SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI TỐN CỘNG HỒ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học 2014 - 2015 I Sơ yếu lý lịch - Họ tên: LÊ MAI PHƯƠNG - Ngày tháng năm sinh: 27/07/1990 - Trình độ chuyên mơn: Cao đẳng Sư phạm, ngành Tốn; chức vụ: Giáo viên - Tổ chuyên môn: Tự nhiên - Trường: THCS Phương Trung- Thanh Oai- Hà Nội - Nhiệm vụ phân cơng: Giảng dạy mơn Tốn A Mở đầu Lý chọn đề tài: a Cơ sở lí luận Phân tích đa thức thành nhân tử chuyên đề khó rộng, chiếm vị trí quan trọng chương trình phổ thơng bồi dưỡng HSG với dạng tốn như: Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức, tìm nghiệm nguyên phương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết… Do việc tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhanh chóng, thơng minh, xác cần thiết giáo viên học sinh Vì tơi chọn đề tài nhằm mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc thực hành thành thạo dạng tốn giúp HS đạt kết mong muốn b Cơ sở thực tế Chuyên đề “ Phân tích đa thức thành nhân tử” học kĩ học kì I lớp 8, có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình Đại số lớp sau Vì vậy, yêu cầu học sinh phải nắm vận dụng linh hoạt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề quan trọng Nắm u cầu q trình giảng dạy tốn tơi tìm tịi nghiên cứu tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng dễ hiểu giúp học sinh phát triển lực tư logic,sáng tạo giải tập Trong chuyên đề giới thiệu thêm phương pháp sau:Phương pháp thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ, tìm nghiệm đa thức Giải vấn đề a Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: 1/20 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TOÁN Để việc bồi dưỡng đạt kết giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống phương pháp đại; lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học; phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo tự giác học sinh Muốn phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo nhanh chóng trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử phân tích đa thức cho thành tích đa thức, sau nắm phương pháp phương pháp nâng cao để phân tích, là: 1) Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C) 2) Phương pháp dùng đẳng thức: Dùng hạng tử đa thức có dạng đẳng thức 1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B ) 4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) 7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2) 3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp đa thức đa thức chưa có nhân tử chung chưa áp dụng đẳng thức nhằm mục đích: + Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm + Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung đẳng thức + Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức 4) Phối hợp phương pháp bản: Vận dụng phát triển kỹ kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp bản: + Phương pháp đặt nhân tử chung + Phương pháp dùng đẳng thức 2/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TOÁN + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử 5)Phương pháp tìm mghiệm đa thức: Cần sử dụng định lí bổ sung sau: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số a-1 a+1 nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự 6)Phương pháp thêm, bớt hạng tử: Sử dụng cho tập áp dụng ba phương pháp học để giải 7) Phương pháp tách hạng tử: 8) Phương pháp đặt biến phụ: 9)Phương pháp hệ số bất định: Đó đồng hệ số hai vế để từ suy hệ số cần tìm phân tích đa thức thành nhân tử b) Thực trạng vấn đề: -Học sinh chưa hiểu sâu rộng tốn phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt toán khó, em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo - Khi gặp toán học sinh làm gì? Không biết theo hướng ? Không biết liên hệ cho đề với kiến thức học -Suy luận kém, chưa biết vận dụng phương pháp học vào dạng toán khác -Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic -Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại gặp toán khó c) Các giải pháp thực sáng kiến kinh nghiệm: * Quy trình cách thức: - Xây