Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y) • Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là hàm y=φ(x,c) Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y’(x) là đạo hàm của nó • Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng. • Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm kỳ dị 2 1' yy −= 2 1' y dx dy y −== VD: Xét phương trình vi phân cấp 1 Ta có: )1:( 1 2 ±≠= − ⇒ yĐKdx y dy (*) cxycx y dy +=⇒+= − ⇒ ∫ arcsin 1 2 Đây là nghiệm tổng quát Trường hợp: y=±1 thỏa phương trình (*) nên cũng là nghiệm của phương trình vi phân này nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên là nghiệm kỳ dị 2. Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 y’=f(x,y) thỏa điều kiện ban đầu y(x o ) = y o . )sin( cxy +=⇒ x y y = ' x y dx dy y ==' 0: ≠=⇒ yĐK x dx y dy 0,lnlnln ≠+=⇒=⇒ ∫ ∫ ccxy x dx y dy 0,. ≠=⇒ cxcy VD: Xét bài toán Cauchy Ta có: thỏa y(1) = 2 Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c=2 Vậy nghiệm của bài toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2 là y=2.x 3. Các loại phương trình vi phân cấp 1 3.1 Phương trình tách biến a. Dạng: f(x)dx + g(y)dy = 0 b. Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: Nhận xét: Nghiệm của mọi bài toán Cauchy đều là nghiệm riêng. ∫∫ =+ cdyygdxxf )()( cyx 2 22 =+⇒ là nghiệm của phương trình. c y x =+⇒ 22 2 2 ∫∫ =+ cydyxdx VD: Giải phương trình vi phân Ta có: 0=+ ydyxdx c. Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về dạng tách biến ∗ Phương trình dạng: y’=f(y) dx yf dy = )( • Nếu f(y) = 0 có nghiệm y=b thì y=b là nghiệm riêng của phương trình. • Nếu f(y) ≠ 0 thì phương trình trên đưa về dạng tách biến: y y y 2 1 ' −− = 2 1 ) 2 1 ( = y VD: Tìm nghiệm của phương trình thỏa điều kiện y y dx dy y 2 1 ' − −== )1:( 1 2 ±≠= − −⇒ yĐKdxdy y y ∫ ∫ = − −⇒ dxdy y y 2 1 Ta có: 2 1 ) 2 1 ( = y xy =− 2 1 1±=y Từ điều kiện đầu Vậy nghiệm của bài toán là Trường hợp: không thỏa điều kiện đầu cxy +=−⇒ 2 1 ta giải được c = 0 nên ta loại nghiệm này [...]... 2 (1 + x ). (1 + y ) ≠ 0 2 2 chia 2 vế phương trình cho (1 + x ). (1 + y ) 2 2 ta được phương trình tách biến: x dx + y dy = 0 2 2 1+ x 1+ y y x dx + ⇒∫ ∫ 1 + y2 dy = c 2 1+ x 1 ln (1 + x2) + 1 ln (1 + y2) = c ⇒ 2 2 2 2 2c * ⇒ (1 + x ). (1 + y ) = e = c VD2: Tìm nghiệm của phương trình: xy dy = −( y + 1) dx 2 •Nếu (*) x.( y + 1) ≠ 0 , chia 2 vế phương trình cho 2 y x.( y + 1) ta được dy + 1 dx = 0 y +1 x...∗ Phương trình dạng: f1 ( x) g1 ( y )dx + f 2 ( x) g 2 ( y )dy = 0 • Nếu g1 ( y ) f 2 ( x) ≠ 0 g1 ( y ) f 2 ( x) trình cho chia 2 vế phương ta được phương trình tách biến: f1 ( x) g2 ( y) dx + dy = 0 f 2 ( x) g1 ( y ) • Nếu f2(x) = 0 tại x=a thì x=a là 1 nghiệm của phương trình • Nếu g1( y) = 0 tại y=b thì y=b là 1 nghiệm riêng của phương trình VD1: Tìm nghiệm của phương trình x (1 + y )dx + y (1. .. sau đó sẽ đưa phương trình đầu về dạng phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần tìm là Sau khi tìm được z (x) z (x) ta lại thay z = y 1 α vào 2 y '− 1 y = x VD1: Giải phương trình 2x 2y Đây là phương trình Bernouli với α = -1 Đặt z =y 1 α = y ⇒ z ' = 2 y y ' 2 Nhân 2 vế phương trình đầu với 2y ta được: 1 y2 = x2 2 y.y'− x 1 z = x 2 (đây là PT tuyến tính cấp 1) ⇒ z '− x 1 − ∫ 1 dx ∫ x dx 2 ⇒ z ( x)... x[ ∫ x 1 dx + c] x 2 2 y = x( x + c) 2 2 xy '− y (2 y ln x − 1) = 0 y 2 ln x 2 ⇒ y '+ = y x x VD2: Giải phương trình Đây là phương trình Bernouli với Đặt x= y 1 α α =2 = y = 1 ( ĐK : y ≠ 0) y 1 y' ⇒ z' = − 2 y Nhân 2 vế phương trình đầu với 1 y '− 1 = − 2 ln x − 2 xy x y ⇒ z '− 1 z = − 2 ln x x x − 12 y ta được: (đây là phương trình tuyến tính cấp 1) ⇒ z ( x) = e 1 ∫ x dx 2 ln x e [∫ − x − ∫ 1 dx x... ' = f (u ) − u VD1: Tìm nghiệm của phương trình: y' = e Đặt y x y + +1 x y u = ⇒ y = u.x ⇒ y ' = u + xu ' x y’ và vào phương trình đầu ta được Thay phương trình: u + xu ' = e + u + 1 ⇒ xu ' = e + 1 u du = dx ⇒ u e +1 x u (đây là phương trình tách biến) ⇒ ∫ du u = ∫ dx x 1+ e ⇒ u + ln (1 + e ) = ln x + c u Thay y u= x ta được y y x + ln (1 + e ) = ln x + c x VD2: Tìm nghiệm của phương trình (x + 2 y)dx... dy = 1 + 2 y ⇒ dx x Đặt (ĐK :x ≠ 0) y ⇒ y = u.x ⇒ y' = u + xu' u= x Thay y’ vào phương trình ta được u + xu ' = 1 + 2u ⇒ du = dx (ĐK : 1 + u ≠ 0) 1+ u x ⇒ ln 1 + u = ln x + c ⇒ 1 + u = c.x Thay y u= x Trường hợp ta có: x=0 và y = x(cx − 1) y = −x thỏa mãn phương trình đầu nên ta nhận 2 nghiệm này 3.3 Phương trình tuyến tính cấp 1 a Dạng: • Nếu y '+ P ( x) y = Q ( x) Q( x) = 0 (*) thì phương trình. .. thì phương trình y '+ P ( x) y = 0 được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất • Nếu Q( x) ≠ 0 thì phương trình y '+ P ( x) y = Q ( x) được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất b Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 (*) có dạng: y=e − ∫ P ( x ) dx [ ∫ Q( x).e ∫ P ( x ) dx dx + c] VD1: Tìm nghiệm của phương trình y '+ y cos x = sin x cos x Áp dụng công... x, y )dy = 0 Suy ra nghiệm của bài toán là: U ( x, y ) = c VD1: Giải phương trình vi phân: ( x + y + 1) dx + ( x − y + 3)dy = 0 ∂P = ∂Q = 1 nên đây là phương trình vi ∂y ∂x 2 Vì phân toàn phần Do đó: ∃ U ( x, y ) : dU = P( x, y )dx + Q( x, y )dy  ∂U = P = x + y + 1  ∂x ⇒ ∂U 2  ∂y = Q = x − y + 3  (1) ( 2) Từ (1) ⇒ U (x, y) = ∫ (x + y + 1) dx + c( y) 2 ⇒ U ( x, y ) = x + xy + x + c( y ) 2 ∂U = x +... dx = 0 y +1 x 2 y ⇒∫ dy + ∫ 1 dx = c y +1 x 2 y ⇒ − y + ln y + 1 + ln x = c 2 •Ta thấy x=0 và y = 1 thỏa phương trình (*) nên đều là nghiệm của phương trình này ∗ Phương trình dạng y ' = f (ax + by + c) Đặt z = ax + by + c Thay vì tìm hàm Ta có: y(x) (với z=z(x)) ta tìm hàm z(x) z ' = a + by ' Thay vào phương trình đầu ta được: z ' = a + bf ( z) VD: Tìm nghiệm của phương trình y' = 2 x + y Đặt Thay... − 1) + c] sin x ⇒ y = (sin x − 1) + c.e − sin x VD2: Tìm nghiệm của phương trình y '+ tg x y = 1 cos x Áp dụng công thức nghiệm y=e − ∫ P ( x ) dx [ ∫ Q( x).e ∫ P ( x ) dx dx + c] 1 e ∫ tg xdx dx + c] ⇒ y=e [∫ cos x ⇒ y = cos x[ ∫ 1 1 dx + c] cos x cos x − ∫ tg xdx ⇒ y = cos x[ tgx + c ] 3.4 Phương trình Bernouli a) Dạng y '+ P ( x) y = Q( x) y b) Cách giải: Đặt z=y α ; α ≠ 0 ,1 1−α sau đó sẽ đưa phương . Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y) • Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là hàm y=φ(x,c) Ở. phương trình Vì )1) . (1( 22 yx ++ 0 11 22 = + + + dy y y dx x x ∫ ∫ = + + + ⇒ cdy y y dx x x 22 11 ta được phương trình tách biến: chia 2 vế phương trình cho cyx =+++⇒ )1ln( 2 1 )1ln( 2 1 22 *222 )1) . (1( . này 0)(.)()(.)( 2 211 =+ dyygxfdxygxf 0)(.)( 21 ≠ xfyg )(.)( 21 xfyg 0 )( )( )( )( 1 2 2 1 =+ dy yg yg dx xf xf ∗ Phương trình dạng: • Nếu chia 2 vế phương tách biến: trình cho ta được phương trình của phương