VINAMATH.COM Bài PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CẶP BIẾN TỰ DO I/ HÀM SỐ CHUYỂN ĐỔI CÁC PHÉP TÍNH SỐ HỌC Trong I/ này, ta giải bai toán xác định hàm chuyển đổi phép tính số học đơn giản (cộng, trừ, nhân, chia) đối số sang phép tính giá trị hàm tương ứng Ta giải toán lớp hàm xác định liên tục toàn trục thực Bài tốn ( Phương trình hàm Cauchy) Xác định hàm f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện sau (1) f x y f ( x) f ( y ), x, y R Giải Từ (1) suy f (0) 0, f ( x) f ( x) với y x (2) f (2 x) f ( x), x R Giả sử với k nguyên dương, f (kx) kf ( x) , x R Khi f( k x) f kx x f (kx) f ( x) kf ( x) f ( x) k f ( x), x R, n N Từ đó, theo ngun lí quy nạp, ta có f (nx) nf ( x), x R Kết hợp với tính chất f ( x) f ( x) ta f (mx) mf ( x), m Z, x R Từ (2) ta có f ( x) 2f x x 22 22 f 2n f x 2n Từ suy f x 2n f ( x) , x 2n R, n N (4) Kết hợp (3) (4), ta m m Z, n N f n f (1), m 2n Sử dụng giả thiết liên tục hàm f (x) , suy f ( x) ax, x R, a f (1) Thử lại, ta thấy hàm f ( x) ax thỏa mãn phương trình (1) Kết luận : f ( x) ax với a R tùy ý VINAMATH.COM VINAMATH.COM Nhận xét 1/ Từ điều kiện (1), ta thấy cần giả thiết f (x) hàm liên tục điểm x0 cho trước đủ Khi đó, hàm f (x) thỏa mãn (1) liên tục R Thật vậy, theo giả thiết f ( x0 ) lim f ( x) x x0 với x1 R ta có f ( x) f x x1 x0 Từ suy lim f ( x) lim f x x1 x x x1 f ( x1 ) f ( x0 ), f ( x1 ) x0 x1 R x f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x1 ) 2/ Kết Bài tốn khơng thay đổi ta thay R α , , β tùy ý Bài toán Xác định hàm f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện (5) f x y f ( x ) f ( y ) , x, y R Giải Nhận xét f ( x) nghiệm (5) Xét trường hợp f (x) R cho f ( x0 ) Theo (5) Khi tồn x0 f ( x0 ) f x ( x0 x) f ( x) f x0 x 0, x Suy f ( x) 0, x R x f f ( x) R x x f R 0, x R Đặt ln f ( x) g ( x) ( f ( x) e g ( x ) ) Khi g (x) liên tục R g x y ln f x y ln f ( x) f ( y ) = ln f ( x) ln f ( y ) g ( x) g ( y ) , x, y R Theo Bài tốn g ( x) bx , b R tùy ý Vậy bx x tùy ý f ( x) e a với a Kết luận f ( x) x f ( x) a , a Bài toán Xác định hàm f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện f ( x) f x y , x, y R (6) f ( y) 0, f ( x) x R Giải Đặt x y z x z y VINAMATH.COM VINAMATH.COM (6) f x f ( x) y f ( y) , z, y R Do f z y f ( x) f ( z ) f ( y ), 0, x z, y R Từ kết Bài toán f ( x) Kết luận suy f ( x) a x , a f ( x) R a x , với a tùy ý tùy ý Bài toán Xác định hàm f (x) liên tục R \ thỏa mãn điều kiện (7) f ( xy ) f ( x) f ( y ), x, y R \ Giải Thay y vào (7) ta (8) f ( x) f (1) 0, x R Nếu f (1) từ (8) suy f ( x) nghiệm thỏa mãn (7) Xét f (1) Khi 1 , x R \ f (1) f x f ( x) f x x Vậy f ( x) với x R \ f (x2 ) f ( x) f ( x) f ( x) 0, x R \ a) Xét x, y Đặt x eu , R y e v f (e t ) g (t ) Khi ta có (9) gu v g (u ) g (v), u, v R t Theo Bài tốn (9) tùy ý) g (t ) a , t R (a f ( x) f (e u ) α b) Khi x, y f ( x) a ln x au ln a R xy e ln a R Với y (x2 )β f (x2 ) ln x x β , x ln a xα , x R , (10) x , từ (7) kết phần a), ta có x R, β R tùy ý Do f (x) hàm liên tục R , nên β f ( x) x , β x , x x R R Kết hợp a) b) thử lại kết quả, ta có Kết luận Nghiệm (7) hàm sau 1) f ( x) 0, x R \ , 2) f ( x) α x , x R \ ,α R tùy ý, VINAMATH.COM VINAMATH.COM xβ , 3) f ( x) β x , x x R R tùy Bài toán Xác định hàm f (x) liên tục R \ thỏa mãn điều kiện (11) f ( xy ) f ( x) f ( y ) , x, y R\ Giải a) Trước hết xét x, y R u v Đặt x e , y e f (e t ) g (t ) Khi (11) có dạng (12) gu v g (u ) g (v), u , v R Theo Bài tốn (12) g (t ) bt f ( x) a ln x, x R , a R tùy ý b) Khi x, y x , từ (11) theo kết R xy R Với y phần a), ta có 1 f ( x) f (x2 ) b ln( x ) b ln x , x R tùy ý R , với b 2 b ln x với b Thử lại, ta thấy hàm f ( x) R tùy ý, thỏa mãn điều kiện toán đặt Kết luận : f ( x) b ln x , x R \ ,với b R tùy ý Bài toán Xác định hàm f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện (13) f ( xy ) f ( x) f ( y ) , x, y R Giải Từ (13) với x y , ta có f (0) f (0) f (0) Và với x R y ta f (0) f ( x) f (0) Hay f ( x) Ngược lại, hàm f ( x) thỏa mãn (13) Kết luận : f ( x) Bài toán Xác định hàm f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện Giải Đặt x y x y (14) f ( x) f ( y ), t Khi x f yt f (t ) f (ty ) f (t ) f (t ) Theo kết Bài tốn 5, x, f ( y) f ( y ), R y t, VINAMATH.COM y (14) R VINAMATH.COM f ( x) b ln x , x R ,b R tùy ý Kết luận : f ( x) b ln x , x R ,b R tùy ý Nhận xét Lời giải Bài toán 1-7 dựa vào giả thiết liên tục hàm số cần tìm Nếu ta thay giả thiết liên tục giả thiết khả vi lớp hàm nhận không thay đổi phương pháp giải ngắn gọn nhiều Bài tốn Tìm hàm f (x) xác định có đạo hàm R thỏa mãn điều kiện \ (15) f x y f ( x) f ( y ) , x, y R Giải Lần lượt lấy đạo ham hai vế (15) theo biến x y , ta (16) f' x y f ' ( x ) , x, y R (`17) f' x y f ' ( y ) , x, y R Các đẳng thức (16) – (17) cho ta f ' ( x) f ' ( y ) với x, y R Do vậy, f ' ( x) const , hay f ( x) ax b Thế vào (15), ta f ( x) ax với a R tùy ý b Kết luận f ( x) ax , x R, a R tùy ý Bài tốn Tìm hàm f (x) xác định có đạo hàm R thỏa mãn điều kiện (18) f x y f ( x ) f ( y ) , x, y R Giải Nhận xét f ( x) nghiệm (18) Xét trường hợp f ( x) Theo (18) f ( x0 ) f x ( x0 x) f ( x) f ( x0 x) 0, x R Suy f ( x) 0, x R Mặt khác, từ (18) ta có R f ( x) f ( x) 0, x Lần lượt lấy đạo hàm hai vế (18) theo biến x y , ta f' x f '( x) f ( y ) , y R (19) f' x y f ( x) f '( y ) , x, y Các đẳng thức (19) – (20) cho ta f '( x) f '( y ) , x, y R f ( x) f ( y) hay ln f ( x) ' a f ( x) eax + b R (20) y Thế vào (18), ta f ( x) Kết luận eax , b x, VINAMATH.COM VINAMATH.COM f ( x) 0, e , vói a tùy ý, ax f ( x) x R Bài tốn 10 Tìm hàm f(x) xác định khả vi R thỏa mãn điều kiện f(xy) = f(x) + f(y), x, y R (21) Giải Lần lượt lấy đạo hàm hai vế (21) theo biến x y, ta (22) yf’(xy) = f’(x), x, y R xf’(xy) = f’(y), x, y R (23) Các đẳng thức (22)-(23) cho ta : xf’(x) = yf’(y), x, y R Do đó, xf’(x) c, x R Vì vậy, f(x) = c ln x d Thế vào (21) ta được: f(x) = c ln x, x Kết luận: f(x) = c ln x, x , với x tùy ý Nhận xét Ngoài giả thiết quen biết tính liên tục tính khả vi hàm cần tìm, phương trình hàm cịn có nhiều giả thiết dạng khác tìm nghiệm phương trình hàm tập tùy ý R địi hỏi hàm số cần tìm giới nội (bị chặn), đơn điệu liên tục phía tập đó,… Bài tốn 11 Tìm hàm f(x) xác định đồng biến R thỏa mãn điều (24) kiện f ( x y ) f ( x) f ( y ), x, y R Giải Lần lượt thay y = y = x vào (24) ta f(0) = f(2x) = 2f(x) x R Từ suy f(x) > x > f(mx) = mf(x), x R , m N (25) x x , ta f f ( x), x R, m N m m m 1 Do f(x) đồng biến R, nên f f ( x) f x n n n 1 1 Suy f f ( x) f (1) x n n n n Do lim f ( x) f (0) Trong (25), thay x x n VINAMATH.COM VINAMATH.COM Tóm lại f(x) hàm liên tục x = x R lim f ( x y y) f ( x) lim f ( y ) 0, y f(x) liên tục điểm x R Theo Bài toán 1, f ( x) ax, a Kết luận R, với a > tùy ý f ( x) ax, x Bài toán 12 Xác định hàm f(x) đồng biến R thỏa mãn điều kiện f ( xy ) f ( x) f ( y ), x, y (26) R Giải Đặt x eu , y ev f (et ) g (t ) Khi g(t) hàm đồng biến R (26) có dạng : g(u+v) = g(u) + g(v), u, v R (27) Theo Bài tốn 11 (27) f ( x) b ln x, x tùy ý ta có g (t ) bt , b R ,b Kết luận f ( x) b ln x, x tùy ý R ,b Bài toán 13 Cho c > Xác định hàm f(x) thỏa mãn điều kiện f (x y) f ( x) f ( x) f ( y ), x, y c, x R (28) 1,1 Giải Từ (28) suy f (qx) qf ( x), q Q, x R Giả sử xn dãy số thực qn lim xn 0, lim qn n dãy số hữu tỷ tùy ý cho , n lim(qn xn ) 0, xn , qn n 0, n N (để lập dãy q n thỏa mãn điều kiện trên, cần cho ứng với số tự nhiên n số hữu tỉ qn cho xn qn , xn Trong f (qn xn ) M, n Z Khi f ( xn ) f qn xn qn f (qn xn ) , n qn N Do VINAMATH.COM VINAMATH.COM lim f ( xn ) n f (0) Vậy f(x) liên tục x = lim f ( x y y) f ( x) lim f ( y ) 0, y suy f(x) liên tục điểm x R Theo Bài toán 1, f(x) = ax với a R a c Bài toán 14 Cho c > Xác định hàm f(x) thỏa mãn điều kiện f (x f ( x) y) f ( x) f ( y ), x, y c, x R (29) 1,1 Giải Nhận xét f ( x) nghiệm Giả sử f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 x), x R Từ (29) suy f(x) > p) với x R Đặt ln f ( x) g ( x) ( f ( x) e g ( x ) ) Khi (29) có dạng g(x+y) = g(x) + g(y), x, y R (30) Vì f(x) giới nội 1,1 Tương tự Bài toán 13, từ (30) suy g(x) liên tục R g ( x) α x , với α R tùy ý cho α ln c Vậy f ( x) eax ( α ln c) f ( x) Kế t luậ n + Nếu c f ( x) f ( x) + Nếu c > với α f ( x) eax R tùy ý cho α ln c BÀI TẬP Xác định hàm số f(x) liên tục 0,1 thỏa mãn điều kiện f ( x y ) f ( x) f ( y ), x, y, x y 0,1 Xác định hàm số f(x) liên tục 0,1 thỏa mãn điều kiện f ( xy ) f ( x) f ( y ), x, y, x y 0,1 Xác định hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn điều kiện f (2 x y ) f ( x) f ( y ), x, y R Xác định hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn điều kiện f ( x) f ( y) f (x y) xy, x, y R Xác định hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn điều kiện f ( x) f ( y ) f ( x y ) s inx.sin y, x, y R Xác định hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn điều kiện VINAMATH.COM VINAMATH.COM f ( xyz ) f ( x) f ( y ) f ( z ), x, y, z R Cho hàm số f: R R thỏa mãn điều kiện f ( x) x, f ( x y ) f ( x) f ( y ), x, y R Chứng minh f ( x) x, x R Tồn hay không tồn hàm f: R ( f ( x) f ( y) ( x y ) , x, y R, x R thỏa mãn bất đẳng thức y II/ HÀM SỐ CHUYỂN ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH Từ cặp số dương x, y lập vơ số đại lượng trung bình Trong II/ này, xét số toán xác định hàm số chuyển đổi số dạng trung bình thường gặp chương trình tốn học bậc phổ thơng sở đại lượng trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hịa, trung bình bình phương Những đại lượng xếp theo thứ tự sau: xy x y x, y x xy x2 y y2 max x, y , ( x, y 0) (1) Bài tốn Tìm hàm f(x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện: f x y f ( x) f ( y) x, y R Giải Đặt f ( x) f (0) g ( x) , ta có g(x) liên tục R với g(0) = g x y g ( x) g ( y ) x, y R Lần lượt cho y = x = 0, x g ( x) , 2 y g ( y) g , x, y R 2 x y x y Do g g g , x, y 2 Hay g ( x y ) g ( x) g ( y ), x, y R g R Vì g(x) liên tục R, nên (i) phương trình hàm Cauchy g(x) = ax Suy f(x) = ax + b (a,b R) Thử lại ta thấy nghiệm f(x) = ax+b thỏa mãn (1) Kết luận: f(x) = ax+b, a, b R tùy ý Bài tốn Tìm hàm f(x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện VINAMATH.COM VINAMATH.COM x f y f ( x) f ( y ), x, y R (2) Giải Từ điều kiện (2) suy f ( x) 0, x R Nếu tồn x0 để f( x0 ) = x0 f y f ( x0 ) f ( y ) Tức f ( x) 0, y R, Xét trường hợp f(x) > 0, x R Khi 2) x ln f y ln f ( x) ln f ( y ) , x, y R, Hay x g g ( x) g ( y ) , x, y y R, Trong g(x) = lnf(x) Theo kết tốn g(x) = ax + b Suy nghiệm Bài tốn có dạng f ( x) eax b , a, b R tùy ý Kết luận: f ( x) f ( x) eax b a,b tùy ý thuộc R Bài tốn Tìm hàm f: R R xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện x y f ( x) f ( y ) (3) f , x, y R f ( x) f ( y ) Giải Theo giả thiết, ta có (3) f x y f ( x) f ( y) , x, y R, hay g x y Trong g ( x) g ( x) g ( y ) , x, y R, Theo tốn g(x) = ax +b f ( x) b Vì g(x) > với x R nên a = g(x) = b (b > 0) f(x) = ,b > Kết luận: VINAMATH.COM 10 VINAMATH.COM Lập luận tương tự cách giải phương trình hàm Cauchy, ta g u au, a , u 0, π Suy f x aarc cot gx, a (i) , x Thử lại, ta thấy hàm f x xác định theo (i) thỏa mãn điều kiện Kết luận: f x aarc cot gx, a tùy ý BÀI TẬP 1/ Tìm hàm f x xác định, liên tục f x y thỏa mãn điều kiện cos xf y , f x y x, y 2/ Cho b Tìm hàm f x xác định liên tục D: x 2bk : x b, b ; k 0, 1, 2, thỏa mãn điều kiện: f x f x f y , f x f y y 3/ Xác định hàm f x liên tục f x f y f x y , xy x, y D x, y thỏa mãn điều kiện : xy 4/ Cho hàm đồng biến f: a/ Xác định hàm g x, y theo công thức sau g x, y f x f x y f x , x f x y ,y b/ Giả thiết g ( x, y ) 2, x x 0, y 14 0, y (0,| x | ] Chứng minh g ( x, y ) 14, x 5/ Tìm tất hàm đồng biến f : R f ( x) f ( y) R, y R, thỏa mãn điền kiện x y , x, y R 6/ Tìm hàm f ( x) xác định, liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x y) f ( x y) cos xf ( y ), x, y R IV/ MỘT SỐ DẠNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CẶP BIẾN TỰ DO VINAMATH.COM 39 VINAMATH.COM Bài tốn Cho a, b R \{0} Tìm hàm f ( x) xác định, liên tục R thỏa mãn điều kiện (1) f (ax by ) af ( x) bf ( y ), x, y R Giải Đặt x 0, y vào (1), ta f (0)[(a + b) - 1] = a) Nếu a b f (0) từ (1) ta có f (a x) =af ( x), f (bx) bf ( x), x R (i) Từ (1) (i) suy (ii) (1) f (a x by ) f (a x) f (by ), x, y R Theo kết phương trình hàm Cauchy f ( x) cx, c R b) Nếu a b f (0) nhận giá trị tùy ý Khi (1) f (a x by ) f (0) a[f ( x) f (0)] + b[f ( y ) f (0)], x, y R, Hay g (a x by ) g (a x) g(by); x, y R, g ( x) f ( x) f (0), g(0) Do g(0) nên theo kết phần a) ta có g( x) cx Suy f ( x) cx d ; c, d R tùy ý Kết luận : Nếu a b f ( x) cx, c R tùy ý Nếu a b f ( x) cx d , c, d R tùy ý Bài toán Cho a, b R \{0} Tìm hàm f ( x) xác định, liên tục R thỏa mãn điều kiện f (a x by ) af ( x) bf ( y ), x, y R (2) Giải Đặt x y vào (2), ta f (0)[(a b) 1] a) Nếu a b f (0) từ (2) ta có (i) f (a x) af ( x), f (bx) bf ( x), x R Từ (2) (i) suy (1) (ii) f (a x by ) f (a x) f (by ), x, y R Theo kết phương trình hàm Cauchy f ( x) cx, c R Thế vào (2) ta thấy f ( x) cx thỏa mãn (2) c = 0, tức f ( x) b) Nếu a b b a f (0) nhận giá trị tùy ý Khi (1) f (a x by ) f (0) a[ f ( x) f (0)] b[f ( y ) f (0)], x, y R Do g (a x by ) g (a x) g (by ), x, y R, g ( x) f ( x) f (0), g (0) ; x R VINAMATH.COM 40 VINAMATH.COM Do g ( x) nên theo kết phần a) ta có g( x) Suy f ( x) d , d R tùy ý Kết luận : Nếu a b f ( x) Nếu a b f ( x) d , d R tùy ý Bài toán Cho a, b R \{0} Tìm hàm f : R R thỏa mãn điều kiện f ( x a y b ) [f ( x)]a [f ( y )]b , x, y R xác định, liên tục (3) R Giải Đặt ln x u, ln y v vào (3) ta f (e au bv ) [f (eu )]a [f (ev )]b ; u , v R Do g (au bv) [g (u )]a [g (v)]b , u, v (ii) R, Trong g (u ) f (eu ), u R Vì f ( x) 0, x R nên (i) h(au bv) ah(u ) bh(v), Trong h(u ) ln g (u ), u, v R Vậy Nếu a b h(u ) cu, c R g (u ) ecu (ii) f ( x) ec ln x , x Nếu a b h(u ) cu d , c, d R tùy ý g (u ) ecu d f ( x) ec ln x d , x Kết luận : Nếu a b f ( x) ec ln x , c R tùy ý Nếu a b f ( x) ec ln x d , c, d R tùy ý Bài toán Cho α , β R \ Tìm hàm f : R R thỏa mãn điều kiện xα f Giải Đặt f ( x) yα α ( f ( x)) β β ( f ( y )) β R xác định, liên tục β , x, y (4) R g ( x) viết (4) dạng f α xα yα α g ( x) g y , x, y R α Tiếp theo, đặt x u , y v , ta VINAMATH.COM 41 VINAMATH.COM h u u v h h v , u, v R h u g u α Tương tự Bài toán (Bài 2, II/) h u f ( x) (a x Kết luận : α β b) , a, b 0, a b f ( x) (a x au b, a, b 0, a b β α b) , a, b 0, a b Bài tốn Cho β R \ Tìm hàm f : R R thỏa mãn điều kiện f Giải Đặt f ( x) β 0, f x xy β R xác định, liên tục f y β β , x, y R (5) g ( x) viết (5) dạng g g ( x) g ( y ) , xy x, y R Ta có g ( x) 0, x R Theo kết Bài toán (Chương II, §2) g ( x) a ln x b Do g ( x) 0, x R nên a 0, b Kết luận : f ( x) c ( c tùy ý) Bài tốn Tìm hàm f x xác định, liên tục R thỏa mãn điều kiện f x f x y f y x y , x, y (6) R Giải x Sử dụng đẳng thức dạng f hay g x y x y x y 2 y g x f x x2 y2 4x2 x y , ta viết (6) f y y2 g y , x, y 0, x, y R, g ( x) R, f ( x) x Theo toán (Bài 2, II/) g ( x) ax b, a, b R VINAMATH.COM 42 VINAMATH.COM ax b x , a, b f ( x) R Kết luận : f ( x) ax b x ; a, b R tùy ý Bài tốn Tìm hàm f x xác định, liên tục R thỏa mãn điều kiện xy f ( xy ) yf ( x) xf ( y ) , x, y R (7) Giải f ( x) thay vào (7), ta x yxg ( x) xyg ( y ) , x, y R xy xy g( xy ) g ( x) g ( y ) Hay g( xy ) , x, y R Theo toán (Bài 2, II/ ) ta có g ( x) a ln x b, a, b R f ( x) x(a ln x b), a, b R Đặt f ( x) xg ( x) g ( x) Kết luận: f ( x) x(a ln x b), a, b R tùy ý Bài toán Cho số a, b, c, d Tìm hàm f ( x) xác định đồng biến , đồng thời thỏa mãn điều kiện (8) f (af ( y ) bx) cx dy 1, x, y R Giải Lần lượt thay x dy x c f af y 0, y vào (8), ta bdy c 1, y R; f (af (0)) bdy f (af (0)) c Sử dụng giả thiết f ( x) đồng biết R, ta có bdy (i) af ( y ) af (0), y R c dby Do f ( y ) f (0), y R ac af (0) b vào (8), ta có f (0) Thay y x b ca b dbx b Thay giá trị vào (ii), ta f ( x) ac ca b Suy f af y VINAMATH.COM (i) (ii) 43 VINAMATH.COM Thử lại, ta thấy hàm f ( x) vừa nhận hàm đồng biết , thỏa mãn điều kiện (8) Kết luận : dbx ac f ( x) b ca b Bài tốn Tìm hàm f ( x) xác định, nghịch biến (0, mãn điều kiện f ( x f ( y )) y , x, y xy ) thỏa (9) R Giải y y Từ (9) suy f y y Suy f f y y 1, y y y y f ( y) f x x f x , x, y R (i) R Sử dụng giả thiết f ( x) hàm nghịch biết R, ta có y y (i) f ( y) x x f ( x), x, y R c, x Thử lại ta thấy f ( x) thỏa mãn điều kiện x toán c Kết Luận : f ( x) x Hay f ( x) BÀI TẬP Cho a (0,1) f hàm số liên tục 0,1 cho f (0) 0, f (1) 1, f Tính f x y (1 a ) f ( x) f ( y ), x, y 0,1 với x y Giả sử g ( x) đa thức với hệ số nguyên, f hàm nhận giá trị nguyên tập số nguyên cho f (m g ( n) f ( f (n))) g ( f (n)) f ( f (m n)) n m, n Z n Z Xác định g (n) VINAMATH.COM 44 VINAMATH.COM Tìm hàm f ( x) xác định, đồng biến ( kiện f ( f ( x) y) , 0) thỏa mãn điều x ; x, y ( xy , 0) V/ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NHIỀU ẨN HÀM Bài tốn Tìm cặp hàm f ( x), g ( x) xác định R cho f ( x) f ( y ) ( x y ) g(x y), x, y (1) R Giải Thay y x vào (1), ta f ( x) f ( x), x R Tiếp theo, sủ dụng (1) (i), ta (i) f ( x 1) f ( x) (2 x 1) g (1), x f ( x 1) f ( x) g (2 x 1), x R, R, (ii) (iii) Từ (ii) (iii) suy (2 x 1) g (1) g (2 x 1) Do đó, g ( x) ax, a R Thay y vào (1), ta có f ( x) f (0) xg ( x) Vì vậy, f ( x) ax b Thử lại, ta thấy cặp hàm f ( x) ax b, g ( x) ax, thỏa mãn toán đặt Kết luận: f ( x) ax b, g ( x) ax, với a, b R tùy ý Bài tốn Tìm cặp hàm f ( x), g ( x) xác định R cho f ( x2 y2 ) (x y ) g ( x y ), x, y (2) R Giải Thay y vào (2), ta f ( x ) xg ( x), x R Với x g ( x) f ( x2 ) Thay vào (2)ta x f ( x y ) f (( x y ) ) , x, y : x ( x2 y ) ( x y)2 y Do vậy, ta phương trình h( x h( x) y ) h(( x y ) ), x, y f ( x) x R:x y (ii) 0, Thay x y vào (ii), ta h(2 y 1) h((1), y Từ suy h( x) a, x VINAMATH.COM 45 VINAMATH.COM Do đó, f ( x) ax, x Thế x vào (i) ta có f (0) Do f ( x) ax, x R Thế f ( x ) ax vào (i), ta ax, x c, x g ( x) 0 Thử lại, ta thấy điều kiện (2) thỏa mãn c Kêt luận: f ( x ) ax, g ( x ) ax, với a R tùy ý Bài tốn Tìm cặp hàm f ( x), g ( x) xác định R cho f ( x) g ( x) x2 y , x, y (3) R Giải Nhận xét rằng, tồn x0 cho f ( x0 ) từ (3) ta có f ( x0 ) g ( x0 ) x0 y2 , y R, điều kiện xẩy Vậy f ( x) 0, x R Lập luận hồn tồn tương tự ta có g( x) 0, x R Cho x y , từ (3) suy f ( x) g ( x) 0, x R, điều không xẩy Kết luận: Không tồn cặp hàm f ( x) g ( x ) thỏa mãn tốn Bài tốn Tìm cặp hàm f ( x), g ( x) xác định R cho f ( x) liên tục R thỏa mãn điều kiện (4) f ( x ) f ( y ) xy ( x y ) g ( x y ), x, y R Giải Thay x 0, y vào (4) ta f (0) Đặt f ( x) x h( x) h( x) hàm liên tục R h(0) Khi viết (4) dạng (i) ( x y ) h( x) h( y ) ( x y ) g ( x y ), x, y R Thay x y t vào (i) ta t t h , t t 0, g (t ) c với t Thế g ( x ) vào (4), ta thu VINAMATH.COM 46 VINAMATH.COM (x y) y)2 (x h( x ) h( y ) o, x 2h x y ; x, y R:x y 0, y Do h( x ) h( y ) , x, y R 2 Từ giả thiết h( x) liên tục R h(0) 0, suy h( x) h x y f ( x) g ( x) ax ax, x a, x 0, c, x 0, x với a, c R tùy ý Thử lại, ta thấy cặp hàm f ( x), g ( x) thỏa mãn toán đặt Kết luận: f ( x) g ( x) x2 ax, x a, x 0, x 0, với a, c R tùy ý Bài tốn Tìm hàm f ( x), g ( x) q( x) xác định liên tục R cho (5) f ( x ) f ( y ) q ( x y ) g ( x y ), x, y R Giải Thay y x vào (5), ta q (2 x ) g (0) 0, x R Suy q ( x) a, x R tiếp tục thay y x vào (5), ta g ( x) a, x R Thế biểu thức vừa tìm q( x) g ( x ) vào (5), ta hệ thực f ( x2 ) f ( y ) 0, x, y R tức f ( x) b R, x Kết luận b với x 0, f ( x) g ( x) h( x) với x a, q ( x ) a, a, b R tùy ý, h( x) hàm liên tục ( h(0) , 0] cho lim h( x) b x VINAMATH.COM 47 VINAMATH.COM Bài tốn Tìm hàm f ( x), g ( x), q ( x) xác định liên tục R cho (6) f ( x y ) q ( x y ) g ( x y ), x, y R Giải a) Trường hợp g (0) Thay y x vào (6), ta f (2 x ) Vậy f ( x ) x Thế f ( x ) vào (6), ta g ( x y ) q ( x y ) 0, x, y R Suy g (u ) q ( v ) 0, u , v R Do g ( x) 0, q ( x) hàm liên tục tùy ý R q ( x) 0, g ( x) hàm liên tục tùy ý R với g (0) Thế vào (6), ta nghiệm 0, x 0, f ( x) h( x), h( x) liên tục tùy ý , với h(0) g ( x) 0, q ( x) hàm tùy ý, 0, x 0, f ( x) h( x), liên tục tùy ý , với h(0) g ( x) hàm tùy ý với g (0) 0, q ( x) c) Trường hợp q( x) Thay y x vào (6), ta f (2 x ) Vậy, f ( x) 0, x Thế f ( x) vào (6), ta g ( x y )q ( x y ) 0, x, y R suy g (u )q (v) 0, u , v R Do q ( x) 0, g ( x) hàm liên tục tùy ý R g ( x) 0, q ( x) hàm liên tục tùy ý R với q (0) Thế vào (6), ta nghiệm 0, x 0, f ( x) VINAMATH.COM 48 VINAMATH.COM h( x), liên tục tùy ý , với h(0) g ( x) hàm tùy ý, q ( x) 0, 0, x 0, f ( x) h( x), liên tục tùy ý , với h(0) g ( x) 0, q ( x) hàm tùy ý với q (0) c) Trường hợp g (0) 0, q(0) Suy f (0) Lần lượt thay y x y x vào (6), ta f (2 x ) (i) , x R, q (0) f (2 x ) (ii) , x R, q (2 x) g(0) Tiếp theo, biểu thức g ( x) q( x) xác định theo (i) (ii) vào g (2 x) (6), ta f ( x2 y)2 (x ( x y)2 , x, y g (0)q(0) y2 ) f y2 ) F (u ) F (v), u , v 0, với F (u ) f R Do F ( x2 Vậy theo Bài toán (Bài 2, II/), ta có F (u ) f ( x) ba x , x 0, với a 0, b Kết Luận: f (u ) g (0)q (0) a u với a 0, x 0, f ( x) h( x), liên tục tùy ý , với h(0) g ( x) hàm tùy ý q( x) 0, x 0, f ( x) h( x), liên tục tùy ý VINAMATH.COM , với h(0) 49 VINAMATH.COM g ( x) q ( x) hàm tùy ý ba x , x 0, (a 0, b 0), f ( x) h( x), hàm liên tục tùy ý với h(0) b, x 0, x2 g ( x) b1a , x x R, q ( x) b2 a , x R, b1 , b2 tùy ý cho b1b2 b Bài tốn Tìm hàm f ( x), g( x) q( x) xác định liên tục R cho f ( x y ) g ( x y ) q( xy ), x, y R (7) Giải Thế x y t vào (7), ta f (t ) Tiếp tục x g (t ) t2 q a, t t vào (7), ta t2 b, t R, với b y q R, với a g (0), (i) (ii) f (0) Thay biểu thức f ( x), g( x) (i) (ii) vào (7), ta q y)2 (x a q y)2 (x b q ( xy ), x, y R Do h(u v) h(u ) h(v), u 0, v ; h(0) 0, (iii) h(u ) q (u ) (a b) Vậy (iii) phương trình hàm Cauchy có nghiệm h(u ) cu, c R Từ suy q( x) cx a b f ( x) cx b, g ( x ) cx a, x R Kết luận: VINAMATH.COM 50 VINAMATH.COM cx b, cx g ( x) a, q ( x) cx a b, f ( x) a, b, c R tùy ý Bài tốn 8: Tìm hàm f ( x), g( x) q( x) xác định liên tục R cho f (0) f ( xy ) g ( x y )q( x y ), x, y R (8) Giải Từ (8) ta có f (0) g(0)ϕ (0) Vì f (0) nên g (0) t vào (8), ta t2 f g (t ) , t R q (0) t t Tiếp theo, x vào (8), ta ,y 2 t2 f g (t ) , t R q (0) Thế x ϕ (0) t ,y (i) (ii) Thay biểu thức (i) (ii) vào (8) ta có phương trình theo f ( x) : q (0) g (0) f ( xy ) f x y x f y , x, y R Do đó, h(u v) h(u )h(v), u 0, v 0, h(u ) Vậy h(u ) a u với a f ( x) cda x với c a f (u ) , h(0) 0, (iii) q (0) g (0) g (0) 0, d q (0) 0, Thế vào (8), ta q( x) da Kết luận: Nghiệm toán x2 x2 , g ( x) ca VINAMATH.COM 51 VINAMATH.COM f ( x) cda x , x2 g ( x) ca , q( x) x2 da , a 0, c, d R \{0} BÀI TẬP Tìm hàm f ( x), g( x) xác định liên tục R cho f ( y) ( x2 f ( x) y ) g ( x y ), x, y R 2.Tìm hàm f ( x), g( x) xác định liên tục R cho f ( x) f ( y)2 ( x y) g ( x y ), x, y R 3.Tìm hàm f ( x), g( x) xác định liên tục R cho f ( x2 ) f ( y2 ) g ( x y) g ( x y ), x, y R 4.Tìm ba hàm f ( x), g( x), q( x) xác định liên tục R cho f ( x2 ) f ( y2 ) q ( xy ) g ( x y ), x, y R 5.Tìm ba hàm f ( x), g( x), q( x) xác định liên tục R cho f ( x2 ) f ( y ) [q ( x) q ( y )]g ( x y ), x, y R 6.Tìm ba hàm f ( x), g( x), q( x) xác định liên tục R cho f ( xy ) g ( x) g ( y ) q( x y ), x, y R 7.Tìm cặp hàm f ( x), g( x) xác định liên tục R (1, f ( xy ) xg ( y ) yg ( x), ) cho x, y 8.Tìm cặp hàm f ( x), g( x) xác định khả vi R cho f' x y g ( y ) g ( x) , y x x, y R , x VINAMATH.COM y 52 VINAMATH.COM VINAMATH.COM 53 ... x , với x tùy ý Nhận xét Ngồi giả thiết quen biết tính liên tục tính khả vi hàm cần tìm, phương trình hàm cịn có nhiều giả thiết dạng khác tìm nghiệm phương trình hàm tập tùy ý R đòi hỏi hàm. .. y) cos xf ( y ), x, y R IV/ MỘT SỐ DẠNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CẶP BIẾN TỰ DO VINAMATH.COM 39 VINAMATH.COM Bài toán Cho a, b R \{0} Tìm hàm f ( x) xác định, liên tục R thỏa mãn điều kiện... VINAMATH.COM 44 VINAMATH.COM Tìm hàm f ( x) xác định, đồng biến ( kiện f ( f ( x) y) , 0) thỏa mãn điều x ; x, y ( xy , 0) V/ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NHIỀU ẨN HÀM Bài tốn Tìm cặp hàm f ( x), g ( x) xác định