Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh có đáp án

105 2,832 18
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/02/2015, 14:19

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ NAM ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Năm học 2013 – 2014 MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (3,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) 2013 3 2 2013 5 4 3 4 3 2 2013 2 2 3 2 2 1 2 2 3 x x x M x x x x x x + − − = + − + + + − − với 2 3 2 x − = Bài 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: ( ) 2 2 1 2 3 1x x x x+ − + = + b) Giải hệ phương trình: 1 1 2 2 1 1 2 2 y x x y  + − =     + − =   Bài 3: (2,5 điểm) Chứng minh rằng không thể biểu diễn bất kì một số nguyên tố nào thành tổng bình phương của hai số tự nhiên theo các cách khác nhau. Bài 4: (7,0 điểm) a) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Một điểm C chạy trên dường tròn (O; R) sao cho AC > BC. Kẻ CD vuông góc với AB tại D. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt BC tại E. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O; R) cắt AE tại M. Gọi I là giao điểm của MO và CK; K là giao điểm của MB và CD. Tính diện tích tam giác MIK biết MO = AB. b) Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng: AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD. Bài 5: (2,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 1 1 4 a P a a= + + − + với 0 1.a ≤ ≤ Hết Chú ý: Thí sinh không được mang máy tính cầm tay 1 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM 2 3 4 5 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. Ngày thi: 05/4/2013 (Đề thi này gồm một trang, có năm câu) Câu 1 ( 4 điểm). Cho đa thức P(x) = x 3 + 3ax + 2b, với x là biến số thực, a và b là các số thực cho trước thỏa a 3 + b 2 ≥ 0. Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = 3 3 3 2 3 2 a b b a b b + − − + + Câu 2 (4 điểm) . Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 0 3 1 0 x y y x y  − + =   + − + =   (với x ∈ ¡ và y ∈ ¡ ) Câu 3. (3,5 điểm). Cho các số nguyên dương m, n, k thỏa mãn m.n = k 2 và ước chưng lớn nhất của các số m, n, k bằng 1. Chứng minh rằng m, n là số chính phương. Câu 4. (4 điểm) Cho S là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 1000. 1) Tính số phần tử của tập hợp S là bội của 3. 2) Tính số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3. Câu 5 (4, 5 điểm) Cho tứ giác HIJK có · · 0 90IHK JKH = = , 0<IH – JK <IJ<IH + JK. Gọi (I) là đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng HK tại H. Gọi (J) là đường tròn tâm J và tiếp xúc với đường thẳng HK tại K. Đường tròn (I) cắt đường tròn (J) tại M và N, với hai điểm M và H nằm khác phía đối với đường thẳng IJ. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng HK; đường thẳng d cắt đường tròn (I) tại A (A ≠ M); đường thẳng d cắt đường tròn (J) tại điểm B, với (B ≠ M). Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng AH VÀ BK. Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng MN và HK. 1) Chứng minh HK là đường trung bình tam giác ABC. 2) Chứng minh rằng DH = DK. Hết 7 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 ( 4 điểm). Cho đa thức P(x) = x 3 + 3ax + 2b, với x là biến số thực, a và b là các số thực cho trước thỏa a 3 + b 2 ≥ 0. Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = 3 3 3 2 3 2 a b b a b b + − − + + Giải: 3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 - - 3 ( ).( ). 