Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ M ð U C húng ta bi t r ng chương trình Tốn h c trư ng THCS hi n nay, có nh ng tốn tìm giá tr nh nh t ho c giá tr l n nh t c a m t bi u th c h c sinh g p ph i r t b ng lúng túng Vì chương trình Tốn THCS SGK chưa ñ c p nhi u v cách gi i Do đó, nhi u h c sinh chưa có đư c phương pháp gi i nh ng toán d ng th này, mà d ng toán ñ u th y ñ thi h c kỳ, HSG, ñ thi n sinh vào l p 10, … Vì th trình d y h c (d y h c t ch n, d y BDHSG,…) Chúng ta c n ph i trang b cho h c sinh n m ñư c m t s phương pháp gi i thư ng g p nh t chương trình Tốn THCS ð t đó, m i h c sinh t gi i đư c toán d ng m t cách ch ñ ng sáng t o ð ng trư c th c tr ng trên, v i tinh th n u thích b mơn, mu n đư c đóng góp ph n ñ g r i cho h c sinh Tơi xin đưa m t s phương pháp thư ng g p đ tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ NH NG CƠ S LÝ THUY T VÀ HƯ NG GI I QUY T Áp d ng h ng ñ ng th c: A2 ±2AB+ B2 = (A±B)2 ñ bi n ñ i bi u th c v d ng: * A = a + [f(x)]2 ≥ a suy minA = a f(x) = * B = b - [f(x)]2 ≤ b suy maxB = b f(x) = Áp d ng tính ch t : | x| + | y | ≥ | x + y | ñ tìm GTNN D u ‘ = ‘ x y x.y ≥ Áp d ng tính ch t : | x | - | y | ≤ | x – y | đ tìm GTLN D u ‘ = ‘ x y x ≥ y ≥ ho c x ≤ y ≤ Áp d ng b t ñ ng th c: a − b ≤ a − b (a ≥ b ≥0 ) đ tìm GTLN D u ‘ = ‘ x y b(a-b) = ⇔ b = ho c a = b Áp d ng b t ñ ng th c: a + b ≥ a + b (a , b ≥0 ) đ tìm GTNN D u ‘ = ‘ x y a.b = ⇔ a = ho c b = Áp d ng b t ñ ng th c CôSi: + V i a ≥ 0, b ≥ a + b ≥ ab (1) D u ‘ = ‘ x y a = b + V i a1, a2, a3, …., an ≥ a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n n a1 a a3 a n ( 2) D u ‘ = ‘ x y a1 = a2 = a3 = … = an T ñ ng th c (1) ta suy ra: - N u a.b =k ( khơng đ i) (a +b) = k ⇔ a = b - N u a +b = k (khơng đ i ) max( a.b) = k2 ⇔ a=b T ñ ng th c (2) ta suy ra: - N u a1.a2.a3 … an = k (khơng đ i ) min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n n k ⇔ a1 = a2 = a3 = … = an k - N u a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (khơng đ i ) max(a1.a2.a3 … an ) =     n ⇔ a1 = a2 = a3 = … = an Áp d ng u ki n có nghi m c a phương trình b c hai ∆ ≥ (∆’ ≥ 0) D u ‘ = ‘ x y phương trình có nghi m kép x = − Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tô b b' (x = − ) 2a a Trang n Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ N I DUNG A/ Phương pháp 1: Áp d ng h ng ñ ng th c: A2 ±2AB+ B2 = (A±B)2 ñ bi n ñ i bi u th c v d ng: * A = a + [f(x)]2 ≥ a suy minA = a f(x) = * B = b - [f(x)]2 ≤ b suy maxB = b f(x) = Thí d 1: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau: a) A = 4x2 + 4x + 11 b) B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) c) C = x2 – 2x + y2 – 4y + Gi i: a) A = (4x2 + 4x + 1) + 10 = (2x +1)2 + 10 ≥ 10 Suy minA = 10 x = − b) B = (x – 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3) = (x2 + 5x - 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x )2 – 36 ≥ - 36 Suy minB = -36 x = ho c x = -5 b) C = (x2 – 2x + 1) +(y2 – 4y + 4) + = (x -1)2 + (y -2)2 +2 ≥ Suy minC = x =1 y = Thí d 2: Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c sau: a) A = - 8x – x2 b) B = – x2 + 2x - 4y2 – 4y Gi i: a) Ta có A = - (x2 + 8x + 16) + 21 = - (x + 4)2 + 21 ≤ 21 Suy maxA = 21 x = -4 b) Ta có B = - (x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + = - (x -1)2 - (2y + 1)2 + ≤ Suy maxB = x =1 y = − Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c đ i s ’ Bài t p: 1) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: a) A = – x2 +2x b) B = 4x – x2 Gi i: a) A = – x +2x = – (x2 – 2x +1) = – (x – 1)2 ≤ Suy maxA = x = b) B = 4x – x2 = – (x2 – 4x + 4) = – (x -1)2 ≤ Suy maxB = x = 2) a) b) c) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau: A = x2 + 5y2 -2xy +4y + B = (x2 - 2x)(x2 - 2x + 2) C = x2 -4xy + 5y2 + 10x - 22y +28 Gi i: a) A = (x2 – 2xy +y2) +(4y2 + 4y + 1) +2 = (x –y)2 + (2y + 1)2 + ≥ x = y x − y =  Suy minA =2  ⇔ 2y +1 =  y = −  V y minB =2 x = y = − b) B = (x2 - 2x)(x2 - 2x + 2) ð t t = x2 - 2x ⇒ B = t(t +2) = t2 + 2t = (t2 + 2t + 1) – = (t +1)2 – ≥ -1 2 ⇒ MinB = -1 ⇔ t = -1 ⇔ x - 2x = -1 ⇔ x - 2x +1 =0 ⇔ (x – 1) = ⇔x =1 V y minB = -1 x = b) C = (x – 2y)2 + 10(x – 2y) + (y – 1)2 + 25 + = (x – 2y + 5)2 + (y – 1)2 + ≥ y −1 = y = ⇒ MinC =  ⇔ x − y + =  x = −3 V y minC = x = -3, y = 3) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = − x2 + x + Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ Gi i: Ta có A = −  x −  ≤ =   2  Suy maxA =1 x = 4) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c B = x − x ( x + 1) + ( x + 1) + Gi i: Ta có B = (2 x − x − 1) + ≥ = Suy minB = 2x2 - x – =0 V y minB =3 x =1 ho c x = − ⇔ (2x + 1)(x – 1) = ⇔ x =1 ho c x = − 2 B/ Phương pháp 2: Áp d ng tính ch t : | x| + | y | ≥ | x + y | ð tìm GTNN c a bi u th c D u ‘ = ‘ x y x.y ≥ Thí d : Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau: a) A = | 2x – | + | 2x + | b) B = | x – 1| + | x – | + | x – | c) C = | x - 1| + | x – | + | x – | + | x – | d) D = 25 x − 20 x + + 25 x e) E = x − x + + x − x + + x − x + Gi i: a) Ta có A = | 2x – | + | 2x - | = | 2x – | + | 1- 2x | ≥ | 2x – + 1- 2x | = | -4 | = Suy minA = (2x – 5)(1 – 2x) ≥ ⇔ ≤x≤ 2 b) B = | x – 1| + | x – | + | x – | Ta có | x – 1| + | x – | = | x – 1| + | – x | ≥ | x – + – x | = D u ‘ = ‘ x y (x – 1)(3 – x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ | x – 2| nh nh t x =2 V y B = x =2 Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ c) C = | x - 1| + | x – | + | x – | + | x – | = | x - 1| + | x – | + | x – | + | x – | Ta có: | x - 1| + | x – | ≥ | x -1 +4 – x | ≥ D u ‘ = ‘ x y (x – 1)(4 – x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Ta có: | x – | + | x – | ≥ | x -2 +3 – x | ≥ D u ‘ = ‘ x y (x – 2)(3 – x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ V y minC = + = ≤ x ≤ d)Ta có D = (5 x − 2) + 25 x = | 5x – | + |5x | ≥ |2 - 5x +5 x | = D u ‘ = ‘ x y (2- 5x)5x ≥ ⇔ ≤ x ≤ V y minD = ≤ x ≤ 5 e) Ta có E = ( x − 1) + ( x − 2) + ( x − 3) = | x – 1| + | x – | + | x – | V y minE = x =2 ( làm câu b ) Bài t p: 1) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a) A = | x – | + | x – | + … + | x – 2006 | b) B = − x + x + x − 12 x + Chú ý 1: Gi i: y=|x–a|+|x–b| Min y = b – a a ≤ x ≤ b (a Tìm GTNN c a bi u th c D = x c) Ta có C = x − + Gi i: x + (a + b) x + ab ab ab = x+ + a + b ≥ x + a + b = ab + a + b = ( a + b ) x x x ab D u ‘ = ‘ x y x = ⇔ x = ab x V y minD = ( a + b ) x = ab Ta có D = 3) Cho x ≥ , tìm GTNN c a bi u th c a) E = x + x + 17 2( x + 1) b) F = x + x + 34 x +3 Gi i: x + x + + 16 ( x + 1) + 16 x + x +1 = = + ≥2 = 2.2 = 2( x + 1) 2( x + 1) x +1 x +1 x + = x = x +1 D u ‘ = ‘ x y = ⇔ ( x + 1) = 16 ⇔  ⇔ x +1  x + = −4  x = −5 a) Ta có E = x = - < (lo i) V y minE = x =3 b)Ta có F = x + x + + 25 x +3 D u ‘ = ‘ x y = ( x + 3) + 25 x +3 = x +3+ 25 x +3 ≥ ( x + 3) 25 x +3  x +3=5  x =2 ⇔ ( x + 3) = 25 ⇔  ⇔ x +3  x + = −5  x = −8   25 x +3= x = −8 < (lo i ) Do x =4 v y minF = 10 x = Người viết: Trần Ngọc Duy = 10 GV trường THCS – DTNT Ba Tô Trang 13 Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ x + 2000 4) Cho x > Tìm GTNN c a bi u th c G = x Gi i: Ta có G = x + 2000 1000 1000 1000 1000 = x2 + + ≥ 33 x = 3.100 = 300 x x x x x D u ‘ = ‘ x y x = 1000 ⇔ x = 1000 ⇔ x = 10 x V y minG = 300 x = 10 5) Cho x > y Tìm GTNN c a bi u th c sau a) H = x + 1,2 x + y x− y bi t x.y = b) I = x2 + y2 bi t x.y = x− y Gi i: ( x − y ) + 3,2 xy 3,2 xy 16 16 = x− y+ = x− y+ ≥ ( x − y ) =8 x− y x− y x− y x− y a) Ta có H = D u ‘ = ‘ x y x − y = 16 ⇔ x− y =4 x− y K t h p v i ñi u ki n x.y =5 ta suy ñư c x =5, y =1 ho c x =-1 , y = -5 V y minH = ⇔ x =5, y =1 ho c x =-1 , y = -5 ( x − y ) + xy xy 4 = x− y+ = x− y+ ≥ ( x − y ) =4 x− y x− y x− y x− y D u ‘ = ‘ x y x − y = ⇔ x− y =2 x− y b) Ta có I = K t h p v i ñi u ki n x.y =2 ta suy ñư c x = + , y = −1 + ho c x = − , y = −1 − V y minI = ⇔ x = + , y = −1 + ho c x = − , y = −1 − 6) Cho x >0 Tìm GTNN c a bi u th c sau a) K = 1− x + x b) P = x x+8 x +1 Gi i: a) Ta có K = x + x − ≥ Người viết: Trần Ngọc Duy x x −1 = GV trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 14 Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ D u ‘ = ‘ x y = x ⇔ x =1 x V y minK = x = b)Ta có P= x+8 x +1 = x −1+ x +1 = x −1 + D u ‘ = ‘ x y x + = x +1 x +1 = x +1+ x +1 − ≥ ( x + 1) x +1 −2=4 ⇔x=4 V y minQ = x = 7) Cho x > Tìm GTNN c a bi u th c sau Q = 4x x −3 Gi i: Ta có Q = 4x x −3 = x − 12 + = x − 36 + 36 x −3 36 x −3 = 4( x − 9) + 36 x −3 = 4( x + 3) + + 12 + 12 = 4( x − 3) + D u ‘ = ‘ x y 4( x − 3) = 36 x −3 36 x −3 = x + 12 + + 24 ≥ 4( x − 3)  x −3 = ⇔ ⇔ x −3  x − = −3  36 36 x −3 36 x −3 + 24 = 48  x = 36 x =  K t h p ðK x > nên x = ( lo i ) V y minQ =48 x =36 7) Tìm GTLN c a bi u th c L = x x +1 Gi i: Ta qui v tìm GTNN c a bi u th c D u ‘ = ‘ x y V y Min x +1 x = = + ≥2 L x 2 x x =2 =1 2 x x = ⇔ x =1 2 x =1⇔ x =1 L Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 15 Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c đ i s ’ Do maxL =1 x = 8) Tìm giá GTLN c a bi u th c y = x ( x + 1982) Gi i: ( x + 1982) Ta qui v tìm GTNN c a bi u th c = y x Ta có x + 1982 + 2.1982 x 1982 1982 = = x+ + 2.1982 ≥ x + 2.1982 = 4.1982 y x x x D u ‘ = ‘ x y x = 1982 ⇔ x = 1982 x = 4.1982 x = 1982 y Do max y = x = 1982 4.1982 V y D ng 4: Tìm GTLN c a bi u th c có d ng : A = f(x).g(x) , b c f(x) b ng b c g(x) Phương pháp gi i: - Bi n ñ i f(x) + g(x) = k ( k h ng s ) ( a + b) - Áp d ng BðT Côsi: a.b ≤ D u ‘ = ‘ x y a = b Thí d : Tìm GTLN c a bi u th c A = x3(16 – x3) Gi i: [x Ta có A =x (16 – x ) ≤ 3 + (16 − x ) ] = 16 = 64 D u ‘ = ‘ x y x3 = 16 – x3 ⇔ x3 = ⇔ x = V y maxA = 64 x = Thí d : Tìm GTLN c a bi u th c B = (1 –x )(2x – 1) v i ≤ x ≤1 Gi i: (2 − x + x − 1) 1 (2 – 2x )(2x – 1) ≤ = = 2 8 D u ‘ = ‘ x y – 2x = 2x – ⇔ x = Ta có B = (1 –x )(2x – 1) = Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 16 Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ x = V y maxB = Bài t p: Tìm GTLN c a bi u th c sau: a) C = (2x2 – 1)(2 – x2) b) D = (3x + 5)(2 – x) D ng 5: Tìm GTNN c a bi u th c có d ng: A = f(x) + g(x) Phương pháp gi i: Bi n ñ i bi u th c ñã cho thành m t t ng c a bi u th c cho tích c a chúng m t h ng s ( tách m t h ng t ch a bi n thành t ng c a m t h ng s v i m t h ng t ngh ch ñ o c a m t h ng t khác có bi u th c cho , có th sai khác m t h ng s ) Thí d : Cho < x < 12 Tìm GTNN c a bi u th c A = 9x + 2− x x Gi i: Ta có A = 9x 9x 2−x 9x − x + = + +1 ≥ + = + = x 2− x x 2− x 2− x x 9x = ⇔x= 2−x x V y minA = x = D u ‘ = ‘ x y Bài t p: 1) Cho x > , tìm GTNN c a bi u th c sau: a) B = x + x −1 b) C = x + 25 x −1 Gi i: 1 = x −1+ + ≥ ( x − 1) +1 = x −1 x −1 x −1 D u ‘ = ‘ x y x − = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x −1 a) Ta có B = x + x = x =  Vì x > nên x =0 (lo i) V y minB = x =2 b) Ta có C = x + 25 25 25 = 4( x − 1) + + ≥ 4( x − 1) + = 100 + = 24 x −1 x −1 x −1 Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tô Trang 17 Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’   x −1 = x = 25 25 D u ‘ = ‘ x y 4( x − 1) = ⇔ ( x − 1) = ⇔ ⇔ x −1 x −1 = − x =     −3 Vì x > nên x = (lo i) V y minC = 24 x = 2) Cho x, y > x + y > Tìm GTNN c a bi u th c D = x + y + −3 12 16 + x y Gi i: 12 16 12 16 ) + ( y + ) ≥ 2.6 + x + y = 12 + 12 + = 32 x y x y 12 16 y = ⇔ x = y = D u ‘ = ‘ x y 3x = x y V y minD = 32 ⇔ x = y = Ta có D = 2( x + y ) + (3x + 3) Cho x, y, z ≥ th a mãn ñi u ki n: x + y + z = 2007 