Cẩm nang ơn luyện thi Đại học Tốn học – Nguyễn Tất Thu § HỆ ĐẲNG CẤP I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: * Biểu thức f(x;y) gọi đẳng cấp bậc k f(mx; my) = m k f(x; y) Ví dụ: f(x; y) = x − y + 3x2 y đẳng cấp bậc * f(x; y) = a Hệ:  f(x;y) g(x;y) đẳng cấp bậc k gọi hệ đẳng cấp g(x; y) = b Cách giải: * Xét x=0 thay vào hệ kiểm tra * x k f(1; t) = a f(x; tx) = a  Với x ≠ đặt y = tx thay vào hệ ta có:  ⇔ k g(x; tx) = b x g(1; t) = b  Chia hai vế hai phương trình ta được: f(1; t) = a g(1; t) , giải phương b trình ta tìm t thay vào hệ ta tìm (x;y) II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 4.4.1 Giải hệ phương trình sau:  x + 2xy + y =   2  −x + xy + 2y =   3x + 5xy − 4y = 38   2  5x − 9xy − 3y = 15  Lời giải: Ta thấy x = nghiệm hệ ⇒ x ≠  x (1 + 2t + t ) = t+1  Đặt y = tx thay vào hệ ta được:  ⇒ =1⇔ t = 2 2t −  x ( −1 + t + 2t ) =  t = ⇔ y = 2x thay vào hệ: 9x = ⇔ x = ± * Vậy nghiệm hệ là: (x; y) =  ± ; ±     3 Dễ thấy x = không nghiệm hệ Với x ≠ , đặt y = tx, t ∈ ¡  3x + 5x ( tx ) − ( tx )2 = 38  Hệ cho trở thành:  hệ viết lại: 2  5x − 9x ( tx ) − ( tx ) = 15  250 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt ( )  x + 5t − 4t = 38 ( 1) x2 + 5t − 4t = 38    hay   + 5t − 4t 38  x − 9t − 3t = 15 = (2)   − 9t − 3t 15  Quy đồng mẫu số phương trình ( ) rút gọn ta được: ( ( ) ) 54t + 417t − 145 = , giải phương trình ta nghiệm: 145 t=− t = 18 38 Với t = x2 = = tức x = −3 x = 3 + 5t − 4t 145 Với t = − tương tự trên, trường hợp không thỏa 18 Vậy hệ cho có nghiệm là: ( x; y ) = ( −3; −1) , ( 3;1) Ví dụ 4.4.2 Giải hệ phương trình sau: (x − xy + y ) x + y = 65   (x + xy + y ) x + y = 185  (x − y)2 y =   3  x − y = 19  Lời giải: Vì x = khơng nghiệm hệ nên ta đặt y = tx Khi hệ trở thành:  x (1 − t)2 t = − t3 19 t + t + 19  ⇒ = ⇔ =  3 t(1 − t) t(1 − t)2  x (1 − t ) = 19  ⇔ 21t − 17t + = ⇔ t = * * ,t = 2 ⇔ y = x thay vào hệ ta có: 3 1 t = ⇔ y = x thay vào hệ ta có: 7 19 x = 19 ⇔ x = ⇒ y = 27 342 x = 19 ⇔ x = ⇒y= 343 18 18   Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = (3; 2),  ;   18 18  t= Vì x = không nghiệm hệ nên ta đặt y = tx , ta được: t2 − t + 13 ⇔ 12t − 25t + 12 = ⇔ t = ; t = t + t + 37 3 65 2 t= ⇔ y= x⇒ x x = 65 ⇔ x = ±4 ⇒ y = ±3 4 64 4 65 2 t= ⇔ y= x⇒ x x = 65 ⇔ x = ±3 ⇒ y = ±4 3 27 Vậy hệ có bốn cặp nghiệm: ( ±3; ±4), ( ±4; ±3) * * = 251 Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Tốn học – Nguyễn Tất Thu Ví dụ 4.4.3 Giải hệ phương trình sau: 3   101  −  2y = y + 42x  17    103   + y + 42x  x = 17    x + y − xy =   4  4x + y = 4x + y  Lời giải 3 Từ hệ phương trình ⇒ (x + y − xy )(4x + y) = 4x + y Đặt x = ty (do y ≠ ) Ta có: y (t + − t)(4t + 1) = y (4t + 1) ⇒ t − 4t + 3t = ⇔ t = 0,t = 1, t = * y3 =  t=0⇒x=0⇒ ⇔ y =1 y = y  *  x3 =  t =1⇒ y = x ⇒  ⇔ x =1= y  5x = 5x  *  25y = 1  ⇔y= ⇒x= t = ⇒ x = 3y ⇒  25 25  325y = 13y  Thử lại ta thấy nghiệm hệ là: (0;1), (1;1), ( 3 ;3 ) 25 25 Điều kiện: x > 0, y > 101   − y + 42x = 17 2y ( a )  , hệ phương trình Hệ phương trình cho viết lại:  103 3 + = ( b)  y + 42x 17 x  6 = 101 + 103 ( b) + (a )  17 2y 17 x  tương đương với hệ:   10 = 103 − 101 ( b) − (a )  y + 42x 17 x 17 2y  Nhân vế theo vế phương trình ta được: 60 1032 1012 = − , y + 42x 17 x 17 2y quy đồng mẫu số rút gọn ta ( 103y ) + 84.6275xy − 42 ( 101x )2 = , ( ) phương trình phân tích thành: ( 2y − x ) 1032 y + 1012.42x = suy x = 2y 1032 y + 1012.42x > với x > 0, y > 252 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Thay x = 2y vào phương trình ( b ) ta được: + 103 = , quy y + 42 ( 2y ) 17 2y 103 y + = , phương trình   tương đương với: y −  51 y −  = tức y = y = 5202 2  1  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 4; ) ,  ;    2601 5202  đồng mẫu số rút gọn phương trình: 51y − ( ) Ví dụ 4.4.4 Tìm a để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 5x2 − 4xy + 2y ≥   2a − 7x + 4xy + 2y ≤ 2a +  (I) Lời giải: 2 −5x + 4xy − 2y ≤ −3 18  2 Hệ ⇔  18 ⇒ 16x + 16xy + 4y ≤ − 2 2a + 21x + 12xy + 6y ≤ − 2a +  18 ⇔ (4x + 2y)2 ≤ − ⇒ 2a + < ⇔ a < − 2a +  −5x + 4xy − 2y = −3  −5x + 4xy − 2y = −3   (*) ⇔  Ta xét hệ :  2 2  21x + 12xy + 6y = 7x + 4xy + 2y =   Đặt y = tx (do x ≠ ), ta có: −5t + 4t − 7t + 4t + = −3 ⇔ x = −2y 2 Thay vào hệ ta được: 7x2 = ⇔ x = ± ⇒y=m 7 Ta chứng minh với a < − hệ (I) có nghiệm Thật gọi (x0 ; y0 ) nghiệm hệ (*) ta có: ⇔ 16t + 16t + = ⇔ t = − 2 −5x0 + 4x0 y0 − 2y0 = −3   18 ⇒ (x0 ; y0 ) cặp nghiệm hệ (I) 21x0 + 12x0 y0 + 6y0 = < − 2a +  Vậy a < − giá trị cần tìm 253 Cẩm nang ơn luyện thi Đại học Tốn học – Nguyễn Tất Thu III BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 4.4.1 Giải hệ sau  3x + 5xy − 4y = 38   2  5x − 9xy − 3y = 15  (x − y)(x − y ) =   2 (x + y)(x + y ) = 15   2y(x − y ) = 3x   2  x(x + y ) = 10y  x2 + y2 =   3  3x − y = x + y  2  x − xy + y = 3(x − y)   2  x + xy + y = 7(x − y)      3x  + =2 x+y        7y  − x + y  =     x − 8x = y + 2y   2  x − = 3(y + 1)  Hướng dẫn giải Ta thấy y = không nghiệm hệ Đặt x = ty thay vào hệ ta có : 38 y2 = (1)   y (3t + 5t − 4) = 38 3t + 5t −   ⇔  2  y (5t − 9t − 3) = 15  3t + 5t − = 38 (2)   5t − 9t − 15  Ta có : (2) ⇔ 145t − 417t − 54 = ⇔ t = 3, t = − 18 145 • t = thay vào (1) ta có y = ⇔ y = ±1,x = ±3 18 21025 thay vào (1) ta có : y = − vơ nghiệm 145 2531 Vậy nghiệm hệ : (x; y) = (3;1), ( −3; −1) • t=− Từ hệ ta suy x + y ≠ nên ta có : (x − y)(x2 − y ) 2 (x + y)(x + y ) = ⇔ ( x − y ) = x2 + y ⇔ 2x2 − 5xy + 2y = ⇔ (x − 2y)(2x − y) = ⇔ x = 2y, y = 2x • x = 2y thay vào hệ ta có : y.3y = ⇔ y = ⇒ x = • y = 2x thay vào hệ ta có : − x.( −3x ) = ⇔ x = ⇒ y = Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = (1; 2), (2;1) 254 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ta thấy x = y = cặp nghiệm hệ Từ phương trình thứ hai hệ ⇒ xy ≥  2y (t − 1) = 3ty  Đặt x = ty (y ≠ 0) ⇒ t ≥ ta có:   y t(t + 1) = 10y  ⇒ 3t − 17t + 20 = ⇔ t = 2; t =  15 15 ⇒ (x; y) = ( ±2; ±1),  ± ;±  2      Điều kiện : x + y ≠ ( )  2  =1  x +y x + y = Hệ ⇔  ⇔ 3 2 (3x − y )(x + y) = (3x − y )(x + y) = (x + y ) (*)   Đặt x = ty , (*) trở thành : (3t − 1)(t + 1) = (t + 1)2 ⇔ 2t + 3t − 2t − t − = ⇔ (t − 1)(2t + 5t + 3t + 2) = ⇔ t = 1, t = −2 • t =1⇒ x = y = ±  x = −2y  • t = −2 ⇒  y = ±  Ta có : x + xy + y = 7(x − y)2 ⇔ 2x − 5xy + 2y = ⇔ x = 2y, y = 2x Từ ta tìm nghiệm hệ : (x; y) = ( 0; ) , ( 2;1) , ( −1; −2 ) ( x − y )2 − 3xy = ( x − y )   x − xy + y = ( x − y )  Cách : Ta có:  ⇔ 2 2  x + xy + y = ( x − y )  xy = ( x − y )   Đặt u = x − y, v = xy Hệ trở thành  u − 3u + v = u = u =  ⇔ ∨  v = v =  v = 2u  Từ giải nghiệm hệ (x; y) = ( 0; ) , ( 2;1) , ( −1; −2 ) Điều kiện : x, y ≥ Vì x = hay y = không nghiệm hệ nên ta có: 255 Cẩm nang ơn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu  2 1 + = + 1 =  x+y 3x 3x 7y   ⇔ Hệ ⇔  1 − =  = −2  x+y x + y 7y 3x 7y   Nhân (1) với (2) ta được: (1) (2)  1 2  2 = − − −  = x + y  3x 7y  3x 7y  3x 7y    ⇔ 21xy = (x + y)(7y − 24x) ⇔ 24x + 38xy − 7y = ⇔ (6x − y)(4x + 7y) = ⇔ y = 6x (Do x, y > ) 11 + 22 + + ⇔x= ⇒ y = 6x = 21 3x 21x Thay vào (1) ta có: = Thử lại hệ ta thấy thỏa mãn  11 + x =  21 Vậy hệ có cặp nghiệm   y = 22 +    x − y = 8x + 2y  Hệ ⇔  ⇒ 6(x − y ) = (8x + 2y)(x2 − 3y ) 2  x − 3y =  ( ) ⇔ 3x − 3y = 4x − 12xy + x y − 3y ⇔ x x + xy − 12y = ⇔ x ( x + 4y )( x − 3y ) = Từ ta tìm nghiệm hệ là:   78 78   78 78    ;− ; ;−  13   13 13    13  ( x; y ) = ( 3;1) ; ( −3; −1) ;     Bài 4.4.2 Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm : 3x2 + 3xy + y ≤  1)  3a + 5x + 7xy + 2y ≥ a+2  3x2 + 10xy − 5y ≤ −2  2)  1−a x + 2xy − 7y ≤ a+1  Hướng dẫn giải 1) * Giả sử hệ có nghiệm (x; y) hay 5x2 − 4xy + 2y ≥ 5x2 − 4xy + 2y ≥    2a − ⇔  2a − 2 7x + 4xy + 2y ≤ −21x − 12xy − 6y ≥ −3 2a + 2a +   18 ⇒ −(4x + 2y)2 ≥ suy 2a + < ⇒ a < − 2a + 256 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * Với a < − 2a − ta có: =1− >1 2a + 2a +  5x − 4xy + 2y =  Ta xét hệ phương trình :  2 7x + 4xy + 2y =  ( 1) (2) (1)( ) Có nghiệm hệ có nghiệm nghiệm (1)( ) nghiệm hệ cho   5x − 4xy + 2y = 5x2 − 4xy + 2y = x = − y    Xét hệ (1) (2):  ⇔ ⇔  2 7x + 4xy + 2y =  −(4x + 2y) = x2 =     giá trị cần tìm 2) * Giải sử hệ có nghiệm (x; y), tức là: 5x2 + 7xy + 2y ≥ 3a + 5x2 + 7xy + 2y ≥ 3a +  a+2 ⇔ a+2   3x2 + xy + y ≤ −9x2 − 3xy − 3y ≥ −3   5 ⇒ −4x + 4xy − y ≥ − ⇒ (2x − y)2 ≤ ⇒ a + > ⇒ a > −2 a+2 a+2 Kết quả: a > −2 hệ có nghiệm Vậy a < − § HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC Khi giải hệ phương trình, dù bạn có dùng cách biến đổi mục đích cuối bạn chuyển phương trình biến giải phương trình vừa thu Đó suy nghĩ tự nhiên, việc làm giảm biến quy luật khơng tốn học mà sống thường làm Tóm lại, giải hệ phương trình phải tìm cách làm giảm số ẩn hệ để thuận lợi việc giải Sau tơi xin nêu số kinh nghiệm mà tơi có q trình học tập giảng dạy 1) Rút thế: Từ phương trình rút ẩn (hoặc biểu thức) theo ẩn cịn lại (theo nhóm biểu thức khác) Nếu phương trình hệ mà có ẩn xuất dạng bậc nhất, ta rút ẩn theo ẩn cịn lại vào phương trình thứ hai hệ bạn đừng ngần ngại thấy sau thực phép thế, phương trình thu có bậc khơng nhỏ 257 Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu  2x + y(x + 1) = 4x  Ví dụ 4.5.1 Giải hệ phương trình   5x − 4x = y  Lời giải Vì phương trình thứ hệ chứa y nên ta nghĩ đến việc rút y theo x vào phương trình thứ hai hệ 2x (2 − x) (Do x = −1 khơng nghiệm hệ) thay vào phương x+1 trình thứ hai hệ ta có : Ta có: y = ( ) x − 4x = 4x (2 − x)2 (x + 1)2 x = ⇔ 2 (5 − 4x )(x + 2x + 1) = 4(4 − 4x + x )  x = x = ⇔ ⇔ 2  4x + 8x + 3x − 26x + 11 = (x − 1)(2x − 1)(2x + 7x + 11) =   x = ⇒ y = x = ⇒ y = ⇔  1 x = ⇒ y =  1 Vậy hệ cho có ba cặp nghiệm: (x; y) = (0; 0), (1;1),  ;    2 2 Bình luận: Cách giải có ưu điểm khơng cần phải “mánh khóe” mà cần biến đổi bình thường Tuy nhiên, có nhược điểm giúp giải tốn thơi, cịn đường để sáng tác tốn cách giải khơng thể làm rõ được! Để hiểu rõ nguồn gốc tốn cách mà tác giả sáng tác toán  2x + y(x + 1) = 4x  Cách giải thứ Ta viết lại hệ sau   y + 4x = 5x  Nhận thấy x = ⇒ y = , hay (x; y) = (0; 0) nghiệm hệ y   2x + x ( x + 1) =  Với x ≠ ta có hệ ⇔   y  + 4x2 =  x    Đặt a = 2x, b = 258 y x2 a + b( a + 1) =  ta có hệ:  a + b2 =  Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Đây hệ đối xứng loại Việc giải hệ khơng khó khăn Qua lời giải trên, ta thấy đường để chế tác hệ kiểu xuất phát từ hệ biết thuật giải, thay hình thức biến có mặt hệ biến đổi rút gọn ta thu hệ có hình thức hoàn toàn xa lạ với hệ ban đầu  x + y + xy =  Chẳng hạn: Từ hệ  2 x + y =  (lưu ý hệ có cặp nghiệm (1; 2) ) Ta thay x y 2x y y2 ta có hệ:  y y  +y + =5 3   2x  y(y + 2x y + 1) = 10x 2x ⇔  2 6 y  y (1 + 4x y ) = 20x   4x6 + y =   y(y + 2x y + 1) = 10x3  Vậy ta có hệ phương trình sau:  6  y (1 + 4x y ) = 20x   x − 2xy + x + y =  Ví dụ 4.5.2 Giải hệ phương trình :  2  x − 4x y + 3x + y =  (1) (2) Lời giải Nhận thấy phương trình thứ hệ phương trình bậc x nên ta rút x theo y vào phương trình thứ hai ta phương trình ẩn Từ (1), suy y = x2 + x ( x = không nghiệm hệ) thay vào (2) ta 2x − 2  x2 + x  x = x2 + x được: x − 4x + 3x2 +   2x −  = ⇔ f(x) =  2x −    Với f(x) = x (2x − 1)2 − 4(x + x)(2x − 1) + 3(2x − 1)2 + (x + 1)2 = 4x4 − 12x + 10x − 6x + Nên f(x) = ⇔ 2x − 6x + 5x − 3x + = ⇔ (x − 1)(x − 2)(2x + 1) = ⇔ x = 1,x = Vậy hệ cho có cặp nghiệm (x; y) = (0; 0), (1; 2), (2; 2) Bình luận: Cũng ví dụ 1, cách giải giải toán khơng phải đường để sáng tác tốn Điều thơi thúc 259 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt y = ⇒ x = ⇔  y = −5 ± 33 ⇒ x = −5 ± 33    −5 ± 33 −5 ± 33  Vậy nghiệm hệ là: ( x; y ) = ( 2;1) ,  ;    Điều kiện: xy ≠ x = y x−y Ta có (1) ⇔ x − y + = ⇔ (x − y)(1 + ) = ⇔  y = − xy xy  x * x = y thay vào (2), ta được: x − 2x + = ⇔ (x − 1)(x + x − 1) = ⇔ x = 1; x = * y=− −1 ± thay vào (2), ta được: x 1 x + x + = ⇔  x −  +  x +  + = vô nghiệm     2  2  Vậy hệ cho có ba cặp nghiệm: x = y = 1; x = y = −1 ± Đk: xy ≠ x  x = 2y x =  x = −2 y =  ⇔ ⇔ Hệ ⇔     y = −1 y = (xy)2 + xy − =  2y + y − =  Đk: xy >   2x   y = 2x =1    y   2x − x − =   Hệ   2x ⇔ giải hệ ta nghiệm  =2  y   x = 2y    2y + y − =    x − y + xy =  3 hệ cho: (x; y) = ( −1; −2),  ;  , (2;1),  −2; −      2 2   (x +   Hệ ⇔  (x +   x x = ) − =3 y y y  ⇔ (I) x x + = )+ =3  y y y  x y =  (II)   x + = −3  y  291 Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu x = y  ⇔ x= y =1 Giải (I):   x − 2x + =   x = 6y  Giải (II):  hệ vô nghiệm 6y + 3y + =  Vậy hệ có cặp nghiệm: (x; y) = (1;1)  x, y ≥   10 Đk:  x ≥ y  y ≥ x  x + x − y =  x2 − y = − x   ⇔ Hệ ⇒  2y − y − x =  2y − = y − x    17  x ≤ 2; y ≥ x = 12   ⇔ 4x − y = ⇔  Thử lại hệ ta thấy thỏa mãn 4x − 4y = −1  y =     17 Vậy nghiệm hệ: (x; y) =  ;     12  11 Đặt a = x + y + ,b = x − y x+y    + 3(x − y)2 = 13  (x + y) + 2   (x + y)   Hệ ⇔    (x + y + x + y ) + x − y =   5a + 3b = 23  5(a − 2) + 3b = 13  nên ta có:  ⇔ a+b=1  a + b =    a = − a =  Giải hệ ta tìm    b = −3 b =   Từ ta tìm nghiệm hệ:  −1 ± ±   11    ;  ,  ; −  ,  ; −2  2  4  2   12 Từ phương trình thứ nhất, ta có: x − y = ±1 ( x; y ) =  292 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt • y = x − thay vào phương trình thứ hai ta có: ( ) x + (x − 1)3 + = ⇔ x x + x − 3x + = ⇔ x = ⇒ y = −1 • y = x + thay vào phương trình thứ hai ta có: x + (x + 1)3 + = ⇔ (x + 1)  x − x + x − x + + (x + 1)2  = ⇔ x = −1 ⇒ y =   Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = (0; −1),( −1; 0) 85 (x − y)2 + 3(x + y)2 + =  (x + y)  13 Hệ ⇔  (x − y) + (x + y) + = 13  x+y  Đặt a = x − y; b = x + y + Ta có hệ: x+y 103  a = 11  b = 13 − a a = a + 3b =      ⇔ ⇔ 10   13 b= a + b = b = − 2a − 13a + 11 =        * x =  x − y = y =  x + y =  a =   x − y =    ⇔  x − y = ⇔   x = 10 ⇔    b=   3(x + y) − 10(x + y) + 3      x + y =    y = −   11  11  a =  x − y = ⇔ hệ vô nghiệm *  b = − 6(x + y)2 + 7(x + y) + =    Vậy nghiệm hệ cho là: (x; y) = (2;1),  ; −    3 3 ( ) 14 Ta có: xy x + y + = (x + y)2 ⇔ xy(x + y)2 − (x + y)2 − 2(x y − 1) = ( ) ⇔ (x + y)2 ( xy − 1) − ( xy − 1)( 2xy + ) = ⇔ ( xy − 1) x + y − = • xy = ⇔ y = thay vào phương trình thứ hệ ta có: x x − 2x2 + = ⇔ x = ±1 ⇒ y = ±1 • x + y = ⇒ y = − x thay vào phương trình thứ hệ ta có: 293 Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu ( ) ( ) 5x y − 4x − x + − x y − 2x − 2y = ⇔ y = Thay vào phương trình x + y = ta có: x + ( 5x − 2x3 x2 + ( x − 2x (x2 + 2)2 ) ( ) =2 ) ( Đặt t = x2 ,t ≥ ta được: t t + 4t + + t 25 − 20t + 4t = t + 4t + ) Biến đổi rút gọn ta có: 5t − 18t + 21t − = , phương trình có hai nghiệm t = 1, t = x =  • t =1⇒  5x − 2x ⇒ (x; y) ∈ {( −1; −1),(1;1)} y = x +2   x =    10 10   −2 10 − 10    • t= ⇒ ; ;  ,  ⇔ (x; y) ∈  5   5    y = 5x − 2x     x +2 Tóm lại hệ có nghiệm là:  10 10   −2 10 − 10  ; ;  ,    5   15 Đặt x = a + 1; y = b + ta có hệ: ( x; y ) = (1;1) , ( −1; −1) ,  a + b2 + 3a + 3b =   a + b + 3a + 3b = ⇔  2 (a + b)(2a − b) =  2a + ab − b =   a = b = x = y =  a = − b      a = − x = −  2a =  ⇔ ⇔    5 ⇔       b = 2a 18 13  b = − y = −  5a + 9a =        16 Đk: x − y ≥  x − y = − y −  x = − 2y − y   x − y = − 2y − y      y ⇔ y ≥ Hệ ⇔  ⇔ y ≥ y x − y =   2   y (8 − 2y − ) =  y − 4y + y + = y     294 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x = − y −  y x = − 17  x =   ⇔ y ≥ ⇔ ∪ + 17 y = y =  2  (y − 1)(y − 3y − 2)   17 Cách 1: Đặt x = a + b, y = a − b ta có hệ  4a + 4b − 6a + 6b2 + 3a + 3b + 49 = (1)   2 (2)  −6a + 10b + 15a + 35b + =  Lấy (1)x2 + (2)x6 ta có ( 8a3 − 48a2 + 96a − 64 ) + ( 8b3 + 72b2 + 216b + 216 ) = ⇔ (2a − 4)3 + (2b + 6)3 = ⇔ b = −1 − a thay vào (2) ta có: a = ⇔ a = ±2 Từ ta tìm nghiệm hệ là: (x; y) = ( −1; 5),( −1; −3) Cách Nhân phương trình thứ hai hệ với cộng hai phương trình theo vế ta có x + 3x + 3y (x + 1) − 24xy = 6xy + 30y − 78x − 76 ⇔ (x + 1)(x + 2x + 76) + 3y (x + 1) − 30y(x + 1) = ⇔ (x + 1)(x + 2x + 3y − 30y + 76) = (*) Do x + 2x + 3y − 30y + 76 = (x + 1)2 + 3(y − 5)2 ≥ khơng có đẳng thức xảy nên (*) tương đương với x = −1 Thay vào hệ ta tìm y = −3, y =   xy = 3x + − x  18 Hệ ⇔   x + x (6 + 6x − x ) + (3 + 3x − x )2 = 2x + (1)   x = (1) ⇔ x + 12x + 48x + 64x = ⇔ x(x + 4)3 = ⇔   x = −4 * * x = không thỏa mãn hệ 17 x = −4 ⇒ y = Vậy nghiệm hệ: (x; y) = ( −4; 17 ) 295 Cẩm nang ơn luyện thi Đại học Tốn học – Nguyễn Tất Thu  2  x + y + xy(x + y) + xy = −  Đặt a = x + y; b = xy 19 Hệ ⇔  2 (x + y) + xy = −   5   a + ab + b = − b = − − a   Ta có:  ⇔ a + b = − a + a( − − a ) − − a = −     4 4   a = a = − b = − − a    ⇔ ⇔  b=− b = − a + a + a =         x2 + y = a = x =    5⇔  ⇔ b = −  xy = −  y = − 25    16  1   x = a = − x + y = −    ⇔ ⇔  b = −  xy = − y = −      2 * *  24   3 Hệ có hai cặp nghiệm: (x; y) =  ; −  ,  1; −  16   2  x ≥ 20 Điều kiện:  y ≥ Ta có: xy + x + y = x − 2y ⇔ y(x + y) + x + y = (x − y)(x + y) ⇔ (x + y)(2y − x + 1) = ⇔ x = 2y + (do điều kiện ) Thay vào hệ ta có: (2y + 1) 2y − y 2y = 2y + ⇔ 2y(y + 1) − 2(y + 1) = ⇔ y = ⇒ x = Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = (5; 2) 21 Ta thấy x = không thỏa mãn hệ phương trình Ta xét x ≠ , đó:  x y − x + xy = −1  x y − x + xy = −1   Hệ ⇔  ⇔ 2  x − x + x y + xy =  x − x + xy + y =   296 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  x2 − y=   x −1 x(x + 1)  xy =  ⇔ ⇔ x +1 x2 − x2 −  x(x − 1) + y(xy + 1) =  x(x − 1) + ( + 1) =   x(x + 1) x +   x2 − y = x(x2 + 1)  x = ±1  x − = ⇔ ⇔ ⇔ 2x   y = (x2 − 1)  x + y =  =0   (x2 + 1)2     Vậy nghiệm hệ: (x; y) = ( ±1; 0) 22 Cách 1: Đặt t = y − x ⇔ y = x + t ta có hệ: 8x + t = (3 − t)2   3t − 8t = 3(3 − t)2 − 8(2 + t)2  7x + y = − t   ⇔ 3x + t = (2 + t)2 ⇒    −2 ≤ t ≤  2x + y = + t −2 ≤ t ≤      (t + 2)2 − t x= = 10 − 77   t + 9t + = −9 + 77   ⇔ ⇔t= ⇒  −2 ≤ t ≤  y = t + x = 11 − 77    nghiệm hệ cho u + v = * Cách 2: Đặt u = 7x + y , v = 2x + y Hệ trở thành:  v = + y − x Mặt khác u − v = 5x ⇒ (u − v)(u + v) = 5x ⇒ u − v = x ⇒v= 5−x 5−x 1+ x (Do u + v = ) ⇒ =2+y−x⇒y= 2 Thay vào hệ ta có được: 2x + 1+ x − x = 2 x ≤ x ≤ 11 − 77   ⇔ ⇔ ⇔ x = 10 − 77 ⇒ y = 2 10x + = (5 − x) x − 20x + 23 =   Thay vào hệ ta thấy thỏa mãn  x = 10 − 77  Vậy hệ cho có nghiệm  11 − 77 y =  297 Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu  x + y − xy =  23 Hệ cho tương đương với:  12(y − 2) − xy + 15 = 2x y (2y + 3) −      x + y − xy =  ⇔ 3 3 12y − 48y + 63 = 8x y + 24x y + 6x y  Trừ hai phương trình hệ ta có được: ( ) x 8y + 24y + 6y + = −(y − 12y + 48y − 64) ⇔ x (2y + 1)3 = −(y − 4)3 ⇔ x(2y + 1) = − y + ⇔ x + y + 2xy =  x + y − xy =  Kết hợp với hệ ta có:   x + y + 2xy =  4−S  S − 3SP − P = P =  Đặt S = x + y,P = xy ta có:  ⇔ S + 2P = 2S + 3S − 11S − =   S = ⇒ P = ⇔ S = −5 ± 13 ⇒ P = 13 m 13   S = •  ⇒x=y=1 P =  −5 + 13 S =  vô nghiệm S < 4P  P = 13 − 13   •  −5 − 13 S =  •  ⇒ x, y nghiệm phương trình : P = 13 + 13   4t + 2(5 + 13)t + 13 + 13 = ⇔ t = −5 − 13 ± 13 − 14 Vậy nghiệm hệ cho là:  −5 − 13 ± 13 − 14 −5 − 13 m 13 − 14   (x; y) = (1;1),  ;   4   298 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 4x + y = + 2t + t   4x + y = + t   24 Đặt t = x + y , ta có:  ⇔ 2x + y = − 2t + t ⇒ 2x = 4t  2x + y = − t −1 ≤ t ≤    ⇔ 2x = 4(x + y) ⇔ x = −2y Thay vào hệ ta có: y + 5y + = ⇔ y = −5 ± 21  x = − 21  So với điều kiện ta có nghiệm hệ là:  −5 + 21 y =  a n + b n a m + bm a m + n + b m + n ≤ (1) với m, n 2 số nguyên dương a,b số thực thỏa mãn: a + b ≥ 25 Trước hết ta có BĐT sau: Thật vậy: Khơng tính tổng qt ta giả sử a ≥ b (1) ⇔ (a m − b m )(a n − b n ) ≥ (2) a n ≥ b n  ⇒ (2) * Nếu b ≥ ⇒  m m a ≥ b  n n  n a ≥ b a ≥|b| ≥ b * Nếu b <  ⇒ a ≥|b|⇒  ⇒ (2) m m m a ≥ − b a ≥|b| ≥ b  Vậy (1) chứng minh Vì a + b ≥ ⇒ a + b > a7 + b7 > Áp dụng (1) ta có: x + y x + y x7 + y7 x + y x7 + y7 x12 + y12 ≤ ≤ 2 2 2 x+y ⇒ x12 + y12 ≥ (x + y )(x7 + y7 ) ≥ (x + y )(x7 + y7 ) x = y Đẳng thức có ⇔  ⇔x=y=2 x + y = Vậy nghiệm hệ: x = y = 26 Điều kiện: x, y,z ≥ Ta có: x + z = xy − 2y + yz ⇔ x − xy + y + z − yz + y = ⇔ ( x − y)2 + ( y − z)2 = ⇔ x = y = z  x = y = z = −1 Thay vào hệ ta có:  nghiệm hệ cho x = y = z = 299 Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu 27 Điều kiện: ≤ x ≤ 32 Cộng hai phương trình hệ lại ta được: x + 32 − x + x + 32 − x = y − 6y + 21 = (y − 3)2 + 12 (1) Gọi A, B VT VP (1) Ta có: B ≥ 12 (2) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:    ⇒ A ≤ 12 (3) x + 32 − x ≤ 2( x + 32 − x) ≤   x + 32 − x ≤ 2(x + 32 − x) =  x = 32 − x x = 16  ⇔ Từ (2) (3) ⇒ (1) ⇔  nghiệm hệ y = y =  28 Phương trình thứ hệ ⇔ 12y + x − 12y + = x + 17 ⇔ (x − 12y + 1) − x − 12y + + 16 = ⇔ x − 12y + = 16 ⇔y= 3x x − 15 thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 12 2(x − 15) ⇔ + 2x = 4x x2 − 15 + x x − 15 − 24 36x2 x2 − 12 (x2 + 16x − 15) + x2 + 16x − 15 = x2 − 15 x − 15  x + 16x − 15 ≥ x + 16x − 15 ≥   ⇔ ⇔ x2 x2 = x + 16x − 15 = x + 16x − 15 6 36  x − 15 x − 15   x + 16x − 15 ≥ x =  ⇔ ⇔ 2  x = −9 − (x + 2x − 15)(x + 18x − 15) =  1  81 + 36   Vậy nghiệm hệ là: (x; y) =  3; −  ,  −9 − 6;  2     x3 − y + 3y − 3x − = (1)  29  2 x + − x − 2y − y + = (2)   −1 ≤ x ≤ Điều kiện:  0 ≤ y ≤ Ta có: (1) ⇔ x − 3x = (y − 1)3 − 3(y − 1) ⇔ f(x) = f(y − 1) (3) Vì y ∈ [ 0; ] ⇒ y − ∈ [ −1;1] 300 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Xét hàm số f(t) = t − 3t, t ∈ [ −1;1] ta có: ( ) f '(t) = t − ≤ 0, ∀x ∈ [ −1;1] nên từ (3) ta có x = y − Thay vào hệ ta có: x2 − − x2 + = ⇔ x = 0, y = Vậy nghiệm hệ là: ( x; y ) = ( 0;1) 10  (1) x + xy = y + y 30   4x + + y + = (2)  Điều kiện: x ≥ − Ta thấy y = không nghiệm hệ nên y ≠ Khi x x x (1) ⇔   + = y + y ⇔ = y (do hàm số f(t) = t + t đồng biến ¡ ) y y y  ⇔ x = y thay vào (2) ta được: 4x + + x + = ⇔ x = ⇒ y = ±1 Vậy nghiệm hệ là: ( x; y ) = ( 1; ±1)  x, y ≥ 31 Điều kiện:  x + y ≠ Ta thấy x = (y = 0) không nghiệm hệ nên hệ cho tương đương với 1  + 4  1 − 4  Suy x+ y  x+ y =4 − 2 x+y x+y x 4y  ⇔ x+ y 1 = + = 2 x y 4y x+y  = x+ y x+y x    =4 − = −  +  x y  x y   x y    ⇔ x x − 2x y + 2y x − 4y y = Đặt t = x ta có: y t − 2t + 2t − = ⇔ t = ⇔ x = 4y  +1 x =  Từ ta tìm   +1 y = 16  32 Từ phương trình thứ nhất, suy x − y ≠ ( ) ( ) 301 Cẩm nang ơn luyện thi Đại học Tốn học – Nguyễn Tất Thu Phương trình thứ hai hệ tương đương với ( ) ( ) x x − y + xy x − y − 9(x − y) = x + y = ±  y = −x ±   ⇔ x2 (x + y) + xy(x + y) − = ⇔ x(x + y)2 = ⇔  x ⇔ x x > x >   Do y − x3 > ⇒ y > x > ⇒ y = −x − loại x Với y = − x thay vào phương trình thứ hệ ta có x    x  − x  − x  = Đặt t = x ta   x       t  − t  − t  = ⇔ f(t) = 2t − 9t + 27t + 7t − 27 = (*)   t    Ta có: f '(t) = 18t − 54t + 81t + ≥ 18t 81t − 54t + > f(1) = Nên (*) có nghiệm t = ⇒ x = ⇒ y = Vậy (x; y) = (1; 2) nghiệm hệ  x10 + x y (x + y ) =  33  y6 y y10 + + =   x x x Từ phương trình thứ hai hệ ta suy x >  x10 + x y + x y =  Hệ ⇔  10 y x + y x + y x =  ( ) ( ) Suy x10 + x2 y = y10 x + xy ⇔ x x − y10 + xy x − y = ( ) ( ) ⇔ x − y  x x + x y + x2 y + xy + y + xy  =   ⇔ x = y thay vào hệ ta có: y 20 + 2y = Đặt t = y , t ≥ ta có: t + 2t − = ⇔ (t − 1)(t + t + t + 3t + 3) = ⇔ t = Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = ( 1; ±1)   x − y = 240 34  3 2  x − 2y = 3(x − 4y ) − 4(x − 8y)  302 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  x − y = 240  Hệ ⇔  3 8x − 24x + 32x = 16y − 96y + 256y  Suy x − 8x + 24x − 32x + 16 = y − 16y + 96y − 256y + 256 x − = y − x = y − ⇔ ( x − )4 = ( y − ) ⇔  ⇔ x − = −y + x = − y • x = y − thay vào hệ ta có: ( y − )4 − y4 = 240 ⇔ 8y3 − 24y2 + 32y + 224 = ⇔ y = −2 • x = − y thay vào hệ ta có: ( y − ) − y = 240 ⇔ y = Vậy nghiệm hệ là: ( x; y ) = ( −4; −2 ) , ( 4; ) 35 Vì: + 2x y − x y = − (1 − x y)2 ≤ + + (x − y)2 ≥ Nên từ hệ ⇒ y + 2x − x2 ≤ − x6 − x2 + 2x + 2x y ⇔ x6 − 2x y + y ≤ ⇔ (x − y )2 ≤ ⇔ x = y 1 − x y =   Do hệ ⇔  x − y = ⇔ x = y = nghiệm hệ  x = y   x + 3y =  36   x + 2y =  ( ( x3 + = − y  Hệ ⇔  x2 − = − y3  ) ) Nếu y = ⇒ x = −1 cặp nghiệm hệ Nếu y ≠ ta có x ≠ ±1 , ta có: x3 + x2 − = ( ) ⇔ x2 − x + = + y x−1 + y + y2 (1 − y3 ) − y2 (*) x2 − x + 1 =x+ = x −1+ +1 x−1 x −1 x−1 f(x) ≥ Do x − + ≥2⇒ (1) x −1 f(x) ≤ −1 y +1 Tương tự: − ≤ ≤ (2) y + y +1 Xét hàm số f ( x ) = 303 Cẩm nang ơn luyện thi Đại học Tốn học – Nguyễn Tất Thu Từ (1) (2) ta suy (*) vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( −1;1) 37 Điều kiện xác định: x ≤ 2, y ≥  2x + − x + y − − 34 = 2xy + x  Ta có:   2y + − x + y − − 34 = −xy + 2y  Trừ vế hai phương trình ta được:  x − 2y = 2x − 2y = 3xy + x − 2y ⇔   2x + y = Nếu x = 2y ≥ x = 2y ≥ nên x = 2, y = , không thỏa mãn hệ Nếu 2x + y = thay vào phương trình đầu ta được: 6x − 3x − 34 + − x + −2x = x+2 2(x + 2) ⇔ 3(x + 2)(2x − 5) − − = ⇔ x = −2 2−x +2 −2x + 1 Vì 3(2x − 5) − − < x < 2−x +2 −2x + Với x = −2 y =  x + x y + x y = 2x +  38   x + 2xy = 6x +  (1) (2) x4 + x y + x y = 9(x + 1)2 Trừ vế với vế phương trình (1) cho phương trình : Bình phương vế phương trình (2) 3x = −9x − 16x 3x + 9x + 16 = (*) Phương trình có nghiệm hàm số VT đồng biến Đặt x = 2t − x3 = 8(t − ) − 12x , ta có: t t 6(t − ) − 9x + 9x + 16 = ⇔ 3t − + = t t Do t = −3 t = Suy x = − 3 nghiệm pt (*) Vì x = khơng thoả mãn hệ phương trình ban đầu nên 304 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Thế vào pt(2) y = 6x + − x x 33 =3− + =3− + 3 + 2x x − 23 305 ... có: 29 3 Cẩm nang ơn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu ( ) ( ) 5x y − 4x − x + − x y − 2x − 2y = ⇔ y = Thay vào phương trình x + y = ta có: x + ( 5x − 2x3 x2 + ( x − 2x (x2 + 2) 2 ) (... nghiệm hệ nên từ (1) ⇒ y2 = − x + 49 (*) vào phương trình (2) ta được: 3x 26 1 Cẩm nang ơn luyện thi Đại học Tốn học – Nguyễn Tất Thu x3 + 49 = 8y − 17 ⇔ 24 y(x + x) = 2x + 51x − 49 3x  x = −1 2 ⇔ 24 xy(x... + 4uv + 3v2 + u(2a + 4b − 18) + v(6b + 4a − 22 ) + 4ab + a2 + 3b2 − 18a − 22 b + 31 =   2 2 2u + 4v + 2uv + u(4a + 2b + 6) + v(2a + 8b − 46) + 2a + 4b + 2ab + 6a − 16b + 175 =  Để hệ số u, v