2 3 3 2 0 x a b b a b b x a b b a b b a b b a b b a b b a b b x b ax x ax b = + − − + +   ⇔ = + − + − + − + + + − − + +  ÷   ⇔ = − − ⇔ + + = Vậy giá trị của đa thức P(x) tại x = 3 3 3 2 3 2 a b b a b b + − − + + là 0. Câu 2 (4 điểm) . Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 0 3 1 0 x y y x y  − + =   + − + =   (với x ∈¡ và y ∈ ¡ ) Giải: 2 2 2 2 2 2 2 ( )( 1) 0 2 1 0 0 1 2 1 0 3 1 0 2 1 0 2 1 0 x y x y x y x y x y x y y x x y y x y x y x y  =  − + − =   − + = − − + =      = − ⇔ ⇔ ⇔      − + = + − + = − + =       − + =  + TH1: 2 1 1 2 1 0 x y x y x x = =   ⇔   = − + =   + TH2: 2 2 1 1 1 2 2(1 ) 1 0 2 1 0 2 2 y x y x x x x x x y  = − = − = − +    ⇔ ⇔    − − + = + − = = −     hoặc 1 2 2 2 x y  = − −   = +   Vậy hệ có 3 nghiệm: 1 1 x y =   =  ; 1 2 2 2 x y  = − +   = −   ; 1 2 2 2 x y  = − −   = +   Câu 3. (3,5 điểm). Cho các số nguyên dương m, n, k thỏa mãn m.n = k 2 và ước chưng lớn nhất của các số m, n, k bằng 1. Chứng minh rằng m, n là số chính phương. Giải: + Nếu m = 1, thì n = k 2 , suy ra m và n là các số chính phương. + Nếu n = 1, thì m = k 2 , suy ra m và n là các số chính phương. + Nếu m, n đều khác 1, giả sử m không phải là số chính phương. Khi đó, khi phân tích ra thừa số nguyên tố, m luôn chứa 1 thừa số nguyên tố p 1 với số mũ lẻ. Do m.n = k 2 nên trong dạng phân tích của k 2 ra thừa số nguyên tố chứa thừa số nguyên tố p 1 với số chẵn (vì k 2 là số chính phương). Do đó trong dạng phân tích ra thừa số nguyên tố, n chứa thừa số nguyên tố p 1 (với số mũ lẻ). Suy ra m M p 1 ; n M p 1 ; k M p 1 (Do k 2 M p 1 và p 1 là số nguyên tố) hay ƯCLN(m, n, k) khác 1 mâu thuẫn với giả thiết, suy ra m là số chính phương. Khi m là số chính phương thì n là số chính phương. Tương tự trong trường hợp n không phải là số chính phương cũng vô lí. Vậy m, n là các số chính phương. Câu 4. (4 điểm) Cho S là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 1000. 1) Tính số phần tử của tập hợp S là bội của 3. 8 2) Tính số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3. Giải: 1) Số phần từ của tập hợp S là bội của 3 là: (999 – 3):3 + 1 = 333 (phần tử). 2) Số phần tử của tập hợp S là bội của 2 là: 499 (phần tử). + Số phần tử của S là bội của 3 là: 333 số (phần tử). + Số phần tử của S là bội của 6 là: 166 (phần tử). Suy ra số phần tử của S là bội của 2 hoặc là bội của 3 là: (499 + 333) – 166 = 666 (phần tử). Vậy số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3 là: 999- 666 = 333. Câu 5 (4, 5 điểm) Giải: a) Do HK là tiếp tuyến của đường tròn (I), và MA//HK nên các cung nhỏ ¼ ¼ MH AH= , suy ra HM = HA (1) Ta có · · xHA KHM = (do ¼ ¼ MH AH= ), suy ra · · KHC KHM = Tương tự: · · HKC HKM = , Suy ra ∆ MHK = ∆ CHK (g.c.g) nên HM = HC (2) Từ (1) và (2) suy ra HA = HC = HM hay H là trung điểm của AC, mà HK//AB nên HK là đường trung bình của tam giác ABC. b) Chứng minh hai tam giác DNK và DKM đồng dạng (g.g) suy ra DK 2 = DN.DM. Tương tự DH 2 = DN.DM Suy ra DK = DH. (Câu a có thể cm HK = 1 2 AB) ================ ĐỀ & ĐA THI CHỌN HSG tỉnh HÀ NAM 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1. (4,0 điểm) 9 Cho biểu thức: ( )(1 ) ( )( 1) ( 1)(1 ) x y xy P x y y x y x x y = − − + − + + + − 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2. Bài 2. (4,0 điểm) 1. Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn 18 4 2013a b+ ≥ . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 2 18 4 671 9 0ax bx a + + − = . 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình 3 2 3 2 3 2x x x y + + + = . Bài 3. (4,5 điểm) 1. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số. 2. Giải phương trình: 2 3 2 4 3 3 4 3 2 2 1 + + = + + − x x x x x Bài 4. (6,0 điểm) Cho góc xOy có số đo bằng 60 o . Đường tròn có tâm K nằm trong góc xOy tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F. 1. Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ. 2. Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn. 3. Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là một tam giác đều. Bài 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: 3a b c + + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 a b c b c a + + + + + ≥ + + + ĐÁP ÁN & HD GIẢI Câu 1. §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ : 0;1;0;0 ≠+≠≥≥ yxyyx . a/ Rút gọn P ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) 1 1 x x y y xy x y P x y x y + − − − + = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x y x x y y xy x y x y x y − + + − + = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x y x y x xy y xy x y x y + − + − + − = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 x x y x y x x x y + − + + + − = + − 10 [...]... trong mi trng hp luụn tn ti ớt nht mt tam giỏc cõn, cú 3 nh c tụ bi cựng mt mu hoc ụi mt khỏc mu 18 0,5 0,5 S GD&T HI DNG Kè THI CHN HC SINH GII TNH LP 9 THCS NM HC 2012 2013 MễN THI: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 27/03/2013 ( thi gm cú 01 trang ) THI CHNH THC Cõu 1 (2,0 im): a) Rỳt gn biu thc: A = ( x 50 x + 50 ) x + x 2 50 vi x 50 b) Cho x + 3 = 2 Tớnh giỏ tr... + DK 4AO Vy Max(BH + CI + DK) = 4AO t c khi P A hay d vuụng gúc AC 0.2 5 0.2 5 0.2 5 S GD&T HI DNG THI CHNH THC Kè THI CHN HC SINH GII TNH LP 9 THCS NM HC 2011 2012 29 MễN THI: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 23/03/2012 ( thi gm cú 01 trang) Cõu 1 (2,5 im) a) Rỳt gn biu thc: A = x2 5x + 6 + 3 x2 6 x + 8 3x 12 + ( x 3) x 2 6 x + 8 b) Phõn tớch thnh nhõn t: a 3... khi ã ABC = 90 0 Ta cú: OM BC, OP AD, AD // BC P, O, M thng hng, do ú AH = PM = 2r SABCD = AH.BC = 2r AB 2r.AH=2r.2r 2 SABCD 4r , du = xy ra khi ã ABC = 90 0 0,25 Vy trong cỏc hỡnh bỡnh hnh ngoi tip ng trũn (O; r) thỡ hỡnh vuụng cú din tớch nh nht v bng 4r2 - HT 35 THI CHN HC SINH GII LP 9 Nm hc 2012 - 2013 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao... minh P l trung im ME Cõu 5 (1,0 im): 19 1 vi n Ơ * (2n +1) 2n 1 Chng minh rng: A1 + A 2 + A 3 + + A n < 1 - HT -Cho A n = 20 S GD&T HI DNG CU Lu ý: Thớ sinh lm theo cỏc khỏc ỳng vn cho im ti a im bi thi lm trũn n 0,25 im PHN NI DUNG IM Ta cú : 2 0,25 2 A = x - 50 - x + 50 x + x 2 - 50 )( ( Cõu 1 2,0 im P N V HNG DN CHM THI HC SINH GII TNH MễN TONLP 9 THCS NM HC 2012 2013 ( = ( 2x - 2... Do ú: A1 + A2 + A3 + + An < 1 + + ììì+ 3 3 5 2n 1 2n + 1 1 A1 + A2 + A3 + + An < 1 . ≤ Hết Chú ý: Thí sinh không được mang máy tính cầm tay 1 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM 2 3 4 5 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2012. tam giác cân, có 3 đỉnh được tô bởi cùng một màu hoặc đôi một khác màu. 0,5 18 SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm. PHÚC ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ——————————— I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh
- Xem thêm -

Xem thêm: Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh có đáp án, Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh có đáp án, Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 cấp tỉnh có đáp án

Từ khóa liên quan