Đường trịn A.Tóm tắt lí thuyết 1, Định nghĩa Trong hình học phẳng, đường trịn (hoặc vịng trịn) quĩ tích tất điểm mặt phẳng , cách điểm cho trước khoảng cách cho trước Điểm cho trước gọi tâm đường trịn, cịn khoảng cho trước gọi bán kính đường trịn 2, Phương trình đường trịn * Trong mặt phẳng Oxy, đường trịn (C) có tâm I(a,b) bán kính R có phương trình : (C): (x –a)2 + (y – b)2 = R2 Nếu a2 + b2 – c > phương trình x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 phương tình đường trịn tâm I(a,b), bán kình R = * Nếu a2 + b2 – c = có điểm I(a,b) thoả mãn phương trình x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 2 * Nếu a + b – c < khơng có điểm M(x,y) thoả mãn phương trình x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 Chú ý: ta có - Đường trịn tâm O bán kính R có phương trình x2 + y2 = R2 Đường trịn đơn vị có phươnh trình x2 + y2 =1 * 3, Phương trình tiếp tuyến đường trịn Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tiếp tuyến (d) điểm M(x0; y0) đường tròn (C): (x –a)2 + (y – b)2 = R2 có phương trình: (x –a)(x0 - a) + (y –b)(y0 - b) = R2 (6) Chú ý: a, Phương trình (6) gọi phương trình phân đơi toạ độ theo qui tắc (x –a)2 = (x –a).(x –a) thay (x –a)(x0 - a) (y –b)2 = (y –b).(y –b) thay (y –b)(y0 - b) b, Nếu ( C) có phương trình tổng qt ( C) : x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 , với a2 + b2 – c ≥ tiếp tuyến (d) có phương trình: (d) : x.x0 + y.y0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = dựa theo qui tắc : x = x.x thay x.x0 y2 = y.y thay y.y0 2ax = a( x + x) thay a( x + x0) 2by = b( y + y) thay b(y + y0) c, Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng (d) tiếp xúc ( tiếp tuyến) với đường trịn ( C) có tâm I bán kính R khi: d(I;(d)) =R B,Vận dụng 1, Nhận dạng phương trình bậc phương trình đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn * Phương pháp Cách 1: - đưa phương trình dạng : x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 (1) - xét dấu biểu thức m = a2 + b2 – c - m > (1) phương trình đường trịn tâm I(a,b), bán kính R= Cách 2: - đưa phương trình dạng : (x –a)2 + (y – b)2 = m (2) - m > (2) phương trình đường trịn tâm I(a,b) bán kính R = m * Các ví dụ : Ví dụ 1: Trong phương trình sau, phương trình niểu diễn đường trịn? Xác định tâm bán kính có: a)x2 + y2 - 6x +8y +100 = 0; b)x2 + y2 - 2x - 6y + = 0; c)x2 + 2y2 - 2x + 5y + = 0; (1) (2) (3) Giải a, (1) có dạng x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0, với a = 3, b = 4, c = 100 Ta có a2 + b2 – c = + 16 -100 < Vậy (1) khơng phải phương trình đường trịn b, (2) có dạng x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0, với a = 1, b = 3, c = -6 Ta có a2 + b2 – c = + - > Vậy (2) phương trình đường trịn có tâm điểm (1;3), bán kính a + b2 − c =4 c, phương trình cho khơng phải phương trình đường trịn hệ số x2 y2 khác Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + y2 - 2mx + 4my + 6m - = (1) a, Với giá trị m (1) phương trình đường trịn? b, Nếu (1) phương trình đường trịn tìm toạ độ tâm bán kính theo m Giải a, (1) có dạng x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 với a = m, b = -2m, c = 6m - (1) phương trình đường trịn a2 + b2 – c > 0, mà a2 + b2 – c > ⇔ m2 + 4m2 – 6m + >0 ⇔ 5m2 - 6m + ⇔ m> 5 >0 b, m > (1) phương trình đường trịn tâm I( m; -2m) có bán kính R = 5m − 6m + 2, Lập phương trình đường trịn * Phương pháp: Cách 1: - Tìm toạ độ tâm I(a,b) đường trịn (C) - Tìm bán kính R (C) - Viết phương trình (C) theo dạng (x –a)2 + (y – b)2 = R2 Cách 2: Gọi phương trình đường trịn (C) x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 (2) Từ điều kiện đề đ ưa đến hệ phương trình với ẩn số a,b,c Giải hệ phương trình tìm a, b, c vào (2) ta phương trình đường trịn (C) Chú ý: Cần phải cân nhắc giả thiết toán thật kĩ để lựa chọn dạng phương trình thích hợp * (C) qua A, B IA2 = IB2 ⇔ R2 = (C) qua A tiếp xúc với đường thẳng ∆ A ⇔ IA =d(I, ∆) (C) tiếp xúc với đường thẳng d1 d2 ⇔d(I,(d1)) = d(I, (d2)) = R * Các ví dụ Ví dụ 1:Lập phương trình đường trịn (C) trường hợp sau : a, (C) có tâm I(-2 ; 3) qua M(2 ; -3) b, (C) có tâm I(-2 ; 3) tiếp xúc đường thẳng d : x – 2y + = c, (C) có đường kính AB với A(1 ; 1) B(7 ;5) Giải a, (C) có tâm I qua M => bán kính R = IM = =>(C) có phương trình : (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52 b, (C) tiếp xúc đường thẳng Δ => : bán kính => (C) có phương trình : (x + 1)2 + (y – 3)2 = 4/5 c, (C) có đường kính AB => tâm I(x ;y) trung điểm AB : => I(4;3) (C) => bán kính R = IA = Vậy (C) có phương trình : (x – 1)2 + (y – 1)2 = 13 Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn (C) qua ba điểm : A(1 ;2), B(5 ;2) C(1 ;-3) Giải Phương trình đường trịn (C) dạng : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = (C) qua điểm A(1 ;2), nên : -2a -2b + c = (1) (C) qua điểm B(5 ;2) nên : 29 – 10a – 4b + c = (2) (C) qua điểm C(1 ;-3) nên : 10 – 2a + 6b + c = (3) Từ (1), (2) (3) : a = ; b = -1/2 ; c = -1 => Đường tròn (C) dạng : x2 + y2 – 6x – y – = 3, Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn * Các dạng phương pháp: Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M0(x0, y0) thuộc đường trịn Ta dùng cơng thức tách đơi tọa độ - Nếu phương trình đường tròn là: x2 + y2- 2ax - 2by + c = phương trình tiếp tuyến là: xx0 + yy0- a(x + x0) - b(y + y0) + c = - Nếu phương trình đường trịn là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 phương trình tiếp tuyến là: (x - a)(x0- a) + (y - b)(y0- b) = R2 Dạng 2: Tiếp tuyến xuất phát từ A(xA;yA) cho sẵn ngồi đường trịn B1: Xác định tâm I bán kính R B2: Lập phương trình đường thẳng qua A có dạng: a(x – xA) + b( y – yA) = , a2 + b2 khác B3: Để tiếp tuyến (C) d(I, )= R (1) a, b B4: Thế a,b vào (1) => • Ghi chú: Ta ln ln tìm hai đường tiếp tuyến · Dạng 3: Tiếp tuyến có phương cho trước – Viết phương trình D có phương cho trước (phương trình chứa tham số t) – Dựa vào điều kiện: , ta tìm t Từ suy phương trình Δ Dạng 4: tiếp tuyến chung đường tròn - Giả sử (d) : Ax + By + C = 0, A + B2 > tiếp tuyến chung (C) (C’) - Thiết lập điều kiện tiếp xúccủa (d) với (C) (C’) d(I1,(d)) = R1 d(I2,(d)) = R2 Kết luận * Các ví dụ: Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm M(3;4) thuộc đường trịn (C):(x-1) +(y-2) =8 Giải (C) có tâm I(a;b), phương trình tiếp tuyến với (C) M(3;4) là: V í d ụ : Cho đường trịn (C) dạng : x2 + y2 + 4x – 8y – = a Tìm tâm bán kính đường trịn b Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn A(-1 ;0) c Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn vng góc d : 3x - 4y +5 = Giải a, ta có : -2a = -4, -2b = c = -5 => a = 2, b = -4 c = -5 Tâm I(2, -4) bán kính R = 2 + − (−5) = b, Phương trình tiếp tuyến đường tròn A : (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0 ) = Hay (-1 – 2)(x + 1) + (4)(y) = => 3x – 4y + = c, tiếp tuyến vng góc d : 3x -4y +5 = => tiếp tuyến Δ : 4x + 3y + c = (C) tiếp tuyến Δ : 4x + 3y + c = => : bán kính R = d( M, Δ) | − 12 + c | = + 32 |c – 4| = 25 c – = 25 c – = -25 c = 29 c = -21 tiếp tuyến : 4x + 3y + 29 = ; 4x + 3y -21 = Ví dụ 3: cho (C) : x2 + y2 + 2x – 4x – 4= 0, A(3;5) Tìm phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đén đường trịn Giải: Gọi đường thẳn (d) qua A có dạng : a( x – 3) +b(y – 5) = , a2 + b2 ≠ (C) có tâm I(-1; 2), R = (d) tiếp tuyến (C) d(I,(d)) = R = => | −4a − 3b | a2 + b2 =3 ⇔ | 4a + 3b| = a2 + b2 2 2 ⇔ 16a + 24ab + 9b = 9( a + b ) ⇔ 7a2 + 24ab = ⇔ a = 7a = - 24b +, với a = => (d) : y – 5= +, với 7a = - 24b chọn a = 24, b = -7 => (d) : 24x – 7y -37 = C, Bài tập tự luyện Bài 1: Lập phương trinh đường tròn trường hợp sau: a, Đường kính AB với A(1;1) B(3;5) b, Đi qua (3;4) tâm gốc toạ độ (Đ/s: a, (C) : x2 + y2 – 2x – 6y + 8=0 b, (C) : x2 + y2 = 25) Bài 2: lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác có cạnh đường thẳng sau: x – 5y – = 0; x – y +2 = 0; x + y – = (Đ/s: x2 + y2 – 4x – 22 = 0) Bài 3: cho đường thẳng : (d1): 2x + y – = 0; (d2) : 2x - y – Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với đường thẳng (d 1), (d2) có tâm thuộc đường thẳng (d) : x – y -1 = (Đ/s: (C1) : ( x - )2 + ( y - )2 = 121 ; (C2) : (x + )2 + (y + )2 = 121 2 20 4 80 Bài 4: cho điểm A(4;0) , B(0;3) lập phương trình đường trịn nội tiếp ∆AOB (Đ/s: (x – 1)2 + ( y – 1)2 = Bài 5: cho biết B(0;1), C(1;0) trực tâm H(2;1) lập phương trình ∆AOB đường trịn ngoại tiếp ∆AOB (Đ/s: x2 + y2 = 1) Bài 6: Cho điểm M(-4;-6) đường trịn (C) có phương trình : x2 + y2 – 2x - 8y – = Lập phương trình tiếp tuyến (C) qua M (Đ/s: (d): x + = (d’): 3x – 4y -12 =0) Bài 7: Cho đường tròn (C) (C’) có phương trình: (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = (C): (x – 2)2 + (y + 1)2 = Lập phương trình tiếp tuyến chung đường tròn (Đ/s: (d): x = ; (d’) : 3x + 4y -12 = Bài 8: cho đường trịn (C) c ó phương trình: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10 ∆ lập phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến tạo với : 2x + y – =  góc 45 (Đ/s: d1: : x + 3y – = 0; d2: : 3x - y – 14 = 0; d3: x + 3y +12 =0 d4: 3x - y+ = Bài 9: Viết phương trình đường tròn (C) qua A(-4;2) tiếp xúc với hai trục tọa độ (Đ/s: C1 : (x + 2)2 + (y – 2)2 = ; C2 : (x + 10)2 + (y – 10)2 = 100 Bài 10: Cho đường tròn (C) : x + y − x + y + = Viết phương trình đường trịn (C’) tâm M(5,1) biết (C’) cắt (C) điểm A,B cho AB= (Đ/s: (C’) : (x - 5)2 + (y - 1)2 = ) Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình: x + y + 3x − = Tia Oy cắt (C) A Lập phương trình đường trịn (C’), bán kính R’ = tiếp xúc với (C) A (Đ/s: (C’): ( x − ) + ( y − 3) = ) 2 D, Bài tập tự sáng tạo Bài 1: Cho phương trình: (C): x2 + y2 + 2(m – 1)x – 2(m – 3)y + = (1) a) Tìm m để (1) đường trịn tâm I(1; -3) Viết phương trình (C) tương ứng b) Tìm m để (1) đường trịn có R= Viết phương trình (C) tương ứng Giải: I( – m ; m – 3), R2 = 2(m – 2)2  1− m = ⇒ m = R2 = m − = −3  a,  (C) : x + y − x + y + =  m=7  m = −3 b) R = → 2(m − 2) = 50 ⇔  Vậy (C1): x2 + y2 + 12x – 8y +2 = (C2): x2 + y2 -8x +12y + = Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0) , đường cao từ đỉnh B có phương trình x + y + = trung tuyến từ đỉnh (C) có phương trình 2x – y – = Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải: Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x + y + x − y − = Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x + y – = cắt đường tròn theo dây cung có độ dài Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x + y − x − y − = đường thẳng d: x + y + = Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ điểm M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến hợp với góc 90 độ Bài 5: Cho đường tròn (C): x + y − x + y − 20 = hai đường thẳng d1 : x + y − = 0, d : x + y = Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (C) A cắt d1 , d B C cho B trung điểm đoạn thẳng AC Giải: (h.1) lấy đối xứng đường thẳng d qua d1 ta đường thẳng d3 : x + y − 10 = Do d1 song song với d nên suy A ∈ d3 Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ PT x + y − 10 =   x = 4, y = ⇔  2  x + y − x + y − 20 =  x = 6, y = −2 ⇒ A(4; 2) A(6; −2) • Với A(4;2) pt tiếp tuyến A 3x + 4y – 20 = • Với A(6;-2) pt tiếp tuyến A x – = Bài 6: Cho đường trịn (A) có phương trình ( x + 1) + ( y − 2) = điểm M(2;3) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt (A) P Q cho MP2 + MQ2 = 18 Giải : Đường trịn (A) có tâm I(-1;2) R=3 Dễ thấy M nằm ngồi đường trịn nên MP.MQ = MI2 – R2 = 10 – =  MP + MQ = 18 ⇒ ( MP − MQ) = 16 ⇒ PQ =   MP.MQ = PT ∆ : a ( x − 2) + b( y − 3) = (a2 + b2 > ) PQ = , suy Từ d ( I ; ∆) = R −  a = −2b = ⇔ 2a + 3ab − 2b = ⇔  a + b2  a = 2a 3a + 2b PT hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán 2x – y – = x + 2y – = Bài 7: Cho hai đường thẳng d1 : x − y + 14 = 0, d : 3x + y − = điểm M(-2;2) Viết phương trình đường tròn (C) qua M tiếp xúc d1 cắt d theo dây cung AB = Giải: Vì M ∈ d1 nên M tiếp điểm (C) d1 Do d1 ⊥ d ⇒ d ( I ; d ) = d ( M ; d1 ) = −6 + + 13 + 16 AB  2 = , R = IA =   ÷ + IH = + =   Đường thẳng IM qua M vng góc với d1 có PT  x = −2 + 4t IM :  ⇒ I (−2 + 4t; − 3t )  y = − 3t Ta có IM = ⇒ 16t + 9t = Tìm t = t = -1 suy I(2;-1) I(-6;5) Vậy có hai đường trịn thỏa mãn với phương trình ( x − 2) + ( y + 1) = 25;( x + 6) + ( y − 5) = 25 Bài 8: Cho đường trịn (C) có phương trình x + y + x + y + = điểm A(1;3) a) Chứng minh điểm A ngồi đường trịn b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) từ đỉnh A Bài 9: Cho đường trịn có phương trình x + y + x + y − 17 = Viết phương trình tiếp tuyến d đường tròn trường hợp sau: a) Điểm tiếp xúc M(2;1) b) d qua A(3;6) c) d song song với đường thẳng 3x – 4y – 2008 = Bài 10: Cho đường tròn x + y − x − y + = điểm M(2;4) a) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn hai điểm A, B cho M trung điểm đoạn thẳng AB b) Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn có hệ số góc k = -1 Bài 11: Cho đường tròn (C): x + y + x − y − = điểm A(2;5) Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn Giả sử tiếp xúc với đường tròn hai điểm M, N Hãy tính độ dài MN ⇒ MN = Bài 12: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2mx - my + 25m – 100 = a) Tìm tập hợp ( ∆ ) tâm đường tròn M thay đổi b) Xét A(8;6) Lập phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C) A c) Nhận xét đường tròn (C) Giải: a)   I  m; m ÷   R = m + m − 25m + 100 = ( 5m − 40 ) 16 16 Điều kiện m ≠ Tập hợp tâm I đường thẳng ( ∆ ): 3x – 4y = 0, loại điểm A(8;6) b) nhận xét A(8;6) thuộc (C) với M phương trình tiếp tuyến với (C) A(8;6) là: 8x + 6y – m(x + 8) - 3m (y + 6) + 25m – 100 = ⇔ 4x + 3y – 50 = (do m ≠ 8) c) (∆)và(d) cố định qua A(8;6) ( ∆ ) ⊥ ( d ) nên suy đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) cố định điểm A(8;6) cố định ( ∀m ≠ 8) ...2by = b( y + y) thay b(y + y0) c, Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng (d) tiếp xúc ( tiếp tuyến) với đường tròn ( C) có tâm I... b)2 = m (2) - m > (2) phương trình đường trịn tâm I(a,b) bán kính R = m * Các ví dụ : Ví dụ 1: Trong phương trình sau, phương trình niểu diễn đường trịn? Xác định tâm bán kính có: a)x2 + y2 -... (C’) tâm M(5,1) biết (C’) cắt (C) điểm A,B cho AB= (Đ/s: (C’) : (x - 5)2 + (y - 1)2 = ) Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình: x + y + 3x − = Tia Oy cắt