a) Tìm GTLN c a bi u th c E = xy + yz + zx b) Tìm GTNN c a bi u th c F = x2 + y2 + z2 Gi i: Áp d ng BðT Côsi : a2 + b2 ≥ 2ab x2 + y2 2 y + z2 y.z ≤ z2 + x2 z.x ≤ 2 ⇒ xy + yz + zx ≤ x + y + z ⇔ xy + yz + zx ≤ ( x + y + z ) − 2( xy + yz + zx) ⇔ 3( xy + yz + zx) ≤ ( x + y + z ) a) Ta có x y ≤ ⇔ 3E ≤ 2007 2007 ⇔E≤ = 669 = 447561 D u ‘ = ‘ x y ⇔ x = y = z = Người viết: Trần Ngọc Duy 2007 = 669 GV trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 18 Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ V y maxE = 447561 x = y = z = 669 b)Ta có F = x + y + z = ( x + y + z ) − 2( xy + yz + zx) = 2007 − 2( xy + yz + zx) F ⇔ ( xy + yz + zx) max ⇔ ( xy + yz + zx) = 447561 (theo câu a ) Khi minF = 2007 − 2007 2.2007 2007 = 669 = = 669 x = y = z = 3 4) Cho x, y, z ≥ th a mãn ñi u ki n: x + y + z = a ( a h ng s dương) a) Tìm GTLN c a bi u th c E = xy + yz + zx b) Tìm GTNN c a bi u th c F = x2 + y2 + z2 G/ Phương pháp7: Áp d ng u ki n có nghi m c a phương trình b c hai ∆ ≥ (∆’ ≥ 0) D u ‘ = ‘ x y phương trình có nghi m kép x = − b b' ( x = − ) ð 2a a tìm GTNN, GTLN c a bi u th c Thí d : Tìm GTNN c a bi u th c A = 5x2 – 4x + Gi i: G i a m t giá tr c a bi u th c A Bi u th c A nh n giá tr a ch phương trình 5x2 – 4x + = a có nghi m ⇔ 5x – 4x + – a = (*) có nghi m ⇔ ∆ ' = 5a − ≥ ⇔ a ≥ V y minA = ⇔ phương trình (*) có nghi m kép x = 5 Bài t p: 1) Tìm GTNN c a bi u th c B = x − 2x + x − 2x + Gi i: ðKXð: x ≠ x − 2x + G i a m t giá tr c a B , phương trình = a (1) ph i có nghi m x − 2x + PT (1) ⇔ (a − 1) x − (2a − 1) x + (a − 1) = - N u a = x =0 Người viết: Trần Ngọc Duy (2) GV trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 19 Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ - N u a ≠ (2) phương trình b c hai ∆ = ( 2a − 1) − 4( a − 1) = 4a − PT (2) có nghi m 4a − ≥ ⇔ a ≥ PT (2) có nghi m kép x = -1 x2 − x +1 2) Tìm GTNN c a bi u th c P = x + x +1 V y minB = Gi i: ðKXð: x ∈ R G i a m t giá tr c a P , phương trình x2 − x +1 = a (1) ph i có nghi m x2 + x +1 PT (1) ⇔ (1 − a ) x − (1 + a ) x + − a = (2) - N u a = x =0 - N u a ≠ (2) phương trình b c hai ∆ = (1 + a ) − (1 − a ) = − a + 10 a − 3 PT (2) có nghi m ⇔ ∆ = −3a + 10a − 3a ≥ ⇔ ≤ a ≤ V y minP = PT (2) có nghi m kép x = 3)Tìm GTNN, GTLN c a bi u th c sau: a) Q = 4x − x2 +1 b) K = x + 2x − x − 2x + Gi i: a) ðKXð: x ∈ R G i a m t giá tr c a Q , phương trình PT (1) ⇔ ax − x + a + = (2) 4x − = a (1) ph i có nghi m x2 +1 - N u a = PT (2) -4x = -3 có nghi m x = - N u a ≠ (2) phương trình b c hai ∆ ' = − a (a + 3) = − a − 3a + PT (2) có nghi m ⇔ ∆' = −a − 3a + ≥ ⇔ −4 ≤ a ≤ −1 V y: minQ = -4 PT (2) có nghi m kép x = −1 maxQ = -1 PT (2) có nghi m kép x = b) ðKXð: x ∈ R Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tô Trang 20 Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ G i a m t giá tr c a K , phương trình x + 