S GD&T BC NINH TRNG THPT QU Vế 2 o0o KHO ST CHT LNG NM HC 2013-2014 MễN: TON 12 khi A, A1, B. Thi gian lm bi: 180 phỳt. Khúa ngy: 26 thỏng 10 nm 2013. o0o Cõu 1. (2,0 im). Cho hm s x 2 y x 1 + = - (1). a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s (1). b) Gi A(1; 4) v I l giao im ca hai ng tim cn ca th (H). Tỡm ta im ( ) B Hẻ cú honh ln hn 1 v im C nm trờn ng tim cn ngang ca (H) cú honh dng sao cho t giỏc IABC ni tip c trong mt ng trũn cú bỏn kớnh bng 10 2 . Cõu 2. (1,0 im). Gii phng trỡnh 2 2 5x 9x cos3x sin 7x 2sin 2cos 4 2 2 ổ ử p ữ ỗ + = + - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Cõu 3. (1,0 im). Gii h phng trỡnh ( ) 3 2 2 4x 3x y 1 2y 1 0 2x x y 2y 0 ỡ ù - + - + = ù ù ớ ù + + - - = ù ù ợ Cõu 4. (1,0 im). Tớnh gii hn 5 x 0 2x 1 1 L lim x đ + - = Cõu 5. (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Cnh SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v cnh SC to vi ỏy mt gúc 30 . Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD v khong cỏch gia hai ng thng SB, AC theo a. Cõu 6. (1,0 im). Cho a, b, c l cỏc s thc dng. Chng minh rng 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 81 a b c a b c b c a a b c c a b a b c a b c ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ + + + + + + + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ + + + + + + + + + + + Cõu 7. (1,0 im). Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A, D cú ( ) B 8;4 , CD 2AB= v phng trỡnh AD: x y 2 0- + = . Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D trờn AC v 82 6 M ; 13 13 ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ l trung im ca HC. Tỡm ta cỏc im A, C, D. Cõu 8. (1,0 im). Cho hm s 3 y x 3x 2= - + cú th l (C). Gi M l im nm trờn (C), vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti M bit tip tuyn ú ct (C) ti im th hai l N v MN 2 6= . Cõu 9. (1,0 im). Mt cng ụn tp cú 100 cõu hi khỏc nhau. Mt hc sinh hc thuc c ỳng 80 cõu. Cn chn ra mt gm 5 cõu hi t 100 cõu trờn. Tớnh xỏc sut trong thi c chn cú ỳng 4 cõu hc sinh ú ó hc. HT Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H tờn thớ sinh S bỏo danh S GD&T BC NINH Trng THPT Qu Vừ s 2 o0o HNG DN CHM KIM TRA CHT LNG KHI 12 NM HC 2013-2014 MễN: TON Khúa ngy: 26 thỏng 10 nm 2013. o0o CU NI DUNG IM 1 a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s x 2 y x 1 + = - 1,0 1) TX: { } D \ 1= Ă 2) S bin thiờn +) ( ) 2 3 y' 0, x D x 1 - = < " ẻ - ,suy ra hm s nghch bin trờn tng khong ca tp xỏc nh Hm s khụng cú cc tr 0,25 + Gii hn, tim cn: Hc sinh tớnh c cỏc gii hn v suy ra cỏc ng tim cn l: (H) cú tim cn ngang l ng thng 1 d : y 1= (H) cú tim cn ng l ng thng 2 d : x 1= 0,25 + Bng bin thiờn 0,25 + V th 0,25 b) Gi A(1; 4) v I l giao im ca hai ng tim cn ca th (H). Tỡm ta im ( ) B Hẻ cú honh ln hn 1 v im C nm trờn ng tim cn ngang ca (H) cú honh dng sao cho t giỏc IABC ni tip c trong mt ng trũn cú bỏn kớnh bng 10 2 . 1,0 +) Vỡ ( ) B Hẻ nờn b 2 B b; ,b 1 b 1 ổ ử + ữ ỗ > ữ ỗ ữ ỗ ố ứ - ; ( ) 1 C d C c;1 ,c 0>ẻ ị , ( ) I 1;1 0,25 T giỏc IABC cú IA vuụng gúc vi IC nờn t gi thit suy ra AB BC AC 10 ỡ ^ ù ù ớ ù = ù ợ (1) 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 3b 3 b 1 c b 06 3b 3 b 1 c b 0 b 1 b 1 b 1 b 1 1 c 0(loai) c 1 9 10 c 2 ỡ ổ ử - ù ữ ù ỗ ỡ ổ ử - - - =- ù ữ ù ỗ ữ ù ỗ ữ ỗ - - - = ù ố ứ ữ - - ù ỗ ù ữ ỗ ù ù ố ứ - - ớ ớ ộ ù ù = ù ù ờ ù ù - + = ù ù ợ ờ = ù ở ù ợ 0,25 Vi c 2= ta c ( ) ( ) ( ) 2 3 b 2 9 2 b b 1 0 b 1 9 b 1 ộ ự ộ = ờ ỳ ờ - - - = ờ ỳ ờ = + - ờ ỳ ở ở ỷ Vy ( ) ( ) C 2;1 ,B 2;4 hoc 3 3 3 9 3 B 1 9; 9 ổ ử + ữ ỗ ữ + ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ 0,25 2 Gii phng trỡnh 2 2 5x 9x cos3x sin 7x 2sin 2cos 4 2 2 ổ ử p ữ ỗ + = + - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ (1) 1,0 ( ) ( ) ( ) 1 cos3x sin 7x cos 5x cos9x 2 cos3x cos9x sin 7x sin5x 0 ổ ử p ữ ỗ + =- + - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + + - = 0,25 ( ) 2cos6x.cos3x 2cos6x.sinx 0 2cos6x cos3x sin x 0+ = + = 0,25 +) k cos6x 0 6x k x ,k 2 12 6 p p p = = + = + p ẻ Â 0,25 +) x k 4 cos3x sin x 0 cos3x cos x ,k k 2 x 8 2 ộ p ờ = + p ổ ử p ờ ữ ỗ + = = + ẻ ữ ờ ỗ ữ ỗ ố ứ p p ờ =- + ờ ờ ở Â Vy phng trỡnh cú nghim l 0,25 3 Gii h phng trỡnh ( ) 3 2 2 4x 3x y 1 2y 1 0 (1) 2x x y 2y 0 (2) ỡ ù - + - + = ù ù ớ ù + + - - = ù ù ợ 1,0 K: 2y 1 0 1 y 0 y 0 2 ỡ + ù ù - Ê Ê ớ ù - ù ợ . t [ ] 2 t 0;1 t 2y 1 t 1 y 2 ỡ ẻù ù ù ù = + ị ớ - ù = ù ù ù ợ , phng trỡnh (1) cú dng ( ) ( ) 3 3 2 2 8x 6x t 3t 0 2x t 4x 2xt t 3 0- + - = + - + - = 0,25 Với 2 x 0 2x t 0 2x 2y 1 4x 1 y 2 ì £ ï ï ï + = =- +Þ Û í - ï = ï ï î , thay vào (2) ta được ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2x x 2x 1 4x 0 2x x x 2 8x 0 x 2x 1 2 8x 0+ + - = + - - = + - - =Û Û 0,25 +) Với 1 x 0 y 2 = =-Þ +) 2 2 1 x 0 2 1 x 0 1 1 2x 1 2 8x 0 x 2 x 2 2 12x 4x 1 0 1 x 6 ì ï ï - ££ ï ï ï ì ï ï ï - ££ ï é ï ï + - - = =-ÛÛ ê =- í í ï ï ê ï ï + - = ê ï ï î ï ê ï = ï ê ï ê ë ï î Khi đó y 0= 0,25 Trường hợp 2: 2 2 4x 2xt t 3 0- + - = (3) Từ (2) suy ra 1 x ;0 2 é ù ê ú -Î ê ú ë û , kết hợp với điều kiện [ ] t 0;1Î ta được 2 2 4x 1 t 1 2xt 1 ì ï £ ï ï ï £ í ï ï - £ ï ï î Do đó (3) xảy ra 2 2 4x 1 1 x t 1 2 t 1 2xt 1 ì ï = ì ï ï ïï =- ïï =Û Û í í ï ï ï ï = - = ï ï î ï î , từ đó 1 x 2 y 0 ì ï ï =- ï Þ í ï ï = ï î Vậy hệ có nghiệm là 1 x 0 x ; 2 1 y y 0 2 ì ì = ï ï ï ï =- ï ï Þ í í ï ï =- ï ï = ï ï î î 0,25 4 Tính giới hạn 5 x 0 2x 1 1 L lim x ® + - = 1,0 Đặt 5 5 t 1 t 2x 1 x 2 - = + =Þ . Khi x 0® thì t 1® 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 t 1 t 1 2 t 1 2 t 1 L lim lim t 1 t 1 t t t t 1 ® ® - - = = - - + + + + 0,25 ( ) 4 3 2 t 1 2 lim t t t t 1 ® = + + + + 0,25 2 5 = 0,25 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và cạnh SC tạo với đáy một góc 30° . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC theo a. +) Vì SC vuông góc với đáy nên ( ) ( ) · SC,(ABCD) SC,AC SCA 30= = = °Ð Ð +) ABCD là hình vuông cạnh a nên 2 ABCD AC a 2 S a ì ï = ï í ï = ï î +) a 6 SA AC.tan 30 3 = = 0,25 Vì SA vuông góc với đáy nên thể tích khối chóp là 3 ABCD 1 a 6 V SA.S 3 9 = = (đvtt) 0,25 Dựng hình bình hành ABEC. Trong mặt phẳng (ABCD) dựng AH vuông góc với BE, H nằm trên BE. Trong mặt phẳng (SAH), dựng AK vuông góc với SH. Dễ dàng chứng minh được ( ) AK ABE^ , Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d AC;SB d AC; SBE d A; SBE AK= = = 0,25 Xét tam giác SAH vuông tại A có AK là đường cao nên 2 2 2 1 1 1 AK AH SA = + Có 1 a 2 a 6 a 14 AH BD ;SA AK 2 2 3 7 = = = =Þ 0,25 6 Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 81 a b c a b c b c a a b c c a b a b c a b c       + + + + + + + + ≥  ÷  ÷  ÷ + + + + + + + + + + +       1,0 Trước hết ta dễ dàng chứng minh hai bất đẳng thức cơ sở sau với mọi x, y,z 0> 1) ( ) 2 2 2 2 1 x y z x y z 3 + + + +³ 2) 1 1 1 9 x y z x y z + + ³ + + 0,25 Áp dụng bất đẳng thức 1) vào bài toán ta được 0,25 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A a b c a b c b c a a b c c a b a b c 1 1 1 1 2 2 2 9 3 a b c a b b c c a a b c ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ = + + + + + + + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ + + + + + + + + + ổ ử ữ ỗ + + + + + + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + + + + + p dng bt ng thc 2) ta c 1 1 1 9 a b c a b c 2 2 2 9 a b b c c a a b c + + + + + + + + + + + 0,25 Do ú ta cú ( ) 2 2 2 2 2 1 27 81 A 3 a b c a b c + + + + ng thc xy ra khi a b c= = 0,25 7 Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A, D cú ( ) B 8;4 , CD 2AB= v phng trỡnh AD: x y 2 0- + = . Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D trờn AC v 82 6 M ; 13 13 ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ l trung im ca HC. Tỡm ta cỏc im A, C, D. 1,0 +) Phng trỡnh trỡnh AB: x y 12 0+ - = , vỡ A l giao im ca AB v AD nờn ta A tha món h phng trỡnh ( ) x y 12 x 5 A 5;7 x y 2 y 7 ỡ ỡ + = = ù ù ù ù ị ớ ớ ù ù - = - = ù ù ợ ợ 0,25 Cú ( ) 17 85 AM ; 13 13 AM : 5x y 32 0 A 5;7 ỡ ổ ử ù ữ ù ỗ = - ữ ù ỗ ữù ỗ ố ứ + - =ị ớ ù ù ù ù ợ uuur Gi N l trung im ca CD suy ra MN / /DH MN AC MN : x 5y 4 0^ - - =ị ị D thy ABND l hỡnh ch nht. Do ú ( ) BN / /AD: x y 2 0 BN : x y 4 0 B 8;4 ỡ + - = ù ù - - =ị ớ ù ù ợ 0,25 Cú ( ) N MN BN N 4;0= ầị Li cú ( ) CD / /AB : x y 12 0 CD : x y 4 0 N 4;0 CD ỡ + - = ù ù + - =ị ớ ù ẻ ù ợ 0,25 T ú ta c 0,25 ( ) ( ) C CD AC C 7; 3 D CD AD D 1;3 = -ÇÞ = ÇÞ Vậy A(5;7), C(7; -3), D(1; 3) 8 Cho hàm số 3 y x 3x 2= - + có đồ thị là (C). Gọi M là điểm nằm trên (C), viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M biết tiếp tuyến đó cắt (C) tại điểm thứ hai là N và MN 2 6= . 1,0 Gọi ( ) 3 M a;a 3a 2- + , suy ra phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là ( ) ( ) ( ) 2 3 d : y 3a 3 x a a 3a 2= - - + - + 0,25 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 x a 3a 3 x a a 3a 2 x 3x 2 x a x 2a 0 x 2a é = ê - - + - + = - + - + =Û Û ê =- ë 0,25 Vì N khác M nên tọa độ N là ( ) 3 N 2a; 8a 6a 2- - + + ( ) 2 2 3 6 4 2 2 4 MN 2 6 9a 9a 9a 24 81a 162a 90a 24 0 a 3 = + - = - + - = =Û Û Û 0,25 Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là y x 4 3 2= - + và y = y x 4 3 2= + + 0,25 9 Một đề cương ôn tập có 100 câu hỏi khác nhau. Một học sinh học thuộc được đúng 80 câu. Cần chọn ra một đề gồm 5 câu hỏi từ 100 câu trên. Tính xác suất để trong đề thi được chọn có đúng 4 câu học sinh đó đã học. 1,0 Số đề thi có thể được tạo ra là: 5 100 C 0,25 Để tạo được đề thi có đúng 4 câu trong số 80 câu đã học thì câu còn lại phải thuộc 20 câu chưa học. 0,25 Do đó số đề thi có đúng 4 câu đã học là : 4 1 80 20 C .C 0,25 Vậy xác suất cần tìm là 4 1 80 20 5 100 C .C P 0,42 C = » 0,25 . 2 013 -2 014 MễN: TON 12 khi A, A1, B. Thi gian lm bi: 18 0 phỳt. Khúa ngy: 26 thỏng 10 nm 2 013 . o0o Cõu 1. (2,0 im). Cho hm s x 2 y x 1 + = - (1) . a) Kho sỏt s bin thi n v v th (H) ca hm s (1) . b). 5 5 t 1 t 2x 1 x 2 - = + =Þ . Khi x 0® thì t 1 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 t 1 t 1 2 t 1 2 t 1 L lim lim t 1 t 1 t t t t 1 ® ® - - = = - - + + + + 0,25 ( ) 4 3 2 t 1 2 lim t t t t 1 ® = +. ) 2 2 2 2 2 2 2x x 2x 1 4x 0 2x x x 2 8x 0 x 2x 1 2 8x 0+ + - = + - - = + - - =Û Û 0,25 +) Với 1 x 0 y 2 = =-Þ +) 2 2 1 x 0 2 1 x 0 1 1 2x 1 2 8x 0 x 2 x 2 2 12 x 4x 1 0 1 x 6 ì ï ï - ££ ï ï ï ì ï ï ï -