ĐỀ TÀI Một số nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân 1 MỤC LỤC 7. Cấu trúc của đề tài 4 PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình vi phân là một đề tài được rất nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu. Tuy nhiên, do sự phát triển không ngừng của khoa học - kĩ thuật, phương trình vi phân trở thành một chủ đề được tìm hiểu và phát triển rất mạnh. Trong đó, các vấn đề liên quan đến “nguyên lý cực đại” cũng là một đề tài hay và có rất nhiều ứng dụng trong các bài toán về xấp xỉ giá trị biên, giá trị ban đầu… Trong những năm gần đây, các đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia và các kì thi Toán Olympic sinh viên toàn quốc thường xuất hiện những bài toán có liên quan đến “cực đại trong phương trình vi phân”. Xuất phát từ lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân” để nghiên cứu, với mục tiêu giới thiệu tới bạn đọc đam mê Toán, sinh viên ngành sư phạm Toán một số định lý cơ bản liên quan đến nguyên lý cực đại. Đề tài xây dựng lại lí thuyết một cách có hệ thống, rõ ràng về nguyên lý cực đại nhằm giúp cho bạn đọc có cái nhìn tổng quát và sâu rộng hơn về phương trình vi phân. 2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu - “Nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân” là đề tài được rất nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu, tuy nhiên tài liệu về đề tài này còn rất hạn chế. Một số nhà toán học đã dành rất nhiều tâm huyết cho đề tài này như Murray Harold Protter (13/2/191 - 01/5/2008) là một nhà toán học người Mỹ và nhà giáo dục, được 2 biết đến với những đóng góp vào lý thuyết của phương trình vi phân; Hans F. Weinberger (27/09/1928 tại Vienna) là một nhà toán học người Mỹ gốc Áo, nổi tiếng với những đóng góp của ông với các phương pháp biến phân cho các vấn đề giá trị đặc trưng, phương trình vi phân, và động lực học chất lỏng những nhà toán học này đã có những năm gắn bó, nghiên cứu và viết ra những tài liệu hay về đề tài này như cuốn sách “Maximum Principles Differential Equations, tác giả Murray Harold Protter và Hans F. Weinberger” đây là cuốn sách hay và là tài liệu quý giá cho những ai muốn nghiên cứu về đề tài này. 3. Mục tiêu nghiên cứu Thông qua đề tài này, tôi muốn giới thiệu tới bạn đọc đam mê Toán, sinh viên ngành sư phạm Toán một số định lý cơ bản liên quan đến nguyên lý cực đại. Đề tài xây dựng lại lí thuyết một cách có hệ thống, rõ ràng và kĩ thuật khi giải một bài toán về nguyên lý cực đại nhằm giúp cho bạn đọc có cái nhìn tổng quát và sâu rộng hơn về phương trình vi phân. 4. Nội dung nghiên cứu Đề tài nghiên cứu những nội dung cụ thể sau: - Tìm hiểu, phân tích và nghiên cứu lý thuyết của nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân một cách có khoa học và chặt chẽ. - Đưa ra một số ví dụ cơ bản để hiểu rõ bản chất của nguyên lý cực đại. 5. Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu - Đối tượng: Các vấn đề liên quan đến “Một số nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân” - Phạm vi: Một số nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân được tìm hiểu trong các sách bài tập về phương trình vi phân nâng cao, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và một số kiến thức cơ bản về những phương trình vi phân ở bậc đại học - Phương pháp nghiên cứu: 3 + Phương pháp khảo sát: Bản thân đã được học nên nắm bắt được các vấn đề liên quan đến đề tài. + Phương pháp phân tích lý luận: phân tích giúp người học nắm rõ bản chất vấn đề, lựa chọn phương pháp giải cho phù hợp với từng dạng liên quan đến đề tài. 6. Ý nghĩa của đề tài Nguyên lý cực đại nói về vị trí của điểm mà hàm số đạt cực đại là điểm biên của miền xác định. Cụ thể hơn, một hàm có đạo hàm cấp 2, không âm 0u ′′ ≥ trên một đoạn [a, b] nào đó thì hoặc là hàm hằng, hoặc nếu không hằng thì cực đại phải là một trong 2 điểm đầu mút. Một ví dụ tổng quát hơn là trong phương trình Laplace, hay là phương trình điều hòa ta cũng tìm được nghiệm của nó có tính chất là hàm hằng hoặc là nếu không phải là hàm hằng thì điểm cực đại (và cực tiểu) phải là điểm biên. Trong nghiên cứu này, định nghĩa một hàm có tính chất của nguyên lý cực đại là một hàm thỏa mãn một số bất đẳng thức (đẳng thức) vi phân nào đó và điểm cực đại của nó là điểm biên, trừ khi nó là hàm hằng. Sử dụng các nguyên lý cực đại, ta cũng suy ra được các nguyên lý về cực tiểu tương ứng và khẳng định rằng một hàm không phải hàm hằng thỏa mãn một số bất đẳng thức vi phân không thể đạt được cực tiểu tại một điểm bên trong. Ngoài ra, nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong việc khảo sát, tính toán nghiệm gần đúng trong các bài toán giá trị ban đầu, giá trị biên, giá trị riêng , không những thế, người ta còn sử dụng các nguyên lý cực đại để chứng minh, tìm hiểu các định lý, bổ đề mới phục vụ cho công tác nghiên cứu. Nguyên lý cực đại có vai trò rất lớn trong các nghiên cứu về phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình hàm vv 7. Cấu trúc của đề tài Bố cục gồm 3 phần: • Phần 1: Mở đầu 4 • Phần 2: Nội dung Chương I: Nguyên lý cực đại tổng quát Chương II: Xấp xỉ trong bài toán giá trị ban đầu và giá trị biên Chương III: Bài toán về giá trị riêng và một số định lý dao động – so sánh • Phần 3: Kết luận Tài liệu tham khảo PHẦN 2. NỘI DUNG CHƯƠNG I: NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI TỔNG QUÁT 1.1. Nguyên lý cực đại một chiều Cho một hàm ( )u x liên tục trên đoạn [ ] ,a b , có cực đại tại một điểm trên khoảng ( ) ,a b . Nếu ( )u x có đạo hàm cấp hai và u đạt cực đại tại điểm ( ) , ,c a b ∈ khi đó: ( ) 0u c ′′ ≤ và ( ) 0u c ′ = ( ) 1 Ta giả sử rằng trong khoảng ( ) ,a b , u thỏa mãn bất đẳng thức vi phân dạng: [ ]: ( ) 0L u u g x u ′′ ′ = + > ( ) 2 với ( )g x là hàm bị chặn bất kỳ. Rõ ràng , theo ( ) 2 thì hệ thức ( ) 1 không thể thỏa mãn tại điểm ( ) ,c a b ∈ . Do đó, theo ( ) 2 cực đại của u trong khoảng ( ) ,a b không thể đạt được trừ điểm mút a hoặc b . Ta có trường hợp đơn giản của một “Nguyên lý cực đại”. Điều quan trọng ở trường hợp trên là bất đẳng thức ( ) 2 phải ngặt, điều đó có nghĩa là, ta giả sử rằng ( ) 0.u g x u ′′ ′ + > Trong nghiên cứu này về phương trình vi phân, điều kiện ngặt là quá hạn chế nên ta sẽ khử đi nếu có thể. 5 Chú ý: Bất đẳng thức ( ) 2 không ngặt, tức là ( ) 0u g x u ′′ ′ + ≥ có nghiệm u const = thì với một nghiệm không đổi như vậy, ta luôn có cực đại đạt được ở mỗi điểm thuộc ( ) , c a b ∈ . Định lý được nêu dưới đây được gọi là nguyên lý cực đại một chiều. Định lý 1.1. Giả sử :[a,b] u → ¡ liên tục trên [a, b], có đạo hàm trên (a,b) và g là một hàm bị chặn bất kỳ trên (a,b) thỏa mãn bất đẳng thức vi phân [ ]: ( ) 0L u u g x u ′′ ′ = + ≥ , a x b < < ( ) 3 Nếu ( )u x M ≤ trong ( ) ,a b và nếu u đạt cực đại M tại một điểm ( ) ,c a b ∈ thì u M= trên (a,b). Chứng minh. Ta sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Ta giả sử rằng ( )u c M = với ( ) ,c a b ∈ và tồn tại một điểm ( ) , d a b ∈ sao cho ( )u d M < . Ta có ( )u c M = , ( )u d M< nên ta xét 2 trường hợp: + Trường hợp 1: Nếu d c > . Ta đặt hàm ( ) ( ): 1 x c z x e α − = − với 0 α > được xác định. Từ biểu thức vừa xác định, nếu a x c < < thì ( ) 0z x < , nếu c x b< < thì ( ) 0z x > và ( ) 0z c = nếu x c= . Ta có ( ) [ ]: ( ) ( ) . x c L z z g x z g x e α α α −     ′′ ′ = + = + Chọn ( , ) sup |g(x) | 1. x a b α ∈ = + Khi đó, (x)g α > − và [ ] 0L z > với mọi ( , ).x a d ∈ . Đặt ( ) : ( ) ( ).w x u x z x ε = + trong đó, ε là một hằng số dương thỏa mãn bất phương trình 6 ( ) . ( ) M u d z d ε − < Cách chọn ε ở trên là hợp lý vì u(d) < M và z(d) > 0 do (c,b).d ∈ Mặt khác, với a x c < < thì do ( ) 0z x < nên ta có ( )w x M< với mọi ( , ).x a c ∈ . Theo cách xác định của ε ở trên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )w d u d z d u d M u d M ε = + < + − = Suy ra ( ) .w d M < Cũng tại điểm ( ) ,c a b ∈ , ta có ( ) ( ) ( )w c u c z c M ε = + = Vì vậy, w có cực đại lớn hơn hoặc bằng M và đạt được tại một điểm thuộc ( ) , a d . Mặt khác ta có ( ) [ ] ( ) ( ) L w w g x w u z g x u z ε ε ′′ ′ = + ′′ ′′ ′ ′ = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 0 u g x u z g x z L u L z ε ε ′′ ′ ′′ ′ = + + + = + > nên theo bất đẳng thức ( ) 2 , w không thể đạt cực đại trong ( ) , a d . Điều này mẫu thuẫn với giả thiết. + Trường hợp 2: Nếu d c < thì bằng cách đặt ( ) ( ): 1 x c z x e α − − = − thì theo cách lập luận tương tự như trên ta cũng đi đến mâu thuẫn. Định lý được chứng minh xong. Nhận xét 1.1. (a) Ta xây dựng hàm ( )z x như sau: (i) [ ] 0L z > , (ii) ( ) 0z x < nếu x c < , 7 (iii) ( ) 0z x > nếu x c > (iv) ( ) 0z c = nếu x c= . (Nếu d c < , thì bất đẳng thức (ii) và (iii) là đảo ngược). Như vậy định lý trên được chứng minh. (b) Hàm z xác định ở trên không phải là duy nhất. Ví dụ, ta chọn hàm ( ) ( ) ( )z x x a c a α α = − − − (c) Với α đủ lớn và thỏa mãn tính chất của hàm ( )z x . Ta áp dụng Định lý 1.1 và thay u bởi ( )u − ta có nguyên lý cực tiểu và khẳng định rằng một hàm không phải hàm hằng thỏa mãn bất đẳng thức vi phân [ ] 0L u ≤ , ( ) ,x a b∈ không thể đạt được cực tiểu tại một điểm bên trong nó. (d) Phương pháp sử dụng để chứng minh Định lý 1.1 giúp ta có thêm những cách xác định về hàm mà thỏa mãn bất đẳng thức ( ) 3 . Ta có thể thấy rằng hàm u ở ( ) 3 đạt cực đại tại a và ( ) 0u a ′ = . Từ nhận xét này ta có định lý tiếp theo như sau. Định lý 1.2. Giả sử u không phải là hàm hằng mà thỏa mãn bất đẳng thức ( ) 0u g x u ′′ ′ + ≥ trong ( , )a b và có đạo hàm cấp 1 tại a và ,b g là bị chặn trên tất cả các khoảng con đóng của ( ) , a b . Nếu cực đại của u xảy ra tại x a = và g là bị chặn dưới tại x a = thì ( ) 0u a ′ < . Nếu cực đại xảy ra tại x b = và g bị chặn trên tại x b = thì ( ) 0.u b ′ > Chứng minh: Giả sử ( )u a M = , ( )u x M ≤ với a x b ≤ ≤ và với ( ) ,d a b ∈ ta có ( )u d M< . Ta xây dựng hàm ( )z x như sau: ( ) ( ) 1 x a z x e α − = − với 0 α > Ta chọn ( )g x α > − , a x d≤ ≤ sao cho [ ] 0L z > . Tiếp tục, ta chọn hàm ( ) ( ) ( )w x u x z x ε = + với ε thỏa mãn 8 ( ) 0 . ( ) M u d z d ε − < < Do [ ] 0L w > , nên cực đại của w trong [ ] , a d phải xảy ra tại một điểm mút. Ta có ( ) ( ),w a M w d = > với cực đại xảy ra tại a , do đó, đạo hàm cấp 1 của w tại a không dương. Tức là ( ) ( ) ( ) 0.w a u a z a ε ′ ′ ′ = + ≤ Tuy nhiên, ( ) 0z a α ′ = > nên ta có: ( ) 0u a ′ < (đpcm). Nếu cực đại xảy ra tại x b = ta chứng minh tương tự. Nhận xét 1.2 i) Nếu hàm u thỏa mãn ( ) 3 có cực đại tại điểm ( ) 1 1 , c a b ∈ mà ( ) ( )u x u c ≤ thì theo định lý 1.1 ta thấy rằng ( ) ( )u x u c = trong khoảng này. Áp dụng định lý 1.2 cho tất cả các khoảng có c , c được xem như là điểm mút, ta thấy rằng giá trị cực đại ( )u c là giá trị cực tiểu của u trên ( ) , .a b ii) Nếu một hàm u mà thỏa mãn ( ) 3 có cực tiểu tại hai điểm 1 c , 2 c ( ) ,a b ∈ thì nó có cực đại tại điểm thuộc 1 2 ( , )c c . Từ đó, theo (i) ta có 2 ( ) ( )u c u c = và giá trị ( )u x là hằng số trên 1 2 ( , )c c . iii) Tính bị chặn của hàm g là điều kiện cần cho kết luận của định lý 1.1 và định lý 1.2. Ví dụ: Xét phương trình: ( ) 0u g x u ′′ ′ + = ( ) * với 3 , 0 ( ) 0 , 0 x x g x x − ≠  =  =  Giải: Từ ( ) * giải được 4 1u x = − , theo định lý 1.1, ta dễ dàng thấy được mâu thuẫn. Cụ thể là với 1 1x − ≤ ≤ , u đạt cực đạt tại 0x = . Lại theo định lý 1,2, ta cũng có mâu thuẫn. Cụ thể với [ ] 0,1x∀ ∈ , (0) 0u ′ = . Kết quả của định lý 1.1 và 1.2 không được thỏa mãn bởi vì g không bị chặn dưới trong ( ) 0, 1 . Bây giờ ta biến đổi bất đẳng thức khác: 9 ( )[ ]: ( ) ( ) 0L h u u g x u h x u ′′ ′ + = + + ≥ ( ) 4 Các ví dụ đơn giản cho ta thấy rằng, ta có thể thực hiện biến đổi các dạng của nguyên lý cực đại. Ví dụ: 1) Cho phương trình 0.u u ′′ + = Giải được nghiệm sinu x = và u đạt cực đại tại 2x π = , giá trị cực đại bằng 1. 2) Cho phương trình 0u u ′′ − = Giải được nghiệm , x x u e e − = − − dễ thấy nó đạt cực đại tại 0x = , giá trị cực đại bằng ( 2) − . Nhận xét 1.3: Ta thấy rằng với một hàm không phải là hằng số, ta giải ( ) 4 với 0h ≤ có thể không đạt được một cực đại không âm tại một điểm nào đó. Ta cũng thấy được rằng, nếu bất đẳng thức (4) ngặt tức là: ( )[ ] 0L h u + > , với 0h ≤ được cố định trong khoảng ( ) , a b thì u không thể có giá trị cực đại không âm trong khoảng ( ) , a b . Tuy nhiên, thực tế với 0, 0, 0,u u hu ′ ′′ = ≤ ≤ ta có mâu thuẫn với bất đẳng thức ngặt ở trên. Từ đó, ta có thể mở rộng định lý 1.1 và 1.2 mà không thay đổi cách lập luận bằng cách chọn α đủ lớn thỏa ( )[ ] 0L h z+ > . Hằng số α trong hàm: ( ) 1 x c e α − − (hoặc hàm ( ) 1 x c e α − − − , nếu d nằm bên trái của c ) phải thỏa mãn: 2 ( ) ( ) ( )[1 ] 0 x c g x h x e α α α − − + + − > ( hoặc 2 ( ) ( ) ( )[1 ] 0. x c g x h x e α α α − − + − > ) Vì ( ) 0h x ≤ là điều kiện đủ cho cả 2 trường hợp để chọn α sao cho: 2 ( ) ( ) 0g x h x α α − + > ( ) * 10 [...]... Khi đó, nếu u là hàm thỏa mãn ( 1) trong (a, b) thì hàm u w thỏa mãn nguyên lý cực đại như trong định lý 1.3 và định lý 1.4 Nếu nghiệm u được suy ra từ phương trình: u′′ + g ( x)u′ + h( x )u = 0 Ta có thể áp dụng cho u và − u để thấy rằng u có thể có nhiều nhất một số 0 trong khoảng ( a, b) , ở đây định lý 1.5 được thỏa mãn • Cho r ( x) là nghiệm phương trình vi phân: r ′′ + g ( x)r ′ + h( x )r = 0,... Do v1 (a ) ≥ 0 nên hàm v1 có cực đại không âm trên bất kì khoảng con [ a, x0 ] ⊂ [ a, b] Theo nguyên lý cực đại được đưa ra trong định lý 1.3, cực đại này phải xảy ra tại a hoặc tại x0 Theo các giả thiết trên nên theo định lý 1.4, ta cũng ′ có v1 (a) ≥ 0 , ta có thể kết luận thêm là cực đại không thể xảy ra tại a trừ khi v1 là không đổi trong ( a, x0 ) Do đó, theo định lý 1.3 ta thấy rằng với ∀x0... một số điểm, ta sẽ có một mâu thuẫn, bởi theo định lý 1.3, u đạt được cực đại dương tại a hoặc b Ta giả sử cực đại xảy ra tại a , ta có thể áp dụng định lý 1.4, với khẳng định u′(a) < 0 Vì 0 ≤ θ ≤ π 2 và u (a) > 0 nên điều kiện đầu tiên trong ( 5) là mâu thuẫn Tương tự, nếu cực đại xảy ra tại b , thì điều kiện thứ hai trong ( 5) là mâu thuẫn Ta kết luận rằng bất kì nghiệm nào không phải là hằng số. .. trên a, a  thì hàm r w triệt tiêu tại a , a* và dương trong a, a   ( ) * Do đó, nó có cực đại trong a, a Vì vậy, theo định lý 1.5, w không thể thỏa mãn ( 3) Mặt khác, nếu ( ) b là điểm bất kì trong a, a* , một hàm w có thể tìm được mà r w thỏa mãn nguyên lý cực đại của định lý 1.5 Hơn nữa, ta thấy rằng r ( x) là bị ( ) * chặn dưới bởi một số dương trên khoảng con [ c, b] ⊂ a, a Do đó, với ε >... có [ a, b ] mà thỏa mãn định lý 1.5 Ví dụ hàm: 1 u = x sin  ÷  x thỏa mãn u′′ + x −4u = 0 ta thấy rằng u triệt tiêu tại x = 1 nπ , n = 1, 2, , và do đó không có hàm w > 0 với tính chất rằng u w thỏa mãn nguyên lý cực đại trong [ 0,1 nπ ] , n = 1,2, 14 CHƯƠNG II: XẤP XỈ TRONG BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU VÀ GIÁ TRỊ BIÊN 2.1 Bài toán về giá trị ban đầu Xét phương trình vi phân: u′′ + g ( x)u′ + h( x)u... 2 ( 2) Hàm f , g và h được cho trong ( a, b ) , với g và h bị chặn; γ 1 , γ 2 là hằng số Khi ta giải phương trình ( 1) trong khoảng ( a, b ) mà thỏa mãn điều kiện ( 2 ) , ta nói rằng bài toán về giá trị ban đầu được giải quyết Sau đây ta đi đến định lý được rút ra từ nguyên lý cực đại tổng quát Cụ thể là: Định lý 2.1: Giả sử rằng u1 ( x) và u2 ( x) là nghiệm của ( 1) trong khoảng ( a, b ) và u1, u2... được trả lời bằng cách sử dụng nguyên lý cực đại Tuy nhiên, không phải đơn giản như trong trường hợp của các bài toán giá trị ban đầu Cụ thể ta xét phương trình đơn giản sau: u′′ + u = 0 16 giải được u1 = sin x và u2 ≡ 0 với 0 ≤ x ≤ π và cả hai thỏa mãn các điều kiện biên: u (0) = u (π ) = 0 Các kết quả đó cho ta một định lý đơn giản nhất về bài toán giá trị biên Định lý 2.2: Giả sử rằng u1 ( x) và... Lại theo ( 6 ) , ta có ( L + h)[ w] ≤ 0 trong ( a, b) Nếu khoảng cách (b − a) đủ nhỏ sao cho: β (b − a) 2 < 1 thì theo ( 5 ) ta thấy rằng w > 0 trên [ a, b ] Bằng cách này, để tìm hàm w với tính chất như mong muốn ta luôn có thể xây dựng được Các lập luận ở trên dẫn đến nguyên lý cực đại tổng quát sau đây: Định lý 1.5: (Nguyên lý cực đại tổng quát) Giả sử toán tử L + h được cho bởi ( 1) với h( x)... định lý 1.5 Định lý 2.4: Giả sử rằng u1 ( x ) và u2 ( x) là nghiệm của ( 1) mà thỏa mãn điều kiện biên như ( 2 ) Nếu b < a* , ( a* là liên hợp của a ) thì u1 ≡ u2 Chứng minh định lý 2.4 là sự lặp lại của vi c chứng minh định lý 2.2 Tuy nhiên, nguyên lý cực đại được sử dụng ở định lý 1.5 Lưu ý rằng theo cách xác định của điểm liên hợp, tính duy nhất là không đúng khi b = a* 2.3 Xấp xỉ trong bài toán. .. định lý 1.5, cực đại của − u w phải xảy ra tại một điểm của điểm mút a hoặc a + ε hay cực đại hoặc cực tiểu của u w phải xảy ra tại a Nhưng tại x = a , ta có:  u ′ u′w − uw′ =0  ÷= w2  w Mặt khác, vì u w thỏa mãn định lý 1.4 nên ta kết luận rằng u w là hằng số Do u (a ) = 0 nên u đồng nhất bằng 0 trên [ a, a + ε ] Đặc biệt: u (a + ε ) = 0, u′(a + ε ) = 0 Ta có thể lặp lại cách lập luận để kết luận . quan đến Một số nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân - Phạm vi: Một số nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân được tìm hiểu trong các sách bài tập về phương trình vi phân nâng. lý thuyết của nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân một cách có khoa học và chặt chẽ. - Đưa ra một số ví dụ cơ bản để hiểu rõ bản chất của nguyên lý cực đại. 5. Đối tượng, phạm vi, phương. TÀI Một số nguyên lý cực đại trong phương trình vi phân 1 MỤC LỤC 7. Cấu trúc của đề tài 4 PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình vi phân là một đề tài được rất nhiều nhà toán