1 TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2010 - 2011 (Lê Phúc Lữ - tổng hợp và giới t h i ệu) Bài 1. 1/ Giải phương trìn h 2 1 3 4 1 1x x x x       . 2/ Giải phương trì n h v ới ẩn s ố thực 1 6 5 2 x x x       (Đề thi HSG tỉ nh Vĩ n h L o n g ) Bài 2. Giải phương trì n h 5 4 3 2 11 25 14 0x x x x x      (Đề thi HSG tỉ n h Đ ồ n g N a i ) Bài 3. Giải h ệ phương trìn h 2 2 4 2 5 2 5 6 x y x y            (Đề HSG Bà Rị a Vũng Tàu) Bài 4. Giải h ệ phương trình sau 1 3 3 1 2 8 x x y y x y y                (Đề thi HSG Hải P h ò n g , b ản g A ) Bài 5. Giải hệ phương trình 2 4 3 2 2 4 4 1 4 2 4 2 x y xy x y x y            (Đề thi HSG tỉ n h L â m Đ ồ n g ) Bài 6. Giải h ệ phương trìn h t r ê n t ập số thực 4 2 2 5 6 5 6 x y x y x          (Đề thi chọn đội t u y ển Đồn g N a i ) AOTRANGTB.COM Download tài li󰗈u h󰗎c t󰖮p t󰖢i : http://aotrangtb.com 2 Bài 7. Giải h ệ phương trìn h 2 2 2 2 3 2 1 1 2 4 y x y x x x y y               (Đề thi HSG Hà Tĩ n h ) Bài 8. Giải phương trì n h 2 3 6 7 1 x x x      (Đề thi chọn đội t u y ển Lâm Đồn g ) Bài 9. Giải h ệ phương trìn h 2 2 1 1 2 0 x x y y x y x y x              (Đề thi HSG tỉ nh Quản g B ì n h ) Bài 10. 1/ Giải b ất phương trì n h 2 2 ( 4 ) 2 3 2 0x x x x    . 2/ Giải h ệ phương trì n h s a u 2 2 7 12 xy y x y x x y           (Đề thi HSG Điện B i ê n ) Bài 11. Giải h ệ bất phương trìn h 6 8 10 20 07 2009 2011 1 1 x y z x y z            . (Đề thi chọn đội t u y ển B ì n h Định) Bài 12. 1/ Giải phương trì n h 1 1 2 1 3 x x x x       2/ Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2 x x y y y x          (Đề thi HSG tỉ nh Bến T r e ) Download tài li󰗈u h󰗎c t󰖮p t󰖢i : http://aotrangtb.com AOTRANGTB.COM 3 Bài 13. 1/ Giải phương trì n h 2 4 3 5x x x    . 2/ Giải phương trì n h 3 2 3 1 2 2x x x x     trên [ 2,2]  (Đề thi HSG tỉ nh Long An) Bài 14. Giải h ệ phương trì n h s a u 2 2 1 2 2 1 1 3 3( ) y x x y x y x x             (Đề chọn đội t u y ển trườn g C h u y ê n L ê Q u ý Đôn, Bình Định). Bài 15. Giải h ệ phương trì n h s a u 2 2 2 2 3 4 9 7 6 2 9 x y xy x y y x x            (Đề thi chọn đội t u y ển N h a T r a n g , K h á n h H ò a ) Bài 16. 1/ Giải phương trì n h 2 2 7 2 1 8 7 1x x x x x         2/ Giải h ệ phương trì n h 3 2 2 3 2 6 1 4 x y x y x y              (Đề thi HSG tỉ nh Vĩ n h P h ú c ) Bài 17. Giải phương trì n h s a u 2 4 3 2 3 1 2 2 2 1 ( ) x x x x x x x x        (Đề thi HSG tỉ nh Hà Tĩ n h ) Bài 18. Giải phương trì n h 2 2 3 2 2 5 0sin sin cosx x x    . (Đề thi chọn đội t u y ển trườn g T H P T c h u y ê n L ê K h i ết, Quản g N g ã i ) Bài 19. 1/ Giải phương trì n h 2 2 4 2 4 x x x x      . Download tài li󰗈u h󰗎c t󰖮p t󰖢i : http://aotrangtb.com AOTRANGTB.COM 4 2/ Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) 10 y x y x x x y y          (Đề thi chọn đội t u y ển THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa) Bài 20. Giải phương trình 2 3 6 7 1 x x x      . (Đề thi HSG tỉ n h L â m Đ ồ n g ) Bài 21. Giải h ệ phương trì n h 5 ( ) 6( ) 4 6 5 6( ) 4( ) 5 4 6 4( ) 5 ( ) 6 5 4 x y x z x y x y x z xz z y x y z y zy x y xy x z y z x z xz y z yz                                  (Đề chọn đội t u y ển trườn g P T N K , T P H C M ) Bài 22. 1/ Giải phương trì n h 1 2 1 3 2 ( 11) 2 x y z x y z        2/ Giải h ệ phương trìn h 2 2 2 2 121 2 27 9 3 4 4 0 x x x x y xy x y               (Đề thi HSG tỉ nh Quản g N a m ) Bài 23. 1/ Tìm tất cả các giá trị c ủa , a b để phương trìn h 2 2 2 2 1 x ax b m bx ax      có hai nghiệm p h â n b i ệt với m ọi t h a m s ố m. 2/ Giải h ệ phương trì n h 2 2 3 3 3 6 1 19 y xy x x y x           (Đề thi HSG vòng tỉ nh Bình Phước) Bài 24. Download tài li󰗈u h󰗎c t󰖮p t󰖢i : http://aotrangtb.com AOTRANGTB.COM 5 1/ Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2 3 3 3 3 2010 2010 x y z x y z            2/ Giải phương trì n h 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 0 x x x x x x         (Đề thi chọn đội t u y ển N i n h B ì n h ) Bài 25. 1/ Giải b ất phương trì n h s a u 2 2 2 1 2( 1 ) 2 ( 2 ) 4 1 17 0 x y x x x y y x x                 2/ Với n l à s ố n g u y ê n d ư ơ n g , g i ả i p h ư ơ n g t r ì n h 1 1 1 1 0 sin 2 sin 4 sin8 sin 2 n x x x x      . (Đề thi HSG tỉ nh Khánh Hòa) Bài 26. 1/ Giải phương trì n h s a u 3 sin 2 cos 2 5sin (2 3)cos 3 3 1 2cos 3 x x x x x         . 2/ Giải phương trì n h 2 3 2 2 1 l o g 3 8 5 ( 1 ) x x x x      (Đề thi HSG tỉ nh Thái Bình) Bài 27. 1/ Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 1 2 1 x y x y y y x y x              2/ Giải phương trì n h l ượn g g i á c 2 2 2 2sin 2 tan cot 2 x x x     (Đề thi HSG tỉ nh Phú Thọ) Bài 28. Giải phương trì n h 2 1 1 24 60 36 0 5 7 1 x x x x        (Đề thi HSG tỉ nh Quản g N i n h ) AOTRANGTB.COM 6 Bài 29. Giải phương trình 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 2 x x x x x x x           (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) Bài 30. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 18 7 6 14 0 ( )( )x x y y x y xy x y                 (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) Bài 31. Giải hệ phương trình 3 2 2 1 2 1 2 3 2 4 2 2 4 6 ( ) ( )x x y y x y                (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Bài 32. Giải hệ phương trình 4 3 3 2 2 3 3 9 9 7( ) x x y y y x x y x x y x             (Đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên) Bài 33. Giải hệ phương trình 3 2 2 2 1 3 1 2 1 2 1 y x x x y y x xy x               (Đề thi chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk) Bài 34. Giải hệ phương trình 3 3 2 2 35 2 3 4 9 x y x y x y           (Đề thi HSG tỉnh Yên Bái) Bài 35. Giải phương trình 3 2 3 2 2 1 27 27 13 2x x x x     (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A1) Bài 36. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 1 1 2( ) 2 1 1 2 x y x y y x x y              (Đề thi chọn đội tuyển Quảng Ninh) 7 Bài 37. Giải hệ phương trình 3 3 3 3 12 50 12 3 2 27 27 x x y y y z z x z              (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Bài 38. Giải phương trình 9 2 3 9 1 2 1 3 x x x     (Đề thi chọn đội tuyển Phú Yên) Bài 39. 1/ Giải phương trình sau 2 1 1 2 2x x x x       2/ Giải hệ phương trình sau 3 3 2 2 3 4 2 1 2 1 y y x x x x y y                (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An) Bài 40. 1/ Giải hệ phương trình 3 3 2 4 4 8 4 1 2 8 2 0 x y xy x y x y             2/ Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm 2011 3 3 2 ( 1) 2( 1) 3 3 2x x x x x       . (Đề dự bị thi HSG tỉnh Nghệ An) Bài 41. Giải hệ phương trình sau 3 3 3 3 12 4 6 9 2 32 x y x y z y z x z                (Đề thi chọn đội tuyển KHTN, vòng 1) Bài 42. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 6 2 2 1log ( ) log ( ) y x x e y x y x y                8 (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp) Bài 43. Giải phương trình sau 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 4 x x x x x x x x x               (Đề thi HSG tỉnh Bình Phước) Bài 44. 1/ Giải phương trình 3 2 3 3 4 3 2x x x x     2/ Tìm số nghiệm của phương trình 2011 2009 4 2011 2009 2 2 (4022 4018 2 ) 2(4022 4018 2 ) cos 2 0x x x x x x x       (Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Nguyễn Du) Bài 45. Giải hệ phương trình sau 2 2 2 2 2 (2 )(1 2 )(2 )(1 2 ) 4 10 1 2 2 1 0 x x y y z x y z xz yz x y                   (Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) Bài 46. 