Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Trà Vinh Trường THPT Trà Cú Tổ Toán. CHUYÊN ĐỀ Gv: Cao Vaên Soùc Năm Học: 2008 – 2009. Lời nói đầu Phương trình vô tỉ là kiến thức rất quan trọng trong bộ môn toán nói chung và môn toán 10 nói riêng. Tuy nhiên khi giải phương trình vô tỉ thì học sinh thường lúng túng không biết nên giải như thế nào hay dùng phương pháp nào để giải. Vì vậy Tôi viết chuyên đề “ MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ CÁCH GIẢI” nhằm củng cố và giải tôt bài toán PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. I. ĐỊNH NGHĨA Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức. II. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ GỒM CÁC CĂN THỨC BẬC HAI 1. Dạng 1: ( ) f x c= ( ) 1 Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình chứa căn bậc hai - Nếu 0c < : (1) vô nghiệm - Nếu 0c = : Ta có (1) ( ) 0f x⇔ = (1a) Giải phương trình (1a) Nếu (1a) vô nghiệm thì (1) vô nghiệm. Nếu (1a) có 1 nghiệm, 2 nghiệm… thì (1) có 1 nghiệm, 2 nghiệm… - Nếu 0c > : Ta có ( ) ( ) ( ) 2 1f x c f x c b= ⇔ = . Giải phương trình (1b) suy ra nghiệm của phương trình (1). Ví dụ: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 . 1 1 . 5 6 0 . 3 1 5 a x x a b x x b c x x c + + = − + + = − + = Giải: a. Phương trình (a) vô nghiệm. b. Ta có 2 2 3 5 6 0 5 6 0 2 x x x x x x = −  + + = ⇔ + + = ⇔  = −  c. Ta có 2 2 3 105 2 3 1 5 3 1 25 3 105 2 x x x x x x  − =   − + = ⇔ − + = ⇔  + =   2. Dạng 2: ( ) ( ) f x g x= (2) Điều kiện: ( ) 0g x ≥ (2a) Bình phương hai vế của (2), ta có ( ) ( ) 2 f x g x   =   (2b) Giải (2b) chọn nghiệm thỏa điều kiện (2a), suy ra nghiệm của (2) Sơ đồ giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0g x f x g x f x g x  ≥  = ⇔    =     Ví dụ: Giải phương trình 2 1 8x x− = − Giải: ( ) 2 2 8 0 2 1 8 2 1 8 8 8 5 5 18 65 0 13 x x x x x x x x x x x x − ≥   − = − ⇔  − = −    ≤  ≤   ⇔ ⇔ ⇔ = =    − + =    =    Vậy: nghiệm của phương trình là 5x = . 3. Dạng 3: ( ) ( ) f x g x= (3) Điều kiện: ( ) ( ) 0 0 f x g x  ≥   ≥   (3a) Bình phương hai vế phương trình (3) ta có: ( ) ( ) f x g x= (3b) Giải phương trình (3b) chọn nghiệm thỏa hệ (3a). Suy ra nghiệm của pt (3). Sơ đồ giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x f x g x g x f x g x  ≥  = ⇔ ≥   =  Ví dụ: Giải phương trình 2 3 4 7x x+ = − (*) Giải: Ta có ( ) 3 2 2 3 0 7 * 4 7 0 5 4 2 3 4 7 5 x x x x x x x x   ≥ −   + ≥     ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ =     + = − =       Vậy: Nghiệm của phương trình là 5x = . 4. Dạng 4: ( ) ( ) f x g x c+ = (4) - Nếu 0c < : (4) vô nghiệm. - Nếu 0c = : Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x f x g x g x  =  + = ⇔  =   (4a) Nếu hệ (4a) có nghiệm thì hệ (4) có nghiệm. - Nếu 0c > : Điều kiện ( ) ( ) 0 0 f x g x  ≥   ≥   (4b) Bình phương hai vế phương trình (4) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 f x g x f x g x c f x g x c f x g x + + = ⇔ = − − (4c) Ta có một phương trình dạng 2 mà cách giải đã biết Điều kiện: ( ) ( ) 2 0c f x g x− − ≥ (4d) Bình phương hai vế phương trình (4c), ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 f x g x c f x g x   = − −   (4e) Giải phương trình (4e). Chọn nghiệm thỏa các điều kiện (4b) và (4d). Suy ra nghiệm của phương trình (4) Sơ đồ giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 2 0 0 2 f x f x g x c g x f x g x f x g x c f x g x f x g x c f x g x  ≥   + = > ⇔ ≥   + + =    ≥   ⇔ ≥   = − −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 4 f x g x c f x g x f x g x c f x g x  ≥  ≥  ⇔  − − ≥     = − −    • Chú ý: Nếu ta có ( ) ( ) f x g x c− = thì ta giải như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 f x f x g x c f x g x c g x f x g x c  ≥   − = > ⇔ = + ⇔ ≥    = +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 2 2 f x f x g x g x f x g x c c g x c g x f x g x c   ≥ ≥     ⇔ ≥ ⇔ ≥     = + + = − −     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 4 f x g x f x g x c c g x f x g x c  ≥  ≥  ⇔  − − ≥     = − −    Ví dụ: Giải các phương trình sau a. 2 3 1 5x x+ + − = − b. 2 3 1 0x x+ + − = c. 1 2 1 5x x− + − = d. 2 2 9 3 2x x x+ − − − = Giải: a. Ta có phương trình 2 3 1 5x x+ + − = − vô nghiệm. b. 2 3 1 0x x+ + − = 3 2 3 0 2 1 0 1 x x x x   + = = −   ⇔ ⇔   − =   =   Hệ vô nghiệm ⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm. c. 1 2 1 5x x− + − = ( ) ( ) ( ) 2 1 1 0 1 2 1 0 2 1 2 1 25 2 1 2 1 27 3 x x x x x x x x x   ≥ − ≥     ⇔ − ≥ ⇔ ≥     − + − =   − − = −   ( ) ( ) 2 2 1 1 9 1 1 9 2 5 5 150 725 0 27 3 0 145 4 2 3 1 27 3 x x x x x x x x x x x x x ≥   ≤ ≤   ≥ ≤ ≤    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = =     − + =   − ≥   =    − + = −   Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là 5x = . d. 2 2 9 3 2x x x+ − − − = 2 2 9 3 2x x x⇔ + = − + + ( ) 2 2 2 2 2 1 13 1 13 3 0 ; 2 2 9 3 2 4 3 8 x x x x x x x x x x   − + − − ≥ ≤ ≥   ⇔ ⇔   + = − − +   − − = +   ( ) 2 2 2 1 13 1 13 ; 2 2 1 13 1 13 8 ; 8 2 2 15 32 112 0 16 3 16 64 x x x x x x x x x x x  − + ≤ ≥   − +  − ≤ ≤ ≥   ⇔ ≥ − ⇔     − − =  − − = + +    1 13 1 13 8 ; 4 2 2 4 28 15 28 15 x x x x x x  − + − ≤ ≤ ≥  =     ⇔ ⇔ =    = −      = −    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 1 2 28 4; 15 x x= = − * Ngoài các dạng cơ bản trên thì có một số phương trình vô tỉ mà khi bình phương hai vế gặp nhiều khó khăn nên ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ: Giải các phương trình a. 2 2 6 9 4 6 6x x x x− + = − + b. 2 2 2 4 5 8 13x x x x+ − − = + . Lời kết. Mục đích của chuyên đề này giúp học sinh giải MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ tốt hơn, tuy nhiên do khả năng và thời gian có hạn nên chắc chắn chuyên đề còn nhiều thiếu sót, mong quý Thầy cô trong Tổ góp ý. Xin chân thành cám ơn. Người thực hiện Cao Văn Sóc. . Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Trà Vinh Trường THPT Trà Cú Tổ Toán. CHUYÊN ĐỀ Gv: Cao Vaên Soùc Năm Học: 2008 – 2009. Lời nói đầu Phương trình vô. ta có: ( ) ( ) f x g x= (3b) Giải phương trình (3b) chọn nghiệm thỏa hệ (3a). Suy ra nghiệm của pt (3). Sơ đồ giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x f x g x g x f x g x  ≥  = ⇔ ≥   =  Ví