SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 12 Ngày thi: 01/4/2012 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) Câu 1: (5,0 ñiểm) Cho hàm số 3 2 1 ( 1) (4 3) 3 3 y x m x m x m = + + + + + − (1) ( m là tham số). 1. Tìm m ñể hàm số (1) ñồng biến trên [ ] 1;2 − . 2. Tìm m ñể hàm số (1) ñạt cực trị tại các ñiểm 1 2 , x x sao cho 1 2 2 1 . x x m + = − Câu 2: (4,0 ñiểm) 1. Giải phương trình: 2 2 1 tan 1 4sin .cos . 6 1 tan x x x x π +   + + =   −   2. Tìm tham số m ñể phương trình sau có nghiệm thực: 2 3 1 3 2 2 1. x x x x m + + − − − − = − Câu 3: (4,0 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình: ( ) 2 3 2 1 .2 2. 1 log ( 1) 1 y x x x y x  − + − =   +  + + =  ( , ). x y ∈ ℝ 2. Tính tích phân: 1 ln( ) . 7 2 ln e ex I dx x x = − ∫ Câu 4: (6,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng toạ ñộ Ox y , cho tam giác ABC có ñỉnh (1; 2). C − Tìm toạ ñộ của các ñỉnh A và , B biết ñường cao ñi qua ñỉnh , B ñường phân giác trong ñi qua ñỉnh A của tam giác ABC lần lượt có phương trình là 2 0 x y − − = và 2 4 0 x y + + = . 2. Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz , cho tứ diện ABCD có toạ ñộ các ñỉnh lần lượt là ( 1;2;0), A − (2;1;1), B (0; 3;4), C − (3;0;3) D và cho mặt phẳng ( ) α : 2 5 0 x y z − − − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB MC MD + + +     , biết M là một ñiểm thay ñổi trong mặt phẳng ( ) α . 3. Cho tứ diện ABCD có một cạnh lớn hơn a và có các cạnh còn lại ñều không lớn hơn a. Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: 3 . 8 a V ≤ Câu 5: (1,0 ñiểm) Cho ba số thực dương , a b và c . Chứng minh rằng: 2 . a b b c c a a b c c a b b c c a a b   + + + + + ≥ + +     + + +   HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và chữ ký) Giám thị 2 (Họ tên và chữ ký) ĐỀ CHÍNH THỨC http://toanhocmuonmau.violet.vn/ Trang 1/5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011-2012 NGÀY THI 01/4/2012 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 Bản hướng dẫn chấm có 05 trang Câu 1 Hướng dẫn giải (5 ñiểm) TXĐ: D = ℝ 2 ' 2( 1) 4 3 y x m x m = + + + + Để y ñồng biến trên [ ] 1;2 − thì [ ] ' 0, 1;2 y x≥ ∀ ∈ − 0.5 Với [ ] 1;2 x∀ ∈ − ta có 2 0 x + > , nên ta có thể ñưa ñược ñiều kiện trên về dạng [ ] 3 2 , 1;2 2 m x x x ≥ − − ∀ ∈ − + 0.5 [ ] 1;2 3 2 max ( ), ( ) 2 x m g x g x x x ∈ − ⇔ ≥ = − − + 0.5 Tìm ñược [ ] 1;2 max ( ) 2 2 3 khi 2 3 x g x x ∈ − = − = − + 0.5 1. (2.5 ñ i ể m) Khẳng ñịnh ñược 1 3 m ≥ − KL 0.5 2 ' 2( 1) 4 3 y x m x m = + + + + Để y có cực trị thì y’ phải có hai nghiệm phân biệt và y’ ñổi dấu khi x ñi qua hai nghiệm ñó. Suy ra ' 0 ∆ > 0.5 Tìm ñược ñiều kiện ñể hàm số có cực trị là ( ;1 3) (1 3; ) m ∈ −∞ − ∪ + + ∞ 0.5 Với ( ;1 3) (1 3; ) m ∈ −∞ − ∪ + + ∞ , áp dụng ñịnh lý Vi-ét và kết hợp với 1 2 2 1 . x x m + = − Tìm ñược 1 2 3 5, 3. x m x m = − − = + 0.5 Tìm ñược 3 3 m = − ± . 