PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Khơng có đường dài q người bước thong thả, không vội vàng Không có lợi xa xơi q người kiên nhẫn học tập CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ A PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I Phương pháp biến đổi tương đương Kiến thức cần nhớ: ( a) n n = a ( ab > ) ( ∀ a, b ) a = b ⇔ a n = b n a = b ⇔ a 2n+ a ≥ b ≥ ⇔ a = b 2n 2n + ≥ b2 n ( ∀ a, b ) a ≥ b ⇔ a 2n + ≥ b2 n+ Các dạng bản: * Dạng 1: ́ g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔  (Không cần đặt điều kiện f ( x ) ≥ )  f ( x) = g ( x)  * Dạng 2: f ( x ) > g ( x ) xét trường hợp: ́ g ( x ) < TH1:   f ( x) ≥  ́ g ( x) ≥ TH2:   f ( x) > g ( x)  ́ f ( x) ≥  * Dạng 3: f ( x ) ≤ g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥   f ( x) ≤ g ( x) Lưu ý: + g(x) thường nhị thức bậc (ax+b) có số trường hợp g(x) tam thức bậc hai (ax2+bx+c), tuỳ theo ta mạnh dạn đặt điều kiện cho g ( x ) ≥ bình phương vế đưa phương trình−bất phương trình dạng quen thuộc + Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình a0 x n + a1 x n − + a2 x n − + L + an − x + an = có nghiệm x=α n− n− chia vế trái cho cho x–α ta ( x − α ) ( b0 x + b1 x + L + bn − x + bn − ) = , tương tự cho bất phương trình * Phương trình−bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm nghiệm việc giải theo hướng đúng, khơng nhẩm nghiệm ta sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp phương pháp hàm số khơng ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác * Phương trình−bất phương trình bậc 4, lúc ta phải nhẩm nghiệm việc giải phương trình theo hướng đúng, cịn nhẩm nghiệm sử dụng phương trình −bất phương trình bậc khơng ta phải chuyển sang hướng khác Ví dụ 1: Giải phương trình: x − + x − x + = (ĐH Khối D – 2006) x − = − x + x − (*), đặt điều kiện bình phương vế ta được: x − x + 11x − x + = ta dễ dạng nhẩm nghiệm x = sau chia đa thức ta được: (*)⇔ (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = Biến đổi phương trình thành: ( Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ( x + 1) ≥ ( x + 10 ) − ( pt ⇔ x + x + ≥ ( x + 5) + x − + 2x ) , ĐK: x ≥ − ) 3 + x ⇔ ( x + 5) + x ≥ + x (1), Với x ≥ − âm nên ta bình phương vế: x3 – x2 – 5x – ≥ ⇔ ( x − 3) ( x + 1) hai vế (1) khơng ≥ Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ b) Tương tự với dạng: * Ví dụ 1: Giải bất phương trình f ( x) ≥ g ( x) * f ( x) < g ( x) x − x + − x + < ( 1) Giải ( 1) ⇔ x − x + < x − bất phương trình tương đương với hệ: ́ x− 2>  ⇔  2x − 6x + ≥   2x − 6x + < x − ́ x>  3− 3+ 3+  ∨ x≥ ⇔ ≤ x≤ x≤ 2   − 1< x <  Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x − 2mx + = m − có nghiêm Giải * Nếu m < ⇒ phương trình vơ nghiệm * Nếu m ≥ ⇒ phương trình ⇔ x2−2mx−m2+4m−3=0 Phương trình có ∆=2m2−4m+3>0 với m Vậy với m ≥ phương trình cho có nghiêm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x + mx − = x + có hai nghiệm phân biệt Giải: ́ x ≥ − Cách 1: PT ⇔  , phương trình (*) ln có nghiệm:  x + ( m − ) x − = 0, (*)  m − 4m + 20 < Phương trình cho có nghiệm ⇔ (*) có ́ m≤ ⇔ m≤ −1 nghiệm x ≥ − ⇔ x2 ≥ − ⇔ − m ≥ m − 4m + 20 ⇔  2  ( − m ) ≥ m − 4m + 20  Chú ý: + x1 > 0, x2 < x1 > x2 a.c < nên pt có nghiệm trái dấu + Cách thường dùng hệ số a dương âm + Cách 2: Đặt t = x + suy x = t – 1, với x ≥ − t ≥ (*) trở thành: ( t − 1) + ( m − ) ( t − 1) − = (**) Để (*) có nghiệm x ≥ − (**) phải có nghiệm t ≥ x1 = 2− m+ m − 4m + 20 2− m− > 0, x2 = Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x + mx + = x + , (1) ́ x + ≥ Giải: pt ⇔  để (1) có hai nghiệm thực phân biệt (2) có hai nghiệm lớn  x − ( m − ) x − = 0, ( )  ́  ∆ = ( m − ) + 12 >    1 ⇔ m≥ − hay  f  − ÷ ≥ 2   2 S  > − 2 1 Chú ý : Cách 2: đặt t = x + , để (2) có hai nghiệm lớn − 2 1 1    t − ÷ − ( m − )  t − ÷ − = có hai nghiệm thực lớn 2 2   Các kỹ năng: a Để bình phương vế phương trình – bất phương trình ta biến đổi cho vế không âm hai đặt điều kiện cho vế khơng âm Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x − − x − > x − (ĐH Khối A – 2005) Vế phải không âm, vế trái chưa nhận xét ta phải biến đổi thành: ta bình phương vế đưa dạng để giải Ví dụ 2: Giải phương trình: x ( x − 1) + x ( x + 2) = x2 5x − > x− 1+ 2x − ( 1) Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Giải : ( 1) ⇔ x + x + x ( x − 1) ( x + ) = x ⇔ x ( x − 1) ( x + ) = x ( x − 1) x≥  Điều kiện:  x ≤ − ( *) ⇔ x ( x + x − ) = x ( x − 1) x=  ⇔ x2 ( 8x − 9) = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x=0, x = (Hãy tìm thêm cách giải khác) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x − mx − x − = có nghiệm HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm x1,2 = m ± m − 16 Kết hợp với điều kiện ta tìm |m| ≥ b Chuyển phương trình – bất phương trình tích: - Đặt nhân tử chung, đẳng thức Lưu ý: Để sử dụng phương pháp ta phải ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích Ví dụ 4: Giải phương trình: x + x + = HD: • Bình phương hai vế • Dùng đẳng thức a2 − b2=0 − 29 • Nghiệm x = 2, x = x2 > x− Ví dụ 5: Giải bất phương trình: a b ( x − 3x ) x − 3x − ≥ 1+ 1+ x ( ) 1  ĐS: a −1≤x pt ⇔ ( x − 2)( x + 4) = x = m( x − ) ⇔  Để chứng minh ∀ m > , phương trình (1) có  x + x − 32 = m, ( 2) nghiệm phân biệt cần chứng minh phương trình (2) có nghiệm khác ' Thật vậy: đặt f ( x ) = x + x − 32, x ≥ , ta có f(2) = 0, lim f ( x ) = + ∞ , f ( x ) = x + 12 x > 0, ∀ x ≥ nên f(x) hàm liên tục [ 2; + ∞ nghiệm x0 mà < x0 < + ∞ Một số dạng chuyển thành tích: - Dạng: ax + b ± cx + d = Ta biến đổi thành: m( ax + b ± đồng biến khoảng suy ∀ m > phương trình (2) ln có ( a - c) x + ( b - d ) m cx + d ) = ( ax + b ) − ( cx + d ) 4x + − Ví dụ: Giải phương trình: ) x→ + ∞ 3x − = - Dạng: u+v=1+uv ⇔ (u-1)(v-1)=0 Ví dụ: Giải phương trình: x + + x + = + Ví dụ: Giải phương trình: x+ ĐS: x=2 ĐS: x=0, x=−1 x + 3x + x + + x = + x3 + x - Dạng: au+bv=ab+uv ⇔ (u−b)(v−a)=0 Ví dụ 1: Giải phương trình: x + + x x + = x + x + x + ĐS: x=0, x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình: ĐS: x=0 x3 + x + 3x + + 2x = x2 + + 2x2 + 2x Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 ĐS: x=0, x=1 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - Dạng: a3−b3 ⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=b Ví dụ: Giải phương trình: + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) ĐS: x=1 c Chuyển dạng: A1 + A2 + + An = với Ai ≥ 0, ≤ i ≤ n pt tương đương với: A1 = 0, A2 = 0, L An = Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x + = x x + + 2 x − ( )( ) HD: Phương trình tương đương x − x x + + x + − 2 x − + x − = Ví dụ 2: Giải phương trình: 4x − y2 − y+ 2= ĐS: x=1 x2 + y Giải Bình phương hai vế ta ( x − 1) + ( y + ) + 2 d Sử dụng lập phương: Với dạng tổng quát a ± b = ( y + ) ( x2 + y) = ⇔ x = , y = − 2 c ta lập phương hai vế sử dụng đẳng thức ́ a ± b = c 3 Giải hệ ta có ( a ± b ) = a ± b ± 3ab ( a ± b ) phương trình tương đương với hệ   a ± b ± 3 abc = c  nghiệm phương trình Ví dụ: Giải bất phương trình x − + x − = x − ĐS: x = 1; x = 2; x = e Nếu bất phương trình chứa ẩn mẩu: - TH1: Mẩu ln dương ln âm ta quy đồng khử mẩu: Ví dụ 1: Giải bất phương trình: Giải ĐK: x ≥ ( 1) ⇔ ( x − 16 ) x− + x− 3> ( x − 16 ) + x − > − x ⇔ 7− x x− ( 1) (ĐH Khối A−2004) ( x − 16 ) > 10 − x ́ x≥ ⇔ x>    10 − x < ⇔  ́ 10 − x ≥  ⇔ 10 − 34 < x ≤   ( x − 16 ) > ( 10 − x )   Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x > 10 − 34 - TH2: Mẩu âm dương khoảng ta chia thành trường hợp: Ví dụ 2: Giải bất phương trình: a ( x − 3) x + ≤ x − HD: a Xét ba trường hợp x=3, x>3 x x2 − x = HD: Bình phương vế biến đổi thành: x x − x − x − x + x − x + x − = ⇔ ( x − 2)(2 x − x + x − x + 2) = b x + x + − x − x − = x + HD: Nhân lượng liên hợp Bài 2: Giải bất phương trình sau: − x + + x ≥ − x t − 4t HD: Cách 1: Đặt t = − x + + x Cách 2: Bình phương đưa dạng:A1+A2 = 0, với x2 = − 16 A1, A2 ≥ Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Bài 3: Giải phương trình − 10 − x = x − (HD: Bình phương hai lần phương trình bậc đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức) x − x2 = x + − x Bài 4: Giải phương trình + Bài 5: Giải phương trình x + x2 + = x + Bài 6: Giải phương trình sau: x − = x + 3 x + + x − = x x− 2+ 2x − = x + = x3 − x+ x + x + − x = − x + = 3x + + 4 x − + 3x − = x − (HD:Bình phương sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 ≥ ) Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m + x + m − x = m x− 1+ 3 Bài 8: Tìm m cho phương trình: 4x − x = x + m a Có nghiệm b Có hai nghiệm phân biệt Bài 9: Giải bất phương trình sau: a − − x < x b x + 3x + + x + x + ≤ c x + x − + x + x − ≤ Bài 10: Giải phương trình: a x+ 1+ x2 = x+ c x + = + x + 2x2 + 9x + x2 + 4x − x2 + x b x 4x x+ 3+ x+ = x d x + = x − x − e x x − x + + x + = x + x + II Phương pháp đặt ẩn phụ: Dạng 1: F ( n ) f ( x ) = , đặt t = n f ( x ) (lưu ý n chẵn ta phải thêm điều kiện t ≥ 0) Ví dụ 1: Giải phương trình: a x + b ( x + ) ( − x ) = x + 3x x + 11 = 31 a Đặt t = x + 11, t ≥ ĐS: x=±5 b Đặt t = HD: x + 3x , t ≥ ĐS: x = −3± 109 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + x + 2m − x − x = m Giải Đặt: t = − 2x − x2 = − ( x + 1) t ∈  0;    Khi phương trình trở thành t − 2mt + m − = ( *) ⇔ t = m ± 0≤ m+ có nghiệm t ∈  0;  hay    0≤ m−  5≤ 5≤ Phương trình cho có nghiệm (*) − 5≤ m≤ − ⇔   5≤ m≤ +  Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: m( x − x + + 1) + x ( − x ) ≤ , (1) có nghiệm x ∈  0;1 +  Giải: Đặt t = x2 − 2x + [ x − x = t − Nếu x ∈ 0;1 + BPT trở thành: m ( t + 1) + − t ≤ 0, ( ) ] t = Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 3  ( x − 1) + ∈ [1;2] PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Khi ta có Dạng 2: m ( t2 − t2 − , dùng đồ thị ta tìm m ≤ ≥ m , với ≤ t ≤ Đặt f ( t ) = t+ t+1 ) g ( x ) ± 2n f ( x ) g ( x ) + n ( f ( x ) + g ( x ) ) + p = , đặt t = f ( x) ± để biểu diễn đại lượng cịn lại qua t Ví dụ 1: Cho phương trình + x + − x = m + ( + x) ( − x) f ( x) ± g ( x ) , bình phương hai vế a Giải phương trình m=3 b Tìm m để phương trình cho có nghiệm Giải Đặt: t = 3+ x + 6− x ( + x ) ( − x ) ( *) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy t2 = + 2 ( + x) ( − x) ≤ nên từ (*) ta có ≤ t ≤ Phương trình cho trở thành t2−2t−9=−2m (1) a Với m=3 (1) ⇔ t2−2t−3 ⇔ t =3 Thay vào (*) ta x=−3, x=6 b PT cho có nghiệm (1) có nghiệm t ∈  3;  Xét hàm số f ( t ) = t − 2t − với   t ∈  3;  , ta thấy f(t) hàm đb nên: − = f (3) ≤ f ( t ) ≤ f = − với t ∈  3;  Do     ( ) 2− (1) có nghiệm t ∈  3;3  − ≤ − 2m ≤ − ⇔ ≤ m≤   Chú ý: Để tìm miền giá trị t ta có cách thương dùng sau: Cách 1: dùng BĐT 2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số ) ( 3 Ví dụ 2: Giải phương trình x 35 − x x + HD: đặt: t = 35 − x x 35 − x = Ví dụ 3: Giải bất phương trình HD: Đặt t = Dạng 3: F ( n 7x + + ) 35 − x = 30 t − 35 ĐS: x=2, x=3 3t x − + 49 x + x − 42 ≤ 181 − 14 x 7x − ≥ ⇒ … ≤ x ≤ 7x + + ) f ( x ) , n g ( x ) = , F(t) phương trình đẳng cấp bậc k TH1: Kiểm tra nghiệm với g ( x ) = k TH2: Giả sử g ( x ) ≠ chia hai vế phương trình cho g ( x ) đặt t = n f ( x) g ( x) Ví dụ 1: Giải phương trình x3 + = ( x + ) ĐK: x ≥ − x3 + = ( x + ) ⇔ ( x + 1) ( x − x + 1) = ( x − x + 1) + ( x + 1) x+ x+ − + 2= x − x+ x − x+ t = x+ 2t − 5t + = ⇔  Đặt t = , t ≥ Phương trình trở thành t = x2 − x +  • Với t=2: Phương trình cho vơ nghiệm ± 37 • Với t = : Phương trình cho có nghiệm x = 2 Ví dụ 2: Giải phương trình x + 14 x + − x − x − 20 = x + Giải ĐK: x ≥ x + 14 x + − x − x − 20 = x + ⇔ x + 14 x + = x + + ⇔ 2 Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 x − x − 20 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Bình phương hai vế: ( x − x − ) + ( x + ) = (x − x − 5) ( x + 4) x2 − 4x − , t ≥ phương trình trở thành 2t − 5t + = ⇔ t = 1, t = x+ + 61 − 61 > 5, x = < • Với t = 1: Phương trình cho có nghiệm x = 2 • Với t = : Phương trình cho có nghiệm x = > 5, x = − < 5 + 61 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = , x = Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − + m x + = x − Đặt t = HD: ĐK x ≥ Xét hai trường hợp x = x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho x − đặt x− ( < t < 1) ĐS − < m ≤ = 1− x+ x+ Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để) af ( x ) + g ( x ) f ( x ) + h ( x ) = Đặt t = f ( x ) , phương trình trở thành at + g ( x ) t + h ( x ) = t= Ví dụ: Giải phương trình ( − x ) x + x − = x − x − HD Đặt t = x + x − L x = − ± (Phương pháp áp dụng cho phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… hay!) Bài tập Giải phương trình sau: ± 193 17 ± 73 x − x + = ( x3 − 21x − 20 ) ĐS: x = , x= 4 x − 3x + ( x + 2) − 6x = ( x − x + ) = x + Đặt y = x + , ĐS: x = 2, x = − ĐS: x = ± 13 x− 1 1 1+ Đặt t = + , ĐS: x = = 1− + x − x x x x Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác) Khi giải phương trình, bất phương trình lượng giác thường tìm cách đặt ẩn phụ để chuyển phương trình, bất phương trình đại số Tuy nhiên, nhiều trường hợp cách ngược lại tỏ hiệu quả, tính chất hàm lượng giác ta đưa toán đại số toán lượng giác giải toán lượng giác Lưu ý vài tính chất bản: * sin a ≤ 1, cos a ≤ * sin a + cos2 a = 1 2 * + tan a = * + cot a = cos a sin a Ví dụ 1: Giải phương trình + − x = x Giải ĐK x ≤ Đặt x = cos t , t ∈ [ 0; π ] Khi phương trình trở thành x + 1+ − cos t = cos t ⇔ sin t + sin t − = Ta tìm được: sin t = Khi x = cos t = ± − sin t = ± 2  π π  Nhận xét: * Nếu tốn có tập xác định u ( x ) ≤ a Ta nghĩ đến cách đặt u ( x ) = a sin t , t ∈  − ;   2 đặt u ( x ) = a cos t , t ∈ [ 0; π ] Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ  π  * Nếu u ( x ) ∈ [ 0; a ] ta đặt u ( x ) = a sin t , t ∈  0;   2 Ví dụ 2: Giải phương trình x + HD: Đặt x = cos t , t ∈ [ 0; π ] (1− x ) = x ( − x2 ) dưa phương trình lượng giác ( sin t + cos t ) ( − sin t cos t ) = phương trình ta lại đặt u = sin t + cos t , u ≤ 1− , x= ĐS: x = 2− 2− 2 sin t cos t Để gải 2 Ví dụ 3: Giải phương trình − x = x − 3x ĐS: x = − 2+ , x= ± Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình) ( ) * Khi gặp phương trình có dạng F f ( x ) , n a + f ( x ) , m b − f ( x ) = Đặt u = n a + f ( x) , v = m ́ F ( u, v ) = b − f ( x ) Khi ta hệ phương trình sau:  n Giải hệ tìm u, v m u + v = a+ b  ta lại tìm x Khi tìm x ta giải hai phương trình u = 3+ x + Ví dụ 1: Giải phương trình: Ví dụ 2: Giải phương trình: Ví dụ 5: Giải phương trình: ( + x) ( − x) 6− x = 3+ ( − x) x− 1+ + 3 ( + x) x− = − m b − f ( x) ĐS: x = 0, x = − ĐS: x = − 24, x = − 88, x = ĐS: x = 1, x = 16 12 − x = x + 17 − x = Ví dụ 4: Giải phương trình: a + f ( x ) v = 24 + x + Ví dụ 3: Giải phương trình: n ( − x) ( + x) , đặt u = x − 1, v = ĐS: x = 1, x = − = 3 ́ u + v = pt trở thành:  x − 3, u − v =  1 1 + x+ − x = , đặt u = + x , v = − x 2 2 Ví dụ 7: Với giá trị a phương trình: − x + + x = a có nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình: ́ a ( u + v − uv ) = Đặt u = − x , v = + x Phương trình trở thành:  u+ v = a  TH1: a = hệ phương trình vơ nghiệm ́ u+ v= a  TH2: a ≠ , hệ phương trình trở thành  1  Hệ có nghiệm S − P ≥ ⇔ < a ≤ Vậy uv =  a − ÷  3 a  phương trình có nghiệm < a ≤ 3 * Khi gặp phương trình có dạng f n ( x ) + b = a n af ( x ) − b Đặt t = f ( x ) , y = n ́ t n + b = ay af ( x ) − b ta có hệ  n  y + b = at  Ví dụ 1: Giải phương trình x + = x − ĐS: x = 1, x = Ví dụ 2: Giải phương trình x + x = x+ Giải ĐK x ≥ − x + x = − 1± x+ ⇔ ( x + 1) − = ( x + 1) + 2 ⇔ ( x + 1) Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 − 1= x+ + PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ ́  t − 1= y  x+ t t Đặt t = x + 1, y = Giải thêm chút + 1= + y − = Ta hệ phương trình  2  y2 − = t   − − ± 17 − ± 13 ta kết quả! ĐS: x = , x= 4 Chú ý: sử dụng phương pháp bình phương khơng nhẩm nghiệm, nên ta phải biến đổi để xuất biểu thức giống từ ta đặt ẩn phụ Ví dụ 3: Giải phương trình x + x + = x + ĐS: x = − 1, x = − , x = 4 Chú ý: Bài sử dụng phương pháp bình phương Bài tập: Bài 1: Giải phương trình sau: 3x − + x − = x − + x − x + 2 x + x + = x + x 4 + x Bài 2: Giải cácbất phương trình sau: x + 10 x + > − x − x 2 3 x + + x + x2 + x + + x2 + x + = x2 + x + x − x − > 10 x + 15 Bài 3: Giải phương trình sau: 12 − x + 14 + x = 2 = x+ x x− 24 + x + x− 1− 2x − 12 − x ≤ 1− x ≤ − x x− = x2 − x + − x = − x + = − x x + x + − x = − (đặt t = + x + − x ) III Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f(x)=k (k∈R) có khơng q nghiệm khoảng (a;b) Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v Tính chất 3: Nếu hàm f tăng g hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x)=g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục đoạn [a;b] tồn F'(x) khoảng (a;b) ∃ c ∈ ( a; b ) : F ( b) − F ( a) Khi áp dụng giải phương trình: có F(b) – F(a) = F '( c) = b− a ∃ c ∈ ( a; b ) : F ' ( c ) = ⇔ F ' ( x ) = có nghiệm thuộc (a;b) Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm miền D phương trình f(x)=0 khơng có q hai nghiệm thuộc D Từ tính chất ta có phương án biến đổi sau: 2 Phương án 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy phương trình có nghiệm Phương án 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến g(x) nghịch biến hàm suy phương trình có nghiệm Phương án 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu ta có: u = v Ví dụ: Giải phương trình: x − + x − = ĐK: x ≥ Đặt f ( x ) = 4x − + x − Miền xác định: x ≥ f' x = , ( ) Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 4x − + 4x x2 − > PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ 1 , nên phương trình có nghiệm nghiệm Thấy x = 2 Do hàm số đồng biến với x ≥ nghiệm phương trình Đối với phương trình chứa tham số ta thực sau: Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1) B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị (C ): y = f(x,m) đường thẳng d: y = g(m) B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m) B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: f ( x, m ) ≤ g ( m ) ≤ max f ( x, m ) x∈ D x∈ D * phương trình có k nghiệm: d cắt (C) k điểm * phương trình vơ nghiệm khi: d khơng cắt (C ) Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: TXĐ: R x2 + x + − Xét hs: y = f ( x ) = x − x + , Df = R, y ' = x2 + x + − x − x + = m có nghiệm 2x + x2 + x + − 2x − x2 − x + ́ ( x − 1) ( x + 1) > x + x + = ( x + 1) x − x + ⇔  (v.nghiệm) 2 2  ( x − 1) ( x + x + 1) = ( x + 1) ( x − x + 1)  Mặt khác: f’(0) = > suy y’ > nên hàm số đồng biến 2x lim = lim = −1 x→ − ∞ x→ − ∞ x + x + + x2 − x + Giới hạn: 2x lim = lim =1 x→ + ∞ x→ + ∞ x + x + + x2 − x + y' = ⇔ ( x − 1) BBT: x y’ y − ∞ + ∞ + −1 Vậy phương trình có nghiệm −1 < m < Chú ý: Trong tốn khơng thực việc xác định giới hạn hàm số, ngộ nhận tập giá trị hàm số R dẩn đến việc kết luận sai lầm phương trình có nghiệm với m Do việc tìm giới hạn tốn khảo sát cần thiết để tìm tập giá trị Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx − bpt ⇔ 1+ 1+ x − x− ≥ m , xét hs y = x− x− BBT: x y’ y + y(5) − y'= x − ≤ m + , ĐK: x ≥ 5− x x − ( x − 1) y ' = ⇔ x = xlim y = f(3) = → +∞ + ∞ Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 10 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Vậy bất phương trình có nghiệm ⇔ y ( ) ≥ m ⇔ m ≤ Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: x x + Giải: ĐK: ≤ x ≤ pt ⇔ ( x x + x + 12) định: D = [ 0; 4] Nhận xét: ( 5− x + x + 12 = m ( 3+ 5− x + ) − x có nghiệm ) − x = m xét hs y = f ( x ) = ( x x + Hàm số h ( x ) = x x + x + 12) ( 5− x + ) − x Miền xác x + 12 đồng biến D Hàm số g ( x ) = − x + − x đồng biến D Suy y = f(x) = h(x).g(x) hàm đồng biến D Vậy phương trình có nghiệm f ( 0) ≤ m ≤ f ( 4) Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x + = m x + x+ = m Giải: Phương trình viết lại dạng: x2 + x+ Số nghiệm phương trình số giao điểm (C): y = đường thẳng: y = m x2 + Lập BBT : − ∞ + ∞ x 1/3 y’ + − y 10 −1 m ≤ − ∨ m > 10 : phương trình vơ nghiệm − < m ≤ m = 10 : phương trình có nghiệm KL: 1< m < 10 : phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Giải: ĐK: ≤ x ≤ Đặt t = x− 1+ 3− x − ( x − 1) ( − x ) = m , (1) − x , lập BBT t(x) với ≤ x ≤ ta có ≤ t ≤ Khi phương trình (1) trở thành: − t2 + t + = m, lập bảng biến thiên hàm số vế trái với kết luận: ≤ m ≤ Bài tập: Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + − x = − x + x + m Bài Giải phương trình sau: x + x + − x − x + = − x− 1+ x x + 3− x − x + 12 = 12 x− 1+ ( x − 1) ( − x ) ( 5− x + ≤ t ≤ từ =1 4− x ) B HỆ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Phương pháp biến đổi tương đương: Ta thực theo bước sau: B1: Đặt điều kiện (nếu có) B2: Biến đổi phương trình – bất phương trình − hệ phương trình đơn giản mà ta biết cách giải cách: thế, khử biến B3: Kết luận (chú ý điều kiện biến đổi tương đương hay hệ quả) Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 11 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ ́ x + + Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:   x− 2+  Giải ́ x≥ Điều kiện:   y≥ y− = Bình phương vế trừ vế theo vế ta có: ( x + 5) ( y − ) y+ = ( x − ) ( y + 5) = Thay x = y vào phương trình, giải ta x = y = 11 ́ x ≥ y + Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình:  2 y ≥ x+  Giải Điều kiện: x, y ≥ cộng vế theo vế ta được: ( ) x+ y ≥ x+ y+ 2⇔ ( ) ( x−1 + ) ⇔ x= y y−1 ≤ 0⇔ x= y= ́ x − y − m = Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất:   x + xy =  ́ y = 2x − m ́ y = x − m ( − x)  hpt ⇔  ⇔  = x − m ⇔ x + ( − m ) x − = (*) ( − x) x  xy = − x , ( x ≤ 1, x ≠ ) y=  x  Phải tìm m để (*) có nghiệm thoả: x ≤ 1, x ≠ TH1: xét x = 1: TH2: (*) có nghiệm kép x ≤ : TH3: (*) có nghiệm x1 < < x2 : ( − x) Chú ý: Có thể dùng đồ thị y = x , x ≤ 1, x ≠ ́ ( x + xy + y ) x + y = 185 Ví dụ 4: giải:   ( x − xy + y ) x + y = 65  Giải: Cộng vế phương trình ta được: ( x + y ) x + y = 250 ⇔ (x + y ) = 125 ⇔ ́ x2 + y =  x+ y + x− y = 2, ( 1)   x− y− x = 1,(2) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  Giải: ĐK: y ≥ x, x ≥ y ( 1) ⇔ y+ ́ ́ x≤ y≥ x − y = 2− x⇔  ( 2) ⇔ y − = y − x ⇔   4x − y =  4x − y = −   17  KQ:  ; ÷  12  Bài tập: Giải hệ: phương trình sau: ́ x − = y   y − 3= x  ́ x y − xy x− y=  3x− 3y=  ́ x + y + xy =  x− y=  ́ x + y − x − y =  2 2  x + y + x − y =1  ́ x + y − x − y =  2 2  x + y + x − y =  ( ) ́ x + y xy = 420   y + x xy = 280  Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 12 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ ́ ́ x + y − x − y = a  (a > 0) 2 2  x + y + x − y = a   x+ y − x− y =   x2 − y + x + y =  ́ 2( x + y) =   3 y+ 3x=  ́ x y + y x = 30 10   x x + y y = 35  ( x2 y + y2 x ) ́  x 1− y =  11   y − x2 =   ́ x + y + xy = a Bài 2: Tìm a để hệ phương trình có nghiệm:  x− y= a  ́  x+ 1+ y+ = m Bài Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:   x + y = 3m  Phương pháp đặt ẩn phụ: Ta thực theo bước sau: B1: Điều kiện (nếu có) B2: Lựa chọn ẩn phụ, tìm đk cho ẩn phụ B3: Giải hệ nhận được, từ suy nghiệm x, y B4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm từ kết luận ́ 1− x + 1− y =  Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình:  điều kiện: x, y ≤  x + y ≤  u , v ≥ , hệ biến đổi dạng: Đặt u = − x , v = − y ĐK: ́ u+ v= ́ 0≤ u≤  ⇔ ≤ u ≤ 1⇔ x ≥ ⇔ ≤ x ≤  3⇔  2  4u − 4u + ≥  1− u + 1− v ≤  ́ ≤ x ≤ Vậy nghịêm hệ cặp nghiệm (x;y) thoả:   y = 1− 1− 1− x  ́ x + y − xy = ( x, y ∈ R ) Ví dụ 2: (ĐH Khối A – 2006) Giải hệ phương trình:   x+ 1+ y+ 1=  x + y = + t Bình phương phương trình 2, thay ẩn phụ vào, Điều kiện: xy ≥ 0, x ≥ − 1, y ≥ − Đặt t = xy giải tìm t = Giải thêm chút xíu ta nghiệm ( Bài tập: Giải hệ phương trình sau: ́ x + y = xy   xy =  ( ́ x + +   x+ 1+  ́  x+ + y    2x + y +  y  ) y= y= x+ y− 3= =8 ) ́ x + y + xy = 2   x+ y=  ́ x − y =   x+ y =  x− y x+ y− ́ x + y + xy = 14  2  x + y + xy = 84   HẾT PHẦN  Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 13 ... 0 918 28 812 3 − 1= x+ + PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ ́  t − 1= y  x+ t t Đặt t = x + 1, y = Giải thêm chút + 1= + y − = Ta hệ phương trình  2  y2 − = t   − − ± 17 ... 0 918 28 812 3 4x − + 4x x2 − > PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ 1 , nên phương trình có nghiệm nghiệm Thấy x = 2 Do hàm số đồng biến với x ≥ nghiệm phương trình Đối với phương. .. 0 918 28 812 3 10 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Vậy bất phương trình có nghiệm ⇔ y ( ) ≥ m ⇔ m ≤ Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: x x + Giải: ĐK: ≤ x ≤ pt ⇔ ( x x + x + 12 )