Đang tải... (xem toàn văn)
Những kết luận mới của luận án: - Chứng minh Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu đúng khi và chỉ khi hàm mật độ là một hằng số. - Đưa ra một phân loại triệt để các đường có -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ -tuyến tính. - Chỉ ra rằng một đường cong có -vectơ vận tốc hằng và -trắc địa khi và chỉ khi nó là điểm cực tiểu của -phiếm hàm năng lượng. - Phát biểu và chứng minh được định lý kiểu Bernstein cho đồ thị -cực tiểu toàn phần trong không gian
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN LÊ NAM MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN LÊ NAM MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 62. 46. 10. 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐOÀN THẾ HIẾU TS NGUYỄN DUY BÌNH NGHỆ AN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu và TS. Nguyễn Duy Bình. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trước đó. Tác giả Trần Lê Nam ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn đầy trách nhiệm của PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu và TS. Nguyễn Duy Bình. Tác giả xin được bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới các Thầy, người đã đặt bài toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS. TS. Frank Morgan (Williams College, USA) vì sự giúp đỡ về tài liệu nghiên cứu và thảo luận những bài toán có liên quan. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Sư phạm Toán học, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh, - Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp, về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Trần Lê Nam iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 1 MỞ ĐẦU 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10 1.1 Đa tạp với mật độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Mảnh tham số của siêu mặt trong R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Độ cong trung bình và độ cong Ricci trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Bất đẳng thức và tích phân cần sử dụng trong luận án. . . . . . . . . 17 1.5 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG VÀ TRÊN ĐA TẠP VỚI MẬT ĐỘ 19 2.1 f-độ cong của đường cong phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Định lý Gauss-Bonnet suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Định lý kiểu Fenchel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6 Đường f-trắc địa cực tiểu trên đa tạp với mật độ. . . . . . . . . . . . . . 44 2.7 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Chương 3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA MẶT TRONG KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ 50 3.1 f-độ cong trung bình của siêu mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Hình học định cỡ trên đa tạp với mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Siêu mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 Siêu mặt trong không gian G n × R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5 Mặt 2-chiều trong không gian với mật độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.6 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Kết luận chung và kiến nghị 75 Danh mục công trình 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 iv 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Kí hiệu Ý nghĩa B n R Hình cầu tâm O bán kính R trong R n G n Không gian Gauss n-chiều G Độ cong Gauss G f Độ cong Gauss theo mật độ H Độ cong trung bình H f Độ cong trung bình theo mật độ Hess f Ma trận Hesse của hàm f k f f-độ cong của đường cong phẳng n, N Vectơ pháp của đường cong hoặc siêu mặt S n−1 R Siêu mặt cầu tâm O bán kính R trong R n df dn Đạo hàm của hàm f theo hướng vectơ n d Phần tử độ dài Riemann d f Phần tử độ dài theo mật độ e −f dA Phần tử diện tích Riemann dA f