SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: " THỰC HÀNH CÁC HOẠT ĐỘNG TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11" 1 Phần I. MỞ ĐẦU I. CƠ SỞ LÍ LUẬN. Thời gian gần đây đã có rất nhiều cuộc hội thảo khoa học bàn về vấn đề làm thế nào để đẩy nhanh sự phát triển của giáo dục mà nội dung then chốt là đổi mới để nâng cao chất lượng dạy và học. Một trong những phương pháp được chú ý nhất ,có tính ưu việt nhất đó là dạy học theo quan điểm hoạt động. Phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động được hình thành trên những tư tưởng chủ đạo sau. i) Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học. ii) Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động. iii) Truyền thụ tri thức ,đặc biệt là những tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả hoạt động. iv) Phân bậc hoạt động . Bản sáng kiến kinh nghiệm này trình bày về một khía cạnh nhỏ của phương pháp dạy học trên, đó là “Thực hiện các hoạt động thành phần trong quá trình dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông” mà tác giả đã trực tiếp giảng dạy và kiểm nghiệm Hoạt động dạy học phương trình lượng giác là một hoạt động phức hợp có thể chia làm nhiều hoạt động thành phần, ký hiệu một cách hình thức là 654321 ,,,,, HHHHHH . Có thể mô tả cấu trúc của hoạt động dạy học phương trình lượng giác như sau. 2 1 H :Nhận dạng phương trình: Nếu học sinh đã nhận dạng được phương trình cần giải thì chuyển qua 2 H . 2 H :Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc,giáo viên cần tiến hành gợi động cơ, hướng đích cần thiết, kết thúc 2 H thì chuyển sang 3 H . 3 H :Giải các phương trình nhận được (thể hiện phương pháp giải). 4 H :Kiểm tra các kết quả để bảo đảm không bỏ sót nghiệm,không thừa nghiệm, tránh các sai lầm phổ biến thường gặp. 5 H : Phân tích các sai lầm của học sinh để thu hoạch về tri thức toán học và tri thức phương pháp toán học. 6 H : Xét mối liên hệ với các bài toán liên quan,mở rộng bài toán bằng tương tự,khái quát hóa. Các hoạt động thành phần trên có liên quan mật thiết với nhau ,thường xuất hiện đan kết hoặc lồng vào nhau.Việc phân tích hoạt động dạy học giải phương trình thành các hoạt động trên giúp giáo viên nắm được cách thức tiến hành toàn bộ dạy học phương trình . II.CƠ SỞ THỰC TIỄN. 1.Về phía học sinh. Giải phương trình lượng giác là một nội dung rất quan trọng trong chương trình Đại số và giải tích 11,hơn nữa đây cũng là nội dung “cứng” trong cấu trúc ra đề thi đại học của Bộ GD và ĐT .Tuy nhiên khi đụng đến biến đổi lượng giác nói chung và giải phương trình lượng giác nói riêng thì học sinh còn khá lúng túng,thậm chí một bộ phận lớn học sinh còn cảm giác “sợ” nội dung này. 3 Có rất nhiều tài liệu tham khảo về giải phương trình lượng giác ,nhưng hầu hết đều chú ý đến số lượng các ví dụ nhiều hơn là đi định hướng cho học sinh có một cái nhìn sâu sắc ,bản chất . 2.Về phía giáo viên. Việc cung cấp kiến thức cho học sinh một cách chi tiết là khó khăn,bởi số tiết dành cho nội dung này là hạn chế,so với một lượng kiến thức có thể nói là rất đồ sộ.Vì vậy việc tìm ra cho mình một phương pháp giảng dạy có tính hiệu quả cao,trong một thời gian ngắn là một điều rất cần thiết đối với bất kì giáo viên nào. Do đó tôi muốn chia sẻ qua sáng kiến kinh nghiệm nhỏ này với mong muốn mang đến cho bạn đọc một cách nhìn mới trên nội dung cũ nhằm góp phần đưa những tiết học về nội dung giải phương trình lượng giác trở nên sôi động và hiệu quả hơn. Phần II THỰC HIỆN CÁC HOẠT ĐỘNG THÀNH PHẦN TRONG QUÁ TRÌNHDẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 1. Nhận dạng phương trình. Khi học giải phương trình lượng giác nhiều học sinh đã nhầm tưởng rằng sẽ học được những thuật toán tổng quát nhất cho phép giải mọi phương trình lượng giác, nhưng thực ra không có một phương pháp tổng quát nào .Các phương trình lượng giác trong chương trình phổ thông rất đa dạng về thể loại, phong phú về cách giải ,vì vậy một yêu cầu quan trọng mà giáo viên phải đạt được là giúp học sinh nhận dạng được các phương trình lượng giác khác nhau và thể hiện các phương pháp giải chúng. 