1/ Giải phương trình sau 2 2010 ( 1 ) 1 x x x   . 2/ Giải hệ phương trình 4 2 4 3 3 4 2 5 2 2 xy x x y y x x y              (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Sào Nam, tỉnh Quảng Nam) Bài 47. Giải hệ phương trình 11 10 22 12 4 4 2 2 3 7 13 8 2 (3 3 1) x xy y y y x y x x y              (Đề thi chọn đội tuyển TP.HCM) Bài 48. Giải hệ phương trình 2 2 2 2009 2010 ( ) 2010 2011 ( ) 2011 2009 ( ) x y x y y z y z z x z x               (Đề thi chọn đội tuyển chuyên Quang Trung, Bình Phước) 9 Bài 49. Giải hệ phương trình sau 2 2 2 1 5 57 4 3 (3 1) 25 x y x x y x               (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An) Bài 50. Cho các tham số dương , ,a b c. Tìm nghiệm dương của hệ phương trình sau : 2 2 2 4 x y z a b c xyz a x b y c z abc             (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) Bài 51. Giải hệ phương trình sau trên tập hợp số thực 2 2 2 2 3 3 3 0 x y x x y x y y x y                (Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc) Bài 52. Giải hệ phương trình 4 4 2 2 3 2 3( ) x x y y x y           (Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) Bài 53. Giải phương trình 2 3 5 3 2 .sin .cos 2 1 1 x x x x x x x x        (Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội) Bài 54. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 ( 2) ( 3) ( 3)( 2) 5 9 7 15 3 8 18 18 18 84 72 24 176 x y y x z x x z y yz x y xy yz x y z                            (Đề thi chọn đội tuyển ĐHSP Hà Nội, ngày 2) Bài 55. Tìm , , x y z thỏa mãn hệ 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 2 2 2 (3 1) 2 ( 1) z x y x y y z xy zx yz y x x x                   (Đề thi chọn đội tuyển trường ĐH KHTN Hà Nội, vòng 3) 10 LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT Bài 1. 1/ Giải phương trình 2 1 3 4 1 1x x x x       . 2/ Giải phương trình với ẩn số thực 1 6 5 2 x x x       (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) Lời giải. 1/Điều kiện 1 x  . Phương trình đã cho tương đương với 2 2 ( 1 1) ( 1 2) 1 1 1 1 2 1x x x x             (*) -Nếu 1 1x   thì (*) ( 1 1) ( 1 2) 1 3 2 1 1 1 1x x x x               , loại. -Nếu 1 1 2 2 5x x      thì (*) ( 1 1) ( 1 2) 1 1 1x x         , luôn đúng. -Nếu 1 2x   thì (*) ( 1 1) ( 1 2) 1 2 1 3 1 1 2x x x x              , loại. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là mọi x thuộc   2;5 . 2/ Điều kiện 5 2 x   . Phương trình đã cho tương đương với 2 2 1 5 2 6 (1 ) ( 5 2 ) 2 (1 )( 5 2 ) 6 (1 )( 5 2 ) 5 (1 )( 5 2 ) 10 25 7 30 0 3 10 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                        Thử lại, ta thấy chỉ có 3x   là thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 3x   . Nhận xét. Các dạng toán phương trình vô tỉ này khá cơ bản và quen thuộc, chúng hoàn toàn có thể giải bằng cách bình phương để khử căn mà không cần lo ngại về tính giải được của phương trình hay không. Để đơn giản trong việc xét điều kiện, ta có thể giải xong rồi thử lại cũng được. [...]