Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Sở giáo dục đào tạo hà nội Phòng giáo dục đào tạo huyện oai đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Tờn ti: Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ Tỏc gi: Nguyễn Chc v: Giỏo viờn Thị Hơng Mơn đào tạo: Tốn Đơn vị cơng tác: Trường THCS Nguyn Trc Thuc: Huyn Thanh Oai Đề tài thuộc lĩnh vực: Giảng dạy Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Cộng hoà xà hội chđ nghÜa viƯt nam §éc lËp - Tù - Hạnh phúc -*** - đề tài sáng kiến kinh nghiệm I sơ yếu lí lịch Họ tên : Nguyễn Thị Hơng Ngày, tháng, năm sinh : 30/ 11/ 1972 Năm vào ngành : 1994 Ngày vào Đảng : 28/ 02/ 2000 Chức vụ, đơn vị công tác : Giáo viên - Trờng THCS Nguyễn Trực Thanh Oai - Hà Nội Trình độ chuyên môn : Đại học -Toán Bộ môn giảng dạy : Toán Khen thởng : - Nhiều năm chiến sĩ thi đua cấp sở - năm có sáng kiến kinh nghiệm đạt cấp tỉnh Nguyễn Thị H¬ng - Trêng THCS Ngun Trùc - Thanh Oai Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 II nội dung đề tài Tên đề tài : Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ Lý chọn đề tài Một công tác quan trọng nhà trờng phổ thông đào tạo bồi dỡng nhân tài Để hoàn thành nhiệm vụ với cơng vị giáo viên giảng dạy môn Toán, nhận thấy cần thiết phải cải tiến phơng pháp nhằm nâng cao chất lợng dạy học Đợc phân công giảng dạy môn Toán trực tiếp bồi dỡng HSG môn toán nên đề tài năm chọn viết chuyên đề : Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ Trong SGK Toán đà đa cho học sinh số phơng trình vô tỉ song phơng trình mức độ đơn giản, em cha có hệ thống phơng pháp giải Vì gặp toán giải phơng trình vô tỉ em lúng túng thờng mắc sai lầm giải Chính chọn đề tài Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ để tránh đợc cho em sai lầm hay mắc phải có hệ thống phơng pháp giải phơng trình vô tỉ để luyện tập đợc nhiều dạng phơng trình vô tỉ trở thành quen thuộc em Phạm vi, thời gian thực đề tài: Phạm vi: Líp 9A2 - Trêng THCS Ngun Trùc - Thanh Oai Thêi gian: 12 tiÕt ®ã cã tiÕt kiĨm tra Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 III Quá trình thực đề tài A- Khảo sát thực tế Khi cha thực đề tài này, gặp toán giải phơng trình vô tỉ em lúng túng, đa số mắc phải sai lầm trình giải nh không đặt điều kiện cho ẩn để phơng trình có nghĩa điều kiện cho ẩn phép biến đổi tơng đơng dẫn đến sai nghiệm phơng trình B- Những biện ph¸p thùc hiƯn BiƯn ph¸p 1: Gióp c¸c em hiĨu đợc phơng trình vô tỉ Phơng trình vô tỉ phơng trình có có chứa ẩn dấu Ví dụ: x + x = 13 x - 5x = 3x x x 3 3x 15 x 6 BiƯn ph¸p 2: ChØ cho häc sinh thÊy mét sè sai lầm thờng gặp giải phơng trình vô tỉ Sai lầm không ý điều kiện có nghĩa thức Ví dụ1: Giải phơng trình: 2x x 0 (1) Lêi gi¶i sai (1) 2x x x x x Vậy phơng trình có nghiệm x = -2 Phân tích sai lầm: Giá trị x = -2 không nghiệm phơng trình (1) x = -2 th× 2x x nghĩa Để khắc phục sai lầm ta có cách: Cách 1: Tìm điều kiện có nghĩa thức Cách 2: Thử lại giá trị tìm đợc vào phơng trình ban đầu Lời giải nh sau: Điều kiện có nghĩa thức: Khi ®ã (1) 2x x 2 x 0 x 1 x 0 x x x (không thoả mÃn điều kiện) Nên phơng trình (1) vô nghiệm Sai lầm không đặt điều kiện ẩn để biến đổi tơng đơng Ví dụ 2: Giải phơng trình x + x (2) Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Lời giải sai (2) Năm học 2009 - 2010 x 3 x x - = - 6x + x2 x2 - x + 10 = x1 = ; x = Vậy phơng trình cã nghiÖm x1 = ; x2 = Nhng giá trị x2 = nghiệm phơng trình (2) Vì x x = cßn - x = - = - Để khắc phục sai lầm ta phải đặt điều kiện cho vế phải số không âm, vế trái số không âm Lời giải : ®k : x - 1> x > (2) x 3 x §K: 3- x > x < x - = - 6x + x2 x2 - x + 10 = x1 = ; x2 = loại không thoả mÃn điều kiện x < Chỉ có thoả mÃn điều kiện < x < Vậy phơng trình có nghiệm x = Có toán học sinh mắc sai lầm Ví dụ 3: Giải phơng trình x 5x 3x (3) Lêi gi¶i sai: (3) x 5x 3x x - = 5x -1 + 3x - + - 7x = 15x 13x (3’) 15x 13x - 28 x + 49 x2 = 60 x2 - 52 x + 11x2 - 24 x + = (11x - 2) (x - 2) = x1 = 11 (3’’) ; x2 = VËy PT (3) cã nghiƯm lµ x1 = ; x2 = 11 Phân tích sai lầm: * Các em không ý đến điều kiện có nghĩa thức: ThËt vËy: §K : 0 x 0 5 x 3x x Do x = nghiệm phơng trình (3) 11 Để khắc phục sai lầm ta cần tìm điều kiện có nghĩa thức phải thử lại giá trị tìm đợc vào phơng trình (3) Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 * Các em không đặt ĐK để biến đổi tơng đơng: Thật phơng trình (3) (3) không tơng đơng - 7x < Phơng trình (3’) (3’’) víi ®iỊu kiƯn - 7x > 0, x = nghiệm phơng trình (3) Nên phơng trình vô nghiệm Lời giải đúng: Cách 1: Sau tìm đợc x1 = ; x2 = thử lại vào (3) không thoả mÃn kết luận 11 phơng trình vô nghiệm Cách 2: Đặt điều kiện có nghĩa cho thức (3) x > 1, sau đặt điều kiện cho (3) tơng đơng với (3) x < giá trị x1; x2 không thoả mÃn điều kiện kết luận phơng trình vô nghiệm Cách 3: Từ việc đặt điều kiện có nghĩa thức x > x Giải: (4) §K: x - > x> 2x = x - 2x - = x2 - x + x2 - 8x + 12 = (x - 6) (x - 2) = x1 = ; x2 = (không thoả mÃn điều kiện) loại Vậy phơng trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phơng trình x + x = 13 (5) ĐK x > (*) Giải: (5) ĐK x < 13 (**) x = 13 - x x - = 169 - 26 x + x2 x2 - 27 x + 170 = (x-1) (x-10) = x1 = 17 (không thoả mÃn **) loại x2 = 10 (thoả mÃn đk) Vậy phơng trình (5) có nghiệm x = 10 Ví dụ 3: Giải phơng trình 2x 3x 2 (6) §K: x > Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Gi¶i: x = 3x +2 2x + = 3x - + + 3x 6-x = 3x Víi ®k x < Phơng trình 36 - 12x + x2 = 16(3x-5) x2 - 60x + 116 = (x-58)(x-2) = x1 = 58 loại (không thoả mÃn đk) x2 = (thoả mÃn đk) Vậy PT(6) cã nghiƯm x = VÝ dơ 4: Gi¶i PT 10 x x 5 (7) Gi¶i: §K: 10 x 0 x 10 x 0 (7) 10 - x + x + + (10 x )( x 3) = 25 (10 x )( x 3) = - x2 + 7x + 30 = 36 x2 - 7x + = (x-1) (x-6) = x1 = (thoả mÃn đk) x2 = (thoả mÃn đk) Vậy phơng trình (7) có nghiệm x1 = ; x2 = Ví dụ 5: Giải phơng tr×nh x x = x + Giải : (8) (8) ĐK + x x > + x x = x2 + 2x + x x = x (x+2) x [ x -( x - )] = x 