dựng kế hoạch thực từ đâu năm học - Tổ chức thi tuyển chọn em có khiếu mơn Đặc biệt phải học mơn Tốn 3/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TỐN - Tổ chức cho học ơn luyện theo chuyên đề, trao đổi trực tiếp Sau chuyên đề kiểm tra kiến thức học sinh ( Đề dạng đề thi để học sinh làm quen dần ) - Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy tự học; tìm tịi nhiều dạng tập phong phú cho học sinh luyện tập không lớp mà nhà - Thổi vào học sinh tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường tâm thi đạt giải cao kỳ thi chọn học sinh khiếu Động viên, khích lệ học sinh thường xuyên liên tục Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể học sinh buổi học - Mỗi dạng toán cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải cách tỉ mỉ, khai thác triệt để phương pháp giải cho em luyện tập lần toán tương tự lớp Sau buổi học Giáo viên giao tập nhà cho em luyện tập để em khắc sâu dạng toán c ụn tõp Trong việc giảng dạy môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính t duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt, tự tìm tòi kiến thức mới, phơng pháp làm toán dạng nh phơng pháp thông thờng mà phải dùng số phơng pháp khó phải có thủ thuật riêng đặc trng, từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng toán khó Ngời thầy giáo giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh với khả sáng tạo, ham thích học môn toán giải đợc dạng tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lợng học tập, đạt kết tốt kỳ thi Từ mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm " Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh nắm vững phơng pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát phơng pháp giải phù hợp với cụ thể dạng khác * Khảo sát thực tiễn Khi chưa thực đề tài này, hầu hết em làm tập lúng túng, thời gian làm nhiều, chí khơng tìm cách giải Để thực đề tài tiến hành khảo sát lực học sinh thông qua số kiểm tra kết sau: XÕp lo¹i Tỉng sè HS Giái Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 0 50 50 0 Thông qua kết khảo sát suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững yêu cầu q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Tôi mạnh dạn nêu số biện pháp đây: 4/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TỐN * Một số biện pháp 1) BiƯn ph¸p thø Giáo viên phải trang bị cho học sinh đơn vị kiến thức nh quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đà xếp, quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc vận dụng thành thạo đẳng thức đáng nhớ 2) Biện pháp thứ hai Giáo viên cho học sinh nắm vững chất việc phân tích đa thức thành nhân tử Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức thành tích nhiều đơn thức đa thức khác Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1) 2.1) Các phơng pháp thông thờng + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử Trong thực hành giải toán thờng phải phối hợp ba phơng pháp kể để phân tích đa thớc thành nhân tử Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm hạng tử) = 3(a - b) + (a - b) (đặt NTC dùng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tö M2 = a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhãm c¸c h¹ng tư) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC) Để phối hợp nhiều phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cần ý bớc sau đây: + Đặt nhân tử chung cho đa thức từ làm đơn giản đa thức + Xét xem đa thức có dạng đẳng thức không ? + Nếu nhân tử chung, đẳng thức phải nhóm hạng tử vào nhóm thoả mÃn điều kiện nhóm có nhân tử chung, làm xuất nhân tử chung nhóm xuất đẳng thøc Cơ thĨ c¸c vÝ dơ sau: VÝ dơ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 5/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GII I TON Ta thấy M3 dạng đẳng thức, hạng tử nhân tử chung, làm để phân tích đợc Quan sát kü ta thÊy hai h¹ng tư 5a2 - 5b2 cã nhân tử chung Vì ta dùng phơng pháp nhóm hạng tử đầu tiên: M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 Sau đặt nhân tử chung nhóm thứ để làm xuất đẳng thøc: M3 = 5(a2 - b2) + (a + b)2 Sử dụng đẳng thức nhóm đầu làm xuất nhân tử chung hai nhóm (a + b): M3 = 5(a + b) (a - b) + (a + b)2 M3 ®· cã nhân tử chung là: (a + b) Ta tiếp tục đặt nhân tử chung M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] M3 = (a + b)(8a 2b) Nh M3 đà đợc phân tích thành tích hai nhân tử (a + b) (8a - 2b) Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nh©n tư M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy Trớc hết hÃy xác định xem dùng phơng pháp trớc ? Ta thấy hạng tử chứa nhân tử chung 3xy + Đặt nh©n tư chung M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) Trong ngc cã hạng tử hÃy xét xem có đẳng thức không? + Nhóm hạng tử: M4 = xyx2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2 + Dùng đẳng thức: M4 = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử ngoặc có dạng đẳng thức nào? + Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phơng ta có: M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Vậy: M4 đà đợc phân tích đa thức thành nhân tử Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đà học để bớc phân tích đợc rõ ràng, mạch lạc triệt để (đa thức phân tích đợc nữa) 2.2) Một số phơng pháp phân tích đa thức khác Giáo viên trớc hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo phơng pháp phân tích thành nhân tử thông thờng (đà học SGK) kết hợp phơng pháp sau để làm toán khó + Phơng pháp tách hạng tử + Phơng pháp thêm, bớt hạng tử + Phơng pháp đặt ẩn phụ + Phơng pháp tìm nghiệm đa thức 6/ 18 SKKN: VN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TON + Phơng pháp dùng hệ số bất định a) Phơng pháp tách hạng tử Vớ d Phõn tớch đa thức thành nhân tử: 3x2 – 8x + Cách 1: Tách hạng tử thứ 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – + x)(2x – – x) = (x – 2)(3x – 2) VÝ dơ 6: Ph©n tích thành nhân tử đa thức sau: N = a2 - 6a + C¸ch 1: a2 - 4a - 2a + (T¸ch - 6a = (- 4a) + (-2a) = (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhãm h¹ng tư) = a (a - 4) - (a - 4) (Đặt nhân tử chung) = (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung) Có thể tách hạng tử tự tạo thành đa thức có nhiều hạng tử kết hợp làm xuất đẳng thức nhân tử chung với hạng tử lại Cách 2: N = a2 - 6a + - (T¸ch = - 1) = (a2 - 6a + 9) - (nhóm hạng tử - xuất đẳng thức) = (a - 3)2 - (Sử dụng đẳng thøc) = (a - 2) (a + 2) (Dïng h»ng đẳng thức đặt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC) Cách 3: N = a2 - 4a + - 2a + (T¸ch = + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a) = ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhãm h¹ng tư) = (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng đẳng thức ®Ỉt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng nhân tử) Ta thấy có để tách hạng tử thành hạng tử khác cách tách sau thông dụng nhất; - Phơng pháp tách 1: Tách hạng tử tự thành hạng tử cho đa thức đợc đa hiệu hai bình phơng (cách 2) làm xuất đẳng thức có nhân tử chung với hạng tử lại (cách 3) - Phơng pháp tách 2: Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung làm xuất nhân tử chung míi (c¸ch 1) 7/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TỐN VÝ dơ 7: Ph©n tÝch tam thøc bËc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử Tách hệ số b = b1 + b2 cho b1 b2 = a.c Trong thực hành ta làm nh sau; + Tìm tích a.c + Phân tích a.c thừa số nguyên với cách + Chọn thừa số mà tổng b Ngoài tách đồng thời hai hạng tử (hạng tử tự hạng tử bậc nhất) (nh cách 3) b) Phơng pháp thêm bớt hạng tử Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: VÝ dơ 8: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) VÝ dô 9: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) VÝ dơ 10: Ph©n tích đa thức P1 = x4 + thành nhân tö P1 = x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 (thªm 4x2, bít 4x2) = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhãm h¹ng tư) = (x2 + 2)2 - (2x)2 (dùng đẳng thức) = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) Ví dụ 11: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thªm 16a2, bít 16a2) = (a2 + 8)2 - (4a)2 = (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) Nh vây việc thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất đẳng thức nào? bình phơng tổng hay hiệu hai bình phơng phân tích triệt để đợc 8/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TOÁN Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung VÝ dô 12: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) VÝ dô 13: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) c) Phơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 14: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) VÝ dô 15: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x  ta viết 1 x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – x + ) = x2 [(x2 + ) + 6(x )+7] x x x Đặt x - 1 = y x2 + = y2 + 2, x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 VÝ dô 16: A = ( x2  y  z )( x  y  z )2  ( xy  yz +zx)2 2 2 2 =  ( x  y  z )  2( xy  yz +zx)  ( x  y  z )  ( xy  yz +zx)   9/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TOÁN Đặt x2  y  z = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x2  y  z + xy + yz + zx)2 VÝ dô 17: B = 2( x4  y  z )  ( x2  y  z )2  2( x2  y  z )( x  y  z )2  ( x  y  z )4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 2 2 2 Ta lại có: a – b2 = - 2( x y  y z  z x ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; 2 2 2 B = - 4( x y  y z  z x ) + (xy + yz + zx)2 =  x2 y  y z  z x2  x2 y  y z  z x2  8x2 yz  8xy z  xyz 8 xyz( x  y  z) VÝ dô 18: (a  b  c)3  4(a3  b3  c3 )  12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m - n ) Ta có: C = (m + c)3 – m + 3mn  4c3  3c(m2 - n ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) VÝ dô 19: Phân tích thành nhân tử: D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhãm - làm xuất nhân tử chung) Ta thấy hạng tử đầu có nhân tử chung (x2+ x), ta đặt y = x2+ x = x(x + 1) (®ỉi biÕn) Khi ®ã ta cã: D1 = y2 + 4y - 12 Ta dùng phơng pháp tách thêm bớt D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (T¸ch 4y = 6y - 2y) D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nh©n tư chung) D1 = (y – 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung) Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay l¹i biÕn x D đà phân tích thành nhân tử (x2 + x- 2) vµ (x2 + x+ 6) 10/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GII I TON Việc phân tích tiếp nhân tử cho triệt để dựa vào phơng pháp đà nêu Chú ý có tam thức phân tích tiếp đợc nh : x2 + x + = (x + )2 + Do không phân tích tiếp đợc Còn x2 + x - = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2) Khi ®ã D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2) d) Phơng pháp tìm nghiệm đa thức Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) cã nghiƯm th× theo định lý Bơ du ta có: Nếu m nghiệm (1) m chứa nhân tử (x - m), ®ã dïng phÐp chia ®a thøc ta cã: ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x + b'x + c'), nh©n tư bËc hai phân tích tiếp đợc dựa vào phơng pháp nêu Các phơng pháp tìm nghiệm đa thức bậc 3: + Nếu tổng hệ sè: a + b + c + d = ®a thøc cã nghiÖm x =  ®a thøc chøa nh©n tư chung (x - 1) + NÕu tỉng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ tức a - c = b +d đa thức có x = -1 đa thức chứa nhân tử chung (x + 1) + Nếu không xét đợc tổng hệ số nh ta xét íc cđa hƯ sè tù d (hƯ sè kh«ng ®ỉi) NÕu íc nµo cđa d lµm cho ®a thøc có giá trị ớc nghiệ Ví dụ 20 Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - Ta nhân thấy nghiệm f(x) có x = 1; 2; 4 , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: x3 – x2 – =  x   x2  x    x3  2x2    x2  2x    2x  4 x2  x  2  x(x  2)  2(x  2)  Cách 2: x3  x2  x3   x   x3   x  ( x  2)( x2  x  4)  ( x  2)( x  2)       =  x    x  x   ( x  2)  ( x  2)( x  x  2)     11/ 18 = SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TỐN Ví dụ 21 Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: 1, 5 khơng nghiệm f(x), f(x) khơng có nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = 3x3  x2  x2  x 15 x   3x3  x2  x2  x   15 x       = x2 (3x  1)  x(3x  1)  5(3x  1) (3x  1)( x  x  5) Vì x2  x  ( x2  x 1)  ( x  1)2   với x nên khơng phân tích