Phần tử diện tích theo mật độ e −f dV Phần tử thể tích Riemann dV f Phần tử thể tích theo mật độ e −f r(x) r(x) = x 2 1 + ··· + x 2 n , với x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n T p Σ Không gian tiếp xúc của Σ tại p δ ij Ký hiệu Kronecker ∆f Laplacian của hàm f ∇f Gradient của hàm f, tức là ∇f = df dx i ∇ X Y Đạo hàm hiệp biến của trường vectơ Y dọc X α(t) Tham số hóa của đường cong α ∂R Biên của miền R |x| Chuẩn của vectơ x p. i Trang thứ i trong tài liệu trích dẫn Kết thúc chứng minh 2 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann (M n , g) với một hàm trơn, dương, thường được dùng là e −f ở đó f là một hàm trơn, được sử dụng làm trọng số cho thể tích k-chiều (1 ≤ k ≤ n). Trong luận án, chúng tôi dùng các khái niệm f-thể tích, f-diện tích, f-độ dài, f-độ cong trung bình, f-độ cong, f-trắc địa, siêu mặt f-cực tiểu, siêu mặt f-ổn định lần lượt để chỉ thể tích, diện tích, độ dài, độ cong trung bình, độ cong của đường cong phẳng, đường trắc địa, siêu mặt cực tiểu, siêu mặt ổn định theo mật độ. Đây là một phạm trù mới, có nhiều ứng dụng trong Toán học, Vật lý. Đặc biệt, không gian Gauss, tức là R n với mật độ 1 (2π) n/2 e −|x| 2 /2 , được nhiều nhà xác suất quan tâm. Do đó, việc tìm hiểu hình học vi phân trên đa tạp với mật độ không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn. Nhận thấy vai trò quan trọng của đa tạp với mật độ, giáo sư F. Morgan đã đề ra một dự án "rất quan trọng" là "tổng quát hóa toàn bộ hình học vi phân cổ điển lên đa tạp với mật độ". Trong dự án đó, ông và các cộng sự đã đạt được nhiều kết quả về bài toán đẳng chu, tổng quát một số định lý cổ điển của lý thuyết đường lên mặt phẳng với mật độ. Chẳng hạn, C. Ivan và các đồng nghiệp đã mở rộng Định lý Gauss-Bonet (xem [40]); F. Morgan đã chứng minh Định lý Myers với mật độ (xem [50]). Họ cũng chứng minh được nghiệm của bài toán đẳng chu trong không gian với mật độ nếu tồn tại thì biên của nó phải có f-độ cong trung bình hằng (xem [40]). Do đó, việc khảo sát tính chất hình học của siêu mặt có f-độ cong trung bình hằng, đặc biệt các siêu mặt f-cực tiểu là cần thiết. Bên cạnh đó, các nhà nghiên cứu cũng chỉ ra một số kết quả về lý thuyết đường không còn đúng khi được gia thêm mật độ. Qua đó, chúng ta thấy rằng có rất nhiều vấn đề về lý thuyết đường trong không gian với mật độ cần được nghiên cứu như: Định lý nào của hình học vi phân đặc trưng cho mặt phẳng Ơclit? Các định lý nào có thể mở rộng lên mặt phẳng với mật độ? Phân loại các đường có f-độ cong hằng trên các mặt phẳng với mật độ, khảo sát các đường f-trắc địa trên đa tạp với mật độ. Lý thuyết mặt trong không gian với mật độ cũng là một lĩnh vực nghiên cứu đang rất thời sự. Những năm gần đây, I. Corwin và các cộng sự đã cho một số ví dụ và tính chất về các mặt có f-độ cong trung bình hằng (xem [40]). D. T. Hieu 3 và N. M. Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ f-cực tiểu, mặt tịnh tiến f-cực tiểu trong không gian với mật độ log-tuyến tính (xem [32]). D. T. Hieu đã áp dụng phương pháp dạng cỡ cho đa tạp với mật độ vào khảo sát tính f-ổn định của một số lớp siêu mặt đặc biệt (xem [33]). T. H. Colding, W. P. Minicozzi II và S. J. Kleene đã đưa ra một số tính chất hình học của mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss (xem [18], [45]),. . . Một số định lý cổ điển của hình học vi phân về siêu mặt cực tiểu cũng được chứng minh trong không gian với mật độ cụ thể như: Định lý Bernstein, Định lý Liouville, bất đẳng thức Simons (xem [8], [36], [57]),. . . Các kết quả đó cho thấy lý thuyết mặt nói chung, lý thuyết mặt cực tiểu nói riêng biến đổi rất đa dạng khi được gia thêm mật độ. Do đó, việc khảo sát các định lý của siêu mặt f-cực tiểu trong không gian với một số mật độ quen thuộc là rất đáng quan tâm và cần thiết. Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là "Một số tính chất của đường và mặt trong không gian với mật độ". 2 Mục đích nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu lý thuyết đường và lý thuyết mặt trong không gian với mật độ theo các mục đích sau: . (a) Khảo sát Định lý bốn đỉnh và mở rộng Định lý Fenchel trên các mặt phẳng với mật độ; (b) Phân loại các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính; (c) Nghiên cứu các tính chất của đường f-trắc địa cực tiểu trên đa tạp với mật độ; (d) Chứng minh một số định lý kiểu Bernstein trên không gian Gauss, không gian G n × R và trên các không gian với mật độ tổng quát; (e) Chứng minh định lý kiểu Bernstein cho mặt f-cực tiểu trong không gian G 2 × R n−2 , với n ≥ 3. 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Lý thuyết đường và lý thuyết mặt trong không gian với mật độ. 3.2 Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu các vấn đề sau: . • Các định lý cổ điển của lý thuyết đường trên mặt phẳng với mật độ như: Định lý bốn đỉnh, Định lý Fenchel; 4 • Phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ; • Khảo sát tính chất hình học của các đường f-trắc địa cực tiểu; • Siêu mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss và không gian với mật độ tích; • Các định lý kiểu Bernstein trong các không gian với mật độ cụ thể. 4 Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong khi thực hiện đề tài. Về mặt kỹ thuật, luận án sử dụng 4 phương pháp chính. Đó là phương pháp giải phương trình vi phân để xác định tham số hóa của các đường cong có f-độ cong hằng, các mặt f-cực tiểu; phương pháp biến phân để xác định tham số của các đường f-trắc địa cực tiểu, xác định các biến phân f-diện tích; phương pháp dùng dạng cỡ để chứng minh các tính chất cực tiểu diện tích; phương pháp dùng các ước lượng gradient, ma trận của dạng cơ bản thứ hai và dùng nguyên lý cực đại để chứng minh các định lý kiểu Bernstein. 5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Như chúng ta đã thấy, đa tạp với mật độ là một lĩnh vực nghiên cứu rất mới và hấp dẫn. Các kết quả mang tính thời sự, có nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý. Đặc biệt, các tính chất hình học của đường và siêu mặt biến đổi rất đa dạng khi được gia thêm mật độ. Do đó, việc nghiên cứu về lý thuyết đường và lý thuyết mặt trên các không gian với mật độ là đáng quan tâm và cần thiết. Những kết quả đạt được sẽ góp phần làm phong phú thêm sự hiểu biết về hình học vi phân của đường và mặt trong không gian với mật độ. Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô. 6 Tổng quan và cấu trúc của luận án 6.1 Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án Trên đa tạp với mật độ (M n , g, e −f dV ), D. Barky - M. Émery, M. Gromov (xem [3], [30]) đề xuất mở rộng độ cong trung bình và độ cong Ricci của một siêu mặt lần lượt là H f = H + 1 n −1 df dN , [...]... niệm không gian Gauss là khái niệm không gian với mật độ cầu 1.1.5 Định nghĩa ([40]) Không gian Rn với mật độ e−f (r) , ở đó r là hàm khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đang xét, f là một hàm trơn trên R+ , được gọi là không gian với mật độ cầu 1.1.6 Ví dụ ([40]) Không gian Rn với mật độ e n i=1 ai xi +b n , ai , b ∈ R, i=1 a2 = i 0, được gọi là không gian với mật độ log-tuyến tính Trong không gian. .. hằng số c ∈ R 1.5 Kết luận Chương 1 Trong Chương 1, luận án giới thiệu một số kiến thức cần thiết bao gồm: - Các khái niệm đa tạp với mật độ, không gian Gauss, đa tạp tích với mật độ tích, không gian với mật độ cầu và log-tuyến tính, f -độ dài, f -diện tích và f -thể tích - Các khái niệm ánh xạ Weingarten, độ cong chính, phương chính, độ cong trung bình của một mảnh tham số của siêu mặt trong không gian. .. rộng (xem [20], [40]), tính duy nhất của đường trắc địa trên mặt phẳng với mật độ có độ cong Gauss suy rộng âm (xem [12]), Định