0.5 2 (2.5ñiểm) Kiểm tra ñiều kiện và kết luận 3 3 m = − ± . 0.5 Câu 2 (4 ñiểm) Điều kiện ñể phương trình có nghĩa là: 2 cos 0 cos 0 hay (*) cos2 0 1 tan 0 x x x x ≠ ≠     ≠ − ≠   0.5 Biến ñổi ñược phương trình ñã cho trở thành ( ) 2 1 1 2sin 3 cos sin cos2 1 1 2sin 3sin 2 cos2 1 cos2 3sin 2 cos2 x x x x x x x x x x + − = ⇒ − + = ⇒ + = 0.5 1. (2ñiểm) Với ñiều kiện (*) ta có 0.5 HDC ĐỀ CHÍNH THỨC http://toanhocmuonmau.violet.vn/ Trang 2/5 2 2 1 1 3 tan 2 cos 2 1 3 tan 2 1 tan 2 tan 2 0 tan 2 3 x x x x x x ⇒ + = ⇒ + = + =  ⇒  =  Vì cos 0 x ≠ nên ta có sinx 0 ( ) tan 2 3 6 2 x k k x k x π π π =  =   ⇔ ∈   = + =   ℤ (thoả mãn) Kết luận ( ) 6 2 x k k x k π π π =   ∈  = +  ℤ 0.5 Điều kiện ñể phương trình ñã cho có nghĩa là: [ ] 3; 1 x∈ − Đặt 3 1 t x x = + + − 0.5 Tìm ñược ñiều kiện của biến t là 2;2 2 t   ∈   0.5 Biến ñổi phương trình ñã cho trở thành 2 4 2 6 (2*) m t t= − + + Bài toán trở thành tìm m ñể phương trình (2*) có nghiệm 2;2 2 t   ∈   0.5 2. (2ñiểm) Tìm ñược giá trị 1 3 2; 2 2 m   ∈ − +     thoả mãn bài toán. 0.5 Câu 3 (4 ñiểm) ( ) 2 3 2 1 2 2 (2) 1 log ( 1) 1 (3) y x x x y x  − + − =   +  + + =  Điều kiện có nghĩa của hệ phương trình là 1 3 x y − < ≤   ∈  ℝ 0.5 Từ (3) ta có 2 1 log ( 1) y x = − + , thế vào (2) ñược ( ) 2 1 log ( 1) 3 2 1 2 2 1 x x x x − + − + − = + 0.5 Biến ñổi phương trình về dạng 2 3 1 x x + = − + Giải phương trình, tìm ñược x=2, thoả mãn ñiều kiện 0.5 1. (2ñiểm) Tìm ñược 2 1 log 3 y = − Kết luận 0.5 2. (2ñiểm) 1 1 ln 7 2 ln e x I dx x x + = − ∫ 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn/ Trang 3/5 1 1 (7 2 ln )' 2 7 2 ln e x x dx x x − = − − ∫ 1 1 (7 2 ln ) 2 7 2 ln e d x x x x − = − − ∫ 0.5 1 1 ln 7 2 ln 2 e x x = − − 0.5 1 1 1 7 2 ln 7 2 ln ln 7 2ln1 ln 2 2 2 7 e e e − = − − + − = − Kết luận 0.5 Câu 4 (6 ñiểm) Lập ñược phương trình ñường thẳng AC là x+y+1=0 0.5 Chỉ ra A là giao ñiểm của AC và ñường phân giác ñi qua ñỉnh A của tam giác ABC, tìm ñược toạ ñộ A(-3; 2). 0.5 Tìm ñược toạ ñộ ñiểm 11 18 '( ; ) 5 5 C − − ñối xứng với ñiểm C qua ñường phân giác ñi qua ñỉnh A của tam giác ABC. 0.5 1. (2ñiểm) Lập phương trình ñường thẳng AC’ là 4 3 5 28 2 5 x t y t  = − +     = −   Chỉ ra ñỉnh B là giao ñiểm của ñường thẳng AC’ và ñường cao ñi qua ñỉnh B của tam giác ABC, tìm ñược toạ ñộ ñỉnh 17 33 ( ; ) 8 8 B − − . 0.5 Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD và tìm ñược toạ ñộ G(1; 0; 2). 0.5 Lý luận chỉ ra ñược ñể 4 4 MA MB MC MD MG MG + + + = =      ñạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng ( ) α . 0.5 Lập ñược phương trình ñường ( ) ∆ thẳng ñi qua G và vuông góc với mặt phẳng ( ) α là 1 2 2 x t y t z t = +   = −   = −  . 0.5 2. (2ñiểm) Chỉ ra M là giao ñiểm của ( ) ∆ và ( ) α , tìm ñược toạ ñộ ñiểm M(2; -2; 1). Tìm ñược giá trị nhỏ nhất của biểu thức ñã cho là 4 6 khi M(2; -2; 1). 