Đang tải... (xem toàn văn)
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT TRONG TẬP N
Phßng GD - §T huyÖn Thanh Oai Tr êng THCS Cao Viªn ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT TRONG TẬP N Tác giả: VŨ THỊ LAN Giáo viên : Trường THCS Cao Viên Thanh Oai - Hà Nội Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 năm học 2009 -2010 Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập Tự do Hạnh phúc -----------o0o----------- S Y U Lí L CH H v tờn: V TH LAN Ng y thỏng n m sinh: 06/04/1980 N m v o ng nh: 2002 Ch c v : Giỏo viờn n v cụng tỏc: Tr ng THCS Cao Viờn Trỡnh chuyờn mụn: i h c toỏn H o t o: Chớnh quy B mụn ging dy: Môn toán Ngoại ngữ: Anh văn Trình độ chính trị: Sơ cấp Khen thởng: - Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2002 - 2003 - Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2003 - 2004 - Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2006 - 2007 - Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2007 - 2008 - Sáng kiến kinh nghiệm cấp tỉnh năm học 2003 - 2004 GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên 2 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 - Sáng kiến kinh nghiệm cấp thành phố năm học 2007 - 2008 PH N TH NH T M U 1. Lý do ch n t i: a. C s lớ lu n: Toỏn h c l m t mụn khoa h c gõy nhi u h ng thỳ cho h c sinh, nú l m t mụn h c khụng th thi u trong quỏ trỡnh h c t p, nghiờn c u v c trong cu c s ng h ng ng y. M t nh toỏn h c ó núi: Toỏn h c c xem nh l m t khoa h c ch ng minh. Trong cỏc mụn h c ph thụng toỏn h c c coi nh l m t mụn h c c b n, l n n t ng cỏc em phỏt huy c n ng l c b n thõn, gúp ph n t o i u ki n cỏc em h c t t cỏc mụn khoa h c t nhiờn khỏc. V y d y nh th n o h c sinh khụng nh ng n m c hc ki n th c c b n m t cỏch cú h th ng m ph i c nõng cao phỏt tri n cỏc em cú h ng thỳ say mờ h c t p l m t cõu h i m m i th y cụ luụn t ra cho mỡnh. Tuy nhiờn h c t t mụn toỏn thỡ ng i giỏo viờn ph i bi t ch t l c n i dung ki n th c, ph i i t d n khú, t c th n tr u t ng v phỏt tri n th nh t ng quỏt giỳp h c sinh cú th phỏt tri n t duy toỏn h c, l m cho cỏc em tr nờn yờu thớch toỏn h n t ú cỏc em cú ý th c h c t p m b o yờu c u c a th i i m i. b. C s th c ti n: L m t giỏo viờn d c phõn cụng gi ng d y l p 6A, 6C v i nhi u i t ng h c sinh khỏ gi i, cỏc em cú t duy nh y bộn v nhu c u hi u bi t ng y c ng cao, l m th n o phỏt huy c h t kh n ng c a cỏc em ú l trỏch nhi m c a m i ng i giỏo viờn. Qua gi ng d y ch ng trỡnh toỏn l p 6 tụi nh n th y t i v phộp chia h t l m t t i th t lý thỳ, phong phỳ a d ng khụng th thi u mụn s h c l p 6. GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên 3 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Vi c gi i b i toỏn chia h t l m t d ng toỏn hay, v i mong mu n cung c p cho cỏc em m t s ph ng phỏp gi i cỏc b i toỏn v chia h t, giỳp cỏc em l m b i t p t t h n nh m tớch c c hoỏ ho t ng h c t p, phỏt tri n t duy, do ú trong n m h c n y tụi ch n t i: M t s ph ng phỏp gi i cỏc b i toỏn v chia h t trong t p N th c hi n trong ch ng trỡnh toỏn l p 6. 2. M c ớch nghiờn c u: - Cỏc ph ng phỏp th ng dựng gi i cỏc b i toỏn v phộp chia h t. - Rốn k n ng v n d ng ki n th c khi gi i b i toỏn v phộp chia h t. - C ng c v h ng d n h c sinh l m b i t p. 3. Nhi m v nghiờn c u: - Nhi m v khỏi quỏt: Nờu nh ng ph ng phỏp gi i b i toỏn chia h t theo ch ng trỡnh m i. - Nhiờm v c th : - Tỡm hi u th c tr ng h c sinh. - Nh ng ph ng phỏp th c hi n. - Nh ng chuy n bi n sau khi ỏp d ng. - B i h c kinh nghi m. 4. i t ng nghiờn c u. - t i nghiờn c u qua cỏc ti t d y v phộp chia h t trong t p N, trong SGK toỏn 6 t p 1, qua nh h ng i m i ph ng phỏp d y toỏn 6. - i t ng kh o sỏt: HS l p 6A, 6C tr ng THCS Cao Viờn. 5. Ph ng phỏp nghiờn c u: - Ph ng phỏp nghiờn c u t i li u SGK, sỏch tham kh o. - Ph ng phỏp ki m tra, th c h nh. - Ph ng phỏp phỏt v n, m tho i nghiờn c u v n . - T ng k t kinh nghi m c a b n thõn v c a ng nghi p khi d y ph n phộp chia h t. GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên 4 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 PH N TH HAI N I DUNG I. TH C TR NG C A V N NGHIấN C U . I.1. c i m tỡnh hỡnh l p : L p 6A, 6C cú s l ng h c sinh khụng ng u v m t nh n th c gõy khú kh n cho giỏo viờn trong vi c l a ch n ph ng phỏp phự h p. Nhi u h c sinh cú ho n c nh khú kh n do ú vi c u t v th i gian v sỏch v b h n ch v nh h ng khụng nh n nh n th c v s phỏt tri n t duy c a cỏc em. a s cỏc em hay tho món trong h c t p, cỏc em cho r ng ch c n h c thu c lũng cỏc ki n th c trong SGK l . Chớnh vỡ v y m cỏc em ti p thu ki n th c m t cỏch th ng, khụng t m y mũ, khỏm phỏ ki n th c m i, h u h t cỏc em u h p t p khi gi i cỏc b i t p d ng n y. VD: L i gi i c a em Lờ Th Thu - L p 6A (B i 85 trang 36 SGK NXBGD 2002) p d ng tớnh ch t chia h t xột xem t ng (560 + 18 + 3) cú chia h t cho 7 khụng? HS gi i: Ta cú 560 chia h t cho 7 18 khụng chia h t cho 7 3 khụng chia h t cho 7 nờn (560 + 18 + 3) khụng chia h t cho 7. L i gi i ỳng: Ta cú 560 M 7 (18 + 3) M 7 Suy ra (560 + 18 + 3) M 7 GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên 5 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 (H c sinh m c sai l m do ch a hi u rừ tớnh ch t chia h t: N u trong m t t ng cú 2 s h ng khụng chia h t cho 1 s thỡ ch a th k t lu n c t ng ú cú chia h t cho s ú hay khụng) Qua m t th i gian tụi ó ti n h nh i u tra c b n v thu c k t qu nh sau: + L p 6A: S em l i h c b i, l i l m b i t p chi m kho ng 50%, s h c sinh n m c ki n th c v bi t v n d ng v o b i t p chi m kho ng 30%. + L p 6C: S em l i h c b i, l i l m b i t p chi m kho ng 85%, s h c sinh n m c ki n th c v bi t v n d ng v o b i t p chi m kho ng 10%. I.2. Nguyờn nhõn: Nguyờn nhõn c a v n trờn l do cỏc em ch a cú ý th c t giỏc h c t p, ch a cú k ho ch th i gian h p lý t h c nh , h c cũn mang tớnh ch t l y i m, ch a n m v ng hi u sõu ki n th c toỏn h c, khụng t ụn luy n th ng xuyờn m t cỏch h th ng, khụng ch u tỡm tũi ki n th c m i qua sỏch nõng cao, sỏch tham kh o, cũn hi n t ng d u d t khụng ch u h c h i b n bố, th y cụ. ng tr c th c tr ng trờn tụi th y c n ph i l m th n o kh c ph c tỡnh tr ng trờn nh m nõng cao ch t l ng h c sinh, l m cho h c sinh thớch h c toỏn h n. V y tụi thi t ngh t i c a tụi nghiờn c u v v n n y l b c i ỳng n v i tỡnh tr ng v s c h c c a h c sinh hi n nay. II. BI N PH P GI I QUY T V N NGHIấN C U. t c hi u qu khi gi i cỏc b i toỏn núi chung v gi i cỏc b i toỏn v chia h t núi riờng, tụi ó rốn cho h c sinh ghi nh khỏi ni m, cụng th c, nh ngh a, quy t c ỏp d ng gi i m t s b i toỏn d ng n y. GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên 6 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 II.1. TR C TIấN H C SINH PH I N M V NG NH NGH A T NH CH T, D U HI U CHIA H T. 1. nh ngh a: Cho hai s t nhiờn a v b (b 0), n u cú s t nhiờn x sao cho b.x = a thỡ ta núi a chia h t cho b v ta cú phộp chia h t a: b = x. 2. Tớnh ch t c a quan h chia h t. + S 0 chia h t cho mo s b 0. + S a chia h t cho a v i m i a 0. + N u a chia h t cho bv b chia h t cho c thỡ a chia h t cho c. + N u a chia h t cho b v b chia h t cho a thỡ a = b. + N u a chia h t cho b v a chia h t cho c m (b, c) =1 thỡ a chia h t cho b.c + N u a .b chia h t cho m v (b, m) = 1 thỡ a chia h t cho m. + N u a.b chia h t cho m v m l s nguyờn t thỡ a chia h t cho m ho c b chia h t cho m. + N u a chia h t cho m v b chia h t cho n thỡ a.b chia h t cho m.n + N u a chia h t cho m v b chia h t cho m thỡ (a b) chia h t cho m. + N u a chia h t cho m v b khụng chia h t cho m thỡ (a b) khụng chia h t cho m. + N u a chia h t cho m thỡ n a chia h t cho m (n N). +N u a chia h t cho b thỡ n a chia h t n b (n N). 3. Cỏc d u hi u chia h t. a. D u hi u chia h t cho 2: M t s chia h t cho 2 ch s t n cựng c a s ú l s ch n. b. D u hi u chia h t cho 5: M t s chia h t cho 5 ch s t n cựng c a s ú b ng 0 ho c 5. GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên 7 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 c. D u hi u chia h t cho 3(ho c 9). Mụt s chia h t cho 3 (ho c 9) t ng cỏc ch s c a s ú chia h t cho 3 (ho c 9). Chỳ ý: M t s chia h t cho 3 (ho c 9) d bao nhiờu thỡ t ng cỏc ch s c a nú chia 3 (ho c 9) d b y nhiờu v ng c l i. d. D u hi u chia h t cho 4(ho c 25). M t s chia h t cho 4 (ho c 25) hai ch s t n cựng c a s ú chia h t cho 4 (ho c 25). e. D u hi u chia h t cho 8 (ho c125). M t s chia h t cho 8 (ho c 125) ba ch s t n cựng c a s ú chia h t cho 8 (ho c 125). f. D u hi u chia h t cho 11. M t s chia h t cho 11 hi u gi a t ng cỏc ch s h ng l v cỏc ch s h ng ch n (t trỏi sang ph i) chia h t cho 11. Sau khi h c sinh ó n m ch c c lý thuy t thỡ vi c v n d ng lý thuy t v o gi i b i t p l vụ cựng quan tr ng, do v y ng i giỏo viờn khụng ch n thu n cung c p l i gi i m quan tr ng h n l d y cho cỏc em bi t suy ngh tỡm ra con ng h p lý gi i b i toỏn nh nh toỏn h c Pụlia ó núi Tỡm c cỏch gi i m t b i toỏn l m t i u phỏt minh . Tuy nhiờn khi gi i b i t p d ng n y tụi khụng mu n d ng l i nh ng b i t p SGK m tụi mu n gi i thi u thờm m t s b i t p i n hỡnh v m t s ph ng phỏp gi i cỏc b i t p ú. II.2. PH NG PH P GI I C C B I TO N V CHIA H T 1. Ph ng phỏp 1 : D a v o nh ngh a phộp chia h t. ch ng minh s a chia h t cho s b (b 0) ta bi u di n a d i d ng tớch, trong ú cú 1 th a s b ng b (ho c chia h t cho b). GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên 8 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 B i 1 : Cho n N, ch ng minh r ng (5n) 100 chia h t cho 125 Gi i : Ta cú : (5n) 100 = 5 100 . n 100 = 3 97 100 97 100 5 .5 . 125.5 . 125n n= M V y (5n) 100 chia h t cho 125. B i 2 : Ch ng minh s abcabc chia h t cho 143. Gi i: Ta cú: abcabc = 1001. abc = 7.11.13. abc =143.(7 abc ) M 143. V y abcabc chia h t cho 143. B i 3 : Ch ng minh r ng: 2 3 99 100 (5 5 5 . 5 5 )S = + + + + + chia ht cho 6. Gii: Ta cú 2 3 99 100 2 3 4 99 100 3 99 3 99 3 99 (5 5 5 . 5 5 ) (5 5 ) (5 5 ) . (5 5 ) 5(1 5) 5 (1 5) . 5 (1 5) 5.6 5 .6 . 5 .6 6.(5 5 . 5 ) 6 S = + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + = + + + M 2. Ph ong phỏp 2 : D a v o tớnh ch t c a quan h chia h t . * Dựng tớnh ch t chia h t c a m t t ng, hi u. - ch ng minh a chia h t cho b 0 ta bi u di n s a d i d ng m t t ng c a nhi u s h ng r i ch ng minh t t c cỏc s h ng ú u chia h t cho b. - ch ng minh a khụng chia h t cho b 0 ta bi u di n s a d i d ng m t t ng c a nhi u s h ng r i ch ng minh cú m t s h ng khụng chia h t cho b cũn t t c cỏc s h ng cũn l i u chia h t cho b. B i 1 : Ch ng minh r ng: T ng c a 3 s l liờn ti p chia h t cho 3 nh ng khụng chia h t cho 6. Gi i : G i 3 s l liờn ti p l : 2n+1; 2n+3 ; 2n+5 (n N) GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên 9 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 T ng c a 3 s ú l : a = (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) = 6n+ 9 = 6n + 6 + 3 Suy ra a chia h t cho 3 (vỡ 3 s h ng c a a u chia h t cho 3). M t khỏc: 6n M 6 v 6 M 6 nh ng 3 khụng chia h t cho 6 Do ú a khụng chia h t cho 6. V y t ng c a 3 s l liờn ti p chia h t cho 3 nh ng khụng chia h t cho 6. B i 2 : Tỡm s t nhiờn n sao cho: a. n + 2 chia h t cho n 1. b. 2n + 7 chia h t cho n+1. Gi i : C n c v o tớnh ch t chia h t c a m t t ng (hi u) ta cú th rỳt ra ph ng phỏp chung gi i d ng n y d a v o nh n xột sau: N u A M B thỡ (mA + nB) ho c (mA - nB) M B (m, n) a) Vỡ (n + 2) M (n 1) suy ra [(n+ 2) (n 1)}] M (n 1) Hay 3 M (n 1) Do ú (n 1) (3) = {1 ; 3} + N u n 1 = 1 thỡ n = 2 + N u n 1 = 3 thỡ n = 4 V y v i n = 2; 4 thỡ (n+2) M (n 1) b) Vỡ (2n + 7) M (n + 1) suy ra [( 2n + 7) 2(n + 1)] M (n + 1) hay 5 M (n + 1) Do ú (n+ 1) (5) = {1 ; 5} + N u n+ 1 = 1 thỡ n = 0 + N u n + 1 = 5 thỡ n = 4 GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên 10 [...]... hợp có nh vậy mới đạt đợc hiệu quả tốt II bài học kinh nghiệm: Tr n đây l mt s dạng to n thờng gặp trong chơng trình to n THCS Mỗi dạng to n có những đặc điểm khác nhau và c n có thể chia nhỏ từng dạng trong mỗi dạng tr n Việc ph n dạng nh tr n giúp học sinh d tiếp thu h n và thấy đợc trong từng bài to n ta n n áp dụng ki n thức n o cho phù hợp Mỗi dạng to n tôi ch n 1 số bài to n cơ b n đi n hình để... tốt đợc bài tập dạng To n chia hết n y học sinh c n phải n m chắc các ki n thức cơ b n nh: Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích, dấu hiệu chia hết của các số thờng gặp nh: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, b n cạnh đó c n hiểu nguy n lý irichlê, phơng pháp chng minh ph n chứng và một số phơng pháp khác n a Tuy nhi n trong quá trình làm học sinh c n v n dụng linh hoạt n i dung ki n thức tr n vào từng bài cho... 1 0n + 1 8n - 1 chia hết cho 27 * Bài tập tơng tự: Bài 1: Chứng minh rng: a) -1 0n + 7 2n - 1 chia hết cho 91 b) - 2 2n + 1 5n - 1 chia hết cho 9 với mọi n nguy n dơng Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n tự nhi n thì: (n+ 19931994 ). (n+ 19941993 ) chia hết cho 2 Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhi n n thì 4.3 2n+ 2 + 3 2n - 36 M 64 Vì 4 3 2n+ 2 + 3 2n - 36 = 4 (3 2n+ 2 - 8n - 9) n n bài to n đa về việc chứng minh:... Chứng minh rằng: n3 - n chia hết cho 6 với n là s t nhi n * Cách 1: Vì (2, 3) = 1 n n chỉ c n chứng minh n3 - n chia hết cho 2 và chia hết cho 3 Ta có n3 - n = n( n2 - 1) = n( n + 1) (n - 1) Mà n, n + 1, n - 1 là 3 số tự nhi n li n tiếp n n (n - 1 )n( n + 1) M 2 21 GV: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Vi n Đề tài sáng ki n kinh nghiệm N m học 2009 - 2010 Mặt khác: n có thể biểu di n thành một trong các dạng sau 3k,... và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số d trong phép chia cho 9, do đó 11 1 - n chia hết cho 9 n ch s Ta có: 2n + 11 1 = 3n + (11 1 - n) chia hết cho 3 n ch s n ch s Bài 3: Chứng minh rằng A = 1 0n + 1 8n - 1 chia hết cho 27 * Cách 1: A = 1 0n + 1 8n - 1 = 1 0n - 9n + 2 7n - 1 = 99 9 - 9n + 2 7n = 9(11 1 - n) + 2 7n n ch s n ch s Mà 2 7n chia hết cho 27 n n (11 1 - n) chia hết cho 9 suy ra 9(11 1 - n) n ch... -1) M 80 n n (81k+1 -1) Vậy với n lẻ thì 4 3 2n+ 2 + 32b - 36 M16 M64 Kết lu n: Vậy với mọi số tự nhi n n thì 4(3 2n+ 2 + 8n - 9) M64 * Bài tp tng t: Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhi n n thì 3n+ 2 + 4 2n- 1 M13 Bài 2: Với mọi n nguy n dơng, chứng minh rằng: 6 2n + 3n+ 2 + 3n M11 Bài 6: Chứng minh tổng k số t nhi n li n tiếp (k lẻ) thì chia hết cho k Giải: Gọi k số nguy n li n tiếp là n, n+ 1, n+ 2, , n + k-1... cùng số d với 2k khi chia cho 3 Để số nh n đợc chia hết cho 3 thì 2k phải chia hết cho 3, n n số nhỏ nhất là 3, tức là ít nhất phải viết 3 l n số 1994 li n tiếp nhau Bài 4: Tìm 3 chữ số t n cùng của tích 4 số tự nhi n li n tiếp khác không, biết rằng tích n y chia hết cho 125 Tích n y nhỏ nhất bằng bao nhiêu? HD: Tích 4 số tự nhi n li n tiếp chia hết cho 8 thì tích 4 số tự nhi n li n tiếp cũng chia hết. .. tài sáng ki n kinh nghiệm N m học 2009 - 2010 Vy vi n = 0; 4 thỡ ( 2n + 7) M (n + 1) Bi 3: Chng minh tng ca 3 s t nhi n li n tip lu n chia ht cho 3 Gii: Gi 3 s t nhi n li n tip l: n; n + 1; n + 2 Tng ca 3 s t nhi n ú l: n + (n + 1) + (n + 2) = (n + n + n) + (1 + 2) = 3n + 3 chia ht cho 3 (Tớnh cht chia ht ca mt tng) T bi tp ny giỏo vi n cú th a ra tỡnh hung: Cú phi tng ca n s t nhi n li n tip lu n chia. .. Lan Trờng THCS Cao Vi n Đề tài sáng ki n kinh nghiệm N m học 2009 - 2010 MC LC PHN TH NHT A.M u 1 Lớ do chn ti 2 Mc ớch nghi n cu 3 Nhim v nghi n cu 4 i tng nghi n cu 5 Phng phỏp nghi n cu PHN TH HAI B Ni dung I Thc trng ca vn nghi n cu I.1 c im tỡnh hỡnh lp I.2 Nguy n nh n II Bin phỏp gii quyt vn nghi n cu II.1 nh ngha,tớnh cht,du hiu chia ht II.2 Phng phỏp gii cỏc bi to n v chia ht II.3 Mt s dng... để học sinh hiểu cách làm, song sau khi gii giỏo vi n n n ch ra mt c im, mt hng gii quyt no ú khi gp cỏc bi tng t hc sinh cú th li n h c và từ đó để làm các bài tập mang tính tơng tự và d n nâng cao l n Trong quá trình làm dạng to n n y tôi đặc biệt chú ý đ n nội dung các bài to n có sự sắp xếp theo trình tự từ dễ đ n khó và các dạng rất phong phú, đa dạng nhằm cung cấp cho học sinh lợng ki n thức phù . TÀI SÁNG KI N KINH NGHIỆM T n đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TO N VỀ CHIA HẾT TRONG TẬP N Tác giả: VŨ THỊ LAN . tiếp cũng chia hết cho 125 n n 3 chữ số t n cùng là 000. Trong tích của 4 số tự nhi n tiếp không thể có 2 số chia hết cho 5 n n phải có một số chia hết cho