Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên A - đặt vấn đề rong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và biết cách khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng kiến thức vào giải đợc nhiều dạng bài tập là một điều hết sức quan trọng. Đặc biệt trong mấy năm gần đây các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 THPT ngày một nâng cao. Trong đó có một phần kiến thức đợc vận dụng và ứng dụng nhiều đó là Phơng trình nghiệm nguyên. Làm thế nào để học sinh vận dụng giải tốt các bài toán có liên quan đến phơng trình nghiệm nguyên. Chuyên đề Phơng trình nghiệm nguyên là chuyên đề khó và rất rộng, nên để truyền đạt cho học sinh hiểu đợc, vận dụng đợc là vấn đề đáng suy nghĩ của giáo viên. Qua nghiên cứu và giảng dạy học sinh về Phơng trình nghiệm nguyên tôi thấy đây là vấn đề hay, giúp học sinh trau dồi t duy toán học, rèn luyện cao về tính suy nghĩ sáng tạo và tìm nhiều lời giải hay cho các bài toán, từ đó mang lại hứng thú và niềm đam mê trong học toán. Học sinh nắm chắc về Phơng trình nghiệm nguyên là chìa khoá vàng giải đợc nhiều loại toán khác nh: Toán số học, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, hệ phơng trình nghiệm nguyên T Chính vì vậy mà tôi mạnh dạn viết lên kinh nghiệm dạy Phơng trình nghiệm nguyên đã đợc đúc rút qua thực nghiệm và có kết quả tốt. Mong Hội đồng khoa học và đồng nghiệp đọc và rút kinh nghiệm cho tôi. Kinh nghiệm dạy Phơng trình nghiệm nguyên gồm hai phần chính: Phần 1: Hớng dẫn giảng dạy phần lý thuyết. Phần 2: Hớng dẫn giảng dạy phần bài tập theo từng phơng pháp. Tôi xin chân thành cảm ơn ! 1 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên B giải quyết vấn đề I - Điều tra thực trạng tr ớc khi nghiên cứu: 1- Tiến hành điều tra đối với học sinh lớp 8. Những bài toán rút gọn và tìm điều kiện của biến, thì hầu hết các em đều làm đợc phần rút gọn, còn phần tìm điều kiện của biến thì học sinh còn nhiều lúng túng. Ví dụ những bài toán sau khi rút gọn có dạng: A = 12 10 x ; A = 1 52 + + x x ; A = 1 2 23 + x xx Với điều kiện của bài toán là tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Hầu hết học sinh không giải đợc, số học sinh giải đợc chỉ chiếm tử 1- 4%. 2- Tiến hành điều tra đối với học sinh lớp 9. Những bài toán về giải phơng trình nghiệm nguyên. Ví dụ: Giải các phơng trình nghiệm nguyên: 1) 5x - 7y = 15 2) 3x 2 + 5y 2 = 345 3) x 3 - 7x 2 + 15x - 25 = 0 4) 1 111 =++ zyx 5) xy - 4x = 35 - 5 Hầu hết học sinh đều bỡ ngỡ không tìm đợc cách giải, số học sinh giải đợc chỉ chiếm 1 2%. Nhìn chung các bài toán có liên quan đến giá trị nguyên là những bài toán khó và mới đối với học sinh. Để học sinh nắm đợc cách giải các dạng toán này thì giáo viên phải tổng kết và áp dụng đợc vấn đề này. II - Ph ơng pháp nghiên cứu: Phơng pháp điều tra. Phơng pháp thống kê. Phơng pháp đối chứng. Phơng pháp phân tích, tổng hợp. Phơng pháp thực nghiệm. Bằng những phơng pháp trên tôi đã thấy đợc hiệu quả rất cao của kinh nghiệm này. Kiến thức đa ra để giảng dạy cho học sinh đảm bảo tính logíc có hệ thống từ thấp đến cao áp dụng đợc cho nhiều đối tợng học sinh. Bằng cách đa ra phần lý thuyết có liên quan trớc và hệ thống các bài tập phân theo dạng giúp học sinh khai thác tốt lý thuyết vận dụng vào giải các bài tập từ đơn giản đến phức tạp. Các bài tập đa ra cho học sinh đã đợc chọn lọc và điều tra đảm bảo đợc tính tổng quát tiêu biểu và phong phú. Với phơng pháp đa ra nội dung kiến thức từ dễ đến khó, kinh nghiệm này đáp ứng đợc yêu cầu tiếp thu của học sinh và yêu cầu giảng dạy của giáo viên theo tinh thần đổi mới PPDH. III Nội dung của kinh nghiệm. A. Giáo viên hớng dẫn học sinh phần lý thuyết theo thứ tự sau: I. Nhắc lại về phép chia hết. 1. Định nghĩa phép chia hết: 2 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên a, b z (b 0) q, r Z a =bq + r với 0 r < b - Nếu r = 0 a : b - Nếu r 0 a : b 2. Một số tính chất: a,b,c,d Z - Nếu a 0 thì a : a và 0 : a - Nếu a : b và b : c a : c - Nếu a : b và b : a a = b - Nếu a : b và a : c a : BCNN[a;b] - Nếu a : b và a : c (b,c) = 1 a : (bc) - Nếu a : b ac : b 3. Một số định lí thờng dùng. - Nếu a : c và b : c (a b) : c - Nếu a : c và b : d ab : cd - Nếu a : b a n : b n ( n nguyên dơng) *Một số hệ quả áp dụng: + a,b z và n nguyên dơng ta có (a n b n ) : (a b) + a,b z và n chẵn (n nguyên dơng) ta có (a n b n ) : (a + b) + a,b z và n lẻ (n nguyên dơng) ta có (a n + b n ) : (a + b) 4. Các dấu hiệu chia hết. + Dấu hiệu chia hết cho 2: + Dấu hiệu chia hết cho 3: + Dấu hiệu chia hết cho 4: + Dấu hiệu chia hết cho 5: + Dấu hiệu chia hết cho 8: + Dấu hiệu chia hết cho 9: + Dấu hiệu chia hết cho 10: + Dấu hiệu chia hết cho 11: Số có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Số có 2chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. Số có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0. Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 9. Số có chữ số tận cùng là 0. Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ sốhàng lẻ chia hết cho 11. II. Nhắc lại về tập hợp số nguyên: + Tập hợp số nguyên dơng Z + = {1; 2; 3 } + Tập hợp số nguyên âm Z - = {-1; -2; -3; } + Tập hợp số nguyên Z = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; } III. Nhắc lại về ph ơng trình nghiệm nguyên: Giải phơng trình nghiệm nguyên F(x,y,z,) = 0 là tìm tập hợp nghiệm (x,y,z,) trong đó x,y,z, Z . B. Giáo viên hớng dẫn học sinh giải bài tập theo từng dạng và từng phơng pháp. I. Dạng ph ơng trình ẩn đơn giản 1- Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + b = 0 a- Cách giải:( Qua 2 bớc) + Giải phơng trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x Z). b- Ví dụ : Tìm m để phơng trình mx + 3 = 0 có nghiệm nguyên 3 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên *Hớng dẫn : - Để phơng trình có nghiệm nguyên thì = Z m x m 3 0 m là ớc số của 3 m = {1; 2; 3} c- Bài tập t ơng tự: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm nguyên: a) (2m 1)x 10 = 0 b) (m 2 2)x + 36 = 0 d- Bài tập phát triển: *Bài tập 1: Tìm n N để PT (4n + 3)x - 8n = 193 có nghiệm tự nhiên. *Hớng dẫn: (4n + 3)x - 8n = 193 (4n + 3)x = 193 + 8n x = 34 187 34 68 34 8193 + + + + = + + nn n n n x = 2 + 34 187 +n Bài toán trở thành đơn giản để x N thì 34 187 +n N 4n + 3 là ớc số của 187 4n + 3 = {1; 17; 187} 4n + 3 = {17; 187} n = {2; 46} *Bài tập 2: Tìm n N để PT (n - 1)x n 3 + n 2 - 2 = 0 có nghiệm tự nhiên. *Hớng dẫn: (n - 1)x n 3 + n 2 - 2 = 0 (n - 1)x = n 3 - n 2 + 2 x = 1 2 1 2 2 23 += + n n n nn Bài toán trở thành đơn giản để x N thì 1 2 n N n - 1 là ớc số của 2 n = {2; 3} 2. Giải phơng trình nghiệm nguyên dạng ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c Z) a- Cách giải:( Qua 2 bớc) + Giải phơng trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x Z). b-Ví dụ : *Ví dụ 1 : Giải PT nghiệm nguyên 2x 2 x 3 = 0 *Hớng dẫn: 2x 2 x 3 = 0 (x + 1)(2x 3) = 0 = = 2 3 1 x x Vậy PT có nghiệm nguyên là x = -1. *Ví dụ 2: Tìm n N để PT nx 2 + (2n 3)x 6 = 0 có 2 nghiệm nguyên. *Hớng dẫn: nx 2 + (2n 3)x 6 = 0 (x + 2)(nx 3) = 0 = = n x x 3 2 4 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên - Để PT có 2 nghiệm nguyên thì x = Z n 3 vì n N n = 1 hoặc n = 3 *Ví dụ 3: Tìm a Z để phơng trình (a + 1)x 2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 có hai nghiệm nguyên lớn hơn 6. *Hớng dẫn: (a + 1)x 2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 (x 10)[(a + 1)x 20] = 0 + = = 1 20 10 a x x Để PT có 2 nghiệm nguyên lớn hơn 6 thì > + + 6 1 20 1 20 a Z a a = 0 hoặc a = 1. 3 - Phơng trình nghiệm nguyên bậc cao. a-Cách giải: - Dùng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa về dạng PT tích. b- Ví dụ: *Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của PT x 3 6x 2 + 11x 6 = 0 *Hớng dẫn: - Đa PT về dạng (x 1)(x 2)(x 3) = 0 - PT có 3 nghiệm nguyên x = 1; x = 2; x = 3. *Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của PT x 3 7x 2 + 15x 25 = 0 *Hớng dẫn: - Đa PT về dạng (x 5)(x 2 2x + 5) = 0 - Nhận xét: x 2 2x + 5 = (x 1) 2 + 4 > 0 với mọi x PT chỉ có nghiệm nguyên x = 5. *Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x 3 + (x + 1) 3 + (x + 2) 3 = (x + 3) 3 *Hớng dẫn: - Đặt y = x 3 x = y + 3 (y + 3) 3 + (y + 4) 3 + (y + 5) 3 = (y + 6) 3 2y 3 + 18y 2 + 42y = 0 2y(y 2 + 9y + 21) = 0 - Vì y 2 + 9y + 21 = (y + 2 9 ) 2 + 4 3 > 0 y = 0 x = 3 *Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của PT: 6 7 32 22 22 12 2 2 2 2 = ++ ++ + ++ ++ xx xx xx xx *Hớng dẫn: - Đặt y = 22 2 ++ xx = (x + 1) 2 + 1 1 ta đợc PT nghiệm nguyên đối với y là: 6 7 1 1 = + + y y y y 5y 2 -7y 6 = 0 y = 2 hoặc y = - 5 3 (loại) - Với y = 2 x 2 + 2x + 2 = 2 x = 0 hoặc x = - 2 II Dạng ph ơng trình nghiệm nguyên nhiều ẩn. 1-Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c (a, b, c Z) 5 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên - Điều kiện để PT có nghiệm nguyên là (a,b) = 1. Nếu (a,b) = d > 1 và c chia hết d thì phơng trình không có nghiệm nguyên. * Cách giải: - Tách phần nguyên rút ẩn có hệ số giá trị tuyệt đối nhỏ. *Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên 3x + 4y = 29 *Hớng dẫn: 3x + 4y = 29 3x = 29 4y x = 3 2 9 3 429 y y y += x,y Z 3 2 y Z 2 y = 3t (t Z) = += ty tx 32 74 *Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 5x - 7y = 15 *Hớng dẫn: - Nhận xét UCLN(5 ;15) = 5. Nên ta đặt y = 5t (t Z) Ta có : 5x - 35t = 15 x = 7t + 3. Vậy nghiệm của PT là = += ty tx 5 37 (t Z) *Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của 8x - 3y = 15 *Hớng dẫn: - PT 8x - 3y = 15 3y = 8x 15 y = 3x + 4 + 3 1 x - Đặt 1 x = 3t (t Z) x = -3t + 1 y = - 8t + 7 - Để x,y nguyên dơng thì > > 087 031 t t t < 3 1 Vậy nghiệm nguyên dơng của PT là += += 78 13 ty tx (t < 3 1 ) 2 - Giải phơng trình nghiệm nguyên dùng tính chất chia hết. * Cách giải: - Dùng tính chất chia hết để thu hẹp miền xác định của nghiệm. *Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT 3x 2 + 5y 2 = 345 *Hớng dẫn: - Vì 345 chia hết cho 3 và 345 chia hết cho 5 3x 2 : 5 x 2 : 5 x : 5 5y 2 : 3 y 2 : 3 y : 3 - Đặt x = 5a, y = 3b (a,b nguyên dơng) 3.25a 2 + 5.9b 2 = 345 5a2 + 3b2 = 23 a 2 5 23 và b 2 3 23 2a và 2b - Thử với a = 1; 2 và b = 1; 2 . Ta thấy chỉ có nghiệm nguyên dơng là x = 10; y = 3 *Ví dụ 2: Giải bài toán cổ: Trăm trâu trăm bó cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba con một bó Hỏi trâu mỗi loại ? 6 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên *Hớng dẫn: - Gọi số trâu đứng là x con. - Gọi số trâu nằm là y con. (Với x,y,z nguyên dơng) - Gọi số trâu già là z con. Theo bài ra ta có =++ =++ =++ =++ )2(300915 )1(100 100 3 35 100 zyx zyx z yx zyx - Lấy (2) - (1) 7x + 4y = 100 y = 25 2x + 4 x x: 4 x = 4t (t Z) y = 25 7t z = 75 + 3t. Ta có y > 0 t 3. Ta có các nghiệm sau : = = = = = = = = = 84 4 12 ; 81 1 8 ; 78 18 4 z y x z y x z y x *Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x 3 + 9y 3 + 9z 3 -9xyz = 0 *Hớng dẫn: - Gọi x 0 , y 0 , z 0 là nghiệm của PT Ta có x 3 0 + 9 + 9z 3 0 -9x 0 y 0 z 0 = 0 x 0 : 3 3 y 3 0 : 9 y 0 : 9 9z 3 0 : 27 z 0 : 3 - Đặt x 0 = 3x 1 ; y 0 =3y 1 ; z 0 = 3z 1 x 1 + 3y 3 1 + 9z 3 1 - 9x 1 y 1 z 1 = 0 Tơng tự trên ta có x 1 , y 1 , z 1 đều chia hết cho 3 x 0 , y 0 , z 0 đều chia hết cho 3 2 - Lập luận nhiều lần x 0 , y 0 , z 0 đều chia hết cho 3 n ( mọi n 1 ) x 0 = y 0 = z 0 = 0 3 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng cách tách phần nguyên. *Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT 5x 3y = 2xy - 10 *Hớng dẫn: 5x 3y = 2xy 10 y(2x + 3) = 5x + 10 2y = 32 5 5 32 105 + += + + xx x - Để PT có nghiệm nguyên thì 2x + 3 là ớc của 5 Chỉ có 2x + 3 = 5 x =1 y = 3 (Thoả mãn) Vậy PT có nghiệm nguyên dơng là x =1; y = 3 *Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên 14xyz + 7x + 7z = -11 22yz *Hớng dẫn: 14xyz + 7x + 7z = -11 22yz 7(xyz + x + z) = -11(1 + 2yz) x + 7 3 2 12 += +yz z x + 3 1 2 3 2 1 2 1 + += + z y = = = 3 1 2 z y x 4 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng phơng pháp bình đẳng ẩn. *Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT x + y + z = xyz *Hớng dẫn: x, y, z có vai trò bình đẳng. 7 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên Giả sử 0 < x y z xyz = x + y + z 3z xy 3 + Nếu x = y = z z 3 = 3z z 2 = 3 không xảy ra x, y, z không thể bằng nhau. + Từ xy 3 chỉ có cặp số (1; 2; 3) là nghiệm của PT. *Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT 1 111 =++ zyx *Hớng dẫn: x, y, z có vai trò bình đẳng. - Giả sử 0 < x y z xzyx 3111 ++ mà 31 3 x x x = {1; 2; 3} + Nếu x = 1 zy 11 + = 1 1 zy 11 + = 0 không xảy ra. + Nếu x = 2 zy 11 + = 2 1 dùng bình đẳng với y và z (y;z) = {(4 ; 4) ; (3 ; 6) ; (6 ; 3)} + Nếu x = 3 chỉ có y = z = 3 Vậy các cặp số sau là nghiệm của PT (2; 4 ; 4) ; (2 ; 3 ; 6) ; (3 ; 3 ;3). *Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên 3=++ y zx x yz z xy *Hớng dẫn: - Nếu trong 3 số x, y, z có cùng một số âm thì 3 = y zx x yz z xy ++ < 0 không xảy ra. - Nếu x, y, z có cùng dơng hoặc có 2 số âm thì 3 = 3++ y xz x zy z yx 3 1 . Vậy 1=== zyx 5 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng phơng pháp loại trừ. *Cách giải: - Biện luận để làm ngắn miền nghiệm. *Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT 12 x + 5 y = 13 x *Hớng dẫn: - Ta thấy x = 2 là nghiệm của PT vì 12 2 + 5 2 = 13 2 - Biến đổi PT 12 x + 5 y = 13 x 1) 13 5 () 13 12 ( =+ xx . + Nếu x > 2 x ) 13 12 ( < 2 ) 13 12 ( và x ) 13 5 ( < 2 ) 13 5 ( 1) 13 5 () 13 12 ( <+ xx không xảy ra. + Nếu x < 2 x ) 13 12 ( > 2 ) 13 12 ( và x ) 13 5 ( > 2 ) 13 5 ( 1) 13 5 () 13 12 ( >+ xx không xảy ra. Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất. *Ví dụ 2: Giải PT nghiệm nguyên x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y 2 *Hớng dẫn: 8 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y 2 (x 2 + 8x)(x 2 + 8x + 7) = y 2 , đặt z = x 2 + 8x z(z + 7) = y 2 7 0 z z - Ta có (z + 3) 2 < z(z + 7) < (z + 4) 2 với mọi z > 9. (z + 3) 2 < y 2 < (z + 4) 2 không xảy ra z 9 Vậy z -7 hoặc 0 z 9 - Thay vào ta có: (x;y) ={(-9;-12);(-9;12);(-8;0);(-7;0);(-4;-12);(-4;12);(-1;0);(0 ;0);(1;-12);(1;12)} *Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x 6 + 3x 3 + 1 = y 4 *Hớng dẫn: - Xét x > 0 ta có (x 3 + 1) 2 < x 6 + 3x 3 + 1 < (x 3 + 2) 2 (x 3 + 1) 2 < y 4 < (x 3 + 2) 2 không xảy ra. - Xét x - 2, ta có: (x 3 + 2) 2 = x 6 + 4x 3 + 4 < x 6 + 3x 3 + 1 < (x 3 + 1) 2 (x 3 + 2) 2 < y 4 < (x 3 + 1) 2 không xảy ra. x = {0; 1} thay vào ta có nghiệm là = = 1 0 y x ; = = 1 0 y x *Bài tập t ơng tự : Giải PT nghiệm nguyên (x + 2) 4 - x 4 = y 3 6 - Giải phơng trình nghiệm nguyên đa về dạng tích. *Ví dụ 1: Giải PT nghiệm nguyên dơng xy 4x = 35 - 5 *Hớng dẫn: xy 4x = 35 5 xy 4x + 5y 20 = 15 (x + 5)(y 4) = 15 x + 5 và y 4 là ớc của 15. Thay vào ta chỉ có nghiệm nguyên dơng là = = 5 10 y x *Ví dụ 2: Giải PT nghiệm nguyên dơng x 2 6xy + 13y 2 = 100 *Hớng dẫn: x 2 6xy + 13y 2 = 100 x 2 6xy + 9y 2 = 100 4y 2 (x 3y) 2 = 4(25 y 2 ) 0 y 5 và 25 y 2 là số chính phơng. Thay các giá trị của y, ta có các nghiệm nguyên dơng là : (x ;y) = {(1 ; 3) ; (17 ; 3) ; (6 ; 4) ; (18 ; 4) ; (15 ; 5)} *Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên của PT xy 2 + 3y 2 x = 108 *Hớng dẫn: xy 2 + 3y 2 x = 108 xy 2 + 3y 2 x 5 = 105 (y 2 1)(x + 3) = 105 y 2 1 là ớc của 105 Thay vào ta chỉ đợc y = 6 x = 0. Vậy PT có nghiệm tự nhiên là = = 6 0 y x Bài tập bổ sung, mở rộng Bài 1: Tìm nghiệm nguyên: a) 3x + 2y = 85 b) 3x - 5y = 7 c) 5x + 25 = - 3xy + 8y 2 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dơng: a) 7x + 4y = 85 b) 8x + 9y = 79 c) 14 111 =+ yx 9 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên Bài 3: Tìm x, y N thoả mãn 7.2 x = 3 y + 4 Bài 4: Cho đờng thẳng d có PT 2x + 3y = 11. Tìm các điểm nằm trên đờng thẳng d có toạ độ là các số nguyên và nằm trong góc phần t thứ I. Bài 5: Chứng minh rằng trên đờng thẳng 6x 2y = 1, không tồn tại điểm nào có toạ độ là các số nguyên. Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của hệ PT =+ =+ =+ 1 1 1 yzxt ytxz ztxy Bài 7 : Tìm a để HPT có có nghiệm nguyên +=+ =+ 1 2 aayx ayax Bài 8: Biết rằng PT x 2 3x + 1 = 0 có nghiệm x = a. Hãy tìm một gia trị của b Z để PT x 16 b.x 8 + 1 = 0 có nghiệm x = a. Bài 9: (Đề thi HSG lớp 9- vòng 2-Thừa Thiên Huế- 2003-2004) Tìm các số x, y, z nguyên dơng thoả mãn đẳng thức 2(y + z) = x(yz 1) Bài 10: (Đề thi vào lớp 10 -THPT- Hải D ơng - 2004-2005) Cho HPT =+ =+ 2)1( )1( ymx myxm có nghiệm duy nhất là (x; y). ? Tìm giá trị của m để biểu thức yx yx + 32 nhận giá trị nguyên. Bài 11: (Đề thi vào lớp 10 -THPT- Thái Bình- 2002-2003) Cho biểu thức K = x x x xx x x x x 2003 ) 1 14 1 1 1 1 ( 2 2 + + + + a) Rút gọn biểu thức K. b) Với những giá trị nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên ? Bài 12: (Đề thi vào lớp 10 chuyên toán- Quốc học Huế - 2002-2003) Cho biểu thức A = x x x xx x x x x 2003 ) 1 14 1 1 1 1 ( 2 2 + + + + a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị nguyên lớn hơn 8 (a Z; a > 8) để A có giá trị nguyên. IV- Kết quả đạt đ ợc 1- Kết quả chung: Sau khi dạy xong về Phơng trình nghiệm nguyên cho học sinh. Các em không những giải tốt những bài toán về Phơng trình nghiệm nguyên, mà các em còn giải đợc một số bài toán có liên quan khác nh: Dạng toán chia hết. Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Dạng toán hệ phơng trình nghiệm nguyên. Thông qua các dạng toán về Phơng trình nghiệm nguyên giúp các em học sinh phát triển t duy tốt hơn, nhiều em thể hiện rõ sự yêu thích, say mê học toán hơn. 2- Kết quả cụ thể: a- Kiểm tra 20 em học sinh lớp 8A (Khá và trung bình) với bài toán: Bài 1: Tìm số nguyên dơng x để y dơng và lớn nhất với y = 54 73 + x x 10 [...]... 10 Đặc biệt kinh nghiệm dạy Phơng trình nghiệm nguyên có tác dụng rất cao trong việc dạy bồi dỡng học sinh khá giỏi ở THCS, bồi dỡng học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh 11 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên C Kết luận T rên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi về giảng dạy Phơng trình nghiệm nguyên Đây là chuyên đề khó và rộng, đôi khi nhắc đến giải phơng trình nghiệm nguyên là học... có nghiệm nguyên - Đối với 10 em đợc học về Phơng trình nghiệm nguyên thì có 7 em giải đúng kết quả bài 1 là x = 6, y = 2 + 9 em giải đúng bài 2 ( Kết quả x = y = z = 0) + 6 em làm đúng bài 3 - Đối với 10 em cha đợc học về Phơng trình nghiệm nguyên thì chỉ có 1 em học giải đúng bài 1, 2em làm đúng bài 2 và không em nào làm đợc bài 3 V Bài học kinh nghiệm Qua kinh nghiệm về dạy Phơng trình nghiệm nguyên. .. Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên - Đối với 10 em đợc học về Phơng trình nghiệm nguyên thì có 9 em đều tách đợc 4y = 3 + 43 13 và lí luận đúng ymax = 4x 5 3 - Còn 1 em sai - Đối với 10 em cha đợc học về Phơng trình nghiệm nguyên thì chỉ có 2 em học khá giải đúng còn lại là giải sai Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dơng của các PT sau: a) 1 1 1 13 +... đồng khoa học và các bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm sau tôi viết tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn ! *Đề xuất hớng nghiên cứu kinh nghiệm tiếp theo là: - Giải hệ phơng trình nghiệm nguyên - Vận dụng phơng trình nghiệm nguyên trong hàm số và đồ thị - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Ngày 25 tháng 02 năm 2008 12 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên Tài liệu tham khảo - 1 SGK6,... trẻ, tuổi thơ 2 15 Bồi dỡng và phát triển Toán 9 13 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên Mục lục - Tên danh mục Trang A Đặt vấn đề 1 B Giải quyết vấn đề 2 I Điều tra thực trạng trớc khi nghiên cứu 2 II Các phơng pháp nghiên cứu 2 III Nội dung của kinh nghiệm 3 IV Kết quả đạt đợc 13 V Bài học kinh nghiệm 13 VI Phạm vi áp dụng kinh nghiệm 14 C Kết kuận 14 * Tài liệu tham khảo 15 14 ... với 10 em đợc học về Phơng trình nghiệm nguyên thì các em đều sử dụng tốt phơng pháp bình đẳng ẩn để giải Có 8em giải đúng, còn 2 em thiếu nghiệm - Đối với 10 em cha đợc học về Phơng trình nghiệm nguyên thì chỉ có 1 em học giải đúng còn 9 là giải sai b - Kiểm tra 20 em học sinh lớp 9A (Khá và giỏi) với bài toán: Bài 1: Giải PT nghiệm nguyên dơng 2x = 1 + 3y.7z Bài 2: Giải PT nghiệm nguyên x2 + y2 +... từ dễ đến khó + Khi giải một bài toán có vận dụng Phơng trình nghiệm nguyên trớc hết phải đoán dạng, sau đó mới chọn lựa phơng pháp để giải + Giáo viên cần hớng dẫn học sinh tổng quát hoá bài toán và chọn cách giải hay nhất + Giáo viên cần nghiên cứu các dạng toán nâng cao hơn từ các bài toán sẵn có, đã làm VI Phạm vi áp dụng kinh nghiệm Kinh nghiệm này có thể áp dụng từng phần cho học sinh khối 6,... nhắc đến giải phơng trình nghiệm nguyên là học sinh có tâm lý kinh hãi Vì vậy trong chuyên đề tôi đã đa một số dạng và phơng pháp giải cơ bản, để rèn kĩ năng cho học sinh Tác dụng của kinh nghiệm này rất bổ ích với học sinh khá giỏi Nó trau rồi t duy, rèn nếp suy nghĩ tìm toi lời giải và vận dụng cho nhiều loại bài toán khác Xong đây là phần dạy ôn tập, nên tôi không tiến hành điều tra đợc nhiều để thấy . Dạng ph ơng trình nghiệm nguyên nhiều ẩn. 1-Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c (a, b, c Z) 5 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên - Điều kiện để PT có nghiệm nguyên là. kinh nghiệm dạy Phơng trình nghiệm nguyên đã đợc đúc rút qua thực nghiệm và có kết quả tốt. Mong Hội đồng khoa học và đồng nghiệp đọc và rút kinh nghiệm cho tôi. Kinh nghiệm dạy Phơng trình nghiệm. Ví dụ : Tìm m để phơng trình mx + 3 = 0 có nghiệm nguyên 3 Kinh nghiệm giảng dạy về phơng trình nghiệm nguyên *Hớng dẫn : - Để phơng trình có nghiệm nguyên thì = Z m x m 3 0 m là ớc