0.5 A B C D H E K M 3. (2ñiểm) Không giảm tính tổng quát, ta giả sử AB>a, khi ñó { } ax , , , , a m AC AD BC BD CD ≥ 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn/ Trang 4/5 + Vẽ các ñường cao BK, AE, AH lần lượt của các tam giác BCD, ACD và của tứ diện ABCD. + Ta có 1 . . 6 V AH BK CD = + Đặt CD=x và gọi M là trung ñiểm của CD, trong tam giác BCD có 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 BC BD CD a x BM + − − = ≤ 2 2 1 4 (1) 2 BK BM a x ⇒ ≤ ≤ − 0.5 Tương tự, trong tam giác ACD ta cũng có: 2 2 1 4 2 AE a x ≤ − mà 2 2 1 4 (2) 2 AH AE AH a x≤ ⇒ ≤ − Từ (1) và (2) ta có ( ) 2 2 1 4 (3) 24 V a x x≤ − 0.5 Xét hàm số 2 3 4 y a x x = − trên ( ] 0; a . Có 2 2 ' 4 3 y a x = − . Dễ dàng thấy ' 0 y > với mọi ( ] 0; x a ∈ . Suy ra ( ] 3 0; ax 3 x a m y a ∈ = xảy ra khi x=a. Vậy 3 . 8 a V ≤ 0.5 Câu 5 (1 ñiểm) + Chứng minh ñược bất ñẳng thức 2( ), x y x y + ≤ + (4) với x, y là các số thực không âm. + Theo (4), ta có: 1 2 a b a b a b c c c c c   + = + ≥ +       Tương tự ta có 1 2 b c b c a a a   + ≥ +       , 1 2 c a c a b b b   + ≥ +       0.25 Do ñó, ta có a b b c c a c a b + + + + + 1 1 1 2 2 2 a b b c c a c c a a b b       ≥ + + + + +                   1 1 1 1 1 1 1 2 a b c b c c a a b         = + + + + +                 0.25 (1ñiểm) + Chứng minh ñược bất ñẳng thức 1 1 4 x y x y + ≥ + , (5) với x, y là các số thực dương. + Theo (5), ta có 0.25 http://toanhocmuonmau.violet.vn/ Trang 5/5 1 1 1 1 1 1 1 2 a b c b c c a a b         + + + + +                 1 4 4 4 2 a b c b c c a a b         ≥ + +         + + +         Theo (4), ta có 1 4 4 4 2 a b c b c c a a b         + +         + + +         1 4 4 4 2 2( ) 2( ) 2( ) a b c b c c a a b         ≥ + +               + + +           2 a b c b c c a a b   = + +     + + +   (Điều phải chứng minh). 0.25 Điểm toàn bài (20ñiểm) Lưu ý khi chấm bài: - Trên ñây là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh yêu cầu phải chặt chẽ, hợp logic. - Nếu thí sinh trình bày theo cách khác mà ñúng thì cho ñiểm tương ứng theo thang ñiểm của phần ñó. http://toanhocmuonmau.violet.vn/ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 12 Ngày thi: 01/4/2012 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) Câu 1: (5,0 ñiểm) Cho hàm số 4 2 2( 2) 2 3 y x m x m = − + + − − (1) ( m là tham số). 1. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 ñiểm có hoành ñộ lập thành cấp số cộng. 2. Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại, không có cực tiểu. Câu 2: (4,0 ñiểm) 1. Tìm x ñể phương trình sau luôn ñúng với mọi số thực a: 2 2 2 2 2 log ( 5 3 5 ) log (5 1) a a x ax x x + − + + − = − − 2. Giải và biện luận hệ phương trình sau: 2 2 2 2 2 x y x y m x y x y m  + − − =   + − − =   Câu 3: (4,0 ñiểm) 1. Giải bất phương trình: 2 1 3 2( 3) 2 2 x x x x − + − ≥ − + − 2. Cho f(x) liên tục trên [ ] 0;1 . Chứng minh rằng: 0 0 xf(sinx)dx f(sinx)dx 2 π π π = ∫ ∫ . Câu 4: (6,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) 2 y 64x = và (d) 4x 3y 46 0 − + = . Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc ñường thẳng (d), tiếp xúc với (P) và có bán kính nhỏ nhất. 2. Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt ñáy, SA=AB=a. a. Tính diện tích tam giác SBD theo a. b. Chứng minh rằng: BD vuông góc với SC. c. Tính góc giữa SC và (SBD). Câu 5: (1,0 ñiểm) Cho ba số thực dương , , a b c và thoả mãn a b c 1 + + ≥ . Chứng minh rằng: 5 5 5 4 4 4 1 a b c b c a + + ≥ H Ế T Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm H ọ và tên thí sinh: S ố báo danh: Giám th ị 1 (Họ tên và chữ ký) Giám th ị 2 (Họ tên và chữ ký) ĐỀ DỰ BỊ http://toanhocmuonmau.violet.vn/ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 12 - CHUYÊN Ngày thi: 01/4/2012 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao ñề) Câu 1: (5,0 ñiểm) Cho hàm số 3 2 1 ( 1) (4 3) 3 3 y x m x m x m = + + + + + − (1) ( m là tham số). 1. Tìm m ñể hàm số (1) ñồng biến trên [ ] 1;2 − . 2. Tìm m ñể hàm số (1) ñạt cực trị tại các ñiểm 1 2 , x x sao cho 1 2 2 1 . x x m + = − Câu 2: (4,0 ñiểm) 1. Giải phương trình: 2 2 1 tan 1 4sin .cos . 6 1 tan x x x x π +   + + =   −   2. Tìm tham số m ñể phương trình sau có nghiệm thực: ( ) ( 1) 3 2 19 ( 1) 5 4 . x x x m x x + + + + = − − + − Câu 3: (4,0 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình: ( ) 2 3 2 1 .2 2. 1 log ( 1) 1 y x x x y x  − + − =   +  + + =  ( , ). x y ∈ ℝ 2. Cho hàm số f(x) thoả mãn: ( ) ( ) ( 1) 2 1, ,f xy f x y f x y xy x x y + − + + + = + + ∀ ∈ ℝ và ( ) ( ) 2012 ( ) . 2012 2012 f x f x P x = + Tính 1 2011 2012 2012 A P P     = +         . Câu 4: (6,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng toạ ñộ Ox y , cho tam giác ABC có ñỉnh (1; 2). C − Tìm toạ ñộ của các ñỉnh A và , B biết ñường cao ñi qua ñỉnh , B ñường phân giác trong ñi qua ñỉnh A của tam giác ABC lần lượt có phương trình là 2 0 x y − − = và 2 4 0 x y + + = . 2. Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz , cho tứ diện ABCD có toạ ñộ các ñỉnh lần lượt là ( 1;2;0), A − (2;1;1), B (0; 3;4), C − (3;0;3) D và cho mặt phẳng ( ) α : 2 5 0 x y z − − − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB MC MD + + +     , biết M là một ñiểm thay ñổi trong mặt phẳng ( ) α . 3. Cho tứ diện ABCD có một cạnh lớn hơn a và có các cạnh còn lại ñều không lớn hơn a. Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: 3 . 