưng thu được định lý sau Gọi ϕs : Exts,s+∗ (F2 , F2 ) → P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) là đồng cấu Lannes- Zarati (xem LannesA GLs Zarati [66] hoặc Mục III.6) Định lý I.3.3 ([21, Định lý 3.1]) Toán tử squaring Sq 0 trên P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) giao hoán 0 với toán tử squaring cổ... qua đồng cấu Lannes - Zarati ϕs : Exts,s+∗ (F2 , F2 ) → P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) A GLs Tác động của Sq 0 trên P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) đã được xác định tường minh với s ≤ 4 trong GLs [18, §5] Trong Chương III, chúng tôi sẽ khảo sát toán tử squaring Sq 0 này với s ≥ 3 bất kỳ, và ứng dụng các kết quả thu được về Sq 0 vào nghiên cứu dạng đại số của Giả thuyết cổ điển về lớp cầu 26 Chương II Nghiên cứu bước đầu về đồng. .. đồng cấu chuyển Singer hạng 5 Nhắc lại rằng P H∗ (BVs ) là không gian con của H∗ (BVs ) gồm các phần tử bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương Trong [48], Singer định nghĩa một ánh xạ tuyến tính T rs : F2 ⊗ P H∗ (BVs ) → Exts,s+∗ (F2 , F2 ) A GLs đi từ các phần tử GLs -đối bất biến của P H∗ (BVs ) tới đối đồng điều của đại số Steenrod Singer [48] chỉ ra rằng T r := ⊕s T rs là một đồng cấu đại. .. thức chuẩn bị Trong toàn bộ luận án này, chúng tôi xét vành hệ số là trường F2 gồm hai phần tử 0 và 1 Nếu không giải thích gì thêm thì ký hiệu ⊗ dùng để chỉ tích tenxơ giữa hai môđun trên trường F2 I.1 Đại số Steenrod môđulô 2 Mục đích của mục này là nhắc lại cấu trúc của đại số Steenrod môđulô 2 trên cơ sở tài liệu [53] I.1.1 Xây dựng các toán tử Steenrod Với mọi cặp số nguyên i, n ≥ 0, và mọi không . KếtluậnChươngII 46 III Toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson và Đồng cấu Lannes - Zarati 47 1 III.1Chuẩnbị 49 III.2 Biểu diễn ở mức độ dây chuyền của toán tử squaring đối ngẫu theo các. hệ số F 2 H ∗ (X) Đối đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F 2 A Đại số Steenrod (môđulô 2) Ext ∗ A (F 2 , F 2 ) Đối đồng điều của đại số Steenrod (môđulô 2) Tor A ∗ (F 2 , F 2 ) Đồng điều. toán tử squaring Mục này nhằm nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của 3 toán tử squaring: toán tử squaring cổ điển (Liulevicius [35]), toán tử squaring Kameko (Kameko [31]), và toán tử squaring