Một số các phương pháp nội suy để giải phương trình toán tử và các ứng dụng của chúng

74 716 0
  • Loading ...
1/74 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 20/03/2015, 08:12

n 1 1 5^Y5 rr IE 383 3S0 3E) 3» 3» am 3» i©2ffl jeo 3» 3» 3» aro 3» 39D so 360 3© 3fiO 3» 3K a»3e03» 3«^ BO mi mo VA 'x'^UITG IDC CHUYEN NCaHiiP M -van BO GAO tjjfa DUNG (^ csiuiro !^Zl^IiXa£^irCB3SK ojc ISQ^ ^»v>;t,i. •: wr;; :;, i I' ^^^-i^ Ha-nOl. - 1978 B03K)3roi£03£O3fi02eO3ro2©2tO3*O3»KO3EOKO3e03»r«)3£O2fi03eO3©3^ MUC I. U C SxmsjL PhSn loo' dSu 3 Chifo^np: n5t : I*i§t sfi ptocme; phap n£i sijy tt^en tinh d5 giai 6§ja dung phuPcmg trinh toan ti^ S 1 M§t vai khai nigm vo ty sal phan syy r^ng cho § 5 M§t vai tn^cfr^'hgj? dglc MJ^t cua phop 1$P (2.9) 52 §4 V5 in§t logii phuctog phq? l§p b^c cao thrf hai do giSi gSn dung phifcmg trinh to5n ti>. . • 37 C^^ctofa: haj. 5 M$t vai phi:?cmg phap ngi suy tSng qu5t svQT T§ng d| giai gin dung phtfcmg trinli tofin tiJ go D^t v8n etS 45 i 1 M§t vai kiaai nlga ve cSng thrJo n§i suy Tfiu-tcm si^y rOng i^ §2 "VS ffiOt vai pbucng phSp n§i s^y tong quat si^ rgng giai gSn dung phu^c?ng trinh toan tiJ va si; h$l tv cua n6 . • • • ^ Gfaifgya;;!^ l?a t Ph8n iJng d^ng i 1 Mgt s5 T^ag d\wig cho 3191 vai to^n ti> cy thS 61 1.1 Phi?c?n6 trinh haci thi/c vo^ bi§n s8 thi;c 61 1^2 H$ phtfc^ng trinh dgii sfi phi tuySn hc$c siSu vl^t 62 1.5 Phi^c^ng trinh tich phan phi txo^Sn G5 i 2 CSc vi d\i bang 06 68 Tai ll§u tricb dan 70 o£o - p - Tlfc i5ng dyng giai tich ham ^to nghien C'\i cic ph'.^'ng phap giai gan dung cac lopi phi?o'nc trinh ngt c5ch tong quit da dem iQi nhieu ket qua v6 cung quan trgni^. '2u» ti^o'nt; cua giai tich ham khong nhu^ng cho phep dcn [^Inn hoe each nhin cho nhieu phUHo'ng phfip khac nhau ma eon giup ta ki^m toan miou GO' do tinh toan trong nhiou linh vy^c khoa hgc khac nhau, •vf dy nhu^ dpi s5 t^iySn tinh, phu'C^ng trinh vi phan, phutmg irinh tlch phan, giai tlch phi tuyen v.v * TThieu lo^i hai toan khac nhau oou eo che vi3t du&i l?ng chiing (1) Ax = 0, trong do A lu toan tu xac d^nh trong ngz khong gian noo do va CO gia trt trong mgt khong i;ian cung lo^i. DS giai gan dung phu^c-rig' trinh (1) ngi;?o'i ta dung nhieu phi?o'ng phap kh£c nhau. L.oi phv.Xi^r^'; phap dou oo nhu'ng 'J*ii (Tien va nhu-ng hgin che nhat dinh. 2n?o'ng hg»p A la toan tu' tuy3n tinh, cac ket quo ve giai ;;Sn dmux, da duvc :<Qt g5n nhu* trgn vgn. Vol A khong tuyon tinh, v§n do mc'i chi duvc z<6t cho timg trj'c^ng hg^ rieng, chang hgn lop toon tu that, loip toan tu (to»n dipu v.^-". •• Trong nhiJng nam gan dixy nhiou cuSn each chuyen khao da do cfp o^t each dang kt toi nh5ng phuxmg phSp tong (luat, Chang h?n, c5c tai lifni cua Gang to r6 vlch /"^t^ ?* ®latx ^157> Gratnoxenxki /fIGj, Otcga F"Mj^ Moctmic /"IBJT va nhieu cong trinh (Tu^g^c a>ng b6 tror_g cue t^^ chi to.4n hgc khac nhau /"J - 1^7, /f21 - >27. Trong ban luyn vun nay chung toi se trinh bay mgt s6 ket qua thuge linh vi/c do. Ban lu§.n van nay gom ba chu'o'^ - ;' - Chu-^ng 1 trinh bay mgt Q6 cac phiAD'ng phap ngi cuy tuyen tfnh dS glM gSn d'ms phuv^ng trinh toan ti (1). Thi/c ra phuang trinh (1) da '*u^c nhiou t^c gio nghion oS\ \ni <^xx^n ra nhieu phutJ'ng phop khac nhau nhu^' phuvng ph%> Niuto^n C^^'^J* phwng phap Steffenxen - Aitt:en £ ^'y^ ^'^ J ^ phu\>'nu: phap l^p clip k tong quat (phut^ng phap Sruede - Tsobu'sep) /f 15; 27 J - • • y trong s6 do phuang phap riutcn - '-ingtorovlch t-uy di.;vo su' ct\mg i^ng roi, nh>mg nhuyc diem chinh la trong nhiSu tru?o»ng hgj) vit;c xac ^nh toi'n ti> ^AxJ"^ (d^o ham theo Preso) thu^'n^i ^gp kho khan v-o ph'^e t^p. ITgoai ra trong ngt G6 tr-fo'ng hgp Cvl dy khi t^iei c<ac bai toan bien phi tuySn ^6i vti h$ ohu'd'ng trinh \d. phfm) cong thi?c hl^ cua Ax khong the biSt tru'iS'c mo chi biSt cTuvc thu0t toan tr?n nay tlnli difn tu' vpn nang de xac cT4.nh gia tr% Ax^^ va v^. th3 khong the op dyn^j dug'c phv?o^ phap TUu-to'n. Di;'a vao khai niv'ia ty sax phan stjy rQng cho to5n ti trong nhu'ng nhjsi gan day cac con^ tA.nh cua /"11-13; 22-237 da lan lirg^t xuSt hii^n nh?aa khle phyc nhu^ng nhu^c d-icm tren, nhfj?r4g -oSc ilg hgi ty cua cac phu'r;ng phap do chu*o vxf.gt qua tSc d§ hgi ty cua phuc?ng phap T'iiT-tCn. l^ng chuttog nkj chx'jig toi nSu ra mgt B6 phuNj'ng phap CO tinh chSt ngi suy tuyen tinh. Cac phii'O^ng phop nay khong nhu'ng thugt toan do?n gian ma t5c dg hgi t-y l^i cao, chung to ra dgc bi^^t tign Igl trong truVng hg^) toan tu' A co dsua haa phiJc tjip hogic khong kha vl. Chi?c^ng hai trinh bSy mgt s6 cac phut)*nc; phap ngi Bvxy t6ng quat suy rgng cho toon t&* PhSn d2u tien cua chu'c^ng nay la dUB TV. coc khSi nipn ve 1^ sai phan suy rgng 'oong quat cho to i^n tl? va cac cong thi^c ngi sy^^ Uiu-ten tong quat S"uy rgng cho toSn tu' tren khong gian Banach. PhSn tiep theo la x£y dijPng x^t Q6 phut^'ng phap ao nh5ng phuang phap nay bao gSn ragt so 5 - ket qiTO c^'ia ch'.;x»'ni3 I va cua coo toe gia khac. L:5i phuang phap 6" cb^Mn^ T cTuig nhi," & chwng TT ^eu dxjt^o khao B:OZ qtia cac phSn 5 - ilgi dung phittrng phap - S^ hgi ty - Gong th-^c danh gia sai s6 (Xem c5e c^nh ly : 2.1; :i:.2; 2.35 2.45 2.2't 2.5'; 2.2"; 2.5" §2 chux^ng I, 5.1; 5-2; 5-;^; 3«4; 5o S 5 cht:c'ng T, 4.1 g 4 chmng I 2.1; 2.2; 2.5 0 2 chi.?o'r^' IT). ChL?o'*ng ba (phan iJng dyng) khao cat ngt; oS v'nx: ^yng cua cac pht!t?ng phnp o' di^x^nz 1 va chi't5»ng TI cho m^t so to5n ti*? cy. the; ITeu len thugt toan, dieu ki^n hgi t\i, cong thu'c canh gia sai so cho toan tu' dang khao sat C-^o^ cac d^nh ly t Li; 1.2 §1 chuWo^^ ba). Phan cu^i cung ci^o ch*:'c?ng nay la nigl vai vl dy bang 28 do kien nghii^m cac phuc?ng phap neu ra. C/Xic ket qua ohlnh. c»^a Ir^/n vln dn dirg'c rai roc boo cao trong cac buoi sinh hcpt x6-iai-na "Cac phuti*ng ph&p gl.al gan dung ^.ihu^i'ng trinh toan ti" vh nhu*ng ftxg dyng cu.a chnng" cua to bO ^5n 'Doan hgc vinh toan, khoa 'Joan ir.>?o'ng Bjii hgc long hfi'p "^a-ngi l';?76 va ia$t oh'&n da dug^c cong b6 trong /"55-557» Tac gia xin chan thanh can o'n dor^g chi -"oang dll'c ITgijye] da dgc ky lu'^ng ban tiiao va cho nhieu y kien dong gop qui ban Dgic bi^^t, tac gia xin chan thanli c^:a o'n d3ng chi Phan van ^^p da da xuat ^phucfxux; hu'o'ng, da cho nhieu y ki^n dong gop qui ban trong c5 qua trinh hoan thanh ban lugn v2.n nay. " 6 Cn'^^^n^-^; I IE Cg-AT GAN DTTITG PHHONG 'H^lTii lOAN l^T PJxao sat phi?o»ng tri.nh to5n t\^ - (1) • Ax ^ 0, trong ro A la toan tu" phi IrL^on anh x^ ingt inien loi ^TL nho do c\ia khong gian Banaeh X vao ngt khong gian cung lo^i i. Gia thiet rang A kha vi th^»o P'rOsG va TL lo nghicm dune cua (1) trong lan ojn iTIi . § ^ • ^'-9t vai khai nign ve ty sal phC^n suy r^ng ^'-]0 toan tu" (:^m^5l7)*^ Xot ngt ham tr\i t':Vng Ax, han nhy chTij^'n khong gian d5.n!i chuan X vao khong gian dj.nh ehu*n !. , ^,-" :tiu^T^''*^ Hi hi^u khong gi n cna riii?ng toan tiFVx vaor la fX-^ I J. Thanh Igp khor^- gian tlch : E- == ^'^ (tlch 3:^-Cac) iZv *" X. A A , . . . , t» -, ~ trono i^o k la n$t so tr/ nhien. Phan tS ciia B2 d-j'ge v:5.et di:'ol d^^ng (x^,, x-> TOI X^. ^ X , * (i " 0,1). iltWig ty:, phsn ti> cua B^.^ di^vc -^rio-i; dL^'c'l djing (XQ, XT_, , :5C^„-()» "^^ ^1^^"' ^^ ^ cTl^). Gia ^ tBn tfi ngu h^a tr*a: ui^ijr'ng A(x^, :^:^), han nay chuyen nhiJng ph3n tu' cua khong gian Z-, vho nhSn;: phan txf cua khong gian fx-^lj, tron^ Co >^ e X, (i ^ 0,1). D6i vci nhu'ng -xyYian x,-^^ x^ , (i = 0,1), o5 d3.rih tn?ng X thi A(XQ, 0:^) la ni$t toan tu tuySn tinh. OJoan tu' t-uyen txnh A(::^, oi-j ) thoa man dieu kipn (1.1) AC-,, x^) (x. -2„) = A::^ - A^ , difg'e Qg± la ty sai ph;'i^ui bye nhSt ei\a h-an tru'^u tu'o'ng Ax l3y ^ t?i cac phSn tt> x^ e X, (i = 0,1). Gia BU ton t?i ngt ^an trv^ni tu'g'ng A(x^, x^ , 00,) ham nay chuySn nhJng phSn tV cua khong i-:;3.an Sx vao nhSng phnn tu cua khong gian ^X ^ f^ -^Ij 7, tronu do r^ e X, (i = oT^ joi v(?i c5c phSn ti: x^, (i = 0,2 ) o5 ^^nh t^x^ng X thi A(x , X|, Xp) la ngt toan tu LzonQ tuySn lanh. Toan tl? so.ng- tuy-Sn tinh ACX^, :20: , s>^) thoa nan *iou kign ; (1.2) ACx^, x^, x^) (x;^ - 3ii) ^ A(XQ, X;^) - A(XQ, X.), di^c ^i la ty sai phan b-v^c hai cua han trOYi tJ'g'ng Ax iSy tgi cac phSn tir x^ ^ X, (i = 0,2 ). B^a vao (1.0, t'^ ('1.2) (cau k^i •-?, d-g^c -coc dyng ^:ji vS len (:<>, - ^Q^ ^ "^^ -^-^^7 ''''^^ • (1.2)' A(XQ, xp x-) (x^ -x^J (:o. - ::^) = = Ax- - A:.:^ A(x^, : ) (x. - ::.J. "^•^oon toon tux^'ng ti; ta co zho d^nh nghia ty sai ph-'ln b.;.c k : (1. 5) A(x^, Xp , Xv_) (xi. - X|. _,^ ) ^ = A(XQ , X-, , • , ^}-_p » 1-) " •^- "^^"^Q' 'H ' • * • * "V-1 Feu A ton tgi cac r^go han liun tye don bgc 1: (thoo r eae) thi cac ty col phan xac d^n^ nho' coc tich phan 'Urjan tru^i tii'g'ng, to CO 'fc^c lu^j'ng ; (1.4) (I A(x^, :c.)|U V'^J » ^- :.^ .^ (x. -:c„), 0 ^ 6 ^ 1 |A(.:^, ::,, x.)|| ^ (-^) II A\|1. i. O (k) A(^. ^^1 ^)ll ^ C-jV) II .^fZi^ll , '^l = '^-1 -^ ®k-1^r ^lc~1^' 0-^ ©0' ^l" ' ^1:_1 ^ 1- IWo'ns ty nhu' tnPtfns- hi55> Han th6nG thuc'nc, co th' chi?no rdnb 5uvc rane» ty sai phan b.Jc k cua ham tr>ii tuvnjj Ax la ham -^« <^ -9 - De den gian, t^:- day vo sau se ky hi^^u : ^01 k ^ ''^^^o' ^^•••» -^1:^ ^Jo1 k = ^^^' ^^o' ^^l' ' ^1:^ § 2. Ve mot ohUD^'A ohao 15P bg.c k do f:±a± ;-an dnj\p; Phu^tyng trinh toan ti? Cl). Xu3t phat tiJP gia tri ban dau yP du gan x^, ta x§y di/ng c§c phSn ti theo each sau s (2.1) z^ = 4 ^ fAA^l, 4 = 2:5 -x° 4= 24_^ -xj_2. x° := x°, 0 <:M. -^1. Tu' (2.1) suy ra : , (4-^0)- JL-^(,o_^^). T-JP (2.2) suy ra : (2.3) A(xg, x^, , ^^) (:^»xj) (x|-^).,, (xj - ^^^^) = := (^ " '^ ),! ACT^O O ON ^^JO O >^ ,k-l ^^o» ^'•••' ^'' <^2&^C " ^^ ' trons d<$ (4 - x°)^:= (:^ - x°) (^ - xgj k lan Dya vao djnh nghia ty sai phan suy i^ng bf.c k cho toan tu" ( (1.1) - (1.3) ) vo dieu kifn (2.2), (2.3) ta suy ra : - 10 - k (2.^) A4-Ax°-T,,^(x°-x°)=-^ o1, k^ (4 -x°y , trong do Aol^ k^ ^ A (x^, X? , , :^) (2.4)' I,,^ = I? ^-'^' 4-1 "-^ ^-^^0^ (^ = k(k-l) (k-i M) i! L'^t khac, cung d^a vao dj.nh nGhia cua ty sai phan suy r9ns b|c k dio toan ti? va dieu ki^>n (2.2) ta Ipi co : (2.5) Ax - /.x° - lb,k (x - x°) - 'lx° (x - x°)g° = X = AZIQSQ (k-D^ (x - x*^) (x - -i^) (x - 2g_.^) trong dc5 k-S 'te° = Z (-1)^ cf. o Aoi„(if-l),, H- i=1 k-3 o' 'O + >• (-1)^ C^_, A0i„(i+1)„ (i^2)^ (^-^%) + i=1 + . . . f- A01Q (k-D^ (x-x?) (x-sg_.^). Ti> (2.4) va (2.3) ta suy ra rang vo'i \/x € iQg^Cii^ ^ trcng fid 5 ^gj = i X : l|'£x°(x-x^)^°|/^ |)A2t>1„ (k-1)J( n^ ))x-x°|| f [...]... ??lnn;t nsu / \ l a n g h i ^ ciia phtJWng trinii (2.23) t h i A= ('^'^ ^j, ^ ^\^-^ y\""^) - V Do do t'Jf (2.28) suy ra : (^.29) ll ^ \ Ax^ ^^ X, ^ lY^ r^ = \ Dieu kign 5 da diro'c chu'ng minh xong Cung t'JP (2.29) ta 3uy ra : (2.50) f^ :- 2B^ L^ ^ = ~»ifi '*o Kiem t r a dieu kipn 4 TJ (2.50) suy ra iP f^ ^i^C'o^ k-2 Pi = i - ( i - J;^ C ^ ) •! 1, ^1 ^1 " ^ *'l "^^ ^o - ^^ W-Ou k i g n 4 da dxfg'c ki&a... Khi V -^ ' (P q - , i ^-'- ) • t^j? b S t dang thu'c cu6i cung suy r a b S t dang tht5»c (2.25) TSn de con I g i l a c§n chiJng mirJi x * Iv^ nghifm cua phifCng t r i n h ( 1 ) a g t v ^ y , tu* ( 2 9 ) t a syy r a : AX- - T , , ^ ( x - ^ ^ - x^) • Do do (2.54) IJAx^/k illn,kli li^''-^l! ^ Ii2n,k' Dv'a vao cac d i e u k i ^ n cua dinh l y suy r a "n\\Tj^ ^\{ l a mOt dgi li^g'ng g l ^ l n g i , do do... t r i n h (1) eon ton t$± mgt nghigm khac x*^ Can c^'5'ng inin^ rang x ^ trTing vt3l xT TV ( 2 9 ) ta suy ra 5 Ax^^^ T^^^ ( x ^ ^ ' - x ^ ) -0 Do do : (2.59) It.k^"'' ^t - %,i,x Ax- %,k(^''-^^)- Dypa vao (2.59) va Ax** = C (vi x** l a n^+nigm cua phifcug t s i n h (1) theo g i a t h i s t ) , ta suy r a : %,kCx-"' '^)= = AJ^ V k = ^ - ^ - ' - ^ k ^ ^ ^ ' - Ax- - T^^^ i ^ - X-) Do do : (2.40) y^^^^... ' ^ trong do : ||T^2(x- x**^) |( ^ sup o^t4l 1 A"x** t ( x - - x ^ ) i l 1 X - ^ * 11' 1 1 Tt:^ ( 2 4 1 ) suy ra : A x ^ - Ax^' A'X**X= " ^2^^ - ^ ^ Do do : (2.41)» ii A x ^ - Ax^ ^ \'x^ ( x ^ sup I A".:** X t(x^-x^)il llx^ O^ti^l Dya vao ( 2 1 1 ) va ( 2 4 1 ) ' , t'> (2.i^) ^"^- y ^ H l suy ra : E^^ic : l | A x ^ - i ^ x - - a ^ , v ( x ^ - X-) ii < ll < k !i ^ K,k^^- ^ > - i=1 -^ k-1 + i=2 (i)... ^ ; ^ ^ i=2 L2jjx x**/M X -• X jj X^ - X**|j Dya vao t,l3 t ' - i l t cua dinh l y , t*' ( 2.41) " suy r-a : f|:^' - ^ 1 ! 4 ^oii X ~ ,*> u i k-1 |:.^-x"|i,B (^*-1j)T,^,*^ 0 (^-Po'^o'' k-1 , r i-1 ! ^ i 'O ••.1-IPc^) ' (l-""''-''^l den v ^ The nhu^ng, di;a \^ao c5c g i a t h i o t c^ja dxlrin Tj ta co 1 A?!,"? (-O'"^^-"^ 4.^ Ao(^-i)o 1 " i=1 Dya vao d5.nh l y Banach, tu' uSt dang thu^c cu.6i cun;j suy ra t o n t ? i t o a n ti? nghich dao : - 1 ^Zf i-(k-1) ^ v-1 ( l + A0I3 £ ( - 1 ) -i^^T -'io(i^-^)J) ^ V'^ -1 ^ J ^ l-(k-1) -1,1 ( | ( l + A o 1 o } _ ' (-1) t.5_^ A o ( k - i ) o ) \\ ^ ^ - 1... - ^ ) - i : - ^ 7 A x - ( ^ - ^ ) ' l l + i=1 1 ' -1 * II I^ik II II \ ( ^ ^ ) I) • Dya vao cac dieu kipn ciia d^nh l y va c5c bSt dang thu*c ( 2 1 8 ) , ( 2 1 1 ) , tii* b a t dong thu'c cu5i cung suy ra dieu p h a i c^iihig minh I^u khdng gi5 t h i e t trx^&o ve ay.' tSn t ^ i n g h i ^ cua phi?cmg t r i n h ( 1 ) , ta co cac dinh l y sau day « Dinh l y 2 ? Gih sv? X thoa nan cac dieu kiyn : 1^/ . vai phi:?cmg phap ngi suy tSng qu5t svQT T§ng d| giai gin dung phtfcmg trinli tofin tiJ go D^t v8n etS 45 i 1 M§t vai kiaai nlga ve cSng thrJo n§i suy Tfiu-tcm si^y rOng . phut)*nc; phap ngi Bvxy t6ng quat suy rgng cho toon t&* PhSn d2u tien cua chu'c^ng nay la dUB TV. coc khSi nipn ve 1^ sai phan suy rgng 'oong quat cho to i^n . 2:5 -x° 4= 24_^ -xj_2. x° := x°, 0 <:M. -^1. Tu' (2.1) suy ra : , (4-^0)- JL-^(,o_^^). T-JP (2.2) suy ra : (2.3) A(xg, x^, , ^^) (:^»xj) (x|-^).,, (xj - ^^^^) = :=
- Xem thêm -

Xem thêm: Một số các phương pháp nội suy để giải phương trình toán tử và các ứng dụng của chúng, Một số các phương pháp nội suy để giải phương trình toán tử và các ứng dụng của chúng, Một số các phương pháp nội suy để giải phương trình toán tử và các ứng dụng của chúng, CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TUYẾN TÍNH ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ, $1. MỘT VÀI KHÁI NIỆM VỀ TỈ SAI PHÂN SUY RỘNG CHO TOÁN TỬ, $2. VỀ MỘT PHƯƯONG PHÁP LẶP BẬC K ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ (1), $4. VỀ MỘT LOẠI PHƯƠNG PHÁP LẶP BẬC CAO THỨ HAI ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH(1), CHƯƠNG II: MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TỔNG QUÁT SUY RỘNG ĐỂ GIẢI GẦN ĐÚNG PHUÊONG TRÌNH TOÁN Tư, $1. MỘT VAI KHÁI NIỆM VỀ TỶ SAI PHÂN SUY RỘNG TỔNG QUÁT CHO TOÁN TỬ VÀ CÔNG THỨC NỘI SUY NIUTƠN SUY RỘNG, $2. VỀ MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TỔNG QUÁT SUY RỘNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH (1) VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHÚNG, 1 . Ứng dụng để giải phương trình hàm số với biển số thực, $2. CÁC VÍ DỤ BẰNG SỐ, TÀI LIỆU TRÍCH DẪN

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn