PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ NAM ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Năm học 2013 – 2014 MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (3,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) 2013 3 2 2013 5 4 3 4 3 2 2013 2 2 3 2 2 1 2 2 3 x x x M x x x x x x + − − = + − + + + − − với 2 3 2 x − = Bài 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: ( ) 2 2 1 2 3 1x x x x+ − + = + b) Giải hệ phương trình: 1 1 2 2 1 1 2 2 y x x y  + − =     + − =   Bài 3: (2,5 điểm) Chứng minh rằng không thể biểu diễn bất kì một số nguyên tố nào thành tổng bình phương của hai số tự nhiên theo các cách khác nhau. Bài 4: (7,0 điểm) a) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Một điểm C chạy trên dường tròn (O; R) sao cho AC > BC. Kẻ CD vuông góc với AB tại D. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt BC tại E. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O; R) cắt AE tại M. Gọi I là giao điểm của MO và CK; K là giao điểm của MB và CD. Tính diện tích tam giác MIK biết MO = AB. b) Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng: AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD. Bài 5: (2,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 1 1 4 a P a a= + + − + với 0 1.a ≤ ≤ Hết Chú ý: Thí sinh không được mang máy tính cầm tay 1 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM 2 3 4 5 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. Ngày thi: 05/4/2013 (Đề thi này gồm một trang, có năm câu) Câu 1 ( 4 điểm). Cho đa thức P(x) = x 3 + 3ax + 2b, với x là biến số thực, a và b là các số thực cho trước thỏa a 3 + b 2 ≥ 0. Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = 3 3 3 2 3 2 a b b a b b + − − + + Câu 2 (4 điểm) . Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 0 3 1 0 x y y x y  − + =   + − + =   (với x ∈ ¡ và y ∈ ¡ ) Câu 3. (3,5 điểm). Cho các số nguyên dương m, n, k thỏa mãn m.n = k 2 và ước chưng lớn nhất của các số m, n, k bằng 1. Chứng minh rằng m, n là số chính phương. Câu 4. (4 điểm) Cho S là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 1000. 1) Tính số phần tử của tập hợp S là bội của 3. 2) Tính số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3. Câu 5 (4, 5 điểm) Cho tứ giác HIJK có · · 0 90IHK JKH = = , 0<IH – JK <IJ<IH + JK. Gọi (I) là đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng HK tại H. Gọi (J) là đường tròn tâm J và tiếp xúc với đường thẳng HK tại K. Đường tròn (I) cắt đường tròn (J) tại M và N, với hai điểm M và H nằm khác phía đối với đường thẳng IJ. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng HK; đường thẳng d cắt đường tròn (I) tại A (A ≠ M); đường thẳng d cắt đường tròn (J) tại điểm B, với (B ≠ M). Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng AH VÀ BK. Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng MN và HK. 1) Chứng minh HK là đường trung bình tam giác ABC. 2) Chứng minh rằng DH = DK. Hết 7 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 ( 4 điểm). Cho đa thức P(x) = x 3 + 3ax + 2b, với x là biến số thực, a và b là các số thực cho trước thỏa a 3 + b 2 ≥ 0. Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = 3 3 3 2 3 2 a b b a b b + − − + + Giải: 3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 - - 3 ( ).( ). 2 3 3 2 0 x a b b a b b x a b b a b b a b b a b b a b b a b b x b ax x ax b = + − − + +   ⇔ = + − + − + − + + + − − + +  ÷   ⇔ = − − ⇔ + + = Vậy giá trị của đa thức P(x) tại x = 3 3 3 2 3 2 a b b a b b + − − + + là 0. Câu 2 (4 điểm) . Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 0 3 1 0 x y y x y  − + =   + − + =   (với x ∈¡ và y ∈ ¡ ) Giải: 2 2 2 2 2 2 2 ( )( 1) 0 2 1 0 0 1 2 1 0 3 1 0 2 1 0 2 1 0 x y x y x y x y x y x y y x x y y x y x y x y  =  − + − =   − + = − − + =      = − ⇔ ⇔ ⇔      − + = + − + = − + =       − + =  + TH1: 2 1 1 2 1 0 x y x y x x = =   ⇔   = − + =   + TH2: 2 2 1 1 1 2 2(1 ) 1 0 2 1 0 2 2 y x y x x x x x x y  = − = − = − +    ⇔ ⇔    − − + = + − = = −     hoặc 1 2 2 2 x y  = − −   = +   Vậy hệ có 3 nghiệm: 1 1 x y =   =  ; 1 2 2 2 x y  = − +   = −   ; 1 2 2 2 x y  = − −   = +   Câu 3. (3,5 điểm). Cho các số nguyên dương m, n, k thỏa mãn m.n = k 2 và ước chưng lớn nhất của các số m, n, k bằng 1. Chứng minh rằng m, n là số chính phương. Giải: + Nếu m = 1, thì n = k 2 , suy ra m và n là các số chính phương. + Nếu n = 1, thì m = k 2 , suy ra m và n là các số chính phương. + Nếu m, n đều khác 1, giả sử m không phải là số chính phương. Khi đó, khi phân tích ra thừa số nguyên tố, m luôn chứa 1 thừa số nguyên tố p 1 với số mũ lẻ. Do m.n = k 2 nên trong dạng phân tích của k 2 ra thừa số nguyên tố chứa thừa số nguyên tố p 1 với số chẵn (vì k 2 là số chính phương). Do đó trong dạng phân tích ra thừa số nguyên tố, n chứa thừa số nguyên tố p 1 (với số mũ lẻ). Suy ra m M p 1 ; n M p 1 ; k M p 1 (Do k 2 M p 1 và p 1 là số nguyên tố) hay ƯCLN(m, n, k) khác 1 mâu thuẫn với giả thiết, suy ra m là số chính phương. Khi m là số chính phương thì n là số chính phương. Tương tự trong trường hợp n không phải là số chính phương cũng vô lí. Vậy m, n là các số chính phương. Câu 4. (4 điểm) Cho S là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 1000. 1) Tính số phần tử của tập hợp S là bội của 3. 8 2) Tính số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3. Giải: 1) Số phần từ của tập hợp S là bội của 3 là: (999 – 3):3 + 1 = 333 (phần tử). 2) Số phần tử của tập hợp S là bội của 2 là: 499 (phần tử). + Số phần tử của S là bội của 3 là: 333 số (phần tử). + Số phần tử của S là bội của 6 là: 166 (phần tử). Suy ra số phần tử của S là bội của 2 hoặc là bội của 3 là: (499 + 333) – 166 = 666 (phần tử). Vậy số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3 là: 999- 666 = 333. Câu 5 (4, 5 điểm) Giải: a) Do HK là tiếp tuyến của đường tròn (I), và MA//HK nên các cung nhỏ ¼ ¼ MH AH= , suy ra HM = HA (1) Ta có · · xHA KHM = (do ¼ ¼ MH AH= ), suy ra · · KHC KHM = Tương tự: · · HKC HKM = , Suy ra ∆ MHK = ∆ CHK (g.c.g) nên HM = HC (2) Từ (1) và (2) suy ra HA = HC = HM hay H là trung điểm của AC, mà HK//AB nên HK là đường trung bình của tam giác ABC. b) Chứng minh hai tam giác DNK và DKM đồng dạng (g.g) suy ra DK 2 = DN.DM. Tương tự DH 2 = DN.DM Suy ra DK = DH. (Câu a có thể cm HK = 1 2 AB) ================ ĐỀ & ĐA THI CHỌN HSG tỉnh HÀ NAM 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1. (4,0 điểm) 9 Cho biểu thức: ( )(1 ) ( )( 1) ( 1)(1 ) x y xy P x y y x y x x y = − − + − + + + − 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2. Bài 2. (4,0 điểm) 1. Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn 18 4 2013a b+ ≥ . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 2 18 4 671 9 0ax bx a + + − = . 