SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI" 1 A.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Trong chương trình Đại số 10 chương 3 có bài :”Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất,bậc hai ”.Học sinh đã được học ở lớp 9_THCS rất kỹ,đặc biệt là ứng dụng của định lý Viet để tính tổng các biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn và xét dấu các nghiệm của nó.Tuy nhiên phần lớn Học sinh ở các Trung tâm GDTX chưa hiểu được bản chất ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai.Ở Trunh tâm GDTX_DN Hoằng hoá đối với khối 10 mỗi lớp chỉ có 01 đến 02 em là hiểu sơ qua cách giải một số bài toán dễ của dạng này.Còn lại hầu hết các em không nhớ cả cách giải phương trình bậc hai chứ nói gì đến nhớ ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai.Chính vì thế nên khi gặp các bài toán ứng dụng của định lý Viet để biện luận dấu các nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số nào đó hầu hết các em không biết làm.Vì vậy nên Tôi chọn đề tài:”Một số kinh nghiệm trong ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai”,làm đề tài nghiên cứu khoa học. B.NỘI DUNG ĐỀ TÀI. 1.Cơ sở lý luận. Môn Toán là một trong những môn khoa học cơ bản và khoa học ứng dụng.Chính vì vậy đòi hỏi Người học nói chung và Học sinh nói riêng phải nắm vững kiến thức một cách hệ thống và lôgic qua từng lớp học,từng cấp học đã trải qua.Do đó để học tốt Môn Toán nói riêng và các Môn khoa học nói chung đòi hỏi Người học,Học sinh phải hiểu bản chất của kiến thức được lĩnh hội qua từng bài học.Từ đó Học sinh mới khắc sâu và vận dụng tri thức vào giải các bài tập ứng dụng được dễ dàng. 2 2.Thực trạng của vấn đề. Trong chương trình Toán học ở cấp Trung học cơ sở Bộ GD_ĐT có xuất bản “Vở bài tập Toán”,chủ yếu Học sinh làm bài tập dưới dạng điền vào chỗ còn thiếu để hoàn thành bài tập về nhà theo định hướng cho trước .Vì vậy Học sinh ở THCS thụ động trong việc chiếm lĩnh tri thức,chưa phát huy được tính tích cực,sáng tạo của Học sinh trong việc giải một bài toán nào đó. Họcsinh bị động chỉ có thể suy nghĩ theo một hương nào đó mà các tác giả viết sách đã viết.Do đó phần lớn Học sinh cấp 2 chưa hiểu được bản chất của kiến thức được lĩnh hội.Chính vì vậy mà hầu hết các Trung tâm GDTX thường đón nhận Học sinh vào trường là những Học sinh học lực trung bình hoặc yếu kém,thậm chí có những em còn kém cả về đạo đức.Các em yếu về kiến thức lẫn kĩ năng vận dụng ,nên thi vào lớp 10 các em thường đạt điểm thấp hoặc thậm chí có em bị điểm liệt . Do đầu vào kiến thức của các em hổng nhiều nên thực tế khi học có những bài dài,nội dung kiến thức nhiều Giáo Viên hướng dẫn các em tự đọc SGK thì phần lớn HS làm bài tập vận dụng kiến thức đó còn kém.Điều này thể hiện rất rõ khi HS học bài :”Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất,bậc hai một ẩn“.Đây là kiến thức HS đã được học ở lớp 9 ,lên lớp 10 chủ yếu là ôn lại nhưng phần lớn HS quên cách giải phương trình bậc nhất,bậc hai.Đặc biệt là vấn đề ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai có chứa tham số để tính giá trị các biểu thức tổng ,hiệu có tính đối xứng của các nghiệm phương trình đó.Vì ôn lại nội dung đã được học ở lớp 9 nên SGK Đại số 10 ban cơ bản cũng viết sơ lược và cho ít bài tập vận dụng do giảm tải nên bỏ bớt đi những bài tập dạng này.Tuy nhiên Trong SBT cơ bản ,SGK và SBT nâng cao vẫn cho rất nhiều bài tập ứng dụng nội dung này.Chính vì vậy mà Tôi chọn đề tài:”Một số kinh nghiệm trong ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai”,làm đề tài nghiên cứu khoa học. 3 3.Giải pháp thực hiện. *Do cả bài: Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất,bậc hai ,cả lý thuyết và bài tập có 4 tiết nên nội dung đề tài này được áp dụng trong các tiết học phụ đạo ,dưới dạng các chuyên đề. *Về kiến thức cần ghi nhớ: +Định lý Viet:”Nếu phương trình 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ có 2 nghiệm 1 2 ,x x thì 1 2 1 2 . b x x a c x x a −  + =     =   ” . + Các Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ (HĐT) 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 ( ) 2 ( )( ) ( ) 3 3 ( )( ) a b a ab b a b a b a b a b a a b ab b a b a b a ab b ± = ± + − = + − ± = ± + ± ± = ± +m *Các dạng bài tập vận dụng: @. Dạng 1: Không giải phương trình hãy tính các biểu thức là tông,hiệu,tổng bậc 2,bậc 3,dạng đối xứng của các ngiệm phương trình bậc hai. Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường không khó,HS chỉ cần nhớ định lý Viet và các HĐT rồi vận dụng làm là được,đây là dạng bài tập dễ nhất,HS trung bình cũng làm được. Ví dụ 1: Không giải phương trình ,giả sử phương trình 2 3 5 2 0x x − − = có 2 nghiệm ,hãy tính tổng các lập phương các nghiệm của phươnh trình. 4 Cách giải: Theo đề bài gọi 1 2 ,x x là các nghiệm của pt 2 3 5 2 0x x − − = theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 5 3 2 . 3 x x x x  + =    −  =   Theo đề ta có 3 3 1 2 S x x = + .Từ HĐT ( ) 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 ( )a b a a b ab b a b ab a b + = + + + = + + + 3 3 3 ( ) 3 ( )a b a b ab a b⇒ + = + − + Áp dụng ta có : 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 5 2 5 215 ( ) 3 ( ) 3. . 3 3 3 27 S x x x x x x x x −     = + = + − + = − =  ÷  ÷     Ví dụ 2:Không giải pt, giả sử phương trình 2 2 15 0x x− − = có 2 nghiệm 1 2 ,x x ,hãy tính tổng 4 4 1 2 A x x = + . Cách giải: Theo đề bài gọi 1 2 ,x x là các nghiệm của pt 2 2 15 0x x − − = theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 2 . 15 x x x x + =   = −  . Áp dụng HĐT ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2a b a ab b a b a b ab+ = + + ⇒ + = + − hai lần ta có: 5 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2. 15 2.( 15) 706 A x x x x x x x x x x x x x x = + = + = + − = + − − = − − − − = @. Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có 2 nghiệm thoã mãn một hệ thức đối xứng của các nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường không khó,HS chỉ cần nhớ định lý Viet và các HĐT rồi vận dụng làm giải pt theo tham số ngược lại với Dạng 1 là được,đây là dạng bài tập dễ nhất,HS trung bình cũng làm được. Ví dụ 3:Tìm m để pt 2 4 1 0x x m− + − = có 2 nghiệm 1 2 ,x x thoã mãn điều kiện: 3 3 1 2 40x x + = . Cách giải: Theo đề bài gọi 1 2 ,x x là các nghiệm của pt 2 4 1 0x x m− + − = theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 4 . 1 x x x x m + =   = −  Theo Ví dụ 1 ta có : 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( ) 4 3( 1).4 64 12 12 76 12 x x x x x x x x m m m + = + − + = − − = − + = − theo đề bài 3 3 1 2 40x x + = 76 12 40 36 12 3m m m⇒ − = ⇔ = ⇔ = Ví dụ 4:Tìm m để pt 2 ( 1) (3 1) 2 2 0m x m x m+ + − + − = có 2 nghiệm 1 2 ,x x thoã mãn điều kiện: 1 2 3x x + = ,Tính các nghiệm trong trường hợp đó. 6 Nhận xét; Đây là bài tập tương đối dễ,các em Hs chỉ cần áp dụng định lý Viet và kết hợp với giả thiết cho là giải tìm m rồi thay m giải pt tìm x là xong. Cách giải: Theo đề bài gọi 1 2 ,x x là các nghiệm của pt 2 ( 1) (3 1) 2 2 0m x m x m+ + − + − = theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 (3 1) 1 2 2 . 1 m x x m m x x m − −  + =   +  −  =  +  (1) Theo đề ta có 1 2 3x x+ = (2) Từ (1) và (2) ta có : (3 1) 1 3 3 1 3( 1) 6 2 1 3 m m m m m m − − − = ⇒ − + = + ⇔ − = ⇒ = + Thay 1 3 m − = vào pt đã cho ta được pt: 2 2 8 2 0 3 3 x x− − = giải pt ta được 2 nghiệm 1 4 x x = −   =  Ví dụ 5: Với giá trị nào của tham số k thì pt : 2 (4 1) 2( 4) 0x k x k+ + + − = có 2 nghiệm mà hiệu của chúng bằng 17. Nhận xét: Đây là bài tập đòi hỏi HS phải biết suy luận ngoài việc nắm vững nội dung định lý Viet thì HS còn phải biết vận dụng các HĐT thành thạo ,đặc biệt phải đưa HĐT Từ bình phương của hiệu về HĐT bình phương của tổng mớ có thể giải được.Vì vậy bài toán này đối với HS khá ,giỏi ở hệ GDTX cũng khó,do đó GV nên hướng dẫn cho HS hiểu và vận dụng để những bài tương tự các em có thể làm được. Cách giải: giả sử pt 2 (4 1) 2( 4) 0x k x k + + + − = có 2 nghiệm 1 2 ,x x và 1 2 x x < áp dụng định lý Viet cho pt trên ta có: 1 2 1 2 (4 1) . 2( 4) x x k x x k + = − +   = −  (3) 7 theo đề bài 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 17 ( ) 17 2 289 ( ) 4 289 x x x x x x x x x x x x − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ + − = (4) Thay (3) và (4) ta có : [ ] ( ) 2 2 2 2 4 1 4.2( 4) 289 16 8 1 8 32 289 16 256 16 4 k k k k k k k k − + − − = ⇔ + + − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± @.Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có 2 nghiệm trái dấu. Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường không khó,HS phải hiểu được bản chất của pt có 2 nghiệm trái dấu là tích 2 nghiệm của pt là số âm rồi áp dụng định lý Viet giải tìm giá trị của tham số là được. Ví dụ 6:Tìm m để pt 2 3 2( 1) 3 5 0x m x m − + + − = có 2 nghiệm trái dấu. Cách giải: Giả sử 1 2 ,x x là 2 nghiệm của pt trên khi đó theo đề bài ta có 1 2 0x x < Mà theo định lý Viet ta lại có 1 2 1 2 2( 1) 3 3 5 . 3 m x x m x x −  + =    −  =   Từ đó suy ra : 3 5 5 0 3 5 0 3 5 3 3 m m m m − < ⇔ − < ⇔ < ⇔ < Ví dụ 7:Tìm k để pt 2 2( 1) 1 0kx k x k − + + + = (5) có 2 nghiệm 1 2 ,x x thoã mãn điều kiện : 1 2 1x x< < . 8 Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường khó,HS phải hiểu được bản chất của pt có 2 nghiệm trái dấu là tích 2 nghiệm của pt là số âm rồi áp dụng định lý Viet giải tìm giá trị của tham số là được,hoặc xét dấu tích của 2 hiệu giữa 2 nghiệm của pt với 1 . Cách giải 1: Giả sử 1 2 ,x x là 2 nghiệm của pt trên khi đó theo đề bài ta có 1 2 1x x< < .Nếu đặt x=y+1 thì pt (5.) đã cho trở thành pt ẩn y như sau: 2 2 2 2 ( 1) 2( 1)( 1) 1 0 ( 2 1) 2( 1) 1 0 2 2 2 2 2 1 0 2 1 0 k y k y k k y y ky k y k ky ky k ky k y k ky y + − + + + + = ⇔ + + − + + + + + = ⇔ + + − − − − + + = ⇔ − − = (6) Lập luận do pt (5.) có 2 nghiệm thoã mãn đk: 1 2 1x x< < nên pt (6.) có 2 nghiệm thoã mãn đk: 1 2 1 2 1 1 1 0y y y y+ < < + ⇔ < < từ đó cách giải đơn giản hơn là chỉ tìm k để pt (6.) có 2 nghiệm trái dấu ,tức là 1 2 0y y < mà theo định lý Viet ta có 1 2 1 2 1 1 0 0 0y y y y k k k − − = ⇒ < ⇔ < ⇔ > Cách giải 2: Giả sử 1 2 ,x x là 2 nghiệm của pt trên khi đó theo điịnh lý Viet ta có 1 2 1 2 2( 1) 1 k x x k k x x k +  + =    +  =   9 theo đề bài ta có 1 2 1x x< < . ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 0 1 1 0 1 0 ( ) 1 0 1 2( 1) 1 0 1 2 2 1 0 0 0 x x x x x x x x k k k k k k k k k k − <  ⇒ ⇔ − − <  − >  ⇔ − + + < + + ⇔ − + < + − − + − ⇔ < ⇔ < ⇔ > @.Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu. Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường khó,HS phải hiểu được bản chất của pt có 2 nghiệm dương phân biệt hoặc 2 nghiệm âm phân biệt,từ đứ suy ra dấu của tổng và tích 2 nghiệm rồi áp dụng định lý Viet giải tìm giá trị của tham số là được.Tuy nhiên GV nên nhắc HS phải xét thêm cả biệt thức delta không âm là điều kiện để pt bậc 2 có 2nghiệm. Ví dụ 8:Tìm m để pt 2 2 6 2 2 9 0x mx m m − + − + = (5) có 2 nghiệm dương phân biệt. Cách giải :GV gợi ý cho HS phân tích đề bài Đk để pt bậc 2 nghiệm phân biệt là 2 2 2 2 ' ( 3 ) 1.(2 2 9 ) 9 2 2 9 2 2 0 1 m m m m m m m m ∆ = − − − + = − + − = − > ⇔ > Vậy điều kiện cần là m >1. Khi pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì yêu ccầu HS nêu định lý Viet ta có hệ: 1 2 2 1 2 6 2 2 9 x x m x x m m + =   = − +  theo đề suy ra 1 2 2 2 1 2 0 6 0 0 0 17 1 0 2 2 9 0 3 0 9 3 m m x x m x x m m m >  > + >    ⇔ ⇔ ⇔ >      > − + > + − >    ÷     Kết hợp điều kiện để pt có nghiệm thì m>1 mới thoã mãn đề bài. 10 [...]... -1 thì phương trình đã cho trên có 3 nghiệm phân biệt ,trong đó 1 nghiệm bằng 0 và 2 nghiệm còn lại là 2 số đối nhau do từ chỗ đặt ẩn phụ t suy ra nghiệm x của pt ban đầu Nhận xét : Bằng cách phân tích tương tự 2 bài toán trên chúng ta có thể dễ dàng rút ra cách giải biện luận theo tham số nào đó số nghiệm của phương trình bậc 4 trùng phương ở trên.Do chương trình cắt giảm tải nên Tôi đưa ra ứng dựng... 6 3 0 0 46 Lớp đối chứng C c.)kết quả 2 bài kiểm tra trên: Qua kết quả của 2 bài kiểm tra trên cho thấy:”Lớp thực nghiệm hiểu rõ bản chất của định lý Viet hơn lớp đối chứng” GV thực hiện kiểm tra kiến thức đã học liên quan đến đề tài theo nhiều hình thức khác nhau,thể hiện trong quá trình tham gia xây dựng bài mới của HS ,trong việc kiểm tra bài cũ của HS cho thấy HS các lớp thực nghiệm nắm kiến thức... lớp 10A,10B,và 1 lớp đối chứng đều học chương trình chuẩn kiến thức,và có năng lực trong đợt thi khảo sát chất lượng đầu năm là tương đối như nhau Lớp thực nghiệm giảng dạy theo nghiên cứu của đề tài,còn lớp đối chứng tiến hành dạy thông thường.Sau quá trình dạy học hết chương 3 phương trình và hệ phương trình “GV đã tiến hành kiểm tra 2 bài một bài 15 phút và một bài 45 phút cho 3 lớp dạy với đề kiểm... thức của HS cấp 3 chăng 4.Kiểm nghiệm Khi áp dụng đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy thì cần lưu ý đối với GV ,nhiệm vụ của GV là người định hướng cho HS phân tích yêu cầu của từng bài toán liên quan về dấu các nghiệm thì HS sẽ khắc sâu được kiến thức mà không học theo kiểu dập khuân,máy móc.Có như vậy mới tạo cho HS sự tích cực trong việc xây dựng và lĩnh hội kiến thức mới của. .. thức ,hiểu rõ được bản chất của từng bài toán ,từ đó sẽ học ngày càng giỏi hơn *Việc so sánh kết quả giảng dạy giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng cho thấy:Lớp thực nghiệm học theo chương trình tự chọn hợp lý và phát huy được hết khả năng hơn .Trong quá trình học tập của các em lý thuyết được bổ sung dần khi áp dụng vào các bài toán cụ thể ,như thế các em chủ động hơn trong việc tìm tòi và lĩnh hội... tòi và lĩnh hội kiến thức mới * Thực tế áp dụng đề tài trong quá trình giảng dạy các lớp 10 qua mấy năm học gần đây Tôi nhận ra rằng:Việc áp dụng đề tài này vào quá trình giảng dạy có tác dụng phát triển tốt tư duy và năng lực sáng tạo của HS trong quá trình lĩnh hội kiến thức mới trong học tập * Do điều kiện thời gian nên đề tài mới tập trung khai thác một số nội dung chính ,có những chỗ vẫn chưa thể...Nhận xét : Đối với dạng toán này GV nên dạy sau khi HS học xong định lý về dấu của tam thức bậc hai thì các em mới hiểu và vận dụng giải bài tập được chính xác Ví dụ 9:Tìm m để pt x 2 + 2(m + 1) x + 9m − 5 = 0 (7) có 2 nghiệm dương phân biệt Cách giải : Khi pt đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt thì yêu ccầu HS nêu định lý Viet ta có hệ: m > 6   m2 − 7m + 6 > 0  ∆ ' = (m + 1) 2 − 1.(9m... cho GV cùng với HS trong quá trình giảng dạy,vận dụng phương pháp xây dựng cho nội dung kiến thức mới.Việc đưa ra đề tài và khai thác nó 16 trong quá trình dạy học tạo sự phát triển tư duy lôgic của HS có tính kế thừa kiến thức ở những bài trước * Để khắc sâu kiến thức cho HS còn một điều quan trọng nữa là GV hỗ trợ nhằm phát huy khả năng của các em trong việc xây dựng và lĩnh hội kiến thức ở những... Đề Bài: Câu 1: Xác định các giá trị của tham số m để hiệu các nghiệm của pt x 2 − 4mx + 9( m − 1) 2 = 0 bằng 4 Câu 2: Xác định các giá trị của tham số m để pt mx 2 − 2 x − 4m − 1 = 0 có 2 nghiệm trái dấu Kết quả : (thể hiện dưới bảng sau) Điể 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sỉ số 0 0 0 0 2 5 8 9 12 8 1 45 m Lớp Lớp 10A 14 0 0 0 0 1 8 5 9 10 11 0 44 10 0 0 2 4 8 10 12 7 3 0 0 46 Lớp đối chứng C b.)kết quả bài... luận số nghiệm cũng như dấu của phương trình bậc 4 trùng phương Dạng : ax 4 + bx 2 + c = 0(a ≠ 0) Nhận xét : Để làm được bài toán trên đòi hỏi HS phải hiểu được bản chất của 3 Dạng vừa trình bày ở trên.Ngoài ra còn yêu cầu HS lập luận chặt chẽ và lôgic các bước phân tích bài toán cũng như khi giải nó GV hướng dẫn HS đặt ẩn phụ t = x 2 (t ≥ 0) từ đó đưa bài toán về giải và biện luận nghiệm và dấu các nghiệm . KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI& quot; 1 A.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Trong chương trình Đại số 10 chương 3 có bài : Một số phương. toán ứng dụng của định lý Viet để biện luận dấu các nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số nào đó hầu hết các em không biết làm.Vì vậy nên Tôi chọn đề tài: Một số kinh nghiệm trong ứng dụng. giải phương trình bậc nhất ,bậc hai. Đặc biệt là vấn đề ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai có chứa tham số để tính giá trị các biểu thức tổng ,hiệu có tính đối xứng của các nghiệm