www.VNMATH.com Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Nguyễn Văn Rin Toán 3A LI NểI U: Phng trình mảng kiến thức quan trọng chương trình Tốn phổ thơng Giải phương trình tốn có nhiều dạng giải linh hoạt, với nhiều học sinh kể học sinh giỏi nhiều cịn lúng túng trước việc giải phương trình, đặc biệt phương trình vơ tỷ Trong năm gần đây, phương trình vơ tỷ thường xun xuất câu II đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng Vì vậy, việc trang bị cho học sinh kiến thức liên quan đến phương trình vô tỷ kèm với phương pháp giải chúng quan trọng Như biết phương trình vơ tỷ có nhiều dạng nhiều phương pháp giải khác Trong tập lớn này, tơi xin trình bày “một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ”, phương pháp có tập minh họa giải rõ ràng, dễ hiểu; sau phương pháp có tập áp dụng giúp học sinh thực hành giải toán nắm vững cốt lõi phương pháp Hy vọng góp phần giúp cho học sinh có thêm kĩ cần thiết để giải phương trình chứa thức nói riêng dạng phương trình nói chung Page www.VNMATH.com Ngun Văn Rin Toán 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ A BI TON M U: Gii phương trình:  x  x  x   x (*) (ĐHQG HN, khối A-2000) Giải: Điều kiện:  x   Cách 1: 2   (*)  1  x  x2   x   x   4  1 x  x  ( x  x )   x(1  x )    4( x  x )  x  x   x  x (2 x  x  3)   x  x2    x  x2    2 x  x    x  x   0( PTVN )   x  (thỏa điều kiện)  x 1  Vậy nghiệm phương trình x  0; x   Cách 2: Nhận xét: x  x biểu diễn qua  x  1 x  x  x nhờ vào đẳng thức: =1+2 x  x Đặt t  x   x (t  0) t 1  x x  2 Phương trình (*) trở thành: t  t2 1  t  t  3t     t  Với t  ta có phương trình: 1 x  (thỏa điều kiện) x   x   x  x   x  x2    x 1  Với t  ta có phương trình: Page www.VNMATH.com Mét sè ph­¬ng pháp giải phương trình vô tỷ Nguyễn Văn Rin To¸n 3A 9  x  x   0( PTVN ) 4 Vậy nghiệm phương trình x  0; x  x   x   x  x2   x  x2   Cách 3: Nhận xét: x  x có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể  x  1 x  1 x   (*)  x  x   x  x      x x   x  (1) không thỏa mãn phương trình (1) x 3 (2) Do đó, (1)   x  x 3 3t  Đặt t  x (t  0), (2)   x  2t  x Ta có:  x  1 x  1  3t   t   1  2t    t (4t  12t  9)  9t  18t   4t  12t   4t  12t  14t  6t   t (2t  6t  7t  3)   t (t  1)(2t  4t  3)  t   t  Với t  ta có x   x  (thỏa điều kiện) Với t  ta có x   x  (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình x  0; x   Cách 4: Nhận xét: x  x có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể  x  Đặt a  x (a  0); b   x (b  0) Ta có hệ phương trình:  3  2ab  3(a  b) 2ab  3(a  b)  1  ab  a  b    2 (a  b)  2ab  (a  b)  3(a  b)   a  b   Page www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Toán 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tû  a  b   2ab  3(a  b)   ab    a  b    a  b    a  b    ab    a   b   a, b nghiệm phương trình X  X     a    b   a  b   (Trường hợp  loại   ) ab    a   x 1  x  (thỏa điều kiện) Với  ta có  b   1 x     x 0  x  (thỏa điều kiện)   1 x   Vậy nghiệm phương trình x  0; x  a  ta có b  Với   Cách 5: Nhận xét: Từ Đặt  x  x  sin a,  a  1 x    , ta nghĩ đến đẳng thức: sin a  cos2 a    2sin a.cos a  3sin a  3cos a (vì cos a  0) Phương trình (*) trở thành:  sin a  sin a  sin a   sin a  (sin a  cos a )2  3(sin a  cos a)   sin a  cos a     sin a  cos a   sin( a  )  sin a  cos a      a    k 2   sin(a  )   ( k  )  a    3  k 2   4 a  k 2 a0     ( k  )     (vì  a  )  a   k 2 a    Với a  ta có x   x  (tha iu kin) Page www.VNMATH.com Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Nguyễn Văn Rin Toán 3A Với a  ta có x   x  (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình x  0; x  Qua tốn mở đầu, ta thấy có nhiều cách khác để giải phương trình vơ tỷ Tuy nhiên, cách dựa sở phá bỏ thức đưa phương trình đơn giản mà ta biết cách giải Sau đây, tơi xin trình bày số phương pháp cụ thể để giải phương trình vơ tỷ B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG  Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm  Một số phép biến đổi tương đương:  Cộng, trừ hai vế phương trình với biểu thức mà khơng làm thay đổi tập nghiệm phương trình  Nhân, chia hai vế phương trình với biểu thức khác mà không làm thay đổi điều kiện phương trình  Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai bậc lẻ hai vế phương trình  Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai bậc chẵn hai vế hai vế phương trình dương Lũy thừa hai vế phương trình:  k 1 f ( x)  g ( x )  f ( x )  g k 1 ( x)     g ( x)  f ( x )  g ( x)   f ( x)  g k ( x)  k 1 f ( x )  k 1 g ( x )  f ( x )  g ( x ) 2k 2k  g ( x)  f ( x)  k g ( x )    f ( x )  g ( x)  Thông thường ta gặp phương trình dạng : A  B  C  D , ta thường bình phương vế, điều nhiều gặp khó khăn  Với phương trình dạng: A  B  C ta thường lập phương hai vế để đưa phương trình dạng: A  B  3 A.B A  B  C ta sử dụng   phép : A  B  C ta phương trình hệ quả: A  B  3 A.B.C  C Bài 1: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x  1 x   x  10  x   x  (*) Page www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Toán 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ (*)  x  11  x  11x  10  x   x  x  10   x  11x  10  x  x  10  x  11x  14  x  11x  10  x  x  10  x  11x  10   x   x    x  1    x  1 (thỏa điều kiện) 9 x    x  11x  10  x  x  Vậy nghiệm phương trình là: x  1 Bài 2: Giải phương trình: Giải: x   x   x   (*) (*)  x   x    x   x   3 ( x  1)( x  2)( x   x  2)   x   x   ( x  1)( x  2)( x   x  2)     x   ( x  1)( x  2)  x    ( x  1)( x  2)( x  3)  x   x  x  11x   x  x  12 x   x  2 Thử lại, x  2 thỏa mãn phương trình (*) Vậy nghiệm phương trình là: x  2 Bài 3: Giải phương trình: x   3x   x  x  Giải: Điều kiện: x  Bình phương vế khơng âm phương trình ta được:   x  3 x  1  x  x  x  1 , để giải phương trình dĩ nhiên khơng khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : 3x   x   x  x  Bình phương hai vế ta phương trình hệ : x  x   x  12 x  2( x  1)2   x  Thử lại, x  thỏa mãn phương trình Vậy nghiệm phương trình là: x   Nhận xét : Nếu phương trình : f  x   g  x   h  x   k x Page www.VNMATH.com Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Nguyễn Văn Rin Toán 3A Mà có : f  x   h  x   g  x   k  x  , ta biến đổi phương trình dạng : f  x   h  x   k  x   g  x  sau bình phương hai vế, giải phương trình hệ thử lại nghiệm Bài 4: Giải phương trình : x3   x   x2  x   x  x 3 (1) Giải: Điều kiện : x  1 Bình phương vế phương trình ? Nếu chuyển vế chuyển nào? Ta có nhận xét : x3  x   x  x  x  , từ nhận xét ta có lời giải x 3 sau : x3   x   x2  x   x  x 3 Bình phương vế ta phương trình hệ quả: x  1 x3   x2  x   x  x     x3 x  1  (1)  Thử lại : x   3, x   nghiệm phương trình  Nhận xét : Nếu phương trình : f  x   g  x   h  x   k  x  Mà có : f  x  h  x   k  x  g  x  ta biến đổi phương trình dạng: f  x   h  x   k  x   g  x  sau bình phương hai vế, giải phương trình hệ thử lại nghiệm Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: x  x  x   3x  x  3x   x    x   x  5  x x  x  11  x  x  11  12  x  14  x  x   x   x  Trục thức: 2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung: Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm x0 Như vậy, phương trình ln đưa dạng tích  x  x0  A  x   ta có th gii phng trỡnh Page www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Toán 3A Một số phương pháp giải phương trình v« tû A  x   chứng minh A  x   vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh giá A  x   vơ nghiệm Bài 1: Giải phương trình: 3x  x   x    x  x  1  x  3x  Giải: x   Điều kiện:    x   Ta nhận thấy :  3x  x  1   x  x  3  2  x   x  2   x  3x     x  2 pt  x  x    x  x  1  x   x  3x   2( x  2) 3x  x    x  x  1 2 3( x  2)  x   x  3x        ( x  2)  2  x   x  3x    x  x    x  x  1     x  (thỏa) Dễ dàng chứng minh phương trình x   x  3x   3x  x    x  x  1  vơ nghiệm 1   VT  0, x  ;     ;       Vậy x  nghiệm phương trình  Bài 2: Giải phương trình: Giải: x  12   3x  x  5 Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng  x   A  x   , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : Để phương trình có nghiệm : x  12  x   x    x  pt  x  12   3x   x   Page www.VNMATH.com Mét sè ph­¬ng pháp giải phương trình vô tỷ x2 Nguyễn Văn Rin Toán 3A x2 x    x  12  x2     x2 x2   x  2    3  x2     x  12  x2 x2 x2 Dễ dàng chứng minh :    0, x  x  12  x2   Vậy x  nghiệm phương trình  Bài 3: Giải phương trình : x   x  x3  Giải: Điều kiện: x  Nhận thấy x  nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình: pt  x    x   x3     x 3    x  3  x  x     x  3 1   2 3 x3    x  1  x         x 3 x2  3x     ( x  3) 1   0 2 3 x3     x  1  x      x   x  3x  x3 (*)  1   x 2 5  x2   x2 1      Phương trình (*) vơ nghiệm vì: x  3x  x3 x 3 1  1 2 2 3 x2 1 x3    x2   x 1       Vậy phương trình có nghiệm x  2.2 Đưa “hệ tạm”: Nếu phương trình vơ tỉ có dạng A  B  C , mà : A  B   C C số, biểu thức x Ta giải sau : Page www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Toán 3A A B C A B Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ  A B C   A  C  A  B   , ta có hệ:  A B    Bài 1: Giải phương trình sau : x  x   x  x   x  Giải: Ta thấy:  x  x     x  x  1   x   Phương trình cho có nghiệm  x    x  4 x  4 khơng phải nghiệm phương trình Xét x  4 trục thức ta có : 2x   x   x2  x   x2  x   2 2x  x   x  x  Ta có hệ phương trình: x   2x2  x   x2  x     2x  x   x     2 x   2x  x   x  x   x    Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0; x= Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau :  10  x  x  2 3 x   x 1  2x  x  16 x  18  x   x  x  x    x   x  x  15  x   x  8 x   3x   x  x  11x  21  3 x     x   x   x    x 10  x  2.3 Phương trình biến đổi tích: 2.3.1 Sử dụng đẳng thức: u  v   uv   u  1 v  1  au  bv  ab  vu   u  b  v  a   A2  B Bài 1: Giải phương trình : x   x    x  x  Giải: PT  x   x    x  x  x   x 1 1 x  1     x  1   Page 10 www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Toán 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Chn a  1; b  1 ta hệ    x  x  2( y  1)  x  x  2( y  1)  x  x  2( y  1)     2    ( x  y )( x  y )   y  y  2( x  1) x  y   x  x     x     y  x      x   (loaïi)  x  y        x  2 (VN ) y  x  y   x   Vậy nghiệm phương trình x   4.3.4 Dạng 4: Cho phương trình d  ac   với hệ số thỏa mãn  (*) e  bc    Cách giải: Đặt dy  e  n ax  b n ax  b  c( dx  e)n   x   4x   x2  x 28 Bài 1: Giải phương trình Giải: Điều kiện x  9 4x  1  PT   7 x    28 2  Kiểm tra a  ; b  ; c  7; d  1; e  ;  0;    thỏa mãn (*).Đặt 28 1 4x  y  ( y  ) ta có hệ 2 28 Page 26 www.VNMATH.com Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Nguyễn Văn Rin Toán 3A   7  x    y  1 2   7  x    y    2  1   7( x  y )( x  y  1)  ( x  y )   7  y    x      14 x  12 x    (I )     1  y  x 7 x    y    98 x  112 x     2   ( x  y )(7 x  y  8)   ( II )   y   x    6   x  14  6   ( I )   x y 6  14 (loaïi) x  14  y  x   8  46 x   14  8  46  x   8  46 14   y   14  ( II )    x  8  46    14  8  46  x   1 14  (loại y  )  y  x    8  46  y  14   6  8  46 Vậy nghiệm hệ phương trình x  ;x  14 14 4.4 Đặt ẩn phụ đưa hệ gần đối xứng: Bài 1: Giải phương trình: x   13 x  x   Nhận xét: Nếu nhóm phương trình trước: 13  33   x    3x   4  13 Đặt y   x  khơng thu hệ phương trình mà giải Page 27 www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Toán 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ thu c h (1) ta đặt :  y    3x  , chọn  ,  cho hệ giải (đối xứng gần đối xứng )  y   2  3x   y  2 y  x     (1)    (*) Ta có hệ :  (2)  x  13 x   y     4 x  13 x    y     Để giải hệ ta lấy (1) nhân với k cộng với (2) mong muốn có nghiệm x  y  2    , ta chọn   2;   Nên ta phải có :     13   Ta có lời giải sau : Điều kiện: x   , 3 Đặt 3x   (2 y  3), ( y  ) (2 x  3)  y  x    ( x  y )(2 x  y  5)  Ta có hệ phương trình sau:  (2 y  3)  x    Với x  y  x  15  97 Với x  y    x  11  73 15  97 11  73 ;x  8  Chú ý : Chúng ta tìm  ;  cách ta viết lại phương trình Vậy nghiệm phương trình là: x  sau: (2 x  3)   3x   x  Khi đặt 3x   2 y  , đặt y   x  khơng thu hệ mong muốn, ta thấy dấu  dấu với dấu trước Một số phương trình xây dựng từ hệ: Giải phương trình sau: x  13 x   x   x  13 x   x   3 81x   x  x  x  Page 28 x   x3  x  15  30 x  x   2004   30060 x  www.VNMATH.com Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Nguyễn Văn Rin Toán 3A III PHNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp: 1,1 Dùng đẳng thức :   f ( x)  f ( x)  g ( x)     g ( x)  1.2 Dùng bất đẳng thức:  f ( x)  m , x  D    g ( x)  m  f ( x)  m , x  D  g ( x)  m Nếu f ( x )  g ( x), x  D (1) phương trình f ( x)  g ( x ) tương đương với dấu đẳng thức (1) xảy Khi đó, phương trình f ( x)  g ( x ) với x  D    Bài tập minh họa: Bài 1: Giải phương trình: x  x x  x  16  x  x  20  (1) Giải: (1)   x  x x  x  16  ( x  x  16)   ( x  x  4)        x  x  x  16  ( x  2) 2 0  x  x  x  16    x2 x2    Vậy nghiệm phương trình x  Bài 2: Giải phương trình:  2011x   2011x  x   Giải: 1 x 2011 2011 Ta có  2011x   2011x   2011x   2011x  1 Mặt khác x    x   x 1 x 1   2011x   2011x  Do đó, (*)    x  x 1   x 1  Vậy nghiệm phương trình x  Điều kiện: Page 29 (*) x www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Toán 3A Một số phương pháp giải phương trình v« tû 2  x  x  (*) x 1 Bài 3: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x   2  Ta có :   x   2   x 1     2  x       x9  x 1   x 1  x 1        2  x  x  (1) x 1 2 1 (*)   x x 1 x 1 Do Vậy nghiệm phương trình x  Bài 4: Giải phương trình : 13 x  x  x  x  16 (*) Giải: Điều kiện: 1  x   Biến đổi phương trình ta có : x 13  x   x   256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  13  x   x 2    13 13  x  3  x   13  27  13  13 x   x   40 16  10 x   16  Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x 16  10 x      64  2 Do  x 13  x   x  2  40 x (16  x )  4.64  256    x2 x   1 x  (*)     10 x  16  10 x  x    Vậy nghiệm phương trình x   Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 16 x   x  x x   4  x  x Page 30 www.VNMATH.com Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ x x  x  40  4 x    x  64  x  x  x  28  x2  Nguyễn Văn Rin Toán 3A x  1 x  x  1 x    2x   2x   2x  2x   2x  2x 1   4x  x x  IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ: Phương pháp:  Nếu hàm số y  f ( x ) đơn điệu (tăng giảm) khoảng (a; b) phương trình f ( x)  k (k  const ) có khơng q nghiệm thuộc (a; b)  Nếu hàm số y  f ( x ) đơn điệu (tăng giảm) D u , v  D ta có f (u )  f (v)  u  v  Nếu hàm số y  f ( x ) đơn điệu tăng g ( x) hàm đơn điệu giảm (a; b) phương trình f ( x)  g ( x ) có không nghiệm thuộc (a; b) Bài tập minh họa: Bài 1: Giải phương trình: x3   x   x  Giải: Điều kiện: x   Xét hàm số f ( x)  x3   x   x D    5;   f '( x)   3x x 5  3 (2 x  1)   0, x   Suy f ( x ) đồng biến D Do đó, phương trình f ( x )  có nghiệm có nghiệm Dễ thấy f (1)  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1 Bài 2: Giải phương trình: ( x  1)2  x   Giải: Điều kiện: x  1 Xét hàm số f (t )  t  2t treân D   1;   f '(t )  2(t  1)  0, t  1 Do đó, f (t ) đồng biến D Page 31   x   x (*) www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin To¸n 3A (*)  f    x2 f Một số phương pháp giải phương trình v« tû  x   x   x   ( x  1)  ( x  1)3 x   x  x  x  3x   x( x  1)( x  x  3)    x  1(thoûa)  x   Vậy nghiệm phương trình x  1; x  0; x  2 Bài 3: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x  Xét hàm số f ( x)  x  x    x  x  17 D f  1;    0, x  x 1 Suy f ( x ) đồng biến 1;   f '( x)  Đồ thị hàm số g ( x )   x  x  17 parabol ( P) có đỉnh I (1;18) bề lõm hướng xuống nên g ( x) nghịch biến 1;   Do đó, phương trình f ( x)  g ( x ) có nghiệm có nghiệm Dễ thấy, f (5)  g (5) Vậy phương trình có nghiệm x  Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: x   x   x   x x   x  x2  x3 x 1  x   x   x2    x 3x   x  x   x   x2   x    x3  x  x    x  x2 (2 x  1)  x  x   x  x      V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA:     Nếu x  a đặt x  a sin t ; t   ;  x  acost ; t   0;     2 Bài 1: Giải phương trình:   x  x   x Giải: Điều kiện x  Page 32 www.VNMATH.com Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Nguyễn Văn Rin Toán 3A   ;  phương trình trở thành  2 t  cos t  sin t 1  cos t   2cos    sin t  sin 2t 2 t  3t  t  t   3t    2cos    2sin   cos    cos    sin    1  2 2 2 2 2  Đặt x  sin t ; t    t t   2k  1   cos        (k  )  t    k 4   3t    sin     2 Kết hợp với điều kiện t suy t     Vậy phương trình có nghiệm x  sin        x  1  x     Bài 2: Giải phương trình:  x2  x    (*) 1   3 Giải: Điều kiện: x  Khi VP>0 - Nếu x   1; 0 - Nếu x  0;1 1  x  1  x  3   1  x  1  x   nên phương trình (*) vơ nghiệm 0   Đặt x  cos t , t   0;  ta có:  2  t  t   t  t  sin    cos     cos3    sin      sin t    2    2    6cos   sin t    sin t     cos t  1  sin t    cos t  Vậy nghiệm phương trình x  Bài 3: Giải phương trình:  x   x  Giải: Page 33  2x  2x  1 2x 2x www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Toán 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Đặt x  cos t ; t   0;   phương trình trở thành Điều kiện x   t  t  t t sin    cos     tan    cot    2(1  sin t )  sin t           sin t  sin t    cos t  Vậy nghiệm phương trình x  Bài 4: Giải phương trình: x  x  x  (1) Giải: Điều kiện: x  2 - Nếu x  x  3x  x  x ( x  4)  x  x  Vậy để giải PT(1) ta cần xét x   2; 2 Đặt x  cos t; t   0;   phương trình cho trở thành t  k 4  k 2 t   ( k  ) t t  k 4  k 2    4 t  Kết hợp với điều kiện t ta  t  4   4 4 Vậy nghiệm phương trình x  cos ; x  cos  3t  t cos 3t  cos      2 3t    Nếu x  a ta đặt: a a      ; t   0;   ; t  ;t  ;  ; t  x  cost sin t  2   Bài 1: Giải phương trình: x    1 x2    x Giải: Điều kiện x  Đặt x      ;t   ;  phương trình trở thành: sin t  2 Page 34 www.VNMATH.com Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Nguyễn Văn Rin Toán 3A cos t     (1  cot t )   cos t  cot t  cos t  cos t  1 0  sin t sin t  sin 2t    t  12  k ( k  ) Kết hợp với điều kiện t suy t    12 Vậy phương trình có nghiệm x    1    sin    12    TỔNG QUÁT: Giải phương trình x  a    a x 1   3x 2 Bài 2: Giải phương trình: x  x 9   Giải: Điều kiện x   ; t   0;   , t  phương trình trở thành: cos t 1    2   sin 2t  2sin 2t  sin 2t   t  cos t sin t x  (thỏa ĐK)   cos   4 Vậy phương trình có nghiệm x  Đặt x  TỔNG QUÁT: Giải phương trình x  ax x2  a2  b với a,b số cho trước     Đặt x  tan t , t   ,  để đưa phương trình lượng giác đơn giản  2 Bài 1: Giải phương trình: x3  3x  x   1 Giải: 3x  x3  2 không nghiệm phương trình nên 1   3x2  k     Đặt x  tan t , t   ,  Khi đó, PT(2) trở thành tan 3t   t    k     2    4   7  Vậy phương trình cho có nghiệm: x  tan   , x  tan   , x  tan   9     Do x   Page 35 www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Toán 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Bi 2: Gii phng trình: x   x  1 x 1   2x x 1  x  Giải: Điều kiện x  0; x  1      Đặt x  tan t , t   ,  , t  0, t   phương trình trở thành:  2  1 1      1  0 cos t sin 2t sin 4t cos t  2sin t 2sin t cos 2t   sin t cos 2t  cos2t    2sin t 1  2sin t   2sin t     sin t  t   k 2   sin t 1  sin t  2sin t    sin t  1   k   t    k 2    sin t   Kết hợp với điều kiện suy t     Vậy phương trình có nghiệm x  tan      Mặc định điều kiện x  a Sau tìm số nghiệm số nghiệm tối đa phương trình kết luận Bài 1: Giải phương trình: x   x 1 Giải: PT (1)  x3  x   2 Đặt x  cos t , t  0;   phương trình (2) trở thành: cos3t   2 t  k  k   Suy phương trình (2) có tập nghiệm     5   7   S  cos   ; cos   ; cos    9     Vậy phương trình cho có tập nghiệm S Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1  x  x  x   x  x   x x   x   x  x  x  x2   x2 Page 36 www.VNMATH.com Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ x x x2 Nguyễn Văn Rin Toán 3A 35 12 VI PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ Phương pháp:      ab  a  b  Dấu “=” xảy  a hướng với  b      a  b  ab  Dấu “=” xảy  a hướng với  b x2   x  ( x  1)2  2x x (1  x )     a b  a  b  Dấu“=” xảy  a ngược hướng với b     a.b  a b  Dấu “=” xảy  a hướng với  b  Bài tập minh họa: Bài 1: Giải phương trình: x  x   x  10 x  50  (*) Giải:     Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn a( x  2;1); b( x  5;5)  a  b(3; 4)  Khi a  ( x  2)2   x  x   b  ( x  5)2  25  x  10 x  50   a  b   16    a  b  x  x   x  10 x  50     Ta có a  b  a  b (1)   Do đó, (*)  (1) xảy dấu “=”  a hướng với b   x   k ( x  5)   x     a  kb (k  0)  1  5k  k  k     Vậy nghiệm phương trình x  Bài 2: Giải phương trình: x  x  816  x  10 x  267  2003 (*) Giải:     Trong mặt phẳng Oxy chọn a(4  x; 20 2); b(5  x;11 2)  a  b  (9;31 2)  Khi a  (4  x )2  800  x  x  816 Page 37 www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Toán 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ b (5  x )2  242  x  10 x  267   a  b  x  x  816  x  10 x  267   a  b  81  1922  2003     Ta có a  b  a  b (1)   Do đó, (*)  (1) xảy dấu “=”  a hướng với b 56    x  k (5  x )    x  31    a  kb (k  0)   20  11 2k   k  k  20    11 56 Vậy nghiệm phương trình x  31 Bài 3: Giải phương trình: x  18 x  36 x  x3   x Giải: 9 x  18 x  9 x  18  x   Điều kiện:      x  36 x  x 36  x  x     Trong mặt phẳng Oxy chọn a x  18 x ; 36 x  x ; b(1;1)  Khi đó, a.b  x  18 x  36 x  x   a b  18 x  x    Từ phương trình ta có  x  a.b  a b  x  ( x  3)   x    Thử lại ta x  nghiệm phương trình Bài tập áp dụng: x  x   x  12 x  13  13 x  12 x   x  12 x   29 x2  x   x  10  x  x  18  x  x  77   1 x   2x2  Page 38   1 x 1 www.VNMATH.com Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Nguyễn Văn Rin Toán 3A TI LIỆU THAM KHẢO: [1] Nguyễn Quốc Hoàn, Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải phương trình vơ tỷ [2] Nguyễn Phi Hùng – Võ Thành Văn, Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ [3] Nguyễn Đức Thắng, chun đề: Phương trình – Bất phương trình vơ tỷ [4] SGK SBT Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất giáo dục [5] Http://vnmath.com [6] Http://violet.vn Page 39 www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Toán 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ KT LUN: Trờn số phương pháp giải phương trình vơ tỷ khn khổ chương trình phổ thơng Sau đọc xong phương pháp giải tập minh họa, khơng bạn giải tập áp dụng sau phương pháp mà giải tập chứa thức khác Trong q trình làm tập lớn này, chắn khơng thể tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý bạn Xin trân trọng cảm n Hu, ngy 15 thỏng 04 nm 2012 Nguyễn Văn Rin Page 40 ... số phương pháp giải phương trình vô tỷ Nu thay cỏc biu thức A(x) , B(x) biểu thức vô tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng 2.1 Phương trình dạng : a A  x   bB  x   c A  x  B  x  Như phương. .. bỏ thức đưa phương trình đơn giản mà ta biết cách giải Sau đây, tơi xin trình bày số phương pháp cụ thể để giải phương trình vơ tỷ B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN...  2 y ta có phương trình x       x  22  x  4x   Với x  y ta có phương trình Vậy nghiệm phương trình x  2; x   2.2 Phương trình dạng :  u   v  mu  nv Phương trình cho dạng