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình 3 2 3 2 3 2x x x y + + + = . Bài 3. (4,5 điểm) 1. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số. 2. Giải phương trình: 2 3 2 4 3 3 4 3 2 2 1 + + = + + − x x x x x Bài 4. (6,0 điểm) Cho góc xOy có số đo bằng 60 o . Đường tròn có tâm K nằm trong góc xOy tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F. 1. Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ. 2. Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn. 3. Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là một tam giác đều. Bài 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: 3a b c + + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 a b c b c a + + + + + ≥ + + + ĐÁP ÁN & HD GIẢI Câu 1. §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ : 0;1;0;0 ≠+≠≥≥ yxyyx . a/ Rút gọn P ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) 1 1 x x y y xy x y P x y x y + − − − + = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x y x x y y xy x y x y x y − + + − + = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x y x y x xy y xy x y x y + − + − + − = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 x x y x y x x x y + − + + + − = + − 10 [...]... trong mi trng hp luụn tn ti ớt nht mt tam giỏc cõn, cú 3 nh c tụ bi cựng mt mu hoc ụi mt khỏc mu 18 0,5 0,5 S GD&T HI DNG Kè THI CHN HC SINH GII TNH LP 9 THCS NM HC 2012 2013 MễN THI: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 27/03/2013 ( thi gm cú 01 trang ) THI CHNH THC Cõu 1 (2,0 im): a) Rỳt gn biu thc: A = ( x 50 x + 50 ) x + x 2 50 vi x 50 b) Cho x + 3 = 2 Tớnh giỏ tr... + DK 4AO Vy Max(BH + CI + DK) = 4AO t c khi P A hay d vuụng gúc AC 0.2 5 0.2 5 0.2 5 S GD&T HI DNG THI CHNH THC Kè THI CHN HC SINH GII TNH LP 9 THCS NM HC 2011 2012 29 MễN THI: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 23/03/2012 ( thi gm cú 01 trang) Cõu 1 (2,5 im) a) Rỳt gn biu thc: A = x2 5x + 6 + 3 x2 6 x + 8 3x 12 + ( x 3) x 2 6 x + 8 b) Phõn tớch thnh nhõn t: a 3... khi ã ABC = 90 0 Ta cú: OM BC, OP AD, AD // BC P, O, M thng hng, do ú AH = PM = 2r SABCD = AH.BC = 2r AB 2r.AH=2r.2r 2 SABCD 4r , du = xy ra khi ã ABC = 90 0 0,25 Vy trong cỏc hỡnh bỡnh hnh ngoi tip ng trũn (O; r) thỡ hỡnh vuụng cú din tớch nh nht v bng 4r2 - HT 35 THI CHN HC SINH GII LP 9 Nm hc 2012 - 2013 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao... minh P l trung im ME Cõu 5 (1,0 im): 19 1 vi n Ơ * (2n +1) 2n 1 Chng minh rng: A1 + A 2 + A 3 + + A n < 1 - HT -Cho A n = 20 S GD&T HI DNG CU Lu ý: Thớ sinh lm theo cỏc khỏc ỳng vn cho im ti a im bi thi lm trũn n 0,25 im PHN NI DUNG IM Ta cú : 2 0,25 2 A = x - 50 - x + 50 x + x 2 - 50 )( ( Cõu 1 2,0 im P N V HNG DN CHM THI HC SINH GII TNH MễN TONLP 9 THCS NM HC 2012 2013 ( = ( 2x - 2... Do ú: A1 + A2 + A3 + + An < 1 + + ììì+ 3 3 5 2n 1 2n + 1 1 A1 + A2 + A3 + + An < 1 . ≤ Hết Chú ý: Thí sinh không được mang máy tính cầm tay 1 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM 2 3 4 5 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2012. tam giác cân, có 3 đỉnh được tô bởi cùng một màu hoặc đôi một khác màu. 0,5 18 SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm. PHÚC ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ——————————— I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh