SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT NHƠN TRẠCH o0o -Mã số : Chuyên đề: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Người thực hện : Lê Bình Duy Điền Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục : Phương pháp dạy học mơn : Tốn Phương pháp giáo dục : -Lĩnh vực khác : Sản phẩm đính kèm: Mơ hình Phần mềm Phim ảnh Năm học 2013 - 2014 Hiện vật khác SÕ YẾU LÝ LỊCH KHOA HỌC _ I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN: Họ tên: Lê Bình Duy Điền Ngày tháng năm sinh: 08 – 12 – 1977 Nam, nữ: Nam Địa chỉ: Ấp I, Xã Phú Thạnh, Nhơn Trạch, Đồng Nai Điện thoại: 0613.518248 (CQ) 0613.518662 (NR); Fax: E-mail: duydienlebinh1987@gmail.com Chức vụ: Phó hiệu trưởng Đơn vị cơng tác: Trường THPT Nhơn Trạch II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: − Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc Sĩ − Năm nhận bằng: 2005 − Chuyên ngành đào tạo: Đại Số III KINH NGHIỆM KHOA HỌC: − Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Dạy học − Số năm có kinh nghiệm: 12 − Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: Năm 2009-2010: “Ứng dụng khảo sát hàm số vào việc tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm “ LỜI NĨI ĐẦU Trong chương trình mơn Tốn Đại số lớp nói chung, phân mơn Đại số nói riêng Kiến thức quan trọng khơng thể khơng nói đến là: bảy đẳng thức đáng nhớ Bảy đẳng thức khơng thể thiếu tốn học nói chung đại số nói riêng Tuy nhiên bảy đẳng thức quan trọng việc giải tốn khơng mẫu mực mà học sinh thường gặp khó khăn kì thi đại học học sinh giỏi Do phần tơi xin nêu số tốn mà việc giải chúng dùng đẳng thức học Vì thời gian nghiên cứu khơng dài, kiến thức thân nhiều bất cập nên chắn chuyên đề không tránh khỏi sai sót Kính mong q đồng nghiệp giáo, giúp đỡ nhận xét học sinh để giảng logic đạt hiệu cao Qua chuyên đề tơi xin chân thành cảm ơn q đồng nghiệp tổ toán BGH Trường THPT Nhơn Trạch tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành chuyên đề Chuyên đề: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ I Lý chọn đề tài: Tính cấp thiết Như ta biết, toán học mơn khoa học mang tính trừu tượng, mơ hình ứng dụng gần gủi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học lí thuyết khoa học ứng dụng Tốn học mơn học đóng vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thơng Tuy nhiên lại mơn học khó, mang tính khơ khan, trừu tượng cao địi hỏi người học phải đam mê, kiên trì việc giải tốn khó Chính vậy, giáo viên dạy tốn việc tìm hiểu kiến thức chương trình, vận dụng kiến thức vào việc chinh phục tốn khó quan trọng Dạy học sinh học Tốn khơng cung cấp kiến thức bản, dạy học sinh giải tập sách khoa, dạy học sinh học thuộc lịng cơng thức, mà quan hình thành cho học sinh phương pháp chung, để giải dạng tốn Tính đề tài: Đề tài “giải phương trình vơ tỉ phương pháp dùng đẳng thức đáng nhớ” có lẽ khơng so với chương trình tốn phổ thơng tồn tỉnh Và để giải tốn có nhiều cách giải Chẳng hạn : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ, dùng phương pháp đưa hệ,… Nhưng xin nêu lên phương pháp ứng dụng đẳng thức vào việc giải phương trình vơ tỉ II Thực trạng trước chọn đề tài: Thuận lợi: - Sách Giáo khoa 8,10, sách tham khảo đa dạng phong phú − Học sinh biết cách giải phương trình − Có Đội ngũ Giáo viên giảng dạy nhiều năm − Nhiều phương pháp dạy học phù hợp với tâm lí tình hình thực tiễn − Ban Giám hiệu quan tâm đến nhu cầu giảng dạy học tập Giáo viên học sinh Khó khăn: − Đối với học sinh lớp 8,9, 10, 11, 12 Đặc biệt kì thi Đại học- Cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp: việc giải tốn “phương trình vơ tỉ ” có số làm cịn lại học sinh thu động khó khăn việc giải tốn dạng − Đối với học sinh 11, 12 : Học sinh hồn tồn khơng biết làm chương trình sách giáo khoa đưa phương trình vơ tỉ Có chăng, số học sinh ban C tự chọn tốn có khả làm số đơn giản − Chính mục đích tơi nhằm góp phần nhỏ hiểu biết vào cơng việc giúp đỡ em học sinh có thêm kiến thức tài liệu tham khảo kì thi đại học nhằm nâng cao hiểu biết qua góp ý, giúp đỡ q đồng nghiệp trường nói riêng tồn tỉnh nói chung A Những ưu điểm, nhược điểm điều cần lưu ý dùng đạo hàm việc giải toán loại * Ưu điểm: Là vận dụng kiến thức vào giải toán phức tạp * Nhược điểm: Là khơng thể dùng cho tất tốn mà có tốn mà biến đổi chúng dạng đẳng thức * Những điều cần lưu ý giải toán dạng Phải thêm bớt cách hợp lí, dựa tốn cho Đây khó khăn mà học sinh thường gặp phải hay nãn chí B Nhắc lại số kiến thức thường dùng để hổ trợ giải toán dạng a) đẳng thức đáng nhớ i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ii) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 iii) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 iv) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 v) a2 - b2 = (a-b)(a + b) vi) a3 – b3 = (a - b)( a2 + ab + b2) vii) a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2) b) Áp dụng công thức i ) A2 = B (1) A = B ⇔  A = −B ii) A2 + B = (2) A = ⇔ B = iii ) X = Y Y ≥ ⇔ X = Y (3) c ) Các bước tiến hành giải toán dạng B1 : Biến đổi phương trình cho dạng (1) dạng (2) B : Áp dụng kiến thức học C Một số tập áp dụng Giải phương trình Bài x + = x − x − (1) Giải: Điều kiện: x ≥ −3 (1) ⇔ x + = x − − ( x + 3) ⇔ x + = 9x2 − − x + ⇔ x = ( x + + 1) 3 x = x + + ⇔ 3 x = − x + −   x + = 3x − ⇔  x + = −3 x −  TH1 : x + = x − ⇔ x + = 3x − 3x − ≥ ⇔  x + = (3 x − 1)  x ≥ ⇔ 9 x − x − =   x≥   ⇔  x = ⇔ x =  −2  x =  TH : x + = −3 x − ⇔ x + = −3 x − −1   −3 x − ≥ x ≤ ⇔ ⇔ 2  x + = (−3 x − 1) 9 x + x − =  −1  x≤    −5 + 97 ⇔  x = ⇔ x ∈∅ 18   −5 − 97  x = 18  Vậy nghiệm phương trình x = Bài 2 x + 10 = x + x + 20 (1) Giải: −10 x≥ Điều kiện: (1) ⇔ 3x + 10 = ( x + 3) + ( x + 10 ) + ⇔ x + 10 = ( x + 3) + ⇔ ( x + 3) + ( ( x + 10 ) ) 2 x + 10 − = x + =  ⇔  x + 10 − =   x = −3  ⇔  x + 10 =   x = −3 ⇔ ⇔ x = −3 x + 10 =  Vậy nghiệm phương trình x = −3 Bài Giải: x − = x − 3x + Điền kiện: x≥ (1) 2 1  (1) ⇔ x − =  x − ÷ − ( x − 1) − 2  2 1  ⇔ 2x − =  x − ÷ − 2x − − 2  2 1  1  ⇔  x − ÷ =  2x −1 + ÷ 2  2  +1 1  x − = 2x − +  2 ⇔  x − = − 2x − −   2 TH1 : x − = x −  2x − = x −1 ⇔  2x − = −x  x ≥ x ≥  ⇔ ⇔ 2 2 x − = ( x − 1) x − 4x + =  x ≥  ⇔  x = + ⇔ x = +    x = − − x ≥ x ≤ *TH : x − = − x ⇔  ⇔ ⇔ x ∈∅ x =1 x − − x2 =   Vậy nghiệm phương trình x = + Bài Giải: x − x − 1000 + 8000 x = 1000 Điều kiện: x≥ ( 1) −1 8000 ⇔ x + 7996 x + 19992 = + 8000 x + 2.2000 + 8000 x + 2000 ⇔ ( x + 1999 ) = ( + 8000 x + 2000 )  x + 1999 = + 8000 x + 2000 ⇔  x + 1999 = − + 8000 x − 2000   + 8000 x = x − ⇔  + 8000 x = −2 x − 3999  TH1 : + 8000 x = x − 1   x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ 2 2 1 + 8000 x = x − x + 4 x − 8004 x =    x≥   ⇔ ⇔ x = 2001  x = 2001   x =  TH : + 800 x = −2 x − 3999 −3999  x ≤ ⇔ 1 + 8000 x = x + 15996 x + 15992001  −3999  x ≤ ⇔ ⇔ x ∈∅  x + 7996 x + 15992000 =  Vậy nghiệm phương trình x = 2001 Bài x2 + x = 4x + 28 ( 1) Giải: Nhân vế phương trình với 28, ta (1) ⇔ 196 x + 196 x = 28 x + ⇔ 196 x + 196 x = 28 x + 63 ⇔ 196 x + 224 x + 64 = (28 x + 63) + 28 x + 63 + ⇔ ( 14 x + ) = ( ) 28 x + 63 + 14 x + = 28 x + 63 + 14 x + = 28 x + 63 ⇔ ⇔ 14 x + = − 28 x + 63 − 14 x + = − 28 x + 63   TH1 :14 x + = 28 x + 63  14 x + ≥ x ≥ − ⇔ ⇔ (14 x + 7) = 28 x + 63  196 x + 196 x + 49 = 28 x + 63   x≥−    −42 + 97 x ≥ −  ⇔ ⇔  x = 196 x + 168 x − 14 =    −42 − 97  x =  ⇔x= −42 + 97 TH :14 x + = − 28 x + 63  14 x + ≥ x ≥ − ⇔ ⇔ 14 (14 x + 9) = 28 x + 63  196 x + 252 x + 81 = 28 x + 63   x≥−  14   x ≥ −  −8 − 46 ⇔ ⇔  x = 14 14 196 x + 224 x + 18 =    −8 + 46  x = 14  ⇔x= Vậ −8 + 46 14 y nghiệm phương trình Bài Giải: − 10 − 3x = x − x= −8 + 46 −42 + 97 x = 14 (1) 74 10 ≤x≤ Điều kiện: 27 (1) ⇔ − 10 − x = x − x + 49 ⇔ (10 − x) − 10 − x + = x − x + 4 2 7  3  ⇔  x − ÷ =  10 − 3x − ÷ 2  2  10 TH : 3x + = − x 5   x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ 2 2 3x + = x − 20 x + 25 4 x − 23 x + 23 =    x≤   23 − 161  23 + 161 ⇔  x = ⇔x= 8   23 − 161  x =  Vậy nghiệm phương trình là: Bài 15 Giải: x4 + x2 + = (1) ⇔ x + − x + + x = x = 23 − 161 (1) 1 = x4 + x2 + 4 1  1  ⇔  x2 + − ÷ =  x2 + ÷ 2  2  1  2  x2 + = x2 +  x +3− = x + ⇔ ⇔ 1  x2 + = − x2  x2 + − = − x2 −    2 ⇔ x2 + = x4 + x2 + ⇔ x4 + x2 − =  x2 = ⇔ ⇔ x = ±1  x = −2 Vậy nghiệm phương trình x = x = -1 Bài 16 + + x = x (1) Giải: 17 (1) ⇔ 1 + + x + (1 + x ) = x + x + 4 2 1 1   ⇔  + 1+ x ÷ =  x + ÷ 2 2   1  1+ x = x 2 + 1+ x = + x ⇔ ⇔  + x = −x −1 1 + 1+ x = − − x  2  TH1 : + x = x x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ 2 1 + x = x x − x − = x ≥   x = + 1+  ⇔  ⇔x=   1−  x =   TH : + x = − x −  x ≤ −1  x ≤ −1 ⇔ ⇔ 2  x + = (− x − 1) x + = x + 2x + x ≥ x ≥  ⇔ ⇔  x = ⇔ x =  x + x =   x = −1  x = x = Vậy nghiệm phương trình x − x + = x − (1) Bài 17 Giải Điều kiện x ≥ 18 1+ (1) ⇔ x − x + = x − + x − + ⇔ ( x − 2) = ( ) x −1 + x − = x −1 + x − = x −1 ⇔ ⇔  x − = − x − − 1 − x = x −   TH1 : x − = x − x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ 2  x − = x − x +  x − x + 10 = x ≥  ⇔  x = ⇔ x =  x =  TH : x − = − x x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ 2  x − = x − x +  x − 3x + = x ≤  ⇔  x = ⇔ x =  x =  Vậy nghiệm phương trình x = x = x+3 2x2 + 4x = Bài 18 (1) Giải: Điều kiện: x ≥ −3 (1) ⇔ x + x = x + 25 ⇔ x + 10 x + = ( 2x + 6) + 2x + + 4 2 5  1  ⇔  2x + ÷ =  2x + + ÷ 2  2   2x + = 2x + +  2 ⇔ 2 x + = − x + −   2 19 2 x + = x + ⇔ 2 x + = − x +  TH1 : x + = x +  x ≥ −1    x = −3 + 17  x ≥ −1 −3 + 17  ⇔ ⇔  ⇔ x= 4 2 x + 3x − =    −3 − 17  x =   TH : x + = −2 x − 3  x ≤ −   x≤− −5 + 13   −5 + 13 ⇔ ⇔  x = ⇔x= 4 4 x + 10 x + =    −5 − 13  x =  x= Vậy nghiệm phương trình 2 Bài 19 x − = x x − x (1) −3 + 17 −5 − 13 x= 4 Giải: x ≥ x ≤ Điều kiện:  (1) ⇔ x − x x − x + x − x = x − x + ( ⇔ x − x2 − x ) = ( x − 1)  x − x2 − x = x − ⇔  x − x2 − x = − x   x2 − x = ⇔  x2 − x = x −  20 TH1 : x − x = ⇔ x2 − 2x = ⇔ x2 − 2x − = x =1+ ⇔ x =1−  TH : x − x = x − 1   x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x ∈∅ 2 2  x − x = x − x + 3x − x + =   Vậy nghiệm phương trình x = + x = − 21 Bài 20 Giải: ( x + 3) ( − x ) ( 12 + x ) = 28 − x (1) x ≤   x ≥ −12 Điều kiện: (1) ⇔ 56 − x − ( x + 3) − x − x + 48 = ⇔ x + x + − ( x + 3) − x − x + 48 + ( − x − x + 48 ) − = ( ⇔ x + − − x − x + 48 ) =1  x + − − x − x + 48 =  x + = − x − x + 48 ⇔ ⇔  x + − − x − x + 48 = −1  x + = − x − x + 48   TH1 : x + = − x − x + 48  x ≥ −2  x ≥ −2  ⇔ ⇔ 2 ( x + ) = − x − x + 48 2 x + 12 x − 44 =   x ≥ −2  ⇔   x = 31 − ⇔ x = 31 −     x = − 31 − TH : x + = − x − x + 48  x ≥ −4  x ≥ −4  ⇔ ⇔ 2 ( x + ) = − x − x + 48 2 x + 16 x − 32 =   x ≥ −4  ⇔   x = 32 − ⇔ x = 32 −     x = − 32 − Vậy nghiệm phương trình x = 31 − x = 32 − x + x + = ( x + 3) x + Bài 21 (1) Giải: ⇔ ( x + 3) − ( x + 3) x + + ( x + 1) = ( ⇔ x + − x +1 22 ) =8  x + − x2 + = 2 ⇔  x + − x + = −2   x2 + = x + − 2 ⇔  x2 + = x + + 2  TH1: x2 + = x + − 2 x ≥ 2 −  ⇔ 2  x + = x + − x + 17 − 12  x ≥ 2 −  ⇔ ⇔ x=2 x = 2  ( TH2: ) x2 + = x + + 2  x ≥ −3 − 2  ⇔ 2  x + = x + + x + 17 + 12 =   x ≥ −3 − 2  ⇔ ⇔ x = −2  x = −2  Vậy nghiệm phương trình x = 2 x = −2 ( Bài 22 ( x + 1) ) x2 − 3x + = x − x + (1) Giải: (1) ⇔ ( x + 1) − ( x + 1) x − 3x + + ( x − x + 3) = x − x + ( ⇔ x + − x − 3x + ) = ( x − 1)  x + − x − 3x + = x − ⇔  x + − x − 3x + = − x   x − 3x + = ⇔  x − 3x + = x  TH1 : x − 3x + = ⇔ x − 3x + = 23 x = ⇔ x − 3x + = ⇔  x =1 TH : x − 3x + = x x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x =1 x =  x − 3x + = x Vậy nghiệm phương trình x = x = Bài 23 ( x + 2) x − x + = x + x − (1) Giải: (1) ⇔ ( x + ) − ( x + ) x − x + + ( x − x + ) = ( ⇔ x + − x2 − 2x + ) =8  x + − x2 − 2x + = 2 ⇔  x + − x − x + = −2   x2 − x + = x + − 2 ⇔  x2 − x + = x + + 2  TH1: x − x + = x + − 2 x ≥ 2 −  ⇔ 2  x − x + = x + − x + 12 −  x ≥ 2 −  ⇔ ⇔ x =1+ 2 x = + 2  ( TH2: ) x2 − 2x + = x + + 2  x ≥ −2 −  ⇔ 2  x − x + = x + + x + 12 +  ( )  x ≥ −2 −  ⇔ ⇔ x =1− 2 x = − 2  24 Vậynghiệm phương trình x = + 2 x = − 2 ( x + 1) x − x + = x + (1) Bài 24 Giải: (1) ⇔ ( x + 1) − ( x + 1) x − x + + ( x − x + ) = 2 ( ⇔ x + − x − 2x + ) =2  x + − x2 − x + = ⇔  x + − x2 − x + = −   x2 − 2x + = x + − ⇔  x + − x2 − x + = x + +  TH1 : x − x + = x + −  x ≥ −1 +   2 x − 2x + = x + − 2 x + − 2 =   x ≥ −1 +  ⇔ ⇔ x =1+ x =1+   ( ) TH : x − x + = x + +  x ≥ −1 −  ⇔ 2  x − 2x + = x + + 2 x + + 2 =   x ≥ −1 −  ⇔ ⇔ x =1− x =1−   ( ) Vậy nghiệm phương trình x = + x = − 2 ( 1) Bài 25 ( − x ) x + x − = x − x − Giải:  x ≥ −1 +   x ≤ −1 − Điều kiện:  ⇔ ( − x ) − ( − x ) x + x − + ( x + x − 1) = x + x + (1) 25 ) ( ⇔ − x − x + x − = ( x + 1) 1 − x − x + x − = x + ⇔ 1 − x − x + x − = − x −   x + x − = −2 x ⇔  x2 + 2x − =  TH1 : x + x − = −2 x x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x ∈∅ x + x − = x2 3x − x + =   TH : x + x − = ⇔ x2 + x − = ⇔ x2 + x − =  x = −1 + ⇔  x = −1 −  x = −1 + x = −1 − Vậy nghiệm phương trình x + x + + − x = 11 Bài 26 (1) Giải: −3 ≤ x ≤ Điều kiện (1) ⇔ ( x + 3) − x + + + ( − x ) − − x + = ⇔ ( ) ( x+3−2 + ) − 2x − =  x+3 −2=0 x + =  ⇔ ⇔ ⇔ x =1  − x − = 3 − x =  Vậy nghiệm phương trình x = Bài 27 Giải: x2 + x + + x2 − x − = x + x ≥1   −4 ≤ x ≤ − Điều kiện:  26 (1) ⇔ ( x + x + ) − 2 x + x + + = ( x − x + 1) + 2 x − x + + ⇔ (  ⇔    ⇔   ) ( 2x2 + x + − = ) x2 − x + + 2x2 + x + − = x2 − x + + 2x2 + x + − = − x2 − x + − 2x2 + x + = 2x2 − x + + 2x2 + x + = − 2x2 − x + ⇔ 2x2 + x + = 2x2 − x + + 2x2 − x + + ⇔ x + = 2 x2 − x +  x ≥ −2  x ≥ −2  ⇔ ⇔ 2 7 x − x =  x + x + = ( x − x + 1)   x ≥ −2   x=0 ⇔  ⇔ x = x =   x =   x = x = nghiệm phương trình Vậy Bài 28 2 x + + − x = x + 16 (1) Giải: Điều kiện: −2 ≤ x ≤ (1) ⇔ x + 16 + 16 − x + 32 − 16 = x + 16 ⇔ 16 − x = x + x − 32 ⇔ ( − x ) + 16 − x + 16 = x + x + 16 ( ⇔ − 2x + ) = ( x + 4) 2 − x2 + = x + 2 − x2 = x ⇔ ⇔ 2 − x2 + = − x − 2 − x2 = − x −   27 TH1 : − x = x x ≥   x = x ≥  ⇔ ⇔  ⇔x= 2  32 − x = x   x = −   TH : − x = − x −  x ≤ −8 x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x ∈∅ 2 32 − x = x + 16 x + 64 9 x + 16 x + 32 = Vậy nghiệm phương trình x= Bài 29 x + 3x + = x x + + 2 x − (1) Giải: Điều kiện x≥ (1) ⇔ ( x + 3) − x x + + x + ( x − 1) − 2 x − + = ⇔ ( ) ( x + − 2x + ) 2x −1 −1 =  x + − 2x =  x + = 2x   ⇔ ⇔  2x −1 − =  2x −1 =   x ≥ x ≥   ⇔  x + = x ⇔ 4 x2 − x − = ⇔ x = 2 x − = 2 x =   Vậy nghiệm phương trình x = Bài 30 Giải: 28 + x − x2 = x2 − − x + (1)  x≥   x = −  Điều kiện:  (1) ⇔ ( x − 1) + x − + = ( x + 1) + x + + ⇔ ( ) ( 4x2 − + = ) 2x + +  4x2 − + = x + + ⇔  4x2 − + = − 2x + −   x2 − = x + ⇔  x − = −2 x + +  ( ) ⇔ 4x2 − = 2x + ⇔ 4x2 − 2x − = x =1 ⇔ x = −  Vậy nghiệm phương trình 29 x=− x = KẾT LUẬN Bài tốn “ Giải phương trình vơ tỉ phương pháp dùng đẳng thức đáng nhớ ” đa dạng phong phú Tuy nhiên viết có hạn, mong lần viết chuyên đề hoàn chỉnh dầy đủ Rất mong đóng góp chân tình q đồng nghiệp xa gần để qua tơi có điều kiện học hỏi thêm Xin chân thành cảm ơn! 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách giáo khoa tập giải tích 10 nâng cao Nhà Xuất Bản Giáo Dục 2) Sách giáo khoa tập đại số Nhà Xuất Bản Giáo Dục 3) Tài liệu luyện thi tuyển sinh đại học – Lê Quang Anh, Nguyễn Thành Dũng, Trần Thái Hùng Nhà Xuất Bản TPHCM 4) Tuyền tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn “Đại Số Sơ Cấp”- Trần Phương, Lê Hồng Phúc Nhà Xuất Bản Hà Nội 5) Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam- Bộ Giáo Dục Đào Tạo 31 ... đẳng thức đáng nhớ? ?? có lẽ khơng so với chương trình tốn phổ thơng tồn tỉnh Và để giải tốn có nhiều cách giải Chẳng hạn : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ, dùng phương pháp đưa hệ,… Nhưng xin nêu lên phương. .. + ⇔ 4x2 − 2x − = x =1 ⇔ x = −  Vậy nghiệm phương trình 29 x=− x = KẾT LUẬN Bài tốn “ Giải phương trình vô tỉ phương pháp dùng đẳng thức đáng nhớ ” đa dạng phong phú Tuy nhiên viết có hạn,... Trạch tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành chun đề Chun đề: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ I Lý chọn đề tài: Tính cấp thiết Như ta biết, tốn học mơn khoa