thành nhân tử Ví dụ 22 Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 23 Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích c na Ví dụ 24: Phân tích đa thức thành nh©n tư E1 = x3 + 3x2 - xÐt tỉng c¸c hƯ sè ta thÊy a + b + c = + + (-4) =  x1 = E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) chia E1 Cho (x - 1)  Sau dùng phơng pháp đà học để phân tÝch tiÕp E1 = (x - 1) (x + 2)2 Ví dụ 25: Phân tích đa thức thành nhân tử E2 = x3 - 3x + 12/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TON Ta thấy tổng hiệu hệ số E2 loại x = Xét Ư(2) = có x = -2 lµ nghiƯm cđa E2  E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2)) E2 = (x + 2) (x -1)2 C¸c vÝ dơ số phơng pháp để phối kết hợp với phơng pháp thông thờng giúp học sinh phân tích đợc toán khó thành nhân tử giúp cho trình rút gọn phân thức nh giải phơng trình e) Phng phỏp h s bt nh : + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số a-1 a+1 nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự VÝ dô 26 x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số 1, 3 không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd  a  c   ac  b  d 12    ad  bc  14  đồng đa thức với đa thức cho ta có: bd 3 Xét bd = với b, d  Z, b   1, 3 với b = d = hệ điều kiện trở thành  a  c   ac  2c  c        a  c  14 ac   a   bd 3 Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 13/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TOÁN VÝ dô 27 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)  a   b  2a     c  2b 6  = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c   2c 8  a 1  b  c   Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) VÝ dô 28 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy –  ac 12 bc  ad  10   3c  a 5 bd  12   3d  b 12  a 4  c 3  b   d 2  12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) 3) Một số tập áp dụng Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1a x2 - 4x + cách (phơng pháp tách) Gợi ý cách làm C1: Tách - 4x = - 3x + (-x) C2: T¸ch = - C3: T¸ch = 12 - C4: T¸ch -4x = -2x + (-2x) vµ = + Sau nhóm làm xuất đẳng thức nhân tử chung 1b 81a4 + (thêm bớt hạng tử) Gợi ý:Thêm lần tích 9a2 Hằng đẳng thức Cụ thể: 36x2 14/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TOÁN 1c: (x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phơng pháp đổi biến) Gợi ý: ®Ỉt (x2 +x ) = y 1d: x3 - 2x2 - x + (phơng pháp tìm nghiệm) Gợi ý: XÐt tỉng c¸c hƯ sè a + b + c = Ngoài sử dụng phơng pháp khác để phân tích tập thành nhân tử Bài tập 2: Rút gọn tính giá trÞ cđa biĨu thøc M = a3  4a  a  víi a = 102 a 7a 14a Gợi ý: + Phân tÝch tö thøc a3 - 4a2 - a+ b»ng phơng pháp nhóm đẳng thức đa tử thành nhân tử + Phân tích mẫu thức thành nhân tử cách dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử + Rút gọn nhân tử chung tử thøcvµ mÉu thøc + Thay a = 102 vµo M đà rút gọn Bài tập 3: Giải phơng trình sau: 3.a) y2 - 5y + = Gỵi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử phơng trình trở phơng trình tích 3b: y - 2y2 - 9y + 18 = Gỵi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa phơng trình đà cho thành phơng trình tích giải phơng trình tích Bài tập 4: Chứng minh đa thức sau a) A = (a2 + 3a + 1)2 - chia hÕt cho 24 Víi a lµ mét sè tù nhiên Gợi ý: + Trớc hết phân tích đa thức đà cho thành nhân tử A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phơng) A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) (Sử dụng phơng pháp tách hạng tử 3a = 2a + a) 15/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TỐN * LËp ln: + A ®· cho tích số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ ba số tự nhiên liên tiếp phải cã mét sè chia hÕt cho vËy: A  + Trong sè tù nhiªn liªn tiÕp có số chẵn liên tiếp nên mộc hai số chia hết cho số lại chia hết cho Vậy A + Nhng (3 ; 8) = nªn tÝch số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 b) B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hÕt cho 24 Víi n lµ sè nguyên dơng tuỳ ý Bài tập 5: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12 Gỵi ý: + Tríc hết sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích A A = x2 - 4x + + y2 +2y + + (t¸ch 12 = + + 1) A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + (nhãm h¹ng tư) A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + * LËp luận Vì (x - 2)2 o (y + 1)2  0, dÊu " = "x¶y a = y = - nên A = (x - 2) + (y + 1)2 +  VËy AMin = x = 2; y = -1 d) Kết đạt đợc: p dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trờng THCS Đại Phú năm học 2011 - 2012 đà thu đợc kết khả quan Kết học tập học sinh đợc nâng lên rõ rệt qua học, qua kỳ thi, đặc biệt em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết tốt Bên cạnh phơng pháp giúp em dễ dàng tiếp cận với dạng 16/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TON toán khó kiến thức nh việc hình thành số kỹ trình học tập giải toán học môn toán HS :Đạt 13,5/20 điểm- Đạt giải khuyến khích HSG Toán cấp huyện HS2 : Đạt 15,5/20 điểm - Đạt giải ba HSG Toán cấp huyện Kết luận a)Bài học kinh nghiệm: Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm có kết hữu hiệu cho việc học tập giải toán Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi định hớng phơng pháp làm cha có gợi ý giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo kết tốt từ việc giải toán rút phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vì lẽ vơí giáo viên nói chung thân nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tợng học sinh để từ đa tập phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc tập, gây hứng thú học tập, say sa giải toán, yêu thích học toán Từ nâng cao từ dễ đến khó, có đợc nh ngời thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phơng pháp giải toán, có nhiều toán hay để hớng dẫn học sinh làm, đa cho học sinh làm, phát cách giải khác nh cách giải hay, tính tự giác học toán, phơng pháp giải toán nhanh, có kỹ phát cách giải toán nhanh, có kỹ phát cách giải: Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh nhiều trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử Các kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử mà đà viết có lẽ nhiều hạn chế Mong tổ chuyên môn trờng, đồng nghiệp góp ý chân thành để có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm thực tốt chơng tr×nh míi THCS b) Kiến nghị, đề xuất: Đối với Ban Giỏm Hiu nh trng: Nhà trờng xếp đảm bảo hợp lý, khoa học hiệu thời gian bồi dỡng sở vật chất phục vụ cho việc dạy học môn Chế độ thởng đợc nhà trờng thực kịp thời sau có thông báo kết thi học sinh giỏi cấp, t gii Nhà trờng nên tập trung xây dựng kế hoạch bồi dỡng, chọn lọc qua năm đạo tổ chuyên môn, giáo viên xây dựng kế hoạch bồi dỡng cụ thể, có tính chất tạo nguồn cho năm 17/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C THÀNH NHÂN TỬ VÀO GII VO GII I TON Nh tr trng nên xây dựng chế hỗ trợ xứng đáng tạo điều kiện cho giáo viên tham gia bồi dỡng đội tuyển phấn đấu, an tâm giảng dạy XC NHN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN (ký ghi h ghi h, tờn) T TRNG Nguyễn Lộc Văn Hµ Phần đánh giá Ban giám khảo Hội thi giáo viên giỏi cấp trường Giám khảo thứ Giám khảo thứ hai c Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu: -Nhóm Học sinh giỏi Toán lớp Trường THCS 18/ 18 ... 4/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA TH? ??C TH? ?NH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA TH? ??C TH? ?NH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA TH? ??C TH? ?NH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C TH? ?NH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TOÁN... 9/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA TH? ??C TH? ?NH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA TH? ??C TH? ?NH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA TH? ??C TH? ?NH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C TH? ?NH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I TOÁN... Tốn 3/ 18 SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA TH? ??C TH? ?NH NHÂN TỬ VÀO GIẢI N DỤNG PHÂN TÍCH ĐA TH? ??C TH? ?NH NHÂN TỬ VÀO GIẢI NG PHÂN TÍCH ĐA TH? ??C TH? ?NH NHÂN TỬ VÀO GIẢI C TH? ?NH NHÂN TỬ VÀO GIẢI VÀO GIẢI I