lý Myers trên mặt phẳng và không gian với mật độ (xem [50]), Định lý Liouville trên không gian với mật độ (xem [8], [36]), Tuy nhiên, một số định lý cổ điển không còn đúng khi gia thêm mật độ Chẳng hạn, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu là không đúng (xem [31])... tiến của dòng mở rộng với một lực tác động (with a forcing term) dạng ∂ xt = −(H + b).N, b ∈ R ∂t Khi đó, f -độ cong trung bình của xt trên Rn+1 với mật độ log-tuyến tính là một hằng số (xem [19], [22], [24], [37], [53]) Như vậy, các mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss, không gian Rn với mật 2 độ e|x| /4 và không gian với mật độ log-tuyến tính là các trường hợp đặc biệt của nghiệm tự đồng dạng của. .. thức tính độ cong trung bình trong hệ tọa độ địa phương Công thức tính độ cong trung bình của đồ thị của một hàm trơn - Các khái niệm độ cong trung bình, độ cong Ricci của một đa tạp con k-chiều trong một đa tạp Riemann - Giới thiệu 1 bất đẳng thức và 4 tích phân cần sử dụng trong các chứng minh ở Chương 2 19 Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG VÀ TRÊN ĐA TẠP VỚI MẬT ĐỘ Trong. .. g) với mật độ e−f Các ví dụ sau cho thấy đa tạp với mật độ xuất hiện một cách tự nhiên trong Toán học và Vật lý 1.1.2 Ví dụ Xét đường cong trên nửa mặt phẳng đóng Ơclit (biên Ox) và mặt tròn xoay được sinh ra khi quay nó quanh trục Ox Khi đó, diện tích của mặt tương ứng với độ dài của đường cong trên nửa mặt phẳng với mật độ 2πy Do 11 đó, chúng ta có thể xem nửa mặt phẳng trên với mật độ 2πy là không. .. mặt f -cực tiểu, siêu mặt có f -độ cong hằng, f -độ cong Gauss hằng trong không gian và đa tạp với mật độ cũng nhận được nhiều sự quan tâm Các tác giả C Ivan, H Stephanie, Ă Vojislav và Y Xu đã chỉ ra một số mặt có f -độ cong trung bình hằng trong không gian Gauss, khảo sát một số chính chất hình học của các mặt có f -độ cong trung bình hằng (xem [40]), J M Espinar và H Rosenberg đã khảo sát tính chất. .. siêu mặt cầu là nghiệm duy nhất của bài toán đẳng chu trong không gian 2 Rn với mật độ ea|x| , a > 0, (xem [11], [48], [55]) Đối với bài toán đẳng chu trên mặt phẳng với các mật độ cụ thể, một nhóm sinh viên của trường Williams, dưới sự hướng dẫn của giáo sư F Morgan, đã có 6 một số kết quả ban đầu như: biên của miền đẳng chu trên mặt phẳng với mật độ phải có f -độ cong hằng (xem [12], [40]), tính chất. .. trình bày trong 4 bài báo [5], [31], [34] và [52] Chương 3 trình bày về lý thuyết mặt trong không gian với mật độ Mục 3.1 trình bày về khái niệm f -độ cong trung bình, biến phân thứ nhất và thứ hai của phiếm hàm f -diện tích Mục 3.2 trình bày về nguyên lý dạng cỡ trên đa tạp với mật độ, tính cực tiểu f -diện tích của đồ thị của một hàm khả vi trong không gian với mật độ Mục 3.3 trình bày về siêu mặt f... độ của một đường tham số như sau 2.3.1 Định nghĩa Cho α : [a, b] −→ R2 , e−f , t −→ α(t) là một đường tham b |kf | dt được gọi là độ cong toàn phần theo mật độ hay số trơn Đại lượng a f -độ cong toàn phần của α Với khái niệm trên, chúng ta có định lý kiểu Fenchel trên mặt phẳng với mật độ sau 2.3.2 Định lý Trên mặt phẳng R2 cho mật độ e−f với f là một hàm điều hòa Khi đó, f -độ cong toàn phần của một . lên mặt phẳng với mật độ? Phân loại các đường có f -độ cong hằng trên các mặt phẳng với mật độ, khảo sát các đường f-trắc địa trên đa tạp với mật độ. Lý thuyết mặt trong không gian với mật độ cũng. các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ; • Khảo sát tính chất hình học của các đường f-trắc địa cực tiểu; • Siêu mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss và không gian với mật độ. vậy, các mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss, không gian R n với mật độ e |x| 2 /4 và không gian với mật độ log-tuyến tính là các trường hợp đặc biệt của nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong