UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KINH NGHIỆM VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀO GIẢI TOÁN MÔN: TOÁN KHỐI LỚP 6 NHẬN XÉT CHUNG: …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ĐIỂM THỐNG NHẤT Bằng số: ……………………………………………… Bằng chữ:……………………………………………… Giám khảo số 1: ………………………………………. Giám khảo số 2: ………………………………………. NĂM HỌC 2012-2013 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THCS NGỌC KỲ KINH NGHIỆM VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀO GIẢI TOÁN MÔN: TOÁN TÊN TÁC GIẢ:VŨ THÀNH KHỞI XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG (Ký, đóng dấu) …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………. 2 Phần ghi phách SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỨ KỲ KINH NGHIỆM VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀO GIẢI TOÁN MÔN: TOÁN KHỐI LỚP 6 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP HUYỆN (Nhận xét, xếp loại, ký, đóng dấu) …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………… Tên tác giả : Trường : 3 PHẦN GHI SỐ PHÁCH ( A. ĐẶT VẤN ĐỀ I: Cơ sở lý luận. Một trong những mục tiêu cơ bản của trường THCS là đào tạo và xây dựng một thế hệ học sinh phát triển toàn diện về tri thức, đạo đức, thẩm mỹ nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển của thời đại. Muốn giải quyết bài toán khó khăn đó, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền từ ngay trong phương pháp dạy học, đặc biệt là phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinh. Toán học là một môn khoa học thể hiện rõ nhất và là môn khoa học thể hiện rõ nét tính sáng tạo, tích cực của học sinh. Để giúp học sinh học tập môn Toán có hiệu quả, người giáo viên không chỉ nắm chắc kiến thức Toán đề cập mà điều cần thiết nhất là phải có phương pháp truyền đạt thích hợp, giúp học sinh một mặt tự tìm ra hướng giải cho bài toán, một mặt vận dụng tốt kiến thức để giải quyết các vấn đề được đặt ra. II. Cơ sở thực tế. Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán nhiều năm ở cấp THCS và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi thường xuyên. Bản thân tôi thấy nhiệm vụ của người giáo viên không chỉ truyền thụ tất cả kiến thức cơ bản của Toán học, các kiến thức phổ thông mà còn khai thác và giảng dạy cho các em nhiều kiến thức mở rộng, nâng cao khác của toán, nhằm phát triển một thế hệ toàn diện và tri thức, thẩm mỹ và trí tuệ. Qua nhiều năm trực tiếp xây dựng và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các khối lớp. Tôi cảm thấy lý thuyết về lũy thừa, về số chính phương, về tính chia hết của một số…là rất rõ ràng, tuy nhiên quá trình vận dụng và kết hợp các kiến thức đó vào giải toán nâng cao là rất khó khăn đối với học sinh đầu cấp và còn rất mơ hồ đối với học sinh giỏi ở các khối lớp. Để học sinh có thể nắm vững và vận dụng một cách có hiệu quả tất cả các dạng toán đó, không chỉ cần 4 đến sự lỗ lực của các em mà mỗi giáo viên phải có một kiến thức về số học vững vàng, sâu, rộng. Bản thân mỗi người giáo viên chúng ta ngoài việc dạy học trên lớp còn phải cùng các em tham gia giải quyết các vấn đề khó phát sinh trong quá trình bồi dưỡng. Chính vì lý do đó, việc tự trau dồi kiến thức thường xuyên, tự học để nâng cao trình độ là nhiệm vụ của từng thầy, từng cô. Từ những đề tài, sáng kiến kinh nghiệm hàng năm sẽ giúp củng cố và bổ sung những kiến thức sâu, rộng đó. Với đề tài “ Vận dụng tính chất chữ số tận cùng vào giải Toán” đã được bản thân tôi đi sâu nghiên cứu trong nhiều năm giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi khối 6 sẽ phần nào giải quyết một số khó khăn trong quá trình tìm hướng giải các bài toán về số học cho các em học sinh khối THCS. Đồng thời giúp tôi có thêm kinh nghiệm trong việc đào tạo ra một thế hệ vừa hồng, vừa chuyên cho thời kỳ CNH-HĐH đất nước. Trên cơ sở thực tế từ giáo viên và học sinh, tôi cùng với các đồng chí giáo viên dạy toán trong tổ lên kế hoạch, dự kiến đối tượng ngay từ đầu năm học để áp dụng đề tài. Một mặt xây dựng nội dung chuyên đề ngắn gọn, cơ bản, xúc tích, lựa chọn các dạng toán phổ thông thường gặp nhất…để dạy thực nghiệm đội tuyển học sinh giỏi và học sinh lớp chất lượng cao. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Bài toán tìm chữ số tận cùng “CSTC” của một số tác giả viết trong hệ thập phân thường gặp ở cuối bậc tiểu học và đầu cấp THCS, có tác dụng lớn trong việc rèn tư duy cho học sinh. Việc lựa chọn cách giải nào là tùy thuộc vào yêu cầu của bài toán và kiến thức từng khối lớp. Trước khi nghiên cứu các dạng bài minh họa chúng ta cần nắm được một số tính chất liên quan đến “CSTC”: I: Các tính chất cơ bản : 1. Tính chất 1: 5 a. Các số có CSTC là 0; 1; 5; 6 khi nâng lên lũy thừa bất kỳ thì CSTC không thay đổi. b. Các số có CSTC là 4; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì CSTC không thay đổi. c. Các số có CSTC là 3; 7; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4k ( k N ∈ ) thì CSTC là 1 d. Các số có CSTC là 2; 4; 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4k ( * k N∈ ) thì CSTC là 6 2. Tính chất 2: +) Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên lũy thừa 4k+1 ( k N∈ ) bất kỳ thì CSTC vẫn không thay đổi. 3. Tính chất 3: a. Số có CSTC là 3 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 ( k N ∈ ) sẽ có CSTC là 7 b. Số có CSTC là 2 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 ( k N∈ ) sẽ có CSTC là 8 c. Số có CSTC là 8 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 ( k N ∈ ) sẽ có CSTC là 2 d. Các số có CSTC là 0; 4; 5; 6; 9 khi nâng lên lũy thừa 4k+3 ( k N∈ ) sẽ không thay đổi CSTC 4. Tính chất 4: Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy. 5. Tính chất 5: Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy. 6. Tính chất 6: a. Tích của 1 chữ số chắn với số có CSTC bằng 5 được một số có CSTC là 0 b. Tích của 1 chữ số lẻ với số có CSTC bằng 5 được một số có CSTC là 5 c. Tích của các chữ số có CSTC bằng 1 là số có CSTC bằng 1 d. Tích của các chữ số có CSTC bằng 6 là số có CSTC bằng 6 7. Tính chất 7: Một số chính phương không thể có CSTC là 2; 3; 7 hoặc 8 6 II: Các dạng bài tập liên quan đến chữ số tận cùng Dạng 1 :Tìm chữ số tận cùng của A n ( n ∈ N * ) *Nhận xét: “Nếu chữ số tận cùng của A là a, thì chữ số tận cùng của A n cũng là chữ số tận cùng của a n ”. Từ nhận xét suy ra: -Nếu A có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì A n có chữ số tận cùng tương ứng là 0, 1, 5, 6 - Nếu A có chữ số tận cùng là 4, 9 thì A 2k có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1 - Nếu A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì A 4k có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1, 1, 6 *Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 19 2008 ; 12 100 ; 12 103 Lời giải: a) 19 2008 =19 2.1004 =(19 2 ) 1004 =361 1004 361 1004 có chữ số tận cùng là 1(áp dụng tính chất 6 -c) Vậy 19 2008 có chữ số tận cùng là 1 b) 12 100 =12 4.25 =(12 4 ) 25 12 4 có tận cùng là 6 (áp dụng tính chất 1-d) ⇒ (12 4 ) 25 có chữ số tận cùng là 6 (áp dụng tính chất 6-d) Vậy 12 100 có chữ số tận cùng là 6 c) 12 103 =12 3 . 12 100 Theo chứng minh trên ta có 12 100 có chữ số tận cùng là 6 7 12 3 có chứ số tận cùng là 8 Suy ra 12 3 . 12 100 có chữ số tận cùng là 8(áp dụng tính chất 5) Vậy chữ số tận cùng của 12 103 là 8 Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 17 2007 , 19 21 ; 13 1003 Lời giải: Ta sẽ tìm cách liên hệ các luỹ thừa trên với luỹ thừa dạng A 2k , A 4k để vận dụng các tính chất trên. a. 17 2007 =17. 17 2006 =17. 17 4.501 =17.(17 4 ) 501 17 4 có chữ số tận cùng là 1 (17 4 ) 501 có chữ số tận cùng là 1 17.(17 4 ) 501 có chứ số tận cùng là 7 Vậy 17 2007 có chữ số tận cùng là 7 b. 19 21 =19. 19 2.10 suy ra 19 21 có chữ số tận cùng là 9. c. 13 1003 =13 3 . 13 4.250 suy ra 13 1001 có chữ số tận cùng là 7. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 33 66 +77 55 – 2 chia hết cho 5 Lời giải: Ta chứng minh 33 66 +77 55 -2 có tận cùng là 0 sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết cho 5 Thật vậy, 33 66 có cùng chữ số tận cùng với 3 66 , mà 3 66 =9 33 =9.9 2.16 suy ra 3 66 có chữ số tận cùng là 9, 77 55 có cùng chữ số tận cùng với 7 55 , vì 7 55 =7 3 .7 4.13 nên 7 55 có tận cùng là 3. Do đó 33 66 , 77 55 có chữ số tận cùng lần lượt là 9, 3 suy ra 33 66 +77 55 – 2 tận cùng là 0 Vậy 33 66 +77 55 – 2 chia hết cho 5 8 *Bài tập áp dụng: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 110 111 56 37 75 76 64 27 19 20 107 102 53 45 114 44 99 99 (234 5 ) 42 (579 6 ) 35 Dạng 2:Tìm hai chữ số tận cùng của A n ( n ∈ N * ) *Nhận xét: - Giả sử A có hai chữ số tận cùng là ab , B có hai chữ số tận cùng là cd Khi đó A.B và ab . cd có cùng hai chữ số tận cùng. - Nếu hai chữ số tận cùng của A là ab , thì hai chữ số tận cùng của A n cũng là hai chữ số tận cùng của ab n Chú ý: Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng có tận cùng lần lượt bằng 01, 25, 76. * Ví dụ minh họa: Ví dụ1: Tìm hai chữ số tận cùng của 4001 2 7 Lời giải: Ta có 4001 2 7 = ( ) 3999 2 4 7 = 3999 2 2401 có hai chữ số tận cùng là 01 Ví dụ 2: Chứng minh rằng : a) 12 100 + 19 21 chia hết cho 5 b) 4 1 2 7 n + + 4 1 3 4 n+ - 65 chia hết cho 100 Lời giải a. Ta có 12 100 =12 4.25 = (12 4 ) 25 12 4 có tận cùng là 6 ⇒ (12 4 ) 25 có tận cùng là 6 ⇒ 12 100 có tận cùng là 6 9 * 19 21 = 19.(19 2 ) 10 19 2 có tận cùng là 1 ⇒ (19 2 ) 10 có tận cùng là 1 ⇒ 19.(19 2 ) 10 có tận cùng là 9 ⇒ 19 21 có tận cùng là 9 * Vậy 12 100 + 19 21 có tận cùng là 5 ⇒ 12 100 + 19 21 chia hết cho 5 b. Ta sẽ chứng minh hai chữ số cuối cùng của 4 1 2 7 n + + 4 1 3 4 n+ - 65 sẽ là 00. Thật vậy 4 1 2 7 n + = 4 2.2 7 n = ( ) 4 2 2 7 n = 4. 7 k = 2401 k có hai chữ số tận cùng là 01 Mặt khác 4 1 3 4 n+ = 3.81 4 n = 10 3 4 l + =4 3 . 10 4 l = 64. 10 4 l , 10 4 l = 2 1024 l , 2 24 l = 576 l , mà 76 l có hai chữ số tận cùng là 76, do đó 4 1 3 4 n+ = 64. 10 4 l và 64.76 có cùng hai chữ số tận cùng suy ra 4 1 3 4 n+ có hai chữ số tận cùng là 64. Suy ra 4 1 2 7 n + + 4 1 3 4 n + - 65có hai chữ số tận cùng là 00 Vậy 4 1 2 7 n + + 4 1 3 4 n+ - 65 chia hết cho 100 *Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của: 5 2012 ; 7 4096 Bài 2: Chứng minh rằng: a. 7 1999 - 43 M 100 b. 33 66 +77 55 - 2 chia hết cho 10 10 [...]... ba chữ số tận cùng của An ( n ∈ N*) *Nhận xét: -Nếu 3 chữ số tận cùng của A là abc , thì ba chữ số tận cùng của An cũng n là ba chữ số tận cùng của abc ” -Chú ý: Các số có 3 chữ số tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng có tận cùng lần lượt bằng 001; 376; 625 *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Tìm 3 chữ số tận cùng của 52008 Lời giải: Ta có 52008 =54.502=(54)502 Mà 54=625 có 3 chữ số tận. .. xét: Để giải các bài toán liên quan đến chữ số tận cùng của một tích giáo viên cần hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt tính chất 4- tính chất 5 Dưới đây là một số ví dụ minh họa 11 *Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau ? a S1=9783+1789+8075+301+2779 b S2=1+32+33+34+… +330 Lời giải a Theo tính chất 4, (số tận cùng của một tổng) Ta có chữ số tận cùng của S1 là chữ số tận cùng của... tận cùng là 625 Suy ra (54)502 có 3 chữ số tận cùng là 625 Vậy 52008 có 3 chữ số tận cùng là 625 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 52012 -51000 chia hết cho 1000 Lời giải Ta có: 52012=(54)503 =625503 có 3 chữ số tận cùng là 625 ( theo trên) Tương tự 51000=(54)250 =625250 có 3 chữ số tận cùng là 625 Suy ra 52012-51000 có 3 chữ số tận cùng là 000 Vậy 52012-51000 chia hết cho 1000 Dang 4: Tìm chữ số tận cùng. .. ra chữ số tận cùng của 328+329 +330 là chữ số tận cùng của tổng 1+3+9 Vậy chữ số tận cùng của S2 là 3 Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của tích sau ? a 1.3.5.7……57.59 b 2.12.22……82.92 c 39.49.59.69….1979.1989 Lời giải: a Ta thấy trong phép nhân 1.3.5.7……57.59 có chứa thừa số 5 nên tích của phép toán là một số chia hết cho 5 Suy ra số tận cùng của phép tính là 0 hoặc 5 12 Vì phép toán là tích các số lẻ nên... liên quan đến chữ số tần cùng thì còn nhiều vấn đề Trong phạm vi đề tài này tôi chỉ vận dụng kiến thức ở đầu cấp THCS để giải quyết các bài toán Ngoài ra còn một số dạng toán đối với học sinh khối 6 không thể giải quyết được Việc đó được giải quyết trong chương trình toán tiếp theo Ngoài ra khi dạy các bài toán về chữ số tận cùng thì việc chúng ta phải củng cố kỹ năng vận dụng tính chất lũy thừa,... 4 ta có chữ số tận cùng của S là 3 Vậy S không phải số chính phương * Bài tập áp dụng: Bài tập: Tổng sau S= 12+22+32+…+302 không phải số chính phương 14 III Kết quả dạy thực nghiệm Qua nhiều năm nghiên cứu và tìm tòi, dạy thực nghiệm đề tài “ Vận dụng tính chất chữ số tận cùng vào giải Toán phần nào đã có kết quả khả quan Các em học sinh từ chỗ nhìn vào những bài toán có lũy thừa với số mũ cao, ban... chữ số tận cùng của S1 là 7 b Ta có tổng của 31, nhóm các số hạng từ trái sang phải, mỗi nhóm có 4 số hạng và còn thừa 3 số hạng cuối S2=(1+32+33+34 )+(35+36+37+38) +… +(328+329 +330) Ta thấy mỗi nhóm có chữ số tận cùng bằng 0 Suy ra chữ số tận cùng của S 2 là chữ số tận cùng của : 3 28+329 +330 Mà : 328=(34)7 =( ** 1 )7 = ** 1 329= 328.3 =( ** 1 ) 3 = ** 3 330=329.3 =( ** 3 ).3 = ** 9 Suy ra chữ số. .. là số chính phương Để giải bài toán có liên quan đến số chính phương chúng ta cần lưu ý đến tính chất 7 Ta xét ví dụ sau: *Ví dụ minh họa: Ví dụ: Chứng minh rằng S= 1+32+33+34+… +330 không phải số chính phương Lời giải Ta đa biết số chính phương không có số tận cùng là 2; 3; 7 hoặc 8 Để chứng minh S không phải số chính phương ta xét chữ số tận cùng của S Theo Ví dụ 1- b trong dạng toán 4 ta có chữ số. .. trong vận dụng lý thuyết, không có hướng giải quyết vấn đề Nay đã biết phân tích và vận dụng tương đối thành thạo, linh hoạt và đặc biết với các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán 6 đã tự mình giải quyết các bài toán linh hoạt, chính xác Không những thế các em rất hứng thú tìm tòi, biết vận dụng sáng tạo các tính chất “về chữ số tận cùng trong việc khai thác và đưa ra nhiều lời giải hay,... vào chính mình, tin vào trò Phải tự mình học tập, tự mình tìm và nghiên cứa các vấn đề dù là nhỏ nhất trong thực tế Phải thường xuyên thực nghiệm những vấn đề đúc kết đó vào giảng dạy và luôn tự hoàn thiện mình trong mọi lĩnh vực 2 Đối với trò: Chuyên đề Vận dụng tính chất chữ số tận cùng vào giải Toán là chuyên đề hẹp, nhưng rất phong phú về bài tập, một số bài rất khó Nhưng để giải được thì học sinh . xét: “Nếu chữ số tận cùng của A là a, thì chữ số tận cùng của A n cũng là chữ số tận cùng của a n ”. Từ nhận xét suy ra: -Nếu A có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì A n có chữ số tận cùng tương ứng. có chữ số tận cùng là 1 b) 12 100 =12 4.25 =(12 4 ) 25 12 4 có tận cùng là 6 (áp dụng tính chất 1-d) ⇒ (12 4 ) 25 có chữ số tận cùng là 6 (áp dụng tính chất 6-d) Vậy 12 100 có chữ số tận. hai chữ số tận cùng của A n ( n ∈ N * ) *Nhận xét: - Giả sử A có hai chữ số tận cùng là ab , B có hai chữ số tận cùng là cd Khi đó A.B và ab . cd có cùng hai chữ số tận cùng. - Nếu hai chữ số