0 x x (*) DK : x PT (*) x2 + = x2 + 4x +4 4x = x=0 DÔ thÊy x = th× + x x = > thoả mÃn đk Nêu pt có nghiƯm x = VÝ dơ 6: Gi¶i PT 3x 1 3x x x2 (9) Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Giải: ĐK : 22 0; (9) x Năm học 2009 - 2010 x 0 x 22 x x §K: x 1 x 12 1 22 x 3x 9 x x x x 4 x 3x 9 x 1 0 ( ) 0 x 3x x x Do 1 0 0 x x x DƠ thÊy x = th× 22 x (tho¶ mÃn đk) x x Vậy phơng tr×nh cã nghiƯm x = VÝ dơ 7: Giải phơng trình Giải: (10) x 45 x 45 x + 45 - x + 16 - 3 3 x 16 1 (10) x 16 1 ( x 45)( x 16) (3 x 45 x 16 ) 1 ( x 45)( x 16) 20 (x + 45) (x - 16) = 8000 x2 - 29x - 8720 = (x - 80) (x + 109) = x1 = 80 x2 = -109 VËy ph¬ng tr×nh (10) cã nghiƯm x1 = 80 ; x2 = -109 Ví dụ 8: Giải phơng trình (11) 2x x 1 Gi¶i: (11) 2x + + x + 3x + 3 x (2 x 1) (3 x x ) 1 x (2 x 1) 0 x ( x 1) x x (2x+1) = - x3 x(x2 + 2x + 1) = Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 x (x+1)2 = x1= 0; x2 = -1 Giá trị x2 không thoả mÃn (11) Ví dụ 9: Giải phơng trình Giải: (12) x+ x x 1 x (12) ®k : x> x x 1 x x 1 - x (*) Víi ®iỊu kiƯn - x > x < Phơng trình (*) x2 + x = - 2x + x2 3x= x= (thoả mÃn đk) Vậy phơng trình (12) có nghiệm x = Ví dụ 10: Giải phơng tr×nh x 2x 3 x x Giải: ĐK : (13) x x 0 x 1 x ( x 1)( x 3) Khi (13) x x (vì x>1) x = x +3 x +3 = x2 + 6x + x2 + 5x + = (x+2) (x+3) = x1 = -2 (loại) x2 =-3 (loại) Vậy phơng trình (13) vô nghiệm Ví dụ 11: Giải phơng trình x 10x 21 3 x Giải: ĐK : x 0x 21 0 x 0 x 0 Khi ®ã (14) x ( x 3)( x 7) x x 0 x ( x 3) 2( x 3) 0 ( (14) x 7 x 2)( x 3) 0 x 0 x 0 x 2 x 1 x 3 x 2 (TM ) VËy ph¬ng tr×nh (14) cã nghiƯm x1 = 1; x2 = II/ Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Các em cần nắm vững đẳng thức A2 A để làm dấu Sau để phá dấu GTTĐ ta xét khoảng dùng bất đẳng thøc A B A B x¶y dÊu “=” A.B > A >A x¶y dÊu “=” A > A >-A x¶y dÊu “=” A < VÝ dơ 1: Gi¶i phơng trình: Giải: Điều kiện x > (15) ( x 1) x 2 x x x 2 (15) ( x 1) 2 x 1 x = x 1 x áp dụng BĐT A > - A x¶y dÊu “=” A < x 1 x Ta cã x 1 x x 0 x (16) x x x 2.2 x 1 ( x 1) (16) ( x 2) 1 x x áp dụng BĐT A B A B x¶y dÊu “=” A.B > Ta cã: x x x x 1 x 2 x = ( x 1)( x 4) 0 < x < < x- < < x < (thoả mÃn đk) Vậy nghiệm phơng trình (16) < x < Ví dụ 3: Giải phơng trình x x x 1 Giải: ĐK x > (17) ( x x 1) (17) x 1 x x 1 (*) + xÐt < x < < x < PT (*) - x x = Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 10 Đề tài s¸ng kiÕn kinh nghiƯm 2x 1 1 x 2x Ví dụ 4: Giải phơng trình: Giải: §K x 0 x 1 x x 0 1 x x (24) 2x x 1 =2 1 x 2x 2x t 1 x §Ỉt =2 (24) x 1 2x t Ta có phơng trình t + 2x x Với t = Năm học 2009 - 2010 t =2 t2 - 2t +1 = (t-1)2 = t = = 2x = + x x = (tho¶ m·n ®iỊu kiƯn) VËy PT (24) cã nghiƯm x = 1 x x x 2 Ví dụ 5: Giải phơng trình đk x ; Giải: (25) Đặt x t 4 Thay vào phơng trình (25) ta ®ỵc 1 t 2 2 t2 21 0 loai t1 1 2 t t 2 t t 0 21 21 x t2 x 2 Vậy phơng trình (25) có nghiệm Ví dụ 6: Giải phơng trình Giải: Ta thấy nên Đặt ( x 5 x (26) 10 1 5 Khi ®ã (26) Víi: x 2 t t 5 x 5 t 0 x t 10 t 10t 0 t 5 x t 5 t 5 5 5 x 5 0) x 2 Víi : t 5 5 x x 5 x 2 Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 14 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Vậy phơng tr×nh (26) cã nghiƯm x1 = -2; x2 = Ví dụ 7: Giải phơng trình x 1 (27) 33 x 1 23 x Gi¶i: Ta nhËn x =1 nghiệm cuả pt (27) Với x Phơng trình (27) Đặt x 1 x 1 23 x1 x 1 x 1 t (27) t 2t 0 x t 1 t Víi t1=1 x 1 x 1 x 1 0x 2 x1 x1 x1 v« nghiƯm Víi t2=-3 x x 27 x 27x 27 28x 26 x x1 13 x 14 Vậy phơng trình (27) có nghiệm x 13 14 Ví dụ 8: Giải phơng trình 2x x Đặt x = a (28) x =b Ta cã hƯ ph¬ng trình : Giải (2) (1- a)(1 + a + a2 ) +2( 1- a)2 = (1- a)(1 + a + a2 + - 4a + 2a2) = (1- a)(a2 - a + 1) = (1) a b 1 b 1 a 3 a 2b 1 a 2(1 a ) 1 ( 2) Do a2 - a + = (a - ) + > víi a 1-a=0 a=1 b=0 x = nghiệm phơng trình (28) Ví dụ 9: Giải phơng trình: x x x x 1 x Giải: ĐK x x x 0 x x Đặt x (29) x 1 =a>0 x x b >0 Ta cã x x x x (29) a + b = + a.b a(1- b) - (1- b) = a b Nguyễn Thị Hơng - Trêng THCS Ngun Trùc - Thanh Oai 15 §Ị tài sáng kiến kinh nghiệm Với a = Với b = Năm học 2009 - 2010 = x - = x = (thoả mÃn đk) x3 + x + x + = x x 1 x3 + x + x = x(x2 + x +1) = x Do x2 + x +1= (x + )2 + > Vậy phơng trình (29) cã nghiƯm x = VÝ dơ 10: Giải phơng trình (30) x 3x x x x 2x Giải: ĐK: (30) Đặt: 3x 0 0 2 2x ( 1)( x 2) (30) x x x x x x x 2 0 x 3 x a ( x 1)( x 3) 0 b c 0 0 a.b + c = b + a.c a(b - c) - (b - c) = (a - 1)(b - c) = Víi a = x 1 Víi b = c x x 3 a 1 b c x - = x = (thoả mÃn đk) x - = x + 0x = vô nghiệm Vậy phơng trình (30) cã nghiƯm x = VÝ dơ 11: Gi¶i phơng trình x2 - x =5 (31) Giải: ĐK x > -5 Đặt : x =a>0 x + = a2 x = a2 - Ta có hệ phơng trình x a a 5 x 5 (x - a )(x + a) + (x - a) = (x – a)( x + a + 1) = Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 16 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm häc 2009 - 2010 a x a x Víi x = a ta cã x 5 = x x + = x2 (v× x = a > 0) x2 - x - = 21 x1 21 0 x Víi a = - x - ta cã x 0 x 1 x x x x x 0 x x x 17 (loai) =-x-1 x 5 ( loai) 17 VËy (31) cã nghiệm x1 = Ví dụ 12: giải phơng trình ( Giải ĐK: Đặt: x x 0 x 10 0 x x 5 =a x2 =b x x 10 = 21 ; x2 = x 5 - 17 x )(1+ x x 10 =3 (32) x ( x 5)( x 2) = a.b (32) (a - b)( + ab) = Mµ a2 - b2 = x + - x -2 = (a - b)( + ab) = a2 - b2 (a - b)( + ab) = (a - b)(a +b) (a - b)( + ab - a- b) = (a + b)(a - 1)(b - 1) = a b a 1 b 1 x x x x x 3 VN x 1 x (loai) x 1 x VËy (32) có 1nghiệm x = -1 Ví dụ 13: Giải phơng trình: 2x x 2x x 1 x (33) Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 17 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm 2x Giải: ĐK: x 0 x 0 2x Đặt: Năm học 2009 - 2010 2x x = 2x x 2 x 0 a>0 = b > (1) (33) a + b = + x2 Mặt khác a2 - b2 = +2 x2 ( a- b)(a + b) = + x2 a-b=1 Vậy ta có hệ phơng trình: Từ (1) vµ (2) 2x 2x + - x2 (x+2) - x -2 a b 1 a b 1 x 2 = x b= x2 (2) x2 = x +2 =0 b2 - b - = b 2 b (loai) Víi b = ta cã x2 =2 x+2=4 x=2 VËy pt (33) cã nghiệm x = Ví dụ 14: Giải: Đặt (34) Gi¶i PT x3 + = x (34) x = t 2x - = t + = 2x x 2t x t 2( t x ) t (x-t)(x2+ xt +t2)= - (x - t) (x - t)(x2+ xt +t2 + 2) = 0; x2 + xt + t2 +2 > x-t=0 x=t 2x = x 2x - = x3 x3 - 2x + = (x - 1)(x2 + x -1) = x1 = 1; x2 = 1 ; x3 = 1 Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 18 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Vậy (34) có nghiệm x1 = 1; x2 = Năm häc 2009 - 2010 1 ; VÝ dụ 15: Giải phơng trình: x 34 Giải: §Ỉt x 34 = a ; x = b Ta có hệ phơng trình x3 = x 1 =1 (35) a b 1 b 37 a a b 1 a b a b 2 2 a ab b 37 b 2b b b b 37 0 b b 12 0 a b a 4 x 61 b 3 x 30 hc Vậy phơng trình (35) có hai nghiệm x1 = - 61 ; x2 = 30 VÝ dơ 16: Gi¶i phơng trình: 3x Giải: Đặt u = 3x ; v = 3x Ta có hệ phơng trình: 2 3x 1 x 1 (36) u v uv 1 u v uv 1 u v 3 2 u v 2 u v 2 v 2 v v v 2 1 u v u 1 3x 1 x 0 3 v 1 0 v 3 3x Vậy phơng trình (36) có nghiệm x = Ví dụ 17: Giải phơng trình x x 4 2x Giải : ĐK: x < Đặt x a 0 a4 = - x (37) 2 x = b > b = - x a4 + b4 = - 2x (37) a + b = a b4 (a + b)4 = a4 + b4 a4 + 4a3b + 6a2b2 + ab3 + b4 = a4 + b4 2ab (2a2 + 3ab + 2b2) = NÕu a 0 b 0 NÕu a = => x = x = (tho¶ m·n ®k) NÕu b = => x = x = (lo¹i) VËy (37) cã nghiƯm lµ x = VÝ dơ 18: Giải phơng trình x + x + x = Giải: ĐK : -1 < x < (38) Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 19 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Đặt + x = a > ; - x = b > (38) ab a b = áp dụng BĐT Cô si 3= < m n (m, n > 0) m.n a b a b a b 1 a 1 b a b 1 2 < < a b 2 a b 2 Mµ a + b = + x + - x = Nªn < + = DÊu “=” x¶y a - b = + x = - x x = (thoả mÃn đk) VËy (38) cã nghiƯm lµ x = Ví dụ 19: Giải phơng trình 17 x Giải: điều kiện x Đặt x u 0 ; - (v 3 ) (39) 17 x v u + v = 3; 17 u v Ta có hệ phơng trình: x 17 u v u v 3 u v 3 4 2 2 u v 17 (u v ) 2u v 17 u v 3 u v 3 2 2 2 (u v) 2uv 2u v 17 (9 2uv) 2u v 17 u v 3 u v 3 2 u.v 16 u v 18uv 32 0 u.v 2 u v 3 ( vo nghiem ) u.v 16 u 2 u v 3 x 4 v 1 u.v 2 u 1 x 1 v 2 (TMDK ) VËy ph¬ng trình (39) có nghiệm x1 = x2 = Ví dụ 20: Giải phơng trình x + 17 x x 17 x 9 (40) Giải; Đ/k: - 17 x 17 Đặt 17 x y 0 y 17 x Ta có hệ phơng trình x y xy 9 x y xy 9 2 x y 17 ( x y) xy 17 2( x y) 2xy 10 ( x y) 2xy 35 ( x y) 2xy 17 x y xy 9 x y 5 xy 4 x y xy 16 vô nghiệm x=1 x = Vậy phơng trình (40) có nghiệm x1 = 1, x2 = x 1 y 4 x 4 y 4 IV Phơng pháp bất đẳng thức: Ví dụ 1: Giải phơng trình x 5x 3x (41) Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 20 ... trình vô tỉ song phơng trình mức độ đơn giản, em cha có hệ thống phơng pháp giải Vì gặp toán giải phơng trình vô tỉ em lúng túng thờng mắc sai lầm giải Chính chọn đề tài Hớng dẫn học sinh giải. .. học Đợc phân công giảng dạy môn Toán trực tiếp bồi dỡng HSG môn toán nên đề tài năm chọn viết chuyên đề : Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ Trong SGK Toán đà đa cho học sinh số phơng trình. .. phơng trình có nghĩa điều kiện cho ẩn phép biến đổi tơng đơng dẫn đến sai nghiệm phơng trình B- Những biện pháp thực Biện pháp 1: Giúp em hiểu đợc phơng trình vô tỉ Phơng trình vô tỉ phơng trình