MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O I MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Dạy học theo hướng đổi học sinh làm trung tâm, giáo viên chủ đạo; em học sinh tự giác tích cực tìm hiểu lĩnh hội kiến thức Số lượng cơng thức f ( x) g ( x) dạng toán học hệ thống mơn Tốn trường phổ thơng lớn Vì giáo viên truyền thụ kiến thức cho học sinh phải làm cho học sinh thấy dạng tốn bản, có định hướng, nguyên tắc biến đổi để học sinh thấy khơng có q nhiều dạng tập, giáo viên có vai trị để học sinh thấy học sinh cần nắm đâu toán bản, học sinh gặp tập khó tốn gốc ban đầu từ đâu, tư phát triển tư sáng tạo học sinh, dạng tốn phương trình vơ tỷ, dạng (1), sau đặt điều kiện cho hai vế khơng âm, bình phương hai vế phương trình, dẫn đến phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn, phương trình chứa ẩn dấu biến đổi phương trình dạng (1) Trong trình dạy Tốn trường Trung học phổ thơng nói chung, dạy tốn đại số lớp 10 nói riêng, tơi cố gắng truyền thụ kiến thức Toán cách đơn giản cho học sinh, cố gắng tránh áp đặt truyền thụ máy móc, hướng dẫn học sinh thuộc nhớ cơng thức tốn mà giảm tối đa phương pháp học thuộc lịng Học sinh khơng cần nhớ nhiều dạng toán, mà từ dạng toán ta cần biết biến đổi toán gốc ban đầu nó, tốn mà ta cần hướng đến, để học sinh thấy thú vị giải tốn dù khó, hiểu ngun tắc tốn trở nên đơn giản Riêng chương III đại số lớp 10 (ban bản) chương thuận lợi cho việc dạy học theo xu hướng Đã nhiều năm, thực theo cách Nay ghi lại gọi chút kinh nghiệm, giải bày đồng nghiệp quí bạn đọc Đề tài Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang gọi tên là: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ ẨN DƯỚI DẤU CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O” ĐỀ TÀI: a Mục tiêu: Giáo viên làm nỗi bật vấn đề phương trình chứa ẩn dấu biến đổi dạng gốc, toán bản, để học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức chương phương trình cách đơn giản, nhanh chóng đầy đủ Dạy - học bảo đảm nội dung kiến thức cần truyền thụ chương, sau học sinh lĩnh hội dạng tập khó b Nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực tốt nhiệm vụ dạy học nâng cao chất lượng giáo dục, giúp cho học sinh hình thành tư lơgic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp tốn giải phương trình vơ tỷ từ phức tạp đưa dạng đơn giản, giải cách dễ dàng Giải số dạng tập phương trình chứa ẩn dấu căn, mà với phương pháp giải cần đến kiến thức lớp 10 giải mà chưa cần đến kiến thức lớp 12 Tức học sinh tự tìm cách biến đổi để đưa dạng học, phần có phương pháp cần đến kiến thức lớp 12, nhiên dạng toán giải với kiến thức học lớp 10 Trong viết này, tơi trình bày chi tiết đầy đủ cách giải tốn, sau tơi trình bày theo phương pháp mà tơi lựa chọn có tốn giải theo phương pháp tơi trình bày cách chi tiết, sau có tập giải phương pháp nêu Đề tài sử dụng phù hợp để bồi dưỡng cho học sinh khối 10 có học lực trở lên Bài viết có ba phần chính: Giải phương trình chứa ẩn dấu phương pháp đổi biến khơng hồn tồn Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Tốn Tốn Trường : Thpt Yjut.Trang 2 Giải phương trình chứa nhiều bậc hai phương pháp nhẩm nghiệm nguyên, sau đưa phương trình tích Phương trình chứa ba bậc hai, có bậc hai tích hai bậc hai cịn lại ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Phương trình chứa ẩn dấu PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: a Nghiên cứu lý thuyết: Cơ sở để tìm hiểu chương phương trình Tốn lớp 10 đại số cao cấp Tìm hiểu phương pháp dạy học, chuẩn kiến thức kỹ mơn tốn trường phổ thông, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên - Toán lớp 10, Sách giáo viên đại số 10, Sách giáo khoa Đại số 10 b Nghiên cứu thực tế: Thông qua học sinh làm thi kỳ đại học, cao đẳng Thăm dò ý kiến học sinh đồng nghiệp Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang II NỘI DUNG THỰC TRẠNG: 1.1 Thuận lợi: - Các kiến thức không phức tạp, dễ tiếp thu, kiến thức gắn liền với phương trình đại số mà học sinh học lớp dưới, thông qua phép biến đổi tương đương để giải phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai, bậc ba Khó khăn: Bài tập để rèn luyện cho học sinh khá, giỏi 1.2 GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP: a Nội dung giải pháp: Giải phương trình chứa ẩn dấu Dạng 1: Giải phương trình dạng: f ( x) g ( x) (1) Giải phương trình (1) cách sử dụng phép biến đổi tương đương biến đổi hệ Giải phương trình (1) phép biến đổi tương đương sau: (1)  g ( x) 0   f ( x )  g  x   Ở dạng g(x) hàm số f ( x) g ( x) bậc nhất, sau thực phép biến đổi tương đương học sinh dễ dàng giải phương trình (1) Một vấn đề đặt gặp dạng mà g(x) hàm số bậc hai sau đặt điều kiện cho hai vế phương trình khơng âm bình phương hai vế phương trình gặp phương bậc cao, khó giải nghiệm phương trình nghiệm vơ tỉ; Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang sau tơi trình bày ví dụ thể nhiều cách giải, kinh nghiệm nhỏ tơi trình bày phương pháp giải phương trình dạng (1) cách đổi biến khơng hồn tồn Bài tốn 1: Giải phương trình sau: (1) x2  4x   x  Giải: Phương pháp 1: Phương trình (1)   xx22  47x  0       xx25 7 x  x  3  x     x72  x  x3 10 x  23x  0 Vậy: S= nghiệm   x 2  x752 297   1;  x  phương trình   x   2 x 5 x  1 0     x   Phương pháp 2:   x 4  Sử dụng máy tính ta tìm   x 5  29   nghiệm nguyên Khi ta thực x  x  x( x 11)  x  5  sau: Phương trình (1) viết x    x 1  x   sau: (1) x  (1) Giải phương trình (2): Đặt Phương trình (2) có dạng: Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng  Đk: x 1  x 1  x   x 5   x  1   x  (2) t 0  x    x 5   t t x  t  10 t 2  t  2t  10t  21 0  t     29 Ttổ ToánToán  Trường : Thpt Yjut.Trang So sánh với điều kiện:  29 t 15 29 29 xt  22 Với ta có:   29  Vậy: S=  1;  nghiệm phương trình  Phương pháp 3: Đk: Phương trình (1) Đặt:  x    x  2   x  y   x 5  y 2   y   x  Ta có hệ phương  y y 20   2 trình:  x x 2 2  y y 5    3 0  x22 yx 29 x yxy2 25  y55    x   y x   29  x  Vậy: S=  1; phương trình  nghiệm  x   y     y  x   y 2  t  x 5 Phương pháp 4: Đặt   t 00 t  2 t x x 5 tt   3 t2  x   2 Phương trình (1) có t  t  x  3x  0 dạng: Với ta có:  t x    t  x 1 x x11 xt  x x1    x  3x  0 Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang Với ta có:  x2 xt5x   x 2   x  x  0  29  x   29  Vậy: S=  1;  nghiệm phương trình   Nhận xét thơng qua phương pháp giải tốn sau:Phương pháp 1: Dạng quen thuộc học sinh, học sinh theo phương pháp 1, nhiên sau bình phương hai vế phương trình dẫn đến phương trình bậc cao, nghiệm vơ tỷ, khó khăn giải Phương pháp 2: Sau sử dụng máy tính tìm nghiệm ngun ta giải tốn cách đưa phương trình tích, phương pháp cách hay, tơi trình bày dạng tốn Phương pháp 3: Sau đặt ẩn phụ cách thích hợp ta chuyển tốn phương trình chứa bậc thành hệ phương trình đối xứng loại hai, nhiên việc chuyển hệ phương trình đối xứng loại nhiều toán đưa hệ phức tạp Phương pháp 4: Giải “phương pháp đổi biến không hoàn toàn”, phương pháp sau đặt ẩn phụ ta phương trình theo ẩn phụ, nhiên data phải đẳng thức, học sinh phải khéo léo để tách, sau giải theo ẩn gặp phương trình có phương pháp giải đưa phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai ẩn Sau tơi trình bày số toán mà giải theo phương pháp đổi biến khơng hồn tồn giải ngắn gọn dễ dàng mà chưa cần đến kiến thức lớp 12 Bài tốn 2: Giải phương trình sau (1) x  x  x  Giải: Đặt: t  x 7 (*) t 0  t x  Vấn đề đặt dạng biến  x đổi: = – = + Ở ta nên biến đổi = + để hệ số t trái Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang dấu với tốn hầu hết giải được, toán giải sau: (*) Phương trình (1) có dạng: t 0 2 x  1 tt   t  x  t x  x  t  x   t  t  x  x  0  t x    t  x  x2 xt7x Với ta có:  x    x  3x  0  x    t xx3 3 21 Với ta có:      x  33  21   x2  x  x 22 0  x      17 Vậy: tập nghiệm   3 x  21   17  S    ;  phương trình   2   17   x    Bài toán 3: Giải phương sau: (1) x 1 x  x  Giải: (1)  12 x  x  x  Đặt t  12 x  (*) Để hệ số t2 x2 trái dấu ta tách: 4= 12 – hay = 12 – (*) Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng t 0 2 t 12 x  t 0   t  12 x Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang Khi phương trình (1) có dạng: t x  x 12  t 12 x  t  t  x  x  12 0  t x    t  x  12tx x43x  Với ta có:  x   x  0  x  x6      x 1  4x  Với ta có: 12tx 4 x x   5 (ptvn)  x   x  x 12 0 Vậy: Tập nghiệm phương  S  1;5 trình là: Bằng cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình ẩn giải đơn giản hơn, tương tự biến đổi tơi trình bày thêm số tốn sau Bài tốn 4: Giải phương trình sau: (1) x  x 1 ( x  3) x 1 Giải: Đặt: Phương trình (1) có dạng: Với t = x ta có : (ptvn) Với t = ta có: t  x 1 t 0  2 t  x t   x 3 t  3x 0  t x   t 3 x 1 x x 1 3  x 8  x 2 Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang Bài tốn 5: Giải phương trình: (1) 3x  x   Giải: x 7 Đặt: x 7 t (*) Để phương trình (1) t 0  giải phương pháp ta 3t x  tách: = 4+ (*) Phương trình (1) có dạng: t 0  3t x   t 0  3t  x  3t  t 3x  x  0  t x 1  Với ta có: xtt 7x x1 x 1  x   3xx15 x  0     x  4 73 Với ta có:  t  x      4  73 x  x    421x  0 9 x  x  Vậy: Tập nghiệm  7  69   73  S   x  ; 69  phương trình là:         69 Bài tốn 6: Giải phương trình:  x   (1)  x  3 x  2 x 11x  Giải: Đặt t  4x  t 0 2 t 4 x  Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Tốn Tốn Trường : Thpt Yjut.Trang 10 Phương trình (1) có dạng: t 0  2t 8 x   x  3 t 2 x  2t  3x  2t   x  3 t  x  x 0  t x     t x 4xt  3x x Với ta có:  x 0   x  x  0  x 0     x 2 3 37 Với ta có: 4xt  3x  x    x 2 2 27   x   2  x  x 3 0   x  Vậy: Tập nghiệm phương  3 S  2x  ;1    trình : 22    Bài toán 7: Giải phương trình:   x 2   x  1 x 1 2 x  x 1 Giải: Đặt Phương trình có dạng: t  x 1 t 0   22  22xt  2  2tx   x  1 t 2t   x 1  2t   x  1 t  x   t 2 x   t 21x  11 Với ta có : 1  x 2t 22x  x   x   2 Với ta có: (ptvn) 1 3x 2tx x0 0   x1     42 Vậy: Tập nghiệm phương trình  x4 S     3 là: Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang 11 Bài toán 8: Giải phương trình: x 1 2 x  Giải: Đặt t 3 x   t 2 x  Phương trình có dạng: t  2t  x3  x 0  t x  2  t 3 xt txx  0 (2) x  x Với ta có:  x3  x 1 0   x  1  x  x  1 0 Phương trình (2) vơ nghiệm  x 1   x    Vậy: Tập nghiệm phương     S 1;  trình là:   Bài tốn 9: Giải phương trình: (1) x  x  x  Giải: Cách 1: Đặt: y   x 8  y 3  y  3 x     Phương trình (1) trở thành hệ  y 3  phương trình:   y  3 x   Phương trình (1) tốn gốc  x  3 y  để biến đổi thành hệ đối xứng loại 2, nhiên tốn giải phương pháp đổi biến khơng hoàn toàn cách dễ dàng ngắn gọn Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang 12 Cách 2: Đặt t  x 8 t 0 2 t x   t 0  t2  x  2  2 t  t  x  x  0 Phương trình có dạng:  t  x    t x   x3 xt8x Với ta có:  x 3   x  x 1 0  x 3     45 x x2 Với ta có: x8 xt   x 2   x  x  0  x 2     37 Vậy: Tập nghiệm phương   x  45  37  S   ;  trình là:   Bài tốn 10: Giải phương trình: (1) x  x   x 1 x 1 0 Giải: (1)  x  x  (2 x 1) x 1  Đặt: x 1 0 t  x 1 t 0 2 t 2 x 1 t  t  x3  x 0 Phương trình (1) có dạng:   t  x   t  xt  x 1 0 Với ta có : Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng  t 2 x  x 1 0 (2)  t  xtt  2x 21 x2 x Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang 13  x 0  4 x  x  0  x 0   1 Vậy: Tập nghiệm phương trình là:  x 1   S    Bài tốn 11: Giải phương trình: (1) x  x  x  3 x  x  Giải: Phương trình (1)   x 1  x 1  x  x    x  x  Đặt: t 3 x  x   t 7 x  x  Khi phương trình (1) có t  t   x 1  ( x 1) 0 dạng: Phương nghiệm trình (2)  t x 1  t  ( x 1)t  ( x 1)2 1 0 (2) vơ  Với ta có: x t 9xx41 x 1  x3  x  x  0  x 5   1 Vậy: Tập nghiệm phương trình x   S 5; là:  5    Dạng 2: Dạng nhiều bậc hai: f ( x)  g ( x)  h( x) (1) Phương pháp giải: Đặt điều kiện cho có nghĩa:  f  x  0   g0( x) Chuyển vế cho vế không âm, f g( x )x  sau thực phép biến đổi h  x  0 Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang 14 tương đương cách bình phương hai vế phương trình đưa dạng biết cách giải Dạng tốn phương trình (1) f ( x); g ( x); h( x) hàm số bậc hai đặt ẩn phụ để đưa dạng (1) với hàm số bậc giải phương pháp Bài toán 1: Giải phương trình: (1) x 1 8  x 1 Giải: Đk: x 1  x 1 8 x  Phương trình (1)   31 x   x 8  So sánh với điều kiện: Vậy   x  128 x  960 0 x = nghiệm phương trình Bài tốn 2: Giải phương trình (1) x   x  4  x Giải: Phương pháp 1: Đk: Phương trình (1) x 4   x  1  x  3 7  x  x 1 Vậy: Tập nghiệm phương trình là: S  1 Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang 15 Phương pháp 2: Đk: x Sử dụng máy tính ta tìm thực sau: nghiệm nguyên x = Khi – x = -(x - 1) + Phương trình (1) viết lại sau: x   x   ( x  1)  Sau số tách cách hợp lý cho sau nhân lượng liên hợp phương trình đưa phương trình tích có nghiệm x =   x 1   x  1   1 0  x  1 x     (2)  x 1  x 1   1 0 Đk: phương trình (2) vô   x  1x  x   2 nghiệm Vậy: nghiệm phương trình x 1 Nhận xét thơng qua hai phương pháp giải sau: Ở dạng 2, trình bày phương pháp giải phương trình chứa nhiều cách sử dụng máy tính tìm nghiệm ngun sau đưa phương trình tích, tốn có nhiều cách giải, nhiên với cách giải cho giải số toán dạng chứa nhiều bậc hai mà giải theo phương pháp giải đơn giản, tơi trình bày số toán mà cách giải cách nhẩm nghiệm nguyên sau nhân lượng liên hợp đưa phương trình tích Bài tốn 3: Giải phương trình (1) x 12  3x  x  Giải: D  TXĐ: Phương trình (1) Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng  x 12  x  3 x  Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang 16 x 2 Với nghiệm phương trình: 3x  3( x  2) 1 x 12    x  3 x    x 2 x2  0   x  2    2   x   x  12    x 2  x2 x2   x 2 3 0 (2) 2  x 5 3 x 12  Phương trình (2) vơ nghiệm x 2 Vậy: nghiệm phương trình Bài tốn 4: Giải phương trình: x 1   x  x  14 x  0 Giải: Đk: x 6 Sử dụng máy tính chúng 3x  14 x  x( x 5 5).(3x 1)   ta có nghiệm phương trình: Phương trình có dạng: x 1   x  ( x  5)(3 x 1)  0  x 1  1   x   x   (3 x 1) 0     x  5    x 1 0  x 1    x    x 5     3x 1 0 (2)  3x 1    x Ta có:     x 1  x    ;6  x 1    x   x 5 Vậy nghiệm phương trình là: Bài tốn 5: Giải phương trình: Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Tốn Tốn Trường : Thpt Yjut.Trang 17 (1) x    x 2 x  13 x 17 Giải:  x 6 Đk: x( Sử dụng máy tính ta 2x 2 413 x 17  x (x5x5)(2 5)(2xx3)3)22 nghiệm phương trình, đó: Phương trình (1) biến đổi sau: x     x ( x  5)(2 x  3)   1   x  5    (2 x  3)  0  x  1   x 1   x 5 1    (2 x  3) 0 1 Ta có:  x 1 6 (2 x x1 3)  x  4;6  x  1  x 1 x 5 nghiệm Vậy phương trình Bài tốn 6: Giải phương trình: (1) x 1  x  3 x  x  Giải: Đk: x Sử dụng máy tính ta 3x  x  3( x102  x)  x  x  nghiệm phương trình Khi ta biến đổi: Phương trình (1) Ta có:  x 1  ( x 1)  x   ( x  2) 3( x  x)   1   x2  x      0  x   x  x   x     x  x 0   1 3  0 (2)1 3  x 1 x   x04 x  x   3 x 1  x 1 x   x  xx1 0 Vậy nghiệm phương trình làvà Bài tốn 7: Giải phương trình: Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang 18 (1) x  x  2x2  Giải: Đk phương trình là:     ;    ;    2     x 3  x  2x2    x 3  x 2x2  2  2x   x   x Phương trình (1)  x x  16 x  12  x ( x  3)  16 x  12  Vậy tập nghiệm phương trình là: Bài tốn 8: Giải phương trình: (1)  x 1  x 22  7 S 1;  7  x 1  x  3  x Giải: Đk: x  Ta có x = nghiệm phương Phương trình (1) trình  x 1   x    3x    x    0  x 1  x     x 0   9  0 Ta có:  x1 1 x 4320 x  4 x 1  9x   x 0 nghiệm Vậy phương trình là: Bài tốn 9: Giải phương trình: (1) x  3  x  x Giải: Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang 19 x 1 Đk: Sử dụng máy tính  x  x  x( x22)( x  1) 1 nghiệm phương trình, ta biến đổi: Phương trình (1)  x   ( x  2)( x  1)     x  2   x 1 0  x  1    x 2    x 1 0 Ta có:  x 1x11   x 1 x  1 x 2 Vậy nghiệm phương trình là: Dạng 3: Phương trình chứa ba bậc hai có bậc hai tích hai bậc hai cịn lại, dạng tốn có cách giải khác nhau, dạng tập trình bày theo nhiều cách giải sau đưa cách giải mà thông thường học sinh thường lựa chọn đưa nhận xét để nhận dạng tập dạng này: Dạng: (1) f  x   h  x   f ( x).h( x) g ( x) Đặt: ta biểu thị bậc t  f  x xt  h  x  hai cịn lại theo , phương trình (1) đưa phương trình bậc hai theo, sau giải được, quay lại cách đặt giải ẩn Bài tốn 1: Giải phương trình: (1) 1   x  x x 1   x Giải:  x 3 Cách 1: Đk: Đặt: t  x 1   x ; t   2; 2    x  x t  (1) Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng  2   x  x x 1   x Tổ Toán Toán Trường : Thpt Yjut.Trang 20 ... phương trình tích Phương trình ch? ?a ba bậc hai, có bậc hai tích hai bậc hai cịn lại ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Phương trình ch? ?a ẩn dấu PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Một số phương pháp giải phương trình ch? ?a ẩn dấu. .. để giải phương trình có ch? ?a ẩn dấu bậc hai, bậc ba Khó khăn: Bài tập để rèn luyện cho học sinh khá, giỏi 1.2 GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP: a Nội dung giải pháp: Giải phương trình ch? ?a ẩn dấu Dạng 1: Giải. ..được gọi tên là: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ ẨN DƯỚI DẤU CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O” ĐỀ TÀI: a Mục tiêu: Giáo viên làm nỗi bật vấn đề phương trình ch? ?a ẩn dấu biến đổi dạng gốc, toán