8 a V ≤ Câu 5: (1,0 ñiểm) Cho 0; 1,2, ,2012 i x i≥ = và thoả mãn hệ 2012 1 2 2 2 2 1 2 2012 3 1. x x x x x x + + + =    + + + =   Chứng minh rằng tồn tại 3 số trong các số 0; 1,2, ,2012 i x i≥ = mà tổng của chúng không nhỏ hơn 1. H Ế T Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm H ọ và tên thí sinh: S ố báo danh: Giám th ị 1 (H ọ tên và ch ữ ký) Giám th ị 2 (H ọ tên và ch ữ ký) ĐỀ CHÍNH THỨC http://toanhocmuonmau.violet.vn/ Trang 1/5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011-2012 NGÀY THI 01/4/2012 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 - CHUYÊN Bản hướng dẫn chấm có 05 trang Câu 1 Hướng dẫn giải (5ñiểm) TXĐ: D = ℝ 2 ' 2( 1) 4 3 y x m x m = + + + + Để y ñồng biến trên [ ] 1;2 − thì [ ] ' 0, 1;2 y x≥ ∀ ∈ − 0.5 Với [ ] 1;2 x∀ ∈ − , ta có 2 0 x + > , nên ta có thể ñưa ñiều kiện trên về dạng [ ] 3 2 , 1;2 2 m x x x ≥ − − ∀ ∈ − + 0.5 [ ] 1;2 3 2 max ( ), ( ) 2 x m g x g x x x ∈ − ⇔ ≥ = − − + 0.5 Tìm ñược [ ] 1;2 max ( ) 2 2 3 khi 2 3 x g x x ∈ − = − = − + 0.5 1. (2.5ñiểm) Khẳng ñịnh ñược 1 3 m ≥ − KL 0.5 2 ' 2( 1) 4 3 y x m x m = + + + + Để y có cực trị thì y’ phải có hai nghiệm phân biệt và y’ ñổi dấu khi x ñi qua hai nghiệm ñó. Suy ra ' 0 ∆ > 0.5 Tìm ñược ñiều kiện ñể hàm số có cực trị là ( ;1 3) (1 3; ) m ∈ −∞ − ∪ + + ∞ 0.5 Với ( ;1 3) (1 3; ) m ∈ −∞ − ∪ + + ∞ , áp dụng ñịnh lý Viét và kết hợp với 1 2 2 1 . x x m + = − Tìm ñược 1 2 3 5, 3. x m x m = − − = + 0.5 Tìm ñược 3 3 m = − ± 0.5 2. (2.5ñiểm) Kiểm tra ñiều kiện và kết luận 3 3 m = − ± 0.5 Câu 2 (4ñiểm) Điều kiện ñể phương trình có nghĩa 2 cosx 0 cosx 0 hay (*) cos2x 0 1 tan x 0 ≠ ≠     ≠ − ≠   0.5 Biến ñổi phương trình ñã cho trở thành ( ) 2 1 1 2sin 3 cos sin cos2 1 1 2sin 3sin 2 cos2 1 cos2 3sin 2 cos2 x x x x x x x x x x + − = ⇒ − + = ⇒ + = 0.5 1. (2ñiểm) Với ñiều kiện (*) ta có 0.5 HDC ĐỀ CHÍNH THỨC http://toanhocmuonmau.violet.vn/ Trang 2/5 2 2 1 1 3 tan 2 cos 2 1 3 tan 2 1 tan 2 tan 2 0 tan 2 3 x x x x x x ⇒ + = ⇒ + = + =  ⇒  =  Vì cos 0 x ≠ nên ta có sinx 0 ( ) tan 2 3 6 2 x k k x k x π π π =  =   ⇔ ∈   = + =   ℤ (thoả mãn) Kết luận 0.5 ( ) ( 1) 3 2 19 ( 1) 5 4 . x x x m x x + + + + = − − + − Điều kiện ñể phương trình có nghĩa là: [ ] 3;4 (2*) x∈ − 0.5 Biến ñổi phương trình ñã cho trở thành ( ) ( 1) 3 2 19 5 4 ( 1) x x x x x m   + + + + − − − = −   0.5 Đặt ( ) ( 1) 3 2 19, ( ) 5 4 , f x x x x g x x x = + + + + = − − − ( ) ( ). ( ) h x f x g x = Chứng minh ñược f(x), g(x), f’(x), g’(x) dương với mọi x thoả mãn (2*) Suy ra h’(x)= f(x).g’(x)+f’(x), g(x) dương với mọi x thoả mãn (2*) 0.5 2. (2ñiểm) Suy ra h(x) ñồng biến trên [ ] 3;4 − Do ñó ñể phương trình ñã cho có nghiệm thì ( 3) 1 (4) h m h − ≤ − ≤ hay 1 2 26 91 1 3 3 5 7 m+ − ≤ ≤ + + 0.5 Câu 3 (4ñiểm) ( ) 2 3 2 1 2 2 (2) 1 log ( 1) 1 (3) y x x x y x  − + − =   +  + + =  Điều kiện có nghĩa của hệ phương trình là 1 3 x y − < ≤   ∈  ℝ 0.5 Từ (3) ta có 2 1 log ( 1) y x = − + , thế vào (2) ñược ( ) 2 1 log ( 1) 3 2 1 2 2 1 x x x x − + − + − = + 0.5 Biến ñổi phương trình về dạng 2 3 1 x x + = − + Giải phương trình, tìm ñược x=2, thoả mãn ñiều kiện 0.5 1. (2ñiểm) Tìm ñược 2 1 log 3 y = − Kết luận 0.5 2. (2ñiểm) Cho y=-1 ta có f(-x)+f(x+1)+f(x)=x+1 Cho y=0 ta có f(0)+f(x+1)+f(x)=2x+1 Suy ra f(-x)-f(0)=-x 0.5 http://toanhocmuonmau.violet.vn/ [...]... th c x p:/ htt 0.5 Suy ra g(xy)+g(x-y)+g(x+y+1)=0 Suy ra 3g(0)=0 hay g(0)=0 /to Nên P( x) = 0.5 2 012 x 2 012 x + 2 012 Ta có x+y=1 thì 4024 + 2 012( 2 012 x + 2 012 y ) =1 4024 + 2 012( 2 012 x + 2 012 y ) 1 2011 ⇒ A = P( ) + P( ) =1 2 012 2 012 0.5 cm an 2 012 x 2 012 y P ( x ) + P ( y) = + 2 012 x + 2 012 2 012 y + 2 012 (6ñi m) = ho Câu 4 0.5 Ch ra A là giao ñi m c a AC và ñư ng phân giác ñi qua ñ nh A c a tam giác... - N u thí sinh trình bày theo cách khác mà ñúng thì cho ñi m tương ng theo thang ñi m c a ph n ñó / vn t ole Trang 5/5 S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O B C GIANG Đ D KỲ THI CH N H C SINH GI I C P T NH NĂM H C: 2011-2 012 Đ THI MÔN: TOÁN L P 12 - CHUYÊN Ngày thi: 01/4/2 012 Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian giao ñ ) B htt Câu 1: (5,0 ñi m) Cho hàm s y = − x 4 + 2(m + 2) x 2 − 2m − 3 (1) ( m là tham s... x=a V yV≤ 0.5 nm mà AH ≤ AE ⇒ AH ≤ 0.25 (5) Trang 4/5 T (3), ta có 3 − x1 − x2 = x3 + x4 + + x 2 012 K t h p v i (5), ta có x1 + x2 + x3 ≥ x12 + x2 2 + x3 ( x3 + x4 + + x 2 012 ) 2 ≥ x12 + x2 2 + x32 + x4 2 + + x2 012 (6) T (4) và (6) suy ra x1 + x2 + x3 ≥ 1 (Đpcm) p:/ htt (vì x3 ≥ max { x4 , x5 , , x2 012 } ) 0.25 0.25 Đi m toàn bài (20ñi m) vi au nm uo cm ho an /to Lưu ý khi ch m bài: - Trên ñây là... (1ñi m) Không gi m tính t ng quát ta có th gi s x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ ≥ x2 012 x1 + x2 + x3 ≥ x1 + x2 + x3 − ( x1 − x3 )(1 − x1 ) − ( x2 − x3 )(1 − x2 ) hay x1 + x2 + x3 ≥ x1 + x2 + x3 (3 − x1 − x2 ) 2 0.25 / T gi thi t (4) suy ra xi ≤ 1 ∀i = 1, 2, , 2 012 Rõ ràng t ñó ta có 2 (1ñi m) vn (3)  x1 + x2 + + x 2 012 = 3   2 2 2  x1 + x2 + + x2 012 = 1 (4)  t ole a3 8 0.5 vi Suy ra max y = 3a 3 x y ra khi x=a... chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, c nh bên SA vuông góc v i m t ñáy, SA=AB=a p 1 .vn 2 Câu 5: (1,0 ñi m) Cho s th c dương p nh hơn 1 Ch ng minh r ng: < p1− p + p 1− p e … H T / Cán b coi thi không gi i thích gì thêm H và tên thí sinh: S báo danh: Giám th 1 (H tên và ch ký) Giám th 2 (H tên và ch ký) . với mọi số thực x Nên 2 012 ( ) 2 012 2 012 x x P x = + 0.5 Ta có x+y=1 thì ( ) ( ) 2 012 2 012 P x P y 2 012 2 012 2 012 2 012 4024 2 012( 2 012 2 012 ) 1 4024 2 012( 2 012 2 012 ) x y x y x y x y + = + +. http://toanhocmuonmau.violet.vn/ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2011-2 012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 12 Ngày thi: 01/4/2 012 Thời gian làm bài: 180 phút (không. http://toanhocmuonmau.violet.vn/ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2011-2 012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 12 - CHUYÊN Ngày thi: 01/4/2 012 Thời gian làm bài: 180 phút (không