... nhiều trong các tài liệu luyện thi ĐH và việc tìm ra cách chia như thế cũng khá là mò mẫn, chúng ta có thể rút y từ phương trình ở dưới để thay lên rồi đánh giá phương trình một ẩn x thu được Bài 24  x 2  y 2  z 2  2010 2  1/ Giải hệ phương trình:  3 3 3 3  x  y  z  2010  2/ Giải phương trình: 32 x 3  x2  3x 3 2x  x3  3x  2  0 (Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình) Lời giải 1/ Từ phương trình. .. y  3, 12 3 x  4  x  , y  , thỏa điều kiện y 5 5 12 3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( x, y )  (3,1), ( , ) 5 5  x 6  y 8  z10  1  Bài 11 Giải hệ bất phương trình  2007 2009 2011 x  y  z  1  (Đề thi chọn đội tuyển Bình Định) Lời giải Từ bất phương trình thứ nhất của hệ, ta có 1  x, y, z  1 Từ hai bất phương trình của hệ, ta có x 2007  y 2009  z 2011  x 6  y 8  z10  x 6 (1... trong kì thi HSG ĐBSCL như sau Giải phương trình 32 x 5  32 x 4  16 x3  16 x 2  2 x  1  0 Phương trình này được giải bằng cách đặt ẩn phụ y  2 x rồi bình phương lên, nhân vào hai vế cho y  2 để đưa về phương trình quen thuộc y 3  3 y  y2 Bài toán như thế này khá đánh đố và phức tạp!  1 y 2 x   2  y Bài 14 Giải hệ phương trình sau  x x  2 2  y ( x  1  1)  3 x  3 (Đề chọn đội tuyển. .. ta thấy tất cả đều thỏa Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là ( x, y )  (3,1), (5, 1), (4  10, 3  10), (4  10,3  10) Nhận xét Dạng hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ này thường gặp ở nhiều kì thi, từ ĐH-CĐ đến thi HSG cấp tỉnh và khu vực Chúng ta sẽ còn thấy nó xuất hiện nhiều ở các đề thi của các tỉnh được nêu dưới đây 4 x 2  y 4  4 xy 3  1  Bài 5 Giải hệ phương trình  2 2 4... Nhận xét Bài này có hình thức khá phức tạp và các hệ số xem ra rất khác nhau; tuy nhiên, nếu quan sát kĩ, chúng ta sẽ dễ dàng tìm ra các ẩn phụ cần thi t để làm đơn giản hóa bài toán Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( x, y , z )  ( Bài 22 1/ Giải phương trình x  2 y 1  3 z  2  1 ( x  y  z  11) 2 x  2 121 x  2x   27 2  2/ Giải hệ phương trình  9  x 2  y 2  xy  3x  4 y  4  0  (Đề thi HSG... phương trình thứ hai vô nghiệm vì vế trái luôn dương nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  2 Nhận xét Cách đơn giản hơn dành cho bài này là chứng minh hàm đồng biến, tuy nhiên, cần chú ý xét x  1 trước khi đạo hàm  x  x  y 1  1  Bài 9 Giải hệ phương trình  2 2 y  x  2y x  y x  0  (Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình) Lời giải Điều kiện x, x  y  1  0 Phương trình thứ nhất của hệ. .. Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( x, y )  (2, 16 1 1 9  3 33 ), ( , ), ( ,3) 7 2 7 4 Nhận xét Bài này có thể còn nhiều biến đổi đơn giản hơn nhưng rõ ràng cách rút y ra rồi thay vào một phương trình như trên là tự nhiên hơn cả Bài 16 1/ Giải phương trình x  2 7  x  2 x  1   x 2  8 x  7  1  2 2 x  y  3  2 x  y 2/ Giải hệ phương trình  3  x  6  1 y  4  (Đề thi. .. thấy hệ này vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 25 Nhận xét Đây là dạng phương trình lượng giác giải bằng cách đánh giá quen thuộc Ngoài cách đặt ẩn phụ đưa về đại số hoàn toàn như trên, ta có thể biến đổi trực tiếp trên phương trình ban đầu, tuy nhiên điều đó dễ làm chúng ta lạc sang các hướng thuần túy lượng giác hơn và việc giải bài toán này gặp nhiều khó khăn hơn Bài này chính là đề thi. .. với điều kiện x 6  y 8  z10  1 , ta thấy hệ bất phương trình đã cho có các nghiệm là ( x, y , z )  (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) Bài 12 1/ Giải phương trình x 1 1  x 2 x 1  3  x x2  x  2 y  2/ Giải hệ phương trình  2  y  y  2x  (Đề thi HSG tỉnh Bến Tre) Lời giải 1/ Điều kiện x  1,3  x  0, x  1  3  x  1  x  3, x  1 18 Phương trình đã cho tương đương với 2 x 1  1  (... Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x  1, x  x0 Nhận xét Rõ ràng phương trình bậc ba ở trên phải giải trực tiếp bằng công thức tổng quát, điều này ít khi xuất hiện ở các kì thi HSG Đối với phương trình thứ hai, việc xét x  [2, 2] nêu trong đề bài có thể gợi ý dùng lượng giác; tuy nhiên, cách đặt x  2 cos  chưa có kết quả, mong các bạn tìm hiểu thêm Một bài tương tự xuất hiện trong