SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM "NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ" GV: ĐỖ THỊ MAI Tổ : TOÁN Trường: THPT ĐẶNG THAI MAI Năm học: 2011-2012 Quảng Xương, tháng năm 2012 A - ĐẶT VẤN ĐỀ I-LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất phương trình vơ tỉ phần quan trọng lớp 10.Bất phương trình vơ tỉ thường dùng để đề thi đại học thi học sinh giỏi cấp tỉnh Để giải bất phương trình vơ tỉ học sinh phải nắm vững định nghĩa bất phương trình,định nghĩa bất phương trình vơ tỉ ,hai bất phương trình tương đương, phép biến đổi tương đương Trong thực tế giảng dạy trường THPT, đặc biệt học sinh lớp 10 trường số lượng học sinh mức độ học lực trung bình cao,điểm đầu vào mơn tốn thấp.Nên học sinh gặp nhiều khó khăn giải tốn liên quan bất phương trình vơ tỉ Các em hay mắc phải sai lầm kết hợp nghiệm bất phương trình vơ tỉ xét thiếu trường hợp bình phương hai vế mà khơng xét dấu hai vế dẫn tới phép biến đổi không tương đương Trong nội dung đề tài xin tập trung giới thiệu số sai lầm học sinh thường mắc phải giải bất phương trình vô tỉ dạng số tập vận dụng , nhằm giúp học sinh giải bất phương trình vơ tỉ Giúp học sinh khắc phục sai lầm giải bất phương trình vơ tỉ Qua đề tài (Những sai lầm học sinh giải bất phương trình vơ tỉ) muốn giúp học sinh hiểu sâu thêm phép biến đổi tương đương giải bất phương trình vơ tỉ, có tư tốt giải bất phương trình vơ tỉ để tìm lời giải cho toán II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực trạng : Sau thời gian dạy học mơn tốn khối 10 phần bất phương trình vô tỉ trường Tôi nhận thấy số vấn đề cộm sau: Vấn đề thứ nhất:Trong sách giáo khoa lớp 10 phần bất phương trình vơ tỉ trình bày sơ lược tóm tắt,sách giáo khoa 10 nâng cao trình bày rõ ràng song nêu hai dạng Những khái niệm phép biến đổi tương đương giải bất phương trình trừu tượng làm học sinh khó nắm bắt sâu sắc chất vấn đề.Đặc biệt theo phân phối chương trình lớp 10 CB "bất phương trình hệ bất phương trình ẩn " dạy tiết cịn theo phân phối chương trình nâng cao ''Đại cương bất phương trình" dạy tiết với lượng kiến thức nhiều.Do giáo viên khó diễn giải chi tiết, cặn kẻ,lấy nhiều ví dụ minh họa để học sinh nắm phép biến đổi tương đương phép biến đổi không tương đương giải bất phương trình Vấn đề thứ hai: Bài tập giải bất phương trình vơ tỉ đa dạng khó nên học sinh thường lúng túng gặp toán loại Vấn đề thứ ba: Đặc điểm học sinh trường học sinh trung bình chiếm 60%,và chủ yếu học sinh học ban bản.Tư em nhiều hạn chế giải bất phương trình em thường không nắm phép biến đổi tương đương để đưa bất phương trình bất phương trình tương đương.Các em thấy bất phương trình có ẩn dấu em bình phương mà khơng xét xem có phải phép biến đổi tương đương khơng? Qua kiểm tra định kì,kiểm tra thường xuyên hai lớp 10A5;10A6 thấy học sinh mắc nhiều sai lầm giải bất phương trình vơ tỉ dẫn đến đáp số sai.Vì điểm kiểm tra phần thường thấp so với phần học khác.Cụ thể kiểm tra lớp 10A5 trước chưa sai lầm giải bất phương trình vơ tỉ sau: Lớp 10A5: ( Tổng số HS :42) Giỏi SL % Khá SL % 9,5 TB SL 16 % 38,1 Yếu SL 14 % 33,3 Kém SL % 19,1 Hệ thực trạng trên: Chính mà học sinh lớp tơi dạy ban đầu thường ''sợ'' lúng túng giải bất phương trình vơ tỉ Với kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy thân Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm để giúp em vận dụng phép biến đổi tương đương giải bất phương trình để giải bất phương trình vô tỉ,tránh sai lầm thường mắc phải giải bất phương trình vơ tỉ Tơi mong muốn giúp em học tốt phần bất phương trình vơ tỉ ,bồi dưỡng cho em lòng say mê, yêu thích mơn tốn B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I-CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.Định nghĩa bất phương trình: -Cho hai hàm số y=f(x) y=g(x) có tập xác định Df Dg Đặt D= Df  Dg Mệnh đề chứa biến có dạng f(x)g(x),f(x) g ( x), f ( x) g ( x) gọi bất phương trình ẩn ;x gọi ẩn số D gọi tập xác định bất phương trình x0  D gọi nghiệm bất phương trình f(x) B2 -Học sinh có tìm điều kiện xác định bất phương trình,nhưng khơng xét dấu biểu thức B sau viết A > B Û A > B -Học sinh làm ìï A ³ ïï A >B Û í B³ ïï ïïỵ A > B Như ba cách làm sai.Đối với hai sai lầm đầu khơng phải phép biến đổi tương đương phân tích tốn 1,cịn sai lầm thứ ba xét thiếu trường hợp ïì A ³ Khi ïíï B < bất phương trình(2) với x nghiệm hệ bất phương ïỵ ïì A ³ trỡnh ùớù B < ùợ A 0>B ị Vì Biện pháp: A >B éìï A ³ êïí êï B < êïỵ A >B Û ê êïìï B ³ êíï ê ëïỵ A > B Ta có lời giải là: Bài 2.Giải bất phương trình sau: x  3x  10  x  Giải x  x  10  x     x   x  3x  10 0     x 5  x  Trường hợp 1:   x 20  x2   ìï x ³ x- 2³ ïì Trường hợp 2: ïíï x - 3x - 10 ³ ( x - 2)2 Û ïíï x ³ 14 Û x ³ 14 ïỵ ïỵ Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S=   ;  2   14;   2.3 Giải bất phương trình dạng:a) A + B > C (3) b) A + B < C (4) (A,B,C biểu thức bậc nhất) Ví dụ: Bài 3.Giải bất phương trình sau: x   x   x  Học sinh thường trình bày sau: Điều kiện: x 2 Bất phương trình   x+1 Û Û x - 6x + < 2x - 6x + Û ê x Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S=( ;  ) 2 Nhận xét: Bài toán học sinh giải sai bất phương trình -x+3< (2 x  4)( x  1) Học sinh không xét trường hợp mà bình phương hai vế dẫn đến lời giải tốn sai Sai lầm: Khi dạy học sinh tơi thấy học sinh hay mắc phải lỗi sau giải loại bất phương trình (3) ,(4) là: -Học sinh khơng tìm điều kiện xác định bất phương trình -Học sinh có tìm điều kiện xác định bất phương trình trình bày sau: Điều kiện xác định : ìï A ³ ïï í B³ ïï ïïỵ C ³ a) A + B > C Û A + AB + B > C Û AB > C - A - B Û 4AB > (C - A - B)2 b) A + B < C Û A + AB + B < C Û AB < C - A - B Û 4AB < (C - A - B)2 Như hai cách làm sai Sai lầm thứ chưa tìm điều kiện mà bình phương dẩn đến bất phương trình khơng tương đương có thay đổi tập xác định Sai lầm thứ hai giải bất phương trình AB > C - A - B toán (2) nên ta phải chia làm hai trường hợp Biện pháp: Điều kiện xác định : ïìï A ³ ï í B³ ïï ïïỵ C ³ é C - A- B C Û A + AB + B > C Û AB > C - A - B Û ê êïïí C - A - B ³ êï AB > (C - A - B)2 êïỵ ë ìï C - A - B > b) A + B < C Û A + AB + B < C Û AB < C - A - B Û ïíï 4AB < (C - A - B)2 ïỵ Chú ý cho học sinh ta tìm tập xác định từ đầu nên trường hợp 1của bất phương trình AB > C - A - B khơng cần tìm AB ³ Ta có lời giải là: Bài 3.Giải bất phương trình sau: x   x   x  Giải x 1  x   x  Điều kiện: x 2 Bất phương trình  x+13 ê x >3 ê é x >3 ê êìï x £ ê éx > ê êïï ê é ì Û êïï x £ Û êï é Û êê < x £ Û ê ê êí êí êx > êê êx êïï ê ê ë x 3x-10+2 ( x  3)(2 x  7)  -x+6>2 (2 x  7)( x  3)   x  0 x 6   -x+6> (2 x  7)( x  3)    2  x  12 x  36  x  52 x  84 ( x  6)  4(2 x  7)( x  3)   x 6 x 6 12     12  x4 7 x  40 x  48    x   Kết hợp với điều kiện ta có bất pt có nghiệm x  Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S = [ ; 4) 2.4 Giải bất phương trình dạng: A - B > C (4) (A,B,C biểu thức bậc nhất) Ví dụ Bài 5: Giải bất phương trình : 3x - x+1 > x + Học sinh thường trình bày sau: Điều kiện:x ³ 3x - x+1 > x + Û ( 3x - x+1)2 > ( x + )2 Û 3x + x +1 - (x+1)3x > x + Û 3x - > (x+1)3x Û x - x +1 >12 x +12 x Û 3x +18x - < Û - - 21 - + 21 (x+1)3x mà khơng xét 3x-1>0 nên phép bình phương khơng phải phép biến đổi tương đương Chính sai lầm nên dẫn đến đáp số tốn sai Sai lầm: Khi dạy học sinh tơi thấy học sinh hay mắc phải lỗi sau giải loại bất phương trình (4) là: -Học sinh khơng tìm điều kiện xác định bất phương trình -Học sinh có tìm điều kiện xác định bất phương trình trình bày sau: Điều kiện xác định : ìï A ³ ïï í B³ ïï ïïỵ C ³ A- B > C Û ( A- B )2 > C Sai lầm thứ phân tích tốn Sai lầm thứ hai học sinh không xét xem vế trái bất phương trình (4) khơng âm chưa Nên bình phương hai vế bất phương trình (4) khơng phải phép biến đổi tương đương 10 Biện pháp: A- B> C Điều kiện xác định : ïìï A ³ ï í B³ ïï ïïỵ C ³ A- B > C Û A > B + C ta đưa toán Hoặc ta phải chứng minh A - B ³ sau ta bình phương hai vế để đưa bất phương trình tương đương Ta có lời giải là: Bài 5: Giải bất phương trình sau: 3x - x+1 > x + Giải Điều kiện:x ³ 3x > x+1 + x + Û 3x > x + + ( x +1)( x + 2) ìï x >3 x - > ( x +1)( x + 2) Û ïí ïïỵ x - x + > 4( x + 3x + 2) x >3 ïì Û ïí Û ïïỵ 3x +18x - < ìï x >3 ï ïí ïï - - 21 < x < - + 21 ïïỵ 3 Bất phương trình vơ nghiệm 2.5 Giải bất phương trình dạng:A B ³ A B £ (5) Ví dụ Bài 6: Giải bất phương trình sau: ( x - 3x) x - 3x - ³ Học sinh thường trình bày sau: (x - 3x ) ïìï éx ³ ïï ê ïï ê ëx £ ïìï x - 3x ³ ï x - 3x - ³ Û í Û í x³ Û ïỵï x - 3x - ³ ïï é ê ïï ê ïï êx £ ë îï ê é êx £ ê ê ê ëx ³ Vậy bất phương trình có tập nghiệm:S= ( ;  ]  [3; ) Nhận xét:Bài toán học sinh giải sai x - 3x - ³ điều kiện tốn ta khơng thể kết luận x - 3x ³ 11 Vì x - 3x - = bất phương trình x - 3x nhận dấu Nếu x - 3x - > suy x - 3x ³ Do phép biến đổi không tương đương nên dẫn đến đáp số toán sai Sai lầm: Khi dạy học sinh thấy học sinh hay mắc phải lỗi sau giải loại bất phương trình (5) là: -Học sinh khơng tìm điều kiện xác định tốn -Học sinh trình bày sau: A B ³ Điều kiện : B ³ A B ³ Û A ³ Ở cách làm học sinh biến đổi không tương đương ta chia hai vế bất phương trình cho biểu thức biểu thức ln dương ln âm với x thuộc tập xác định bất phương trình.Mà B ³ nên ta phải xét hai trường hợp B = B > ta phép chia hai vế bất phương trình cho B Biện pháp: éB = ê êïì B > Û B ³ A êïí êï A ³ ê ëïỵ Ta có lời giải là: Bài 6: Giải bất phương trình sau: ( x - 3x) x - 3x - ³ Giải ( x2 - x ) x - 3x - ³ éx = ê TH1: x - 3x - = Û ê êx =ê ë ìï é x > ïìï ïï ê ïï ïï ê ïï ïï êx ï ê Û íë 2Û TH2: íï ïï ïï x - 3x ³ ïï éx ³ ïï ïï ê ïï ïỵ ê ëx £ ỵ é êx 0 Hoặc x-3 ê ïỵ B - C > êì ê ïï A < êí ê ïïỵ B - C < ë Ta có lời giải là: Bài 7: Giải bất phương trình sau:(x-3) x - £ x - Giải Điều kiện: x £ - x ³ (x-3) x - £ x - Û ( x - 3)( x - - x - 3) £ TH1: é ê x =3 ( x - 3)( x - - x - 3) = Û ê Û ê x = x + ê ê ë é x =3 ê êìï x³ - Û êïí êï x - = x + x + êỵï ë é x =3 ê êìï x ³ - êïï Û êí 13 êï x =ï ê ëïỵ é x =3 ê ê 13 êx =ê ë éìï éìï x- 3 x + êỵï êï ê Û êỵ TH2: ( x - 3)( x - - x - 3) < Û ê êïì ì x- 3>0 x >3 êïïí êïí ( II ) êï êï ê ïëỵ x - - x - < ê ïëỵ x - < x + ìï ìï x < ïï ïï x - 13 ïïỵ ïỵ 14 ỉ Vy bt phng trỡnh cú nghim S= ỗỗỗố- Ơ ; 2.7 Giải bất phương trình dạng: 13 ù úÈ [ 3; +¥ ) 6ú û A > C B A < C (7) B Ví dụ Bài 8: Giải bất phương trình :  x  x2 1 x2 Học sinh thường trình bày sau: é- £ x êïí êï B>0 A - BC êï > Û êỵ B êïìï A - BC < êí êï B C Û B Nếu nhận xét dấu B tốn đơn giản nhiều Ví dụ B>0 Nếu BC Û B A >C Û B A > B C A < B C Ta có lời giải là: Bài 8: Giải bất phương trình sau:  x  x2 1 x2 Giải é- £ x ( A - B) Û > ( A - B) Û >1 C C( A + B ) C( A + B ) Như cách sai học sinh rút gọn hai vế bất phương trình cho A-B.Đây khơng phải phép biến đổi tương đương ta chưa biết biểu thức A-B dương hay âm Biện pháp: ìï A ³ ïï Điều kiện: íï B ³ ïï C ¹ ïỵ ( A - B) ( A - B) ³ ( A - B) Û ³ ( A - B) Û ( A - B).( - 1) ³ C C( A + B ) C( A + B ) - 1) = TH1 ( A - B).( C( A + B ) A B  A B      1 TH2:  TH3:  C( A  B )   C( A  B )     Ta có lời giải 10 là: Bài 10.Giải bất phương trình sau: Giải Điều kiện :-1 £ x £ 1+x - 1- x ³ x Û 1+ x - 1+ x - + x ³ x Û x (2 1+x + 1- x 1- x ³ x 1+x - 1- x ) ³ 18 TH1: x (2 - TH2: x(2 Vì ( é x =0 1- x ) = Û ê Û ê + x + x = ê ë + x - - x ) > (*) 1+ x - + x + - x ) < (1 + x +1 - x ).(1 +1) Û ( é x =0 ê Û ê 2 x = ê ë éx = ê Û x =0 ê x = ë + x + - x ) < Với x ¹ Nên - + x - - x >0 Þ (*) Û < x £ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S=[0;1] C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT I KẾT QUẢ Trong trình dạy lớp 10A5, đưa dạng tập bất phương trình vơ tỉ ,lấy ví dụ minh họa cho dạng,cho em lên bảng làm.Sau tơi hướng dẫn cho học sinh lớp tìm thấy sai lầm lời giải, để từ em rút kinh nghiệm cho thân Kết điểm kiểm tra hết phần học sau: Sau sai lầm Lớp 10A5: ( Tổng số HS :42) Giỏi Khá SL % SL 10 23,8 18 II KẾT LUẬN % 42,9 TB SL 13 % 30,9 Yếu SL 01 % 2,4 Kém SL % Qua thời gian nghiên cứu kiểm nghiệm thực tế giảng dạy rút số kết luận sau : Mơn tốn học mơn học gần gũi với em học sinh,nên lợi lớn để tạo lòng ham học hỏi, u thích mơn.Do q trình giảng dạy giáo viên nên đưa ví dụ áp dụng từ dễ đến khó,nên phân loại cho học sinh dễ học, nên để học sinh lên bảng làm để sai lầm em hay mắc phải III KIẾN NGHỊ 19 Đối với giáo viên : Cần quan tâm sát đến mức độ tiếp thu học sinh Cần phải kiểm tra miệng nhiều em để nắm mức độ hiểu em để kịp thời uốn nắn sửa chữa sai lầm mà em mắc phải - Cần có nghiêm túc việc sử dụng cơng nghệ thơng tin dạy tốn Đối với nhà trường:Trong buổi họp tổ giáo viên nên trao đổi cách dạy học khó để tìm cách giảng dạy hay cách giảng dạy chưa Đối với sở giáo dục Cần công khai sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao mạng internet để giáo viên học sinh tất trường tỉnh tỉnh áp dụng vào thực tiễn học hỏi cách viết đề tài khoa học Trên số kinh nghiệm thân tơi đúc rút q trình giảng dạy, chắn cịn mang tính chủ quan thân, khơng tránh khỏi nhiều sai sót, vấn đề nêu mong góp ý thầy giáo, bạn đồng nghiệp đặc biệt từ phía em học sinh Quảng Xương, tháng05 năm 2012 20 ... phải giải bất phương trình vơ tỉ dạng số tập vận dụng , nhằm giúp học sinh giải bất phương trình vơ tỉ Giúp học sinh khắc phục sai lầm giải bất phương trình vơ tỉ Qua đề tài (Những sai lầm học sinh. .. tương đương giải bất phương trình để giải bất phương trình vơ tỉ, tránh sai lầm thường mắc phải giải bất phương trình vơ tỉ Tơi mong muốn giúp em học tốt phần bất phương trình vơ tỉ ,bồi dưỡng... học sinh giải bất phương trình vơ tỉ) tơi muốn giúp học sinh hiểu sâu thêm phép biến đổi tương đương giải bất phương trình vơ tỉ, có tư tốt giải bất phương trình vơ tỉ để tìm lời giải cho toán II