MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Nhìn lại lịch sử tốn học ta thấy có nhiều tri thức tốn học phổ thơng mơ hình (hình ảnh) tốn học cao cấp Sự liên hệ thể nhiều chủ đề như: Lý thuyết tập hợp, quan hệ, ánh xạ bất biến ánh xạ, véc tơ phép toán chúng, cấu trúc đại số… Song hạn chế tri thức học sinh phổ thông nên việc trình bày sách giáo khoa phổ thơng có nhiều phải tránh mối liên hệ Điều làm cho khơng sinh viên khoa toán trường sư phạm tiếp xúc với toán học cao cấp cho toán học cao cấp giới riêng tách biệt với toán học phổ thông mà họ học bậc phổ thông Vấn đề đặt làm để giúp sinh viên khoa toán trường sư phạm học tốn học cao cấp tự nhận mối liên hệ tốn học cao cấp mơn tốn trường phổ thơng, giúp họ giáo viên tương lai trường phổ thông tự tìm thấy khai thác khả vận dụng toán học cao cấp giảng dạy sau để từ nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ cho họ Vì chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Xác lập mối liên hệ tốn học cao cấp tốn học phổ thơng nhằm giúp sinh viên ngành toán rèn luyện tay nghề dạy học” Tuy nhiên, đề tài rộng phong phú, khóa luận chúng tơi xác lập mối liên hệ vấn đề: Tập hợp ánh xạ, không gian vectơ, không gian vectơ ơclit, không gian afine, không gian ơclit Ứng dụng tốn học cao cấp vào việc giảng dạy mơn tốn trường phổ thơng đề tài nhiều nhà nghiên cứu giáo dục giới quan tâm nghiên cứu Qua nghiên cứu số tài liệu, chúng tơi nhận thấy, giới có hai hướng chủ yếu khai thác năm qua là: (1) Giải tốn sơ cấp cơng cụ toán học cao cấp: Theo hướng này, vấn đề giải cách đơn lẻ không khái quát khơng mang tính lí luận lại đáp ứng nhu cầu mà thực tế dạy học bậc phổ thơng địi hỏi Nó giúp cho giáo viên thơng qua cách giải tốn học cao cấp, tìm thấy lời giải phù hợp với học sinh phổ thơng (2) Biên soạn giáo trình sở tốn học cao cấp dạng giảng ngơn ngữ đơn giản: Mỗi khái niệm có liên quan đến mơn tốn bậc phổ thơng hình thành đường kiến tạo, xuất phát từ khái niệm tốn học phổ thơng để khái quát hoá, trừu tượng hoá thành khái niệm toán học cao cấp Theo hướng này, tài liệu biên soạn thường cơng kềnh khó đem dạy trường sư phạm chúng lại tài liệu tham khảo bổ ích cho giảng viên sinh viên ngành toán trường sư phạm Ở nước ta nay, việc nghiên cứu mối quan hệ nội dung toán học cao cấp nội dung tốn học phổ thơng số nhà nghiên cứu giáo dục quan tâm như: Đặng Quang Việt, Phan Văn Lý, Nguyễn Văn Dũng, Nguyễn Thị Minh Yến, Vương Hội Các tác giả tập trung vào việc nghiên cứu giảng dạy phân mơn tốn học cao cấp sở liên hệ với nội dung chương trình mơn tốn trường phổ thông nhằm tăng cường định hướng sư phạm cho sinh viên Tính cấp thiết Để nâng cao khả học tập giải toán phổ thông cho học sinh trung học, sinh viên cần phải hiểu mối quan hệ toán học cao cấp với tốn học phổ thơng để từ giúp cho sinh viên - người giáo viên tương lai tự tìm thấy khai thác khả vận dụng toán học cao cấp dạy học tốn học phổ thơng sau Từ đó, nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ sư phạm cho họ Hiện nay, nước ta, chưa có nhiều tài liệu tham khảo viết mối liên hệ tốn học cao cấp tốn học phổ thơng Do đó, việc nghiên cứu chủ đề tác giả có ý nghĩa thực tiễn lý luận Kết nghiên cứu đề tài (dự kiến) chắn tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên ngành toán Mục đích nghiên cứu Xác lập số mối liên hệ toán học cao cấp toán học phổ thông vấn đề tập hợp ánh xạ, không gian vectơ, không gian vectơ ơclit, không gian afine khơng gian ơclit để từ hình thành số định hướng giúp sinh viên giải tốn phổ thơng sở định hướng tốn học cao cấp Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mối liên hệ toán học cao cấp tốn học phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu: tập hợp tham khảo tài liệu liên quan đến đề tài kết hợp nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo đề tài gồm ba chương Chương 1: Mối liên hệ tốn học cao cấp tốn học phổ thơng lý thuyết tập hợp, ánh xạ Chương 2: Mối liên hệ toán học cao cấp toán học phổ thông không gian vectơ, không gian vectơ ơclit, không gian afine, không gian ơclit Chương 3: Thực hành giải tốn phổ thơng sở sử dụng mối liên hệ toán học cao cấp tốn học phổ thơng Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA TỐN HỌC CAO CẤP VÀ TỐN HỌC PHỔ THƠNG ĐỐI VỚI LÝ THUYẾT TẬP HỢP, ÁNH XẠ Tập hợp ánh xạ chương trình tốn học cao cấp trình bày cách tường minh có chiều sâu với nội dung cụ thể sau: 1.1 Lý thuyết tập hợp 1.1.1 Lý thuyết tập hợp toán học cao cấp 1.1.1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp (hay tập) khái niệm tốn học, khơng định nghĩa Người ta thường mô tả tập hợp Chẳng hạn tập hợp học sinh lớp, tập hợp số nguyên dương, tập hợp bàn học lớp, tập hợp số tự nhiên… Tập hợp thường kí hiệu chữ in hoa A, B, X, Y,… Một vật đối tượng nằm tập hợp gọi phần tử tập hợp Ta kí hiệu x ∈ X x phần tử tập X, x ∉ X x phần tử tập X Một tập hợp coi cho ta xác định đối tượng thuộc hay không thuộc tập hợp Tập khơng có phần tử gọi tập hợp rỗng kí hiệu ∅ Tập hợp chứa phần tử x, kí hiệu {x}, gọi tập hợp phần tử Tập hợp gồm hai phần tử x y, kí hiệu {x, y} gọi tập hợp hai phần tử Định nghĩa tương tự cho tập hợp ba, bốn , …, n phần tử Các tập hợp với tập hợp ∅ gọi tập hợp hữu hạn tập hợp khác gọi tập hợp vô hạn Kí hiệu P(X) tập hợp phận X Nếu X tập hợp hữu hạn gồm n phần tử P(X) tập hợp hữu hạn có 2n phần tử Cho hai tập A B Ta bảo A tập B kí hiệu A ⊂ B (hay B ⊃ A) phần tử tập A phần tử tập B Ta ln có ∅ ⊂ X với tập X Nếu A ⊂ B và B ⊂ A ta nói A, B kí hiệu A = B 1.1.1.2 Phép toán tập hợp Tập hợp gồm phần tử thuộc hai tập A B gọi hợp hai tập kí hiệu A ∪ B Tập hợp gồm phần tử thuộc đồng thời hai tập hợp gọi giao hai tập kí hiệu A ∩ B Nếu giao hai tập rỗng ta bảo hai tập rời Hợp giao có tính chất:  Giao hoán : A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A  Kết hợp : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)  Phân phối : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Tập hợp gồm phần tử thuộc tập A không thuộc tập B gọi hiệu tập A trừ tập B (kí hiệu A ∖ B A – B) Nếu B ⊂ A ta gọi hiệu A ∖ B phần bù tập B tập A kí hiệu C B  Cơng thức De morgan: X − (A ∪ B) = (X − A) ∩ (X − B), X − (A ∩ B) = (X − A) ∪ (X − B) Giữa phần bù hợp giao tập E∝ tập X (E∝ ⊂ X) có cơng thức đối ngẫu (De Morgan) quan trọng sau: C (⋃∝ E∝) = ⋂∝(C E∝ ) C (⋂∝ E∝) = ⋃∝(C E ) Các cơng thức phát biểu sau: Phần bù hợp giao phần bù Phần bù giao giao phần bù Cho hai tập X Y Ta xét cặp thứ tự (x, y), x ∈ X, y ∈ Y Hai cặp (x, y) (x’, y’) coi x = x , y = y′ Tập hợp tất cặp thứ tự (x, y) x ∈ X, y ∈ Y gọi tích Đêcac (hoặc tích) hai tập X Yvà kí hiệu X × Y Khái niệm tích Đêcac mở rộng cho trường hợp nhiều tập hợp Nếu X, Y, Z, T tập hợp, người ta định nghĩa: X × Y × Z = (X × Y) × Z X × Y × Z × T = (X × Y × Z) × T … Các phần tử X × Y × Z ba (x, y, z) với x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z Cũng vậy, phần tử X × Y × Z × T bốn (x, y, z, t) với x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z, t ∈ T Cuối X tập hợp, ta đặt X = X × X, X = X × X × X, X = X × X × X × X, … 1.1.1.3 Xây dựng hệ thống số nhờ lý thuyết tập hợp Con đường tổng quát sau: Tập X phân chia thành tập khác ∅ cặp không giao X ∝ ∝∈ A – số lấy họ tập A mà A∝ phần tử - lớp nói Gọi Y tập nhân tử tương ứng (tập phần tử của tập A ∝) Mỗi A∝ phần tử P(X) tập {X ∝ , ∝∈ A} tập P(X) phần tử P(P(X)) Do Y phần tử P(P(X)) Từ phân chia tập hợp thành tập không giao phép tốn tạo thành phần tử biểu diễn qua phép toán tạo thành tập tập phần tử - Xây dựng tập số nguyên theo bước sau:  Lấy tích đề N × N = N – tập cặp (m, n), m ∈ N, n ∈ N  Phân hoạch N thành lớp khác ∅ cặp không giao theo quan hệ tương đương: (m , n )~(m , n ) ⟺ m + n = m + n Khi lớp tương đương số nguyên Vậy tập số nguyên tập nhân tử tập N hay ℤ phần tử P(P(N )) - Tương tự tập Q số hữu tỉ phần tử P(P(ℤ × N∗ )) - Tập số thực phần tử P(P(ℤ × P(N))) - Quan hệ bé N cho phần tử X ∈ P(N ) - Mỗi hàm tuần hoàn xác định đồ thị – tập R nghĩa phần tử P(R ) Từ hàm số đối phần tử P(P(R )) Cũng hàm nhiều biến phần tử P(P(R )) - Các phép toán cộng trừ nhân R phần tử P(R ) - Các phép biến hình hình học mơ tả lí thuyết tập hợp sau: Mỗi phép biến hình f cho đồ thị: cặp (A,B) A điểm không gian E3; B ảnh f Nhưng đồ thị tập E × E nghĩa phần tử P(E × E ) 1.1.2 Lý thuyết tập hợp toán học phổ thông Về thực chất lý thuyết tập hợp sử dụng lớp trung học sở phải đến lớp 10 trình bày cách tường minh lý thuyết tập hợp bậc phổ thơng trình bày theo quan điểm “ ngây thơ” Những vấn đề lý thuyết tập hợp gói gọn chương I sách đại số 10 nâng cao hay 2, chương I sách đại số 10 Ở trình bày vấn đề sau: - Khái niệm khái niệm, ví dụ, phần tử thuộc hay khơng thuộc tập hợp, cách cho tập hợp - Tập hợp tập hợp nhau, biểu đồ ven - Một số tập hợp tập hợp số thực - Các phép toán tập hợp: Phép hợp, phép giao, phép lấy phần bù Mặc dù lý thuyết tập hợp chương trình tốn phổ thơng chưa sâu sắc song phép toán tập hợp sử dụng rộng rãi xun suốt chương trình tốn phổ thơng như: - Các phép tốn tập hợp dùng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình… - Các tập hợp số trường phổ thông nhận từ việc lấy giao phần bù tập hợp (−∞, a] = ℝ(a, +∞) - Các khái niệm đại số tổ hợp trình bày dựa vào tập hợp - Các tốn tìm quỹ tích điểm - Các hình mặt phẳng hay khơng gian xem tập hợp điểm xét vị trí tương đối chúng Khi giải phương trình, bất phương trình tập nghiệm phần tử tập hợp, khoảng, đoạn Ví dụ: Giải phương trình: f (x) f (x ) … f (x) = (1) Ta kí hiệu Mi tập nghiệm phương trình f (x) = 0, N i miềm giá trị thừa nhận f (x ), ≤ i ≤ n Khi tập nghiệm phương trình (1) là: ∪ (N ∩ N ∩ … ∩ N Vì tập N ∩ N ∩ … ∩ N ∩M ∩N ) ∩M ∩N nhân tử f (x ) = nhân tử lại xác định − x sin2x = (2) Chẳng hạn giải phương trình: Học sinh thường sai lầm dẫn tới giải: (2) ⟺ −x =0 sin2x = x=∓ x = ⟺ ⟺ , k ∈ ℤ x= 2x = kπ Giải là: π ⎡ ⎡ x = ∓3 π π ⎢ ⎢ kπ ⎡ −x =0 x = ⎢ ⎢⎧ x = 9 ⎢ , k ∈ ℤ (2) ⟺ ⎢ sin2x = ⟺ ⎢ 2x = kπ ⟺ ⎢⎪ ⎢ ⎢ x ≤ −π π ⎢π ⎢ x ≥ ⎢⎨ ⎣ −x ≥0 π ⎢ ⎢⎪ x≥ ⎣ ⎣⎩ 1.2 Lý thuyết ánh xạ 1.2.1 Lý thuyết ánh xạ toán học cao cấp 1.2.1.1 Ánh xạ Định nghĩa 1: Giả sử X Y hai tập cho Một ánh xạ f từ X đến Y quy tắc cho tương ứng với phần tử x X phần tử xác định, kí hiệu f(x) Y Ta viết f∶X→Y x ↦ f(x) Tập X gọi tập nguồn hay miền xác định tập Y gọi đích hay miền giá trị ánh xạ f Ánh xạ f coi không đổi ∀x ∈ X ∶ f(x) = y y phần tử xác định Y Ví dụ: 1) Xét tập hợp ℕ số tự nhiên tập hợp ℤ số nguyên không âm nhỏ số nguyên dương cho m Với ∈ ℕ ta chia x cho m số dư kí hiệu f(x) Số f(x) thuộc ℤ Tương ứng x ↦ f(x) xác định ánh xạ f ∶ ℕ → ℤ 2) Xét tập hợp số thực ℝ Tương ứng x ↦ x xác định ánh xạ từ ℝ đến ℝ Định nghĩa 2: Giả sử f ∶ X → Y Bộ phận Γ X × Y gồm cặp x, f(x) với x ∈ X gọi đồ thị ánh xạ f Như vậy, cho ánh xạ f ∶ X → Y, ta phận Γ X × Y có tính chất: với x ∈ X, có cặp, có phần tử thứ x, thuộc Γ Đảo lại, cho phận Γ X × Y có tính chất đó, Γ cho ta ánh xạ f ∶ X → Y mà đồ thị Γ Cho nên người ta đồng ánh xạ f với đồ thị phận tích đề X × Y 1.2.1.2 Ảnh tạo ảnh Định nghĩa 3: Giả sử f ∶ X → Y ánh xạ cho, x phần tử tùy ý X; A phận tùy ý X, B phận tùy ý Y Thế người ta gọi: - f(x) ảnh x f hay giá trị ánh xạ f điểm x - f(A) = {y ∈ Y| tồn tại x ∈ A sao cho f(x) = y} ảnh A f - f (B) = {x ∈ X|f(x) ∈ B} tạo ảnh toàn phần B f Đặc biệt với b ∈ Y, f viết f (b) thay cho f ({b}) = {x ∈ X|f(x) = b} Để đơn giản kí hiệu ta ({b}) gọi tạo ảnh toàn phần b f Kí hiệu f(A) điều lạm dụng f(A) có nghĩa A ∈ X Rõ ràng ta có f(∅) = ∅ với f Ta chứng minh dễ dàng quan hệ: - ⊂f -B⊃f f f(A) với phận A X (b) với phận B Y Nhưng ta quyền, quan hệ ấy, thay dấu bao hàm dấu đẳng thức Chẳng hạn ví dụ 2) mục a), lấy A = {1} ta có f f(A) = {−1, 1} B = {−1, 1} ta có f f (b) = {1} 1.2.1.3 Đơn ánh - toàn ánh - song ánh Định nghĩa 4: Ánh xạ f ∶ X → Y đơn ánh với x, x′ ∈ X, quan hệ f(x) = f(x’) kéo theo quan hệ x = x’ hay x ≠ x′ kéo theo f(x) ≠ f(x ); hay với y ∈ Y có nhiều x ∈ X cho y = f(x) Người ta gọi đơn ánh f ∶ X → Y ánh xạ đối Ví dụ: 1) Xét ánh xạ f ∶ ℝ → ℝ x ↦ x Rõ ràng f đơn ánh, ví x y số thực quan hệ x = y kéo theo x = y Nếu ta thay ℝ ℂ ánh xạ f ∶ ℂ → ℂ x ↦ x đơn ánh nữa, gọi ε , ε , ε ba giá trị bậc ba đơn vị, ta có ε = ε = ε = 2) Giả sử X tập hợp, ánh xạ X → X x↦x Gọi ánh xạ đồng X kí hiệu 1x ex Hiển nhiên 1x đơn ánh 3) Cho X ⊂ Y Ánh xạ j ∶ X → Y x ↦ j(x ) = x Gọi đơn ánh tắc tứ X đến Y Ta có nhiều đơn ánh từ X đến Y, đơn ánh j gọi tắc xây dựng cách tự nhiên 10 ... ơclit Chương 3: Thực hành giải tốn phổ thơng sở sử dụng mối liên hệ toán học cao cấp tốn học phổ thơng Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC CAO CẤP VÀ TOÁN HỌC PHỔ THÔNG ĐỐI VỚI LÝ THUYẾT TẬP HỢP,... trung học, sinh viên cần phải hiểu mối quan hệ toán học cao cấp với tốn học phổ thơng để từ giúp cho sinh viên - người giáo viên tương lai tự tìm thấy khai thác khả vận dụng toán học cao cấp dạy học. .. nghĩa thực tiễn lý luận Kết nghiên cứu đề tài (dự kiến) chắn tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên ngành toán Mục đích nghiên cứu Xác lập số mối liên hệ toán học cao cấp toán học phổ thông vấn đề tập