4 Có nhiều cách phân dạng phương trình lượng giác ,chẳng hạn sách giáo viên Đại số và giải tích 11 Ban khoa học tự nhiên thì các phương trình lượng giác được phân loại thành: - Phương trình lượng giác cơ bản . - Một số phương trình lượng giác thường gặp (phương trình bậc nhất ,bậc hai hay phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác ,phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx ,phương trình đối xứng theo sinx và cosx). - Những phương trình lượng giác khác: Cách phân loại như vậy có ưu điểm là chi tiết ,tuy nhiên chưa nhấn mạnh đến các đặc điểm về dạng thức và phương pháp giải .Theo kinh nghiệm cá nhân tôi nhận thấy sử dụng hệ thống phân dạng nói trên với một sự thay thích hợp về cách sắp xếp ,tổ chức lại sẽ có một hệ thống phân dạng đầy đủ chi tiết tạo điều kiện giúp học sinh nhận dạng phương trình và tìm được giải pháp thể hiện phương pháp giải chúng . Trước hết, một sự phân dạng (còn rất thô) có thể chia các phương trình thành hai loại : Loại phương trình lượng giác không có tham số và loại phương trình lượng giác có tham số . Về nguyên tắc các phương trình không có tham số là những phương trình cụ thể nên phép giải chúng tương đối đơn giản .Các phương trình có tham số nhìn chung sẽ phức tạp ,vì vậy học sinh phải có khả năng phân tích để chia tập hợp các giá trị của tham số thành những bộ phận ,trong đó phương trình có dạng chung thống nhất và lập luận thống nhất về biến đổi tương đương phương trình. Chi tiết và cụ thể hơn chúng ta có thể phân dạng các phương trình lượng giác thành: I.Phương trình lượng giác cơ bản . II.Phương trình lượng giác gần cơ bản. 5 III.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. IV.Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa. V.Các phương trình lượng giác có thể biến đổi về phương trình tích . VI.Các phương trình lượng giác có điều kiện ràng buộc về ẩn. VII.Các phương trình lượng giác không mẫu mực. Các dạng IV,V ,VI,VII có thể phân dạng một cách chi tiết hơn như sau: IV1. Phương trình có thể đại số hóa. a. Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác . b. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx. c. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx. V1. Phương trình lượng giác có thể biến đổi về tích. a. Dạng asinx+bsin2x+csin3x=0. b. Dạng sử dụng công thức hạ bậc ,tích thành tổng,tổng thành tích . c. Dạng chứa những biểu thức có thừa số chung. d. Dạng phương trình có những liên quan đặc biệt. VI1. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn. a. Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức . b. Phương trình lượng giác chứa ẩn trong dấu căn. c. Phương trình lượng giác chứa ẩn trong lôgarit. d. Phương trình lượng giác trên một miền . 6 VII1. Phương trình lượng giác không mẫu mực. a. Các phương trình không mẫu mực giải được nhờ sử dụng phương pháp đánh giá các số hạng ,nhân tử. b. Các phương trình không mẫu mực giải được dựa vào tính chất của hàm số và đồ thị. Về các phương trình có chứa tham số ,học sinh có thể gặp các dạng cụ thể sau. a. Biện luận phương trình. b. Biện luận số nghiệm của phương trình. c. Điều kiện để phương trình có nghiệm,nghiệm duy nhất. d. Điều kiện để hai phương trình tương đương. 1.1. Phương trình lượng giác cơ bản. Là lớp phương trình đơn giản nhất nhưng lại là quan trọng nhất vì việc giải bất cứ phương trình nào cũng dẫn đến giải một trong những phương trình dạng này. Các phương trình lượng giác cơ bản gồm:sinx=a,cosx=a,tanx=a,cotx=a, với x là ẩn, a là số đã cho. 1.2.Phương trình lượng giác gần cơ bản. Là các phương trình dạng sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a. 1.3.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Là phương trình có dạng:asinx+bcosx+c=0 1.4.Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa. Về nguyên tắc, mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờ phép đặt ẩn phụ t=tan(x/2) và sử dụng các công thức hữu tỉ hóa: 7 2 2 22 2 2 1 1 cot, 1 2 tan, 1 1 cos' 1 2 sin t t x t t x t t x t t x − + = − = + − = + = . Tuy nhiên có hai lí do chủ yếu không nên máy móc đặt ẩn phụ dạng này cho mọi trường hợp. Thứ nhất, phép biến đổi trên làm thu hẹp miền xác định của phương trình. Thứ hai, phép đặt ẩn phụ trên làm bậc của phương trình tăng lên gấp đôi. Do đó trong nhiều trường hợp ,để đại số hóa một phương trình lượng giác cần xem xét cụ thể phương trình để lựa chọn một phép biến đổi thông minh hơn. a.Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác . b.Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx. c.Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx. 1.5 Các phương trình lượng giác có thể biến đổi đưa về tích. Phương pháp đưa phương trình về dạng tích là một trong những kĩ thuật quan trọng nhất để giải phương trình nói chung và phương trình lượng giác nói riêng.Mục đích của phương pháp này là quy việc giải một phương trình phức tạp về việc giải một tập hợp các phương trình cơ bản. Các em học sinh có thể chú ý ghi nhớ những biểu thức có thừa số chung cho trên bảng sau. f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x) Sinx Sinnx,tannx,…. Cosx Sin2x,cos3x,tan2x,cotx,cot3x… 8 1+cosx cos 2 2 x ,cot 2 2 x ,sin 2 2 x ,tan 2 2 x … 1-cosx tan,sin, 2 tan, 2 sin 2222 xx xx 1+sinx ), 24 (cos,cot,cos 222 x xx − π 1-sinx ), 24 (cos,cot,cos 222 x xx + π Sinx+cosx cottan,cot1,tan1,2sin1,2cot,2cos xxxxxxx −+++ Sinx-cosx cottan,cot1,tan1,2sin1,2cot,2cos xxxxxxx −−−− Bảng 1 1.6. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn. Với dạng phương trình này khi giải ta phải đặt điều kiện và chú ý các phepa biến đổi tương đương ,khi giải xong nghiệm ta phải kiểm tra lại điều kiện để loại đi nghiệm vi phạm điều kiện. 1.7. Phương trình lượng giác không mẫu mực. Một số phương trình lượng giác không thể áp dụng những phương pháp truyền thống . Gặp những dạng này học sinh cần vận dụng khéo léo phương pháp đánh giá các số hạng có trong phương trình(sử dụng tính chất của bất đẳng thức ) sử dụng các tính chất đơn điệu ,hay tính bị chặn của hàm số ,hoặc dùng đồ thị của hàm số để giải được chúng. 2. Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc. 9 Đây là hoạt động thành phần quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt động dạy học giải phương trình lượng giác. Phần lớn các phương trình lượng giác có dạng thức không chỉ ra ngay con đường đi đến lời giải. Việc nhận ra dạng phương trình cần giải mới chỉ gợi ý cho người làm một thuật toán chung, tổng quát để suy nghĩ tìm tòi lời giải. Do đó,trong hoạt động thành phần này, giáo viên cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải. Một giờ học toán sinh động hay khô khan buồn tẻ, có trở thành niềm say mê, háo hức của học sinh hay không là tùy thuộc và năng lực điều khiển của giáo viên. Vì vậy mỗi giáo viên cần thường xuyên rèn luyện nhằm không ngừng nâng cao năng lực tiến hành biến đổi phương trình. 2.1. Phương trình lượng giác cơ bản và gần cơ bản. * Phương trình lượng giác cơ bản :sinx=a,cosx=a, tanx=a,cotx=a.Các phương trình lượng giác dạng này đã có công thức nghiệm chi tiết.Cần nhấn mạnh các phương trình sinx=sinb,cosx=cosb,tanx=tanb,cotx=cotb. * Phương trình lượng giác gần cơ bản. Là những phương trình :sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a. Bằng phép đặt f(x)=t,ta đưa về phương trình dạng trên. Cần chú ý điều kiện trong phương trình tanf(x)=a,cotf(x)=a. 2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Dạng phương trình :asinx+bcosx+c=0. 10 [...]... thường Những phương trình như thế được gọi là các phương trình không mẫu mực, cách giải chúng không theo những qui trình mẫu mực, thụng thường mà lại đòi hỏi học sinh phải có khả năng quan sát, so sánh, đối chiếu các biểu thức chứa ẩn có mặt trong phương trình để đề ra cách giải thích hợp Về cơ bản có hai cách giải phương trình không mẫu mực: đánh giá, ước lượng các biểu thức trong phương trình (phương pháp... 2) 2 + 3 / 4 = x 2 + x + 1 => Phương trình vô nghiệm 3 Giải phương trình nhận được (H3) Nếu hoạt động H2 (biến đổi phương trình về dạng quen thuộc) là quan trọng nhất thì hoạt động H3 có vai trò quyết định trong toàn bộ hoạt động giải phương trình lượng giác Theo chúng tôi, trước hết giáo viên cần dành thời gian thích đáng để rèn luyện kỹ năng giải các phương trình lượng giác cơ bản và đây là khâu quyết... việc dạy học các công thức biến đổi lượng giác sẽ bảo đảm một kết quả chắc chắn và tiết kiệm thời gian cho học sinh rất nhiều Cách tổ chức dạy học biến đổi lượng giác nên dựa vào hai yếu tố :hệ thống hóa các công thức; phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động học tập Hệ thống công thức biến đổi có thể tóm tắt trong sơ đồ sau Ba hệ thức cơ bản Quy gọn góc Cộng cung Góc nhân đôi nhân ba Tích thành... các số hạng không nhận cosx làm nhân tử chung thì chia hai vế cho lũy thừa cao nhất của cosx Bước 3.Đặt t =tanx và giải phương trình đại số thu được 2.4 Biến đổi phương trình về dạng tích Muốn biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích trước tiên cần giúp học sinh thuộc tất cả các công thức biến đổi lượng giác Trong thực tế đa số học sinh không nhận thức được tầm quan trọng của việc thuộc lòng các. .. phương trình với một biểu thức có nghĩa và, ta được phương trình tương đương (giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức) - Nếu hai vế một phương trình có nghĩa và cùng dấu thì nâng hai vế của phương trình ấy lên cùng một lũy thừa ta được phương trình tương đương (giải phương trình vô tỉ) - Nếu hai vế một phương trình cùng có nghĩa thì mũ hoá phương trình ấy ta được một phương trình tương đương (giải phương. .. bất cứ hoạt động giải phương trình lượng giác nào; sản phẩm thu được có đạt yêu cầu, bảo đảm chất lượng hay không hoàn toàn phụ thuộc vào kỹ năng đơn giản nhất nhưng quan trọng này Do tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác y =sinx, y =cosx, y =tanx, y =cotx nên khi đó biến một nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản, ta biết tất cả các nghiệm của phương trình theo bảng dễ nhớ sau: Phương trình Điều... kπ Trong bảng trên α là một nghiệm đó biết tuỳ ý của phương trình, k là số nguyên Do tính chất đó nêu, giải các phương trình lượng giác cơ bản qui về tìm một nghiệm của phương trình đó Trong trường hợp tổng quát, ta có các định lý sau: Định lý: Nếu −1 ≤ a ≤ 1 thì trong đoạn 0≤ x ≤π phương trình cosx=a có một nghiệm duy nhất, nghiệm này được ký hiệu là arccos a, trong đoạn −π / 2 ≤ x ≤ 0/ 2 phương trình. .. phương trình lượng giác cơ bản nêu trong hệ quả trên, giáo viên cũng cần lưu ý học sinh dạng rút gọn của công thức nghiệm vào phương trình lượng giác đặc biệt 33 Phương trình Nghiệm cosx=0 x = π / 2 + kπ cosx=1 x = 2kπ cosx=-1 x = π + 2 kπ Sinx=0 x= kπ Sinx=1 x = π / 2 + kπ Sinx=-1 x = −π / 2 + kπ Một số lớn phương trình lượng giác được giải bằng phương pháp đại số hoá, vì vậy bên cạnh việc bồi thường các. .. loga b = b(a > 0, ≠ 1, b > 0) Đối với dạng phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn, ngoài các kỹ năng biến đổi cần thiết như các dạng phương trình lượng giác khác, học sinh cần phải thành thạo kỹ năng xử lý các điều kiện khéo léo Các ví dụ tôi sẽ trình bày sau đây sẽ chỉ trừ những trường hợp nào cần và nên đặt điều kiện bổ xung, đồng thời nên xử lý các điều kiện như thế nào Ví dụ 13: H2:... Lựa chọn phép biến đổi lượng giác Để nhanh chóng lựa chọn những phép biến đổi lượng giác thích hợp cho việc đại số hóa phương trình ,giáo viên cần lưu ý học sinh một số nhận xét hữu ích sau: a Các biểu thức lượng giác có thể biểu diễn qua một đa thức của cosx gồm: sin 2 x ,cos2x,cos3x Các biểu thức biểu diễn được qua một đa thức của sinx gồm:cos 2 x ,cos2x,sin3x b Các phương trình đối xứng nhau với . hoạt động thành phần trong quá trình dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông” mà tác giả đã trực tiếp giảng dạy và kiểm nghiệm Hoạt động dạy học phương trình lượng. tiết học về nội dung giải phương trình lượng giác trở nên sôi động và hiệu quả hơn. Phần II THỰC HIỆN CÁC HOẠT ĐỘNG THÀNH PHẦN TRONG QUÁ TRÌNHDẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 1 cosx. IV .Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa. V .Các phương trình lượng giác có thể biến đổi về phương trình tích . VI .Các phương trình lượng giác có điều kiện ràng buộc về ẩn. VII .Các phương