SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "KINH NGHIỆM ÁP DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10" A. PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do thực hiện đề tài: 1. Cơ sở lý luận: Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế bất đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều. Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy luận, dự đoán, 2. Cơ sở thực tiễn: Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải được. Nguyên nhân là học sinh không biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải. vì vậy một bài toán đơn giản cũng trở nên “vô cùng khó” đối với các em. Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu đề tài: “Kinh nghiệm áp dụng một số bất đẳng thức đơn giản để chứng minh bất đẳng thức trong chương trình đại số lớp10” II. Phương pháp nghiên cứu: 1. Phương pháp nghiên cứu lý luận; 2. Phương pháp điều tra thực tiễn; 3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm; 4. Phương pháp thông kê. III. Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức (*) (**) (***) B. PHẦN NỘI DUNG 1. Ứng dụng của bài toán bất đẳng thức đơn giản : Chúng ta biết rằng chứng minh bất đẳng thức là một chuyên đề rất hấp dẫn bởi nó đòi hỏi cao về kỹ năng và tư duy sáng tạo của học sinh. Ở đề tài này tôi muốn giới thiệu một số bất đẳng thức được khai thác và phát triển từ một bất đẳng thức đơn giản trong sách giáo khoa Đại số 10. a.Ví dụ 1(Bài 4 trang 79, SGK Đại số 10- Ban cơ bản) Chứng minh rằng : Nếu (*) Đẳng thức xảy ra khi nào ? Chứng minh : Cách 1 : (*) Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b Cách 2 : Ta có (vì ). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b Nhận xét 1 : Vì a,b là hai số dương nên từ (*) ta có thể suy ra một bất đẳng thức mới Ở bài toán này nhiều giáo viên cho là dễ nên có thể không cần phải hướng dẫn hoặc hướng dẫn qua loa. Như vậy là vấn đề cơ bản chưa được giải quyết đã bỏ sót một trong những yếu tố quan trọng trong phát triển tư duy cho học sinh. Theo tôi, cần cho học sinh suy nghĩ và hướng dẫn khai thác các bài toán qua đó vận dụng từ bài toán đơn giản trên để hướng dẫn giải các bài toán có liên quan. Bài 1: Cho a,b ≥0, chứng minh rằng (1) Hướng dẫn : Bất đẳng thức (1) được chứng minh nhờ việc áp dụng nhận xét trên 3 lần Bài 2 : Cho a,b,c là ba số thực không âm. Chứng minh rằng : Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có : (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực không âm ta được : (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Nhận xét 2 : Thực chất đây là một dạng khai thác bài toán trên dưới dạng cách nhìn khác mà thôi. Tuy nhiên nếu như học sinh không biết vận dụng ví dụ trên thì liệu bài toán trên học sinh giải được không phải đơn giản chút nào. Và ở bài toán sau đây, chúng ta có thể đặt thêm một vấn đề nhằm khai thác bài toán trên với việc ab=1. Ta lại có bài toán mới sau. Bài 3: Cho a và ab=1. Chứng minh rằng Chứng minh : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=1 Bài 4 : Chứng minh rằng Trong đó a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh : Áp dung bất đẳng thức (*) ta được (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số thực dương ta được Từ (1) và (2) suy ra điều phải chưng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Nhận xét 3: Ta có thể chuyển tải bài toán trên về những bài toán mũ, thì việc quy lạ về quên tạo cho chúng ta dễ dàng hơn trong việc khai thác các bài toán tương tự nhằm phát huy tư duy của học sinh. Bài 5: Cho ba số a,b,c . Chứng minh rằng Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có (1) Mặt khác (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0 Bài 6 : Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng : Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có Tương tự , Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Bài 7 : Chứng minh rằng với ba số dương a,b,c bất kì ta có Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được Tương tự , Cộng vế với vế các bất đẳng trên ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Bài 8 : Cho x,y,z là ba số thực dương và xyz=1. Chứng minh rằng Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được Tương tự , Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có (2) Từ (1) và (2) suy ra điều cần phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 Bài 9 : Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng : Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được Tương tự , Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c [...]... các số thực không âm , Chứng minh rằng : Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+1 số thực không âm ta có : Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất đẳng thức sau : Bài 19 : Cho là các số thực dương , Chứng minh rằng : Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức. .. dụng bất đẳng thức (**) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất đẳng thức sau Bài 2 : Cho hai số dương a,b Chứng minh rằng : Chứng minh : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Đây chính là bất đẳng thức (**) cho hai số dương nên ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b Bài 3 : Chứng minh rằng : Trong đó a,b,c là ba số thực không âm Chứng minh : Áp dụng bất đẳng. .. bất đẳng thức (**) ta có Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được : (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Bài 4 : Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng : Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được : Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si... : Chứng minh rằng nếu Đẳng thức xảy ra khi nào ? Chứng minh : (**) (**) Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b Bài 1 : (Bài toán tổng quát) Cho là các số thực không âm , Chứng minh rằng : Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+2 số thực không âm ta có : Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Áp. .. Và áp dụng kết quả Bài 9 ta được (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Bài 5 : Chứng minh rằng : Trong đó x,y,z là ba số thực dương Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có Tương tự Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Bài 6 : Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh rằng : Chứng minh. .. Chứng minh rằng : Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (**) cho n=3 ta có (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Nhận xét 13 : Từ bài toán 6, chúng ta có thể khai thác bậc 5, đối với 2 số bằng một bất đẳng thức (***) rõ ràng việc chứng minh bất đẳng thức này quả thật không khó... thì việc nhận ra và chứng minh bài toán này là một việc làm đơn giản, qua đó ta lại có một bài toán mới Bài 7 : Các số dương x,y,z có tích bằng 1 Chứng minh rằng : Chứng minh : Áp dụng (***) ta có Tương tự Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi =1 Các bài tập tương tự Áp dụng các bất đẳng thức (*), (**) và các bất đẳng thức tổng quát của chúng... Việc chứng minh các bài toán 10, 11,12,13 không khó, nếu biết sử dụng linh hoạt các bài toán tương tụ bài 9 Nếu học sinh không biết vận dụng bài 9 (Tức sẽ vận dụng ví dụ 1) thì e là sẽ khó làm đối với các em học sinh, kể cả đội tuyển học sinh giỏi Bài 14 : Chứng minh rằng : Trong đó a,b,c là các số thực dương Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được : Tương tự Cộng vế với vế các bất đẳng thức. .. Bài 8 : Cho ba số dương a,b,c chứng minh rằng Bài 9 : Cho a,b,c là ba số dương và Chứng minh rằng : Bài 10 : Cho a,b,c,d là những số thực dương Chứng minh rằng : Bài 11 : Cho là các số thực dương , Chứng minh rằng : 2 Kết Quả : Khi áp dụng chuyên đề này tôi thấy các em đỡ lúng túng hơn khi gặp các dạng bài tập trên Cụ thể : Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung Bình Yếu 10A 25 3 12% 5 20% 15 2 10B 27 1 3,7% 6... khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Nhận xét 8 : Nếu chúng ta lại đặt Bài 15 : Chứng minh rằng Ta lại có bài toán mới sau Trong đó x,y,z là ba số thực dương và xyz=1 Nhận xét 9 : Từ bài toán vừa nêu, nếu chúng ta đặt thì ta có thể giải bài toán 5 đơn giản hơn Bài 16 : Cho ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0 Chứng minh . SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: " ;KINH NGHIỆM ÁP DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10& quot; A. PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý. về bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu đề tài: Kinh nghiệm áp dụng một số bất đẳng thức đơn giản để chứng minh bất đẳng thức trong chương trình. khi Áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất đẳng thức sau : Bài 19 : Cho là các số thực dương , . Chứng minh rằng : Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức