SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT SÔNG RAY Mã số:……………………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH KHI HỌC TÍCH PHÂN – NGUYÊN NHÂN VÀ GIẢI PHÁP Người thực hiện: Phạm Văn Tánh Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2013 - 2014 MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH KHI HỌC TÍCH PHÂN – NGUYÊN NHÂN VÀ GIẢI PHÁP 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Tôi xin được bắt đầu bởi một tình huống trong thực tiễn dạy học. Năm học 2012 – 2013 khi dạy bài “Tích phân”, tôi cho học sinh làm một bài tập: “Tính tích phân sau 2 2 1 dx I x − = − ∫ ”. Một học sinh đã giải như sau: “ 2 2 2 2 ( 1) 1 1 dx d x I x x − − − = = − − ∫ ∫ 2 2 ln | 1|| ln1 ln3 ln3x − = − = − = − ”. Tôi yêu cầu các em sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra, các em đã rất ngạc nhiên khi thấy máy báo lỗi, không giải được. Một câu hỏi lập tức xuất hiện trong đầu tôi: Sai lầm này của các em học sinh là do nguyên nhân gì? Các em còn có những khó khăn gì khi học tích phân? Về mặt chuyển đổi sư phạm, sách giáo khoa hiện hành định nghĩa tích phân nhờ công thức Newton – Leibniz. Theo đó, liệu có hay không nhiệm vụ của học sinh là phải kiểm tra tính liên tục của hàm số dưới dấu tích phân. Bài tập trên là một tình huống “gây nhiễu”, học sinh được đặt vào một tình huống tưởng như quen thuộc và các em đã không “đắn đo” khi sử dụng định nghĩa đã được học để giải quyết. Theo quan điểm đổi mới phương pháp dạy học môn Toán hiện nay ở các trường trung học phổ thông là: phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, tự kiến tạo kiến thức cho mình, chống lại thói quen học tập thụ động. Trong tiết học thầy giáo đóng vai trò quan trọng giúp đỡ học sinh kiến tạo kiến thức chính xác, vì đôi lúc kiến thức học sinh kiến tạo được chỉ đúng trong một trường hợp. Học sinh cần phải kiến tạo cách hiểu riêng của mình đối với mọi khái niệm Toán học. Từ những nhận định trên tôi quyết định chọn đề tà nghiên cứu là : “MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH KHI HỌC TÍCH PHÂN – NGUYÊN NHÂN VÀ GIẢI PHÁP”. 1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu ● Khảo sát học sinh với nội dung tích phân. - 1 - ● Chỉ ra được những nguyên nhân chính dẫn đến những khó khăn của học sinh khi học tích phân. ● Đưa ra những giải pháp giúp học sinh nhận ra và vượt qua những sai lầm, khó khăn đó. 1.3. Phạm vi nghiên cứu và khách thể nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu: Giải tích 12 với nội dung tích phân. Khách thể nghiên cứu: Học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông Sông Ray. 2. CƠ SỞ LÝ LUẬN 2.1. Cơ sở lí luận Một số quan niệm về khó khăn và sai lầm trong hoạt động nhận thức của học sinh Trong sáng kiến kinh nghiệm của tác giả Trần Anh Dũng – Trường THPT Lương Thế Vinh, Đồng Nai – tác giả đã chỉ ra một số các sai lầm mà học sinh hay mắc phải như sau: • Loại 1 : Sai lầm do bất cẩn, vô ý hoặc do hiểu sai vấn đề cần giải quyết. • Loại 2 : Sai lầm do thiếu kiến thức. • Loại 3 : Sai lầm do không nắm vững kiến thức, yếu kĩ năng hoặc khả năng suy luận. • Loại 4 : Sai lầm do hạn chế về mặt phát triển cá thể. • Loại 5 : Sai lầm có nguồn gốc từ chướng ngại. • Loại 6 : Sai lầm là hệ quả của hợp đồng dạy học. Quan điểm của Brousseau khẳng định với một cách nhìn mới về sai lầm của học sinh: “Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, và chúng tạo nên chướng ngại. Trong hoạt động - 2 - của thầy giáo cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm có thể sinh ra từ nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi những chủ thể này.” (Dẫn theo Lê Thị Hoài Châu và Lê Văn Tiến [2], tr. 57). Theo tác giả Trần Anh Dũng: “Việc phát hiện các sai lầm và chướng ngại cũng như phân loại được chúng có vai trò quan trọng đối với người giáo viên trong việc thiết kế các tình huống dạy học nhằm đạt được dụng ý sư phạm. Trong dạy học môn Toán, chúng tôi cho rằng những sai lầm của học sinh cần được phân tích rõ để phát hiện chướng ngại và từ đó có giải pháp sư phạm thích hợp.” ([4], tr. 12) Thực trạng dạy và học Toán hiện nay ở một số trường THPT là học sinh không hiểu được bản chất của khái niệm, định lý gặp không ít khó khăn và có xu thế yếu dần về môn Toán nói chung và nội dung « Tích phân » nói riêng. Chẳng hạn học sinh có thể học thuộc lòng các định lý, công thức nhưng không biết áp dụng như thế nào vào giải toán Từ đó, tôi xác định cần phải tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến những khó khăn đó và đưa ra những giải pháp phù hợp để giúp học sinh vượt qua. 2.2. Sơ lược về “Tích phân” trong chương trình và sách giáo khoa hiện hành Sách giáo khoa hiện hành (cả chương trình chuẩn và nâng cao) dành một chương riêng biệt để giới thiệu khái niệm tích phân. Chương này đề cập đến các chủ đề: nguyên hàm, các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân, các phương pháp tính tích phân, ứng dụng của tích phân. Các tác giả xem nguyên hàm chỉ là một công cụ phục vụ cho việc định nghĩa tích phân của các hàm số liên tục theo công thức Newton – Leibniz. Để dẫn đến khái niệm tích phân, các tác giả đã giới thiệu hai bài toán: “Diện tích hình thang cong” và “Quãng đường đi được của một vật”. Hai bài toán này đã ngầm ẩn giới thiệu ý nghĩa hình học và vật lý của tích phân. Hơn thế nữa, mục đích chính là làm xuất hiện hiệu số F(b) – F(a). Tiếp theo, là định nghĩa tích phân bằng công thức Newton – Leibniz và một số tính chất của tích phân. Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu một số phương pháp tính tích phân và cuối cùng là ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể. 3. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP 3.1. Một khảo sát trên học sinh với nội dung tích phân - 3 - Để tìm hiểu cụ thể những khó khăn, sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi học tích phân tôi đã thực hiện một khảo sát nhỏ trên 123 học sinh của trường THPT Sông ray thuộc ba lớp: 12C3; 12C6 và 12C14. Trong đó lớp 12C3 theo học chương trình nâng cao, hai lớp còn lại theo học chương trình chuẩn. Nội dung khảo sát như sau: Câu 1. Hãy tính các tích phân sau: 1) 2 2 1 dx I x − = − ∫ 2) 16 4 0 I xdx = ∫ 3) 2 2 0 (1 os )I c x dx π = + ∫ 4) 3 3 2 0 x 1 x I dx= + ∫ Câu 2. 1) Chứng minh rằng hàm số ( ) sinx - cosF x x x= là một nguyên hàm của hàm số ( ) sinf x x x = . 2) Tính tích phân 2 0 sinI x xdx π = ∫ Câu 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: đồ thị của hàm số 2 3 2y x x= − + ; trục Ox và hai đường thẳng x = -1 ; x = 3. Phân tích lời giải của học sinh 1) 2 2 1 dx I x − = − ∫ Đa số các học sinh của lớp 12C3 và toàn bộ học sinh của lhai lớp 12C6 và 12C14 đều có lời giải như sau: Đặt: 1u x du dx= − ⇒ = Đổi cận: 2 3; 2 1x u x u= − ⇒ = − = ⇒ = Lúc đó: 1 1 3 3 ln | | ln 3 du I u u − − = = = − ∫ . - 4 - Hoặc: 2 2 2 2 ( 1) ln | 1| ln3 1 d x I x x − − − = = − = − − ∫ . Học sinh đã không chú ý đến điều kiện khả tích của hàm số dưới dấu tích phân. Lời giải đúng: Hàm số 1 ( ) 1 f x x = − không liên tục trên đoạn [-2;2] nên tích phân này không tồn tại. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh sử sụng công thức ln | | dx I x C x = = + ∫ mà không chú ý đến tính hợp thức của nó. Một nguyên nhân nữa xuất phát từ phía giáo viên, khi giảng dạy đã không có một ví dụ hay hoạt động nào xét đến tính khả tích của hàm số. 2) 16 4 0 I xdx= ∫ Với câu này, tất cả học sinh đều giải như sau: 16 16 16 1 5 4 4 4 0 0 0 4 128 5 5 I xdx x dx x= = = = ∫ ∫ Ta biết rằng: 1 4 4 x x= chỉ được định nghĩa tường minh khi x > 0, như vậy phép biến đổi 16 16 1 4 4 0 0 xdx x dx= ∫ ∫ là không hợp lý. Sách giáo khoa giảo tích 12 chương trình nâng cao trang 166 cho ví dụ khi giới thiệu công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x= a; x = b như sau: “Tính diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= , trục hoành và đường thẳng y = x – 2”. Và lời giải được đề nghị như sau: “Ta tìm hoành độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số y x= và y = x – 2 bằng cách giải phương trình 2x x= − . Kết quả được x = 4. Diện tích S của hình H bằng diện tích tam giác cong OCA trừ đi diện tích hình tam giác ABC. Diện tích tam giác cong OCA là 4 4 3 2 0 0 2 16 3 3 xdx x= = ∫ . - 5 - Diện tích hình tam giác ABC là: . 2.2 2. 2 2 AB AC = = Vậy 16 10 2 3 3 S = − = ”. Điều đáng chú ý ở đây là chính SGK cũng đã lạm dụng hệ thức sau đối với x = 0 để tính nguyên hàm 1 2 x x= . Như vậy việc dẫn đến sai lầm ở câu này của học sinh ngoài các nguyên nhân giống như ở câu 1 ra còn có một nguyên nhân khác đó là: Sai lầm có nguồn gốc từ chướng ngại sư phạm. Hình 1. Bài làm thể hiện sai lầm của học sinh. 3) 2 2 0 (1 os )I c x dx π = + ∫ STT Lời giải của học sinh Số học sinh trả lời % 1 Bỏ trống 23/123 17 2 2 2 2 2 0 0 (1 os ) ( sin )I c x dx x x π π = + = + ∫ 1 2 π = + 18/123 15 3 Biến đổi được một vài bước đúng, song không ra được kết quả. 42/123 35 4 Làm đúng 40/123 33 Nhận xét: Qua bảng thống kê trên, ta thấy số học sinh làm đúng là 40 chiếm 33%. Số còn lại làm sai hoặc đúng được một phần nhưng không ra được đáp số đúng hoặc không đi tiếp được chiếm tỉ lệ khá cao (đa phần rơi vào học sinh của hai lớp - 6 - theo học chương trình chuẩn. Đáng chú ý là 18 học sinh đã sử dụng sai công thức tính nguyên hàm của 2 osc x . Nguyên nhân: Các em mắc sai lầm do hiểu sai kiến thức hoặc bị hổng kiến thức về phép biến đổi lượng giác. 4) 3 3 2 0 x 1 x I dx= + ∫ STT Lời giải của học sinh Số học sinh trả lời % 1 Bỏ trống 32/123 26 2 Đặt 2 tan (1 tan )x t dx t dt= ⇒ = + 0 0 3 3 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = Học sinh không giải quyết được tiếp 4/123 3,1 3 Đặt 2 1 2t x dt xdx= + ⇒ = 0 1 3 4 x t x t = ⇒ = = ⇒ = Học sinh gặp khó khăn vì không giải quyết được biểu thức 3 x 39/123 32 4 ( ) 3 3 3 0 0 0 1 1 x x I x dx x dx dx x x     = − = −  ÷  ÷ − −     ∫ ∫ ∫ Sau đó các em tính tiếp 2 tích phân và cho kết quả sai 3/123 2,4 5 Một số sai lầm khác như Đặt 3 3t x dt xdx= ⇒ = Đặt t x dt dx= ⇒ = Một số em sử dụng công thức tính tích phân từng phần Đặt 2 4 3 2 1 1 4 du xdx u x v x dv x dx =   = +   ⇒   = =     rồi gặp bế tắc. ……. 12 9,7 6 Làm đúng 33 26,8 Nhận xét: Đây là bài toán ở mức độ vận dụng so với đối tượng học sinh vừa mới học xong chương tích phân. Số học sinh làm đúng không nhiều (26,8%). Có khá nhiều học sinh bỏ trống không làm câu này, bên cạnh có 39 học sinh (chiếm 32%) - 7 - đã biết cách đặt 2 1t x= + nhưng lại lúng túng với biểu thức 3 x - một tình huống không quen thuộc. Một số em biết cách chia tử cho mẫu nhưng lại bất cẩn khi viết kết quả của phép chia dẫn đến một kết quả sai. Nguyên nhân sai lầm: Với câu này, nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm là do các em thiếu kiến thức, yếu kĩ năng, khả năng suy luận hoặc do hạn chế về mặt phát triển cá thể. Một số em gặp sai lầm do bất cẩn. Hình 2. Khó khăn của học sinh trong tình huống lạ Hình 3. Học sinh sử dụng sai công thức Hình 4. Một sai lầm do bất cẩn Câu 2. - 8 - Chứng minh rằng hàm số ( ) sinx - xcosxF x = là một nguyên hàm của hàm số ( ) sinxf x x= . Với câu này đa số các em làm đúng bằng cách tính đạo hàm của hàm số ( ) sinx - xcosxF x = ta được hàm số ( ) sinxf x x= . Song, khi được yêu cầu tính tích phân 2 0 sinxdxx π ∫ thì tất cả các em đều sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần. Đặt sinxdx osx u x du dx dv v c = =   ⇒   = = −   như đã được học. Các em không linh hoạt khi vừa mới chứng minh xong ( ) sinx - xcosxF x = là một nguyên hàm của hàm số ( ) sinxf x x= . Hình 5. Lời giải máy móc, rập khuân. Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: đồ thị hàm số 2 3 2y x x= − + ; trục Ox và hai đường thẳng x = -1 ; x = 3. Với câu này, đa số học sinh (82 học sinh) có lời giải: Diện tích hình phẳng cần tìm là: 3 3 2 3 2 1 1 1 3 16 3 2 2 3 2 3 S x x dx x x x − −   = − + = − + =  ÷   ∫ Trong khi lời giải đúng phải là: Diện tích hình phẳng cần tìm là: 3 1 2 3 2 2 2 2 1 1 1 2 17 3 2 3 2 3 2 3 2 3 S x x dx x x dx x x dx x x dx − − = − + = − + + − + + − + = ∫ ∫ ∫ ∫ - 9 - [...]... thành ở học sinh 3.2 Một số giải pháp giúp học sinh vượt qua những khó khăn khi học tích phân Trong SKKN của thầy Trần Anh Dũng, tác giả đã xây dựng một tình huống dạy học khái niệm Tích phân theo quan điểm của thuyết kiến tạo Từ những phân tích ở trên, trong khuôn khổ của sáng kiến này, tôi xin đưa ra một số giải pháp sau đây nhằm khắc phục những khó khăn của học sinh hay gặp phải: • Giải pháp thứ... tôi đã làm rõ, phân loại được các sai lầm hay mắc phải của học sinh Làm rõ tầm quan trọng của việc phân tích những sai lầm của học sinh trong dạy học để đưa ra những giải pháp hợp lý Về nội dung, tôi đã thực hiện một khảo sát trên học sinh của trường THPT Sông Ray, phân tích các sai lầm hay mắc phải của các em và từ đó đề xuất một số giải pháp phù hợp để giúp các em vượt qua những khó khăn đó Trên đây... [-1;3] hàm số y = x 2 − 3x + 2 đổi dấu hai 3 2 lần, do đó các em tính tích phân S = ∫ x − 3x + 2 dx cho kết quả sai −1 Hình 6: Học sinh không quan tâm về dấu của hàm số trên đoạn lấy tích phân Một vài kết luận rút ra từ khảo sát 1) Học sinh mất thời gian và công sức tính một vài tích phân mà thực ra chúng không tồn tại Các em không quan tâm thỏa đáng đến tính hợp thức của công thức sử dụng dẫn đến một kết... phép biến đổi gây khó khăn trong quá trình tính tích phân b 3) Để tính tích phân ∫ f ( x)dx , học sinh cho rằng cần phải đi tìm nguyên hàm a của hàm số f(x) bằng cách huy động các kiến thức đã học, các bài tập tương tự đã giải, mặc dù nguyên hàm đó đôi khi đã hiện diện ở phía trước Các em giải quyết vấn đề một cách máy móc, không linh hoạt 4) Việc sử dụng đồ thị khi tính diện tích của hình phẳng chưa... …… • Giải pháp thứ tư - 11 - 1 2 3 ∫ 0 d ( x 2 + 1) x2 + 1 Tổ chức cho học sinh phát hiện sai lầm và phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm từ một lời giải giả định π 2 Ví dụ: Cho tích phân I = (1 + cos 2 x) dx Lời giải sau đây đúng hay sai? Nếu sai thì ∫ 0 sai ở đâu? Hãy tìm nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó π 2 π 2 Ta có I = (1 + cos 2 x)dx =  x + 1 sin 2 x  = π + 1  ÷ ∫ 2  0 2 2 0 • Giải pháp. .. hay gặp phải: • Giải pháp thứ nhất - 10 - Với đối tượng học sinh yếu, giáo viên sử dụng các tiết tăng để củng cố lại các công thức, các phép biến đổi đại số có liên quan • Giải pháp thứ hai Tăng cường các bài tập kiểm tra tính khả tích của hàm số dưới dấu tích phân • Giải pháp thứ ba Giải bài toán tính tích phân bằng nhiều cách Ví dụ: Hãy tính tích phân sau bằng ít nhất ba cách, có thể sử dụng máy tính... dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng ● Tiến hành thực nghiệm Thực nghiệm được tiến hành với lớp 12C7 của trường với sĩ số 42, giáo viên dạy thực nghiệm là thầy Tạ Hữu Dũng Thực nghiệm diễn ra khi học sinh đã học xong chương Tích phân Nội dung thực nghiệm là năm giải pháp đã đưa ra ở trên, các tiết được sử dụng để tiến hành thực nghiệm là các tiết bài tập và các tiết tăng 4 HIỆU QUẢ CỦA... QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Tất cả các học sinh tham gia tiết học một cách tích cực, các hoạt động diễn ra sôi nổi Các em được tự khẳng định mình, biết đánh giá chính mình và đánh giá người khác mang tính xây dựng Hầu hết các em hiểu được nghĩa của khái niệm, biết cách giải quyết tình huống khi gặp khó khăn Sau khi học xong chúng tôi cho các em làm bài kiểm tra 45 phút theo định kì Kết quả của bài kiểm tra Lớp điểm... TP Hồ Chí Minh (2009) [3] Phương pháp dạy học môn Toán, Nguyễn Bá Kim, NXB Giáo dục (2005) [4] Vai trò của sai lầm và chướng ngại với việc tổ chức các hoạt động nhận thức trong dạy học môn Toán, Trần Anh Dũng, Sáng kiến kinh nghiệm tỉnh Đồng Nai năm 2012 14 6 PHỤ LỤC 6.1 Bài khảo sát học sinh trước khi thực hiện đề tài Họ và tên học sinh: Lớp: .Năm học: 2013 – 2014 ĐỀ KHẢO SÁT Em hãy cố gắng... chỉ là một hoạt động rất nhỏ trong rất nhiều hoạt động giáo dục của giáo viên Đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc Người thực hiện - 13 - 5 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giải tích 12 (nâng cao, chương trình chuẩn), NXB Giáo dục (2009) [2] Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán, Annie Bessot – Claude Comiti – Lê Thị Hoài Châu – Lê Văn Tiến, NXB Đại học . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT SÔNG RAY Mã số: ……………………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH KHI HỌC TÍCH PHÂN – NGUYÊN NHÂN VÀ GIẢI PHÁP Người thực hiện:. Toán học. Từ những nhận định trên tôi quyết định chọn đề tà nghiên cứu là : “MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH KHI HỌC TÍCH PHÂN – NGUYÊN NHÂN VÀ GIẢI PHÁP”. 1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu ● Khảo sát học sinh. tích phân. - 1 - ● Chỉ ra được những nguyên nhân chính dẫn đến những khó khăn của học sinh khi học tích phân. ● Đưa ra những giải pháp giúp học sinh nhận ra và vượt qua những sai lầm, khó khăn