Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT CHUÊN TOáN Vòng 2 năm 2008 - 2009 Câu 1 (3,5 điểm): Cho biểu thức 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x P x x x x 1. Rút gọn biểu thức P . 2. Tìm giá trị của x để 1 2 P . Câu 2 (3,5 điểm): Cho hai số thực , a b thoả mãn điều kiện 2 a b ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 a b Q a b . Câu 3 (4,0 điểm): Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Ngời ta nhận thấy rằng, nếu mỗi ô tô chỉ chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ô tô và có bao nhiêu học sinh đi tham quan, biết rằng mỗi ô tô chỉ chở đợc không quá 32 học sinh. Câu 4 (5,5 điểm): Cho hình vuông ABCD. Điểm M di động trên tia đối của tia CD (M không trùng với C). Đờng thẳng vuông góc với AM tại A cắt đờng thẳng BC tại N. 1. Chứng minh rằng tam giác MAN vuông cân. 2. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh rằng ba điểm D, B, E thẳng hàng. 3. Xác định vị trí của điểm M sao cho tam giác EAC là tam giác đều. Câu 5 (3,5 điểm): 1. Cho tam giác có độ dài các cạnh bằng , , a b c thoả mãn điều kiện 2 2 2 a b c . Gọi , , c p r h lần lợt là nửa chu vi, độ dài bán kính đờng tròn nội tiếp, độ dài đờng cao thuộc cạnh c của tam giác. Chứng minh rằng 2 5 c r h . 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; x y ) thoả mãn : 2 (2009 ) 5 0 x y x y . 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn. Gọi M là điểm di động trên cung BC không chứa điểm A. Xác định vị trí của điểm M sao cho 2008 MB + 2009 MC đạt giá trị lớn nhất. Vòng 1 năm 2009 – 2010 Câu 1 (2 điểm): Tính giá trị của các biểu thức: 2505)5225( x , 13 3 13 3    y , )( yx yxyx yyxx A     . Câu 2 (2.5 điểm): Cho phương trình (m + 1)x 2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0 (ẩn x, tham số m). a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn: 4 711 21  xx . Câu 3 (1 điểm): Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến B và ngược dòng trở về A. Thời gian kể từ lúc khởi hành đến khi về đến bến A tất cả là 12 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước, biết vận tốc riêng của ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước. Câu 4 (3.5 diểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) không đi qua O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O ;R) (N, P là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó. b) Chứng minh rằng MA.MB = MN 2 . c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều. d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Câu 5 (1 điểm): Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 23 54  yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = y y x x 7 18 6 8  . Vòng 2 năm 2009 – 2010 Câu 1 (2 điểm): Cho biểu thức:   2 1 1 1 1 1                       x x x x xx xP a) Rút gọn P. b) Tìm Nx  sao cho N P  2 (N là tập hợp các số tự nhiên). Câu 2 (2 điểm): a) Giải phương trình: 1123234  xxx b) Giải hệ phương trình:         12 12 12 2 2 2 xz zy yx Câu 3 (2 điểm): a) Cho hai phương trình x 2 + 2mx + mn - 1 = 0 và x 2 - 2nx + m + n = 0 (ẩn x, tham số m, n). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. b) Người ta thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của một số tự nhiên có hai chữ số để tạo thành một số mới có ba chữ số. Xét tỉ số có tử số là số có ba chữ số (được tạo thành) và mẫu số là số có hai chữ số ban đầu. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị nguyên của các tỉ số trên. Câu 4 (1 điểm): Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 Câu 5 (2 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O; R) (B, C là hai tiếp điểm). Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai E. a) Chứng minh rằng tia đối của tia EC là phân giác của góc AEB. b) Đường thẳng BE cắt AC tại M. Chứng minh rằng MA = MC. Câu 6 (1 điểm): Cho các số 2009 số thực dương 1 2 2009 , , , a a a thoả mãn 1 2 2009 1 a a a  . Tính tổng: 1 1 2 1 2 3 2008 2 2 3 2 3 4 2009 3 3 4 3 4 5 2009 1 2009 2009 1 2009 1 2 2007 1 1 1 1 1 1 . 1 1 S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                      Vòng 1 năm 2010 – 2011 Câu 1 (2,0 điểm): a) Giải hệ phương trình: 2 0 2 5 x y x y        . b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng (d 1 ): x – 2y = 0, (d 2 ): 2x + y = 5 và (d 3 ): mx – y = 1 (m là tham số). Tìm m để ba đường thẳng đồng quy tại một điểm. Câu 2 (3,0 điểm): Cho phương trình x 2 + mx – 2 = 0 (ẩn x, tham số m). a) Giải phương trình khi m = 1. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 cùng nhỏ hơn 1. Câu 3 (3,0 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm S ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến SA, SB tới đường tròn (O; R) (A, B là hai tiếp điểm). Kẻ đường thẳng d đi qua S và không đi qua tâm O, d cắt đường tròn (O; R) tại M, N (M nằm giữa S và N). Gọi H là giao điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm MN, hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. a) Chứng minh rằng: Hai đường thẳng SO, AB vuông góc với nhau và tứ giác IHSE là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng: Hai tam giác SAM, SNA đồng dạng với nhau và AM BM AN BN  . c) Cho SO = R 3 và MN = R. Tính diện tích tam giác EMS theo R. Câu 4 (1,0 diểm): Đoạn đường AB dài 160 km, một ô tô đi từ A tới B và một xe máy đi từ B tới A khởi hành vào cùng một thời điểm. Sau một thời gian hai xe gặp nhau tại điểm C, đoạn đường AC dài 120 km. Khi đi tới B ô tô liền quay lại ngay và đuổi kịp xe máy tại điểm D. Tính vận tốc hai xe biết thời gian kể từ khi khởi hành tới lúc hai xe gặp nhau tại điểm D là 4 giờ và vận tốc hai xe không đổi. Câu 5 (1,0 điểm): Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x y  và 2 xy  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 3 2 x xy y A x y     . Vòng 2 năm 2010 – 2011 Câu 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức: b ab b a a b P a : a b ab a ab b ab                        , với a, b > 0 và a ≠ b. a) Rút gọn P. b) Tính P biết a > b và a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 – 6x + 1 = 0. Câu 2 (1,5 điểm): Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c ≠ 0 và a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a) a 3 + b 3 + c 3 = 3abc b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 3 a b c b c a c a b 2          Câu 3 (2,5 điểm): a) Tìm các bộ ba số thực (x; y; z) thoả mãn phương trình: x + y + z + 4 = 2 x 2 4 y 3 6 z 5      b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y = 16. Chứng minh rằng: x 2 + xy + y 2 192  . c) Giải hệ phương trình: 2 2 x y x y 4 x xy y 192             . Câu 4 (1,0 điểm): Trong 2009 số tự nhiên từ 1 đến 2009 chọn ra n số bất kỳ đôi một phân biệt (n ≥ 2) sao cho tổng của chúng chia hết cho 8. Trong các cách chọn thoả mãn yêu cầu trên số n lớn nhất có thể là bao nhiêu? Câu 5 (2,0 điểm): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O), gọi I là giao của hai đường chéo AC và BD. Dựng các đường kính CC’ và DD’ của đường tròn (O), gọi K là giao của BC’ và AD’. a) Dựng điểm E đối xứng với điểm B qua đường thẳng IK. Chứng minh rằng: Tứ giác AIKE nội tiếp. b) Chứng minh rằng: Ba điểm O, I, K thẳng hàng. Câu 6 (1,0 điểm): Tìm các bộ hai số nguyên dương (x; y) thỏa mãn phương trình: 2 2 x 2y 3xy 2x 4y 3 0       Vòng 1 năm 2011 – 2012 Câu 1 (3,0 điểm): a) Giải hệ phương trình: 2 5 3 1 x y x y        b) Giải phương trình: x 2 – 5x + 6 = 0 c) Rút gọn các biểu thức: A 3 12 12 3 6 48    , 14 - 7 15 - 5 1 B = + : 2 -1 3 -1 7 - 5         Câu 2 (2,5 điểm): Cho hàm số y = x 2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = 2(m –1)x – m + 3, với m là tham số. a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x 2 . b) Chứng minh rằng : Với mọi giá trị của tham số m đồ thị (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. c) Gọi A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) là hai giao điểm của (P) và (d). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :   A B E y y Câu 3 (1,5 diểm): Hai đội công nhân hợp tác làm một công việc. Nếu hai đội cùng làm công việc đó thì sau 15 giờ họ hoàn thành công việc. Nếu đội thứ nhất làm một mình trong 3 giờ rồi nghỉ và đội thứ hai làm tiếp công việc đó 5 giờ nữa thì công việc hoàn thành được 25%. Hỏi nếu hai đội làm riêng thì mất bao lâu để hoàn thành công việc đó, biết năng xuất làm việc của hai đội là không đổi. Câu 4 (3,0 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm S ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến SA, SB tới đường tròn (O; R) (A, B là hai tiếp điểm). Điểm I thuộc đoạn AB (I khác A và B), đường thẳng qua I và vuông góc với OI lần lượt cắt SA, SB thứ tự tại M và N. a) Chứng minh rằng: Bốn điểm O, I, A, M cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng: I là trung điểm của đoạn MN. c) Xác định vị trí của điểm I trên đoạn AB sao cho tam giác SMN có diện tích lớn nhất. Vòng 2 năm 2011 – 2012 Câu 1 (3 điểm): Cho biểu thức: x x 4 x 2 x x 5 P : x x 2 x 2 x 1 x x 2                              với xR và x ≥ 0, x ≠ 4. a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của x thỏa mãn P = 4. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 2 (3 điểm): a) Rút gọn A = 5122935  b) Giải phương trình: 2 2 4x y 4xy 4x 2y 2 x y 2 1         c) Giải hệ phương trình: x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 x 1              Câu 3 (1 điểm): Cho tam giác ABC có  0 BAC 75  , đường cao AH, H thuộc đoạn BC và BH = 3 CH. Chứng minh rằng: AH = BH. Xác định số đo các góc   ABC,ACB . Câu 4 (2 điểm): Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O, bán kính R và C là điểm giữa của cung AB. Trên đoạn OC lấy điểm M, N sao cho OC = 2OM = 3ON; tia AM cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai D; tia BN cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai E; gọi I là giao điểm của AM và BN. a) Tính diện tích tam giác IAB theo R. b) Chứng minh rằng: Góc  DOE có số đo bằng 90 0 . Câu 5 (1 điểm): Cho ba số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: x 2 + y 2 = z 2 . Chứng minh rằng: xy12  . . Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT CHUÊN TOáN Vòng 2 năm 2008 - 2009 Câu 1 (3,5 điểm): Cho biểu thức 15 11 3. nếu mỗi ô tô chỉ chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ô tô và có bao nhiêu học sinh. rằng ba điểm D, B, E thẳng hàng. 3. Xác định vị trí của điểm M sao cho tam giác EAC là tam giác đều. Câu 5 (3,5 điểm): 1. Cho tam giác có độ dài các cạnh bằng , , a b c thoả mãn điều kiện