2x − = a (1) ph i có nghi m x − 2x + PT (1) ⇔(a −1)x − 2(a +1)x + (3a +1) = (2) - N u a = PT (2) -4x = -4 có nghi m x = - N u a ≠ (2) phương trình b c hai ∆' = (a +1)2 − (a −1)(3a +1) = −2a2 + 4a + PT (2) có nghi m ⇔ ∆' = −2a + 4a + ≥ ⇔ − ≤ a ≤ + V y: minK = − PT (2) có nghi m kép x = − maxK = + PT (2) có nghi m kép x = + 2 4) Tìm c p s (x,y) th a mãn phương trình : 3x2 – 6x +y – = (1) cho y ñ t giá tr l n nh t Gi i: Xét phương trình b c hai , n x tham s y N u t n t i c p s (x,y) th a mãn phương trình (1) PT (1) ph i có nghi m Do ñó ∆' ≥ ⇔ − 3( y − 2) ≥ ⇔ y ≤ V y max y = PT(1) có nghi m kép x =1 Nên c p s c n tìm (1;5) 5) Tìm GTNN c a bi u th c sau: ( x + 2007) x x 6) Tìm GTLN c a bi u th c G = ( x + 2000) a) E = x2 + x +1 x + 2x + Người viết: Trần Ngọc Duy b) F = GV trường THCS – DTNT Ba Tô Trang 21 Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ K T LU N Trên ñây nh ng phương pháp, nh ng d ng t p mà qua trình gi ng d y, tham gia b i dư ng h c sinh gi i, d y h c t ch n mà b n thân tơi t ng h p ñư c Th t ñây nh ng tốn mà ta có th b t g p sách, ñ thi, … Vi c phân chia d ng t p tài li u ch có tính tương đ i đ cho d tìm Trong m i tốn , tuỳ theo cách nhìn mà ta s có hư ng gi i tương ng ð h c sinh có đư c cách gi i tương ng c a m i tốn ph i d y cho h c sinh n m th t ch c ki n th c b n, n m ñư c phương pháp gi i d ng t p thư ng xuyên rèn luy n k gi i t p cho h c sinh V i suy nghĩ v y Tôi tin tư ng m i có th làm cho h c sinh khơng b ng lúng túng g p d ng tốn th này.Vì kh th i gian có h n nên sáng ki n xin t m d ng t i ñây R t mong s góp ý c a đ ng chí, đ ng nghi p ñ sáng ki n ñư c phát huy ñư c m r ng n a Ba Tơ, ngày 20 tháng 11 năm 2006 Ngư i vi t Trần Ngọc Duy Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 22 Sáng ki n kinh nghi m :‘ M t s phương pháp tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t bi u th c ñ i s ’ TÀI LI U THAM KH O Toán nâng cao ð i s c a Nguy n Vũ Thanh – NXB Giáo d c -1997 Toán nâng cao ð i s c a Nguy n Vũ Thanh – NXB ðà N ng -1996 Bài t p nâng cao m t s chun đ Tốn c a Bùi Văn Tuyên - NXB Giáo d c – 2005 M t s ñ thi HSG c p thi n sinh vào l p 10, … Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ Trang 23 ... v tìm GTNN c a bi u th c = y x Ta có x + 19 82 + 2 .19 82 x 19 82 19 82 = = x+ + 2 .19 82 ≥ x + 2 .19 82 = 4 .19 82 y x x x D u ‘ = ‘ x y x = 19 82 ⇔ x = 19 82 x = 4 .19 82 x = 19 82 y Do max y = x = 19 82 4 .19 82... Cho x > , tìm GTNN c a bi u th c M = ( x + 19 94) x Gi i: Ta có M = x + 2 .19 94 + 19 94 19 94 19 94 = x+ + 2 .19 94 ≥ x + 2 .19 94 = 2 .19 94 + 2 .19 94 x x x = 4 .19 94 D u ‘ = ‘ x y x = 19 94 ⇔ x = 19 94 x V... 2t + 1) – = (t +1) 2 – ≥ -1 2 ⇒ MinB = -1 ⇔ t = -1 ⇔ x - 2x = -1 ⇔ x - 2x +1 =0 ⇔ (x – 1) = ⇔x =1 V y minB = -1 x = b) C = (x – 2y)2 + 10 (x – 2y) + (y – 1) 2 + 25 + = (x – 2y + 5)2 + (y – 1) 2 +