Đề cương ơn tập Tốn học kỳ II ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II o0o PHẦN ĐẠI SỐ A - KIẾN THỨC CƠ BẢN I Hệ phương trình bậc hai ẩn * Phương trình bậc hai ẩn: Là phương trình có dạng ax + by = c, a, b, c số biết, a b không đồng thời 0, x y ẩn - Phương trình bậc hai ẩn ln có vơ số nghiệm * Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: Là hệ phương trình có dạng: ax + by = c  a ' x + b ' y = c ' (I) Phương pháp giải: Phương pháp cộng, thế, đặt ẩn phụ * Biện luận hệ phương trình bậc ẩn - Hệ (I) có nghiệm - Hệ (I) vô nghiệm a b ≠ a' b' a b c = ≠ a' b' c' - Hệ có vơ số nghiệm a b c = = a' b' c' II Hàm số y = ax2 ( a ≠ ) Hàm số y = f(x) = ax2 ( a ≠ ) Có tập xác đinh D = R - Nếu a > 0, hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > Giá trị nhỏ f(x) x = - Nếu a < 0, hàm số đồng biến x > 0, nghịch biến x < Giá trị lớn f(x) x = - Đồ thị hàm số parabol có đỉnh O(0;0), nhận trục tung làm trục đối xứng, quay bề lõm lên a > 0, quay bề lõm xuống a < Tương giao đường thẳng y = mx + n Parabol y = ax2 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: ax2 = mx + n ⇔ ax2 - mx – n = (*) * Điều kiện để (d) (P) a) Tiếp xúc pt (*) có nghiệm kép ⇔ Δ = b) Cắt hai điểm phân biệt pt (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > Biên soạn: GV Bùi Công Luân – Buicongluan.ltqb@gmail.com Đề cương ơn tập Tốn học kỳ II c) Có điểm chung pt (*) có nghiệm ⇔ Δ ≥ d) Khơng có điểm chung pt (*) vơ nghiệm ⇔ Δ < III Phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax2 + bx + c = ( a ≠ ) Cách giải phương trình bậc hai ẩn Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN ∆ = b2 − 4ac ∆ ' = b'2 − ac ∆ > : phương trình có nghiệm phân biệt ∆ ' > : phương trình có nghiệm phân biệt x1 = −b + ∆ ; 2a x2 = −b − ∆ 2a x1 = ∆ = : phương trình có nghiệm kép x1 = x = −b'+ ∆ ' ; a x2 = −b'− ∆ ' a ∆ ' = : phương trình có nghiệm kép −b 2a x1 = x = ∆ < : phương trình vơ nghiệm −b' a ∆ ' < : phương trình vơ nghiệm Hệ thức Vi-et ứng dụng * Cho phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) - Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: b  S = x1 + x = − a   P = x x = c   a - Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) - Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = c a c a - Nếu a – b + c = phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 = − u + v = S (S ≥ 4P ) u, v hai nghiệm uv = P - Nếu có hai số u v cho  phương trình x2 – Sx + P = Điều kiện có nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) (*) - (*) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ Biên soạn: GV Bùi Công Luân – Buicongluan.ltqb@gmail.com Đề cương ơn tập Tốn học kỳ II - (*) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ∆ ≥ P > - (*) có nghiệm dấu ⇔  ∆ ≥  - (*) có nghiệm dương ⇔ P > S >  ∆ ≥  - (*) có nghiệm âm ⇔ P > S <  - (*) có nghiệm trái dấu ⇔ ac < P < Tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện a) αx1 + β x = γ; b) x12 + x 2 = m; d) x12 + x 2 ≥ h; 1 + =n x1 x e) x13 + x 23 = t; c) Trong trường hợp cần sử dụng hệ thức Viet phương pháp giải hệ phương trình Một số phương trình đưa dạng phương trình bậc hai * Phương trình trùng phương có dạng: ax4 + bx + c = (a ≠ 0) * Cách giải: Đặt t = x2 với t ≥ 0, ta đưa phương trình bậc hai theo ẩn t: at2 + bt + c = Giải phương trình tìm t ≥ => x * Phương trình chứa ẩn mẫu: - Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình - Bước 2: Quy đồng khử mẫu - Bước 3: Giải PT vừa nhận - Bước 4: Kiểm tra, đối chiếu ĐKXĐ kết luận nghiệm * Phương trình tích có dạng: f(x).g(x).h(x) =  f ( x) =  * Cách giải: f ( x ) g ( x ) h ( x ) = ⇔  g ( x ) =  h ( x ) = Ngồi cịn số phương trình dạng khác, tìm cách đặt ẩn phụ, tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, để đưa dạng IV Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình Biên soạn: GV Bùi Công Luân – Buicongluan.ltqb@gmail.com Đề cương ôn tập Toán học kỳ II * Phương pháp giải Bước 1: Gọi ẩn đặt điều kiện cho ẩn: Gọi (hai) số điều chưa biết làm ẩn đặt điều kiện cho ẩn Bước 2: Biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn đại lượng biết Bước 3: Dựa vào mối quan hệ đại lượng biết chưa biết để lập phương trình (hệ phương trình) Bước 4: Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập Bước 5: Kiểm tra giá trị tìm với điều kiện kết luận * Chú ý việc tóm tắt tốn trước làm B – BÀI TẬP I Hệ phương trình bậc hai ẩn Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 1) 3x − 2y =   2x + y = 3x − 4y + = 4)  5x + 2y = 14 4x − 2y = 2)  6x − 3y = 2x + 5y = 5)  3x − 2y = 14 2x + 3y = 3)  4x + 6y = 10 4x − 6y = 6)  10x − 15y = 18 Bài 2: Giải hệ phương trình sau:   x + 2y + y + 2x =  1)   − =1  x + 2y y + 2x   3x  x +1 − y + =  2)   2x − =  x +1 y +  2 ( x − 2x ) + y + =  3)  3 ( x − 2x ) − y + + =  x + my = Bài 3: Cho hệ phương trình:  mx − 2y = a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > y < II Hàm số y = ax2 ( a ≠ ) Bài 1: Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = –3x + a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) Bài 2: Cho parabol (P): y = − x2 đường thẳng (d): y = − x + n a) Tìm giá trị n để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) b) Tìm giá trị n để đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm c) Xác định toạ độ giao điểm đường thẳng (d) với (P) n = Bài 3: Cho (P): y = x2 (d): y = 2x + m Tìm m để (P) (d): a) Cắt hai điểm phân biệt b) Tiếp xúc c) Không giao Bài 4: Cho hai hàm số y = x2 (P); y = x + 2m – (d) a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ (d) qua điểm A(1; 1) Biên soạn: GV Bùi Công Luân – Buicongluan.ltqb@gmail.com Đề cương ôn tập Tốn học kỳ II b) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm c) Tìm m để (d1): y = 2x – cắt (d) (P) điểm d) Chứng minh (d2): y = - x + m2 cắt (P) hai điểm với m III Phương trình bậc hai ẩn Bài 1: Giải phương trình sau a) 3x + 12x = b) 5x − 10x = c) 3x − 12 = d) 3x − = e) x + 5x + = f ) 3x − 7x + = g) 5x + 31x + 26 = h) x − 15x − 16 = i) 19x − 23x + = k) 2x + 3x + 11 = Bài 2: Cho phương trình x2 + 5x + = Khơng giải phương trình tính: x1 x + x x1 a) x12 x + x1x 2 b) c) ( x1 + 2x )( 2x1 + x )    d)  x1 +  + x  x  x1   Bài 3: Cho phương trình x2 + mx + m + = a) Giải phương trình với m = -2 b) Giải biện luận số nghiệm phương trình c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m d) Xác định giá trị m để x12 + x22 = 10 e) Tìm m để 2x1 + 3x2 = f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3 Tính nghiệm cịn lại g) Tìm m để phương trình có nghiệm dương Bài 4: Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m-2)x + 6m – = a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có nghiệm đối d) Tìm m để phương trình có nghiệm nghịch đảo e) Tìm m để phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm cịn lại f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm Bài 5: Cho phương trình : 3x2 – ( 3k – 2) x – ( 3k + 1) = với x ẩn số, k tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị k b) Giải phương trình với k = c) Tìm k để phương trình có nghiệm kép d) Tìm k để phương trình có nghiệm dương e) Tìm k để nghiệm x1 ; x2 phương trình thoả mãn : 3x1 – 5x2 = Bài 6: Cho phương trình x2 + (m + 2)x + 2m = a) Giải biện luận số nghiệm phương trình b) Phương trình có nghiệm x = Tìm m nghiệm lại x1 x + = x x1 d) Tìm m để ( 2x1 + x )( x1 + 2x ) ≥ c) Tìm m để e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dấu Bài 7: Giải phương trình sau: Biên soạn: GV Bùi Cơng Ln – Buicongluan.ltqb@gmail.com Đề cương ơn tập Tốn học kỳ II a) x − x + = b) − x + x + = c) − x + 8x − = 20 20 + =9 e) (2 x + 1)( x − 1) = −2 x f) x − 13 x + 36 = x −1 x h) x − x + = i) − x + x + = g) x + x + = 100 100 2x x+2 x + x − 2x + + k) + l) + = j) = 15 =2 x +5 x −5 x+2 2x x + x − x +1 IV Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình d) Bài 1: Một người xe đạp xuất phát từ A Sau giờ, người xe máy từ A đuổi theo đường gặp người xe đạp cách A 60 km Tính vận tốc người biết vận tốc người xe máy lớn vận tốc người xe đạp 20 km/h Bài 2: Một người xe đạp từ A đến B cách 20km thời gian định Sau với vận tốc dự định, người giảm vận tốc km/h quãng đường lại, nên đến B chậm 15 phút so với dự định Tính vận tốc dự định người xe đạp Bài 3: Một cơng nhân giao khốn sản xuất 120 sản phẩm thời gian định Sau làm nửa số lượng giao, nhờ hợp lý hố số thao tác nên người làm thêm sản phẩm Nhờ đó, mức khốn giao người cơng nhân hồn thành sớm Tính suất thời gian dự định người cơng nhân Bài 4: Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm Trong ngày đầu họ thực mức đề Những ngày lại họ làm vượt mức ngày 40 sản phẩm nên hoàn thành kế hoạch sớm ngày Hỏi theo kế hoạch ngày nhóm thợ phải làm sản phẩm Bài 5: Hai vòi nước chảy vào bể chứa khơng có nước sau 55 phút bể đầy Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai Hỏi vịi chảy đầy bể ? Bài 6: Hai vòi nước chảy vào bể chứa khơng có nước sau đầy bể Nếu mở riêng vịi thứ giờ, vòi thứ hai bể Hỏi vịi chảy sau đầy bể ? Bài 7: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch ? Bài 8: Một ô tô khách từ tỉnh A đến tỉnh B cách 200km Sau 30 phút tơ khởi hành từ tỉnh B đến tỉnh A đường ấy, gặp tơ khách Tính vận tốc tơ, biết vận tốc ô tô lớn vận tốc ô tô khách 10km/h Bài 9: Khoảng cách hai bến sông A B 30km Một ca nô từ A đến B, nghỉ 40 phút B, quay trở bến A Thời gian kể từ lúc đến lúc trở đến A Tính vận tốc ca nơ nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước 3km/h Bài 10: Một ca nô chạy khúc sơng dài 95 km Thời gian xi thời gian ngược 1giờ 12 phút Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước 3km/h Bài 11: Hai người làm chung cơng việc hồn thành ngày Nếu người thứ làm nửa cơng việc, sau người thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại hồn Biên soạn: GV Bùi Công Luân – Buicongluan.ltqb@gmail.com Đề cương ôn tập Tốn học kỳ II thành tồn cơng việc ngày Hỏi người làm riêng hồn thành cơng việc ngày Bài 12: Cho số có hai chữ số Tìm chữ số số biết số tổng bình phương chữ số trừ 11, số hai lần tích hai chữ số cộng thêm Bài 13: Một ca nơ xi dịng 45km ngược dịng 18km Biết vận tốc xi dịng lớn vận tốc ngược dịng 6km/h thời gian xi dịng nhiều thời gian ngược dịng Tính vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng ca nơ Biên soạn: GV Bùi Công Luân – Buicongluan.ltqb@gmail.com Đề cương ơn tập Tốn học kỳ II PHẦN HÌNH HỌC A - KIẾN THỨC CƠ BẢN I Đường tròn vấn đề liên quan Cộng số đo cung: - Nếu điểm M nằm cung AB chia cung AB thành hai cung AM cung MB sñAB = sñAM + sñMB So sánh cung: Trong đường tròn hai đường tròn nhau: - Hai cung gọi chúng có số đo - Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn Định lý liên hệ cung dây: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Hai cung căng hai dây ngược lại - Cung lớn căng dây lớn ngược lại - Trong đường tròn, hai cung bị chắn dây song song Định lý liên hệ đường kính, cung dây: - Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung - Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây cung (không phải đường kính) qua điểm cung - Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại Định lý góc tâm: Số đo góc tâm số đo cung bị chắn Định lý góc nội tiếp, hệ góc nội tiếp: Trong đường trịn: - Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung - Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Tiếp tuyến đường trịn: * Định nghĩa: Đường thẳng a gọi tiếp tuyến đường tròn (O) a có điểm chung với đường trịn (O) Điểm chung gọi tiếp điểm * Tính chất: Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm * Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn: Đường thẳng a tiếp tuyến đường trịn nếu: - a có điểm chung với đường tròn - Khoảng cách từ a đến tâm O bán kính R Biên soạn: GV Bùi Công Luân – Buicongluan.ltqb@gmail.com Đề cương ôn tập Toán học kỳ II - a qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm * Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến cắt điểm thì: - Điểm cách tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến - Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm Tính chất hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: - Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn - Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Định lý góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn: - Góc có đỉnh bên đường trịn có số đo nửa tổng số đo hai cung bị chắn - Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn có số đo nửa hiệu số đo hai cung bị chắn 10 Định lý tứ giác nội tiếp: - (Thuận): Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 - (Đảo): Nếu tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn 11 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn: + Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 + Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện + Tứ giác có đỉnh cách điểm Điểm gọi tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác + Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α 12 Độ dài đường trịn, diện tích hình trịn - Độ dài đường trịn bán kính R là: C = 2πR - Độ dài cung trịn có số đo n độ, bán kính R là: l = - Diện tích hình trịn bán kính R là: S = π R π Rn 180 - Diện tích hình quạt trịn cung n độ, bán kính R : Sq = π R n lR 360 = * Hình viên phân: Là hình giới hạn cung dây căng cung Diện tích hình viên phân giới hạn cung AB dây AB hiệu diện tích hình quạt OAB diện tích tam giác OAB Svp AB = S qOAB − S ∆OAB * Hình vành khăn: Là phần hình trịn nằm hai đường trịn đồng tâm bán kính R r (R > r) Svkh = π ( R − r ) Biên soạn: GV Bùi Công Luân – Buicongluan.ltqb@gmail.com Đề cương ơn tập Tốn học kỳ II II Hình trụ, hình nón, hình cầu B – BÀI TẬP Cho tam giác MNP có ba góc nhọn (MN < MP) nội tiếp đường tròn (O); Các đường cao ML PK tam giác MNP cắt L (L ∈ NP, K ∈ MN) a) Chứng minh tứ giác NKHL nội tiếp đường tròn Biên soạn: GV Bùi Công Luân – Buicongluan.ltqb@gmail.com 10 Đề cương ôn tập Tốn học kỳ II b) Kẻ đường kính MQ đường tròn (O) Chứng minh: Hai tam giác MNQ MLP đồng dạng c) Kẻ LT song song với NQ (T ∈ MQ) Chứng minh PT vng góc với MQ Cho đường trịn (O), đường kính AB, cung AB lấy điểm C (C không trùng A, C không trùng B), Tiếp tuyến B tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt K Tia AC cắt tia BK D a) Chứng minh tứ giác BKCO nội tiếp đường tròn b) Chứng minh BCK = BAC c) Chứng minh K trung điểm BD d) Chứng minh BC2 = AC.CD Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AM AN (M, N hai tiếp điểm) cát tuyến ABC Gọi I trung điểm dây BC a) Chứng minh điểm A, M, I, O, N nằm đường trịn b) Nếu AM = OM tứ giác AMON hình gì? Vì sao? c) Cho AM = R Tính diện tích hình trịn độ dài đường trịn ngoại tiếp tứ giác AMON theo R 4: Cho đường trịn tâm O điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE tới đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi H trung điểm DE a) CMR: A,B, H, O, C thuộc đường tròn Xác định tâm đường trịn b) CMR: HA tia phân giác góc BHC c) Gọi I giao điểm BC DE CMR: AB2 = AI.AH d) BH cắt (O) K Chứng minh rằng: AE song song CK Cho tam giác ABC cân A Các đường cao AG, BE, CF cắt H a) Chứng minh AFHE tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AH.AG = AE.AC c) Chứng minh GE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHE Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, cắt DE DC theo thứ tự H K a) Chứng minh BHCD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh KC.KD = KH.KB c) Khi điểm E di chuyển cạnh BC điểm H di chuyển đường nào? Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A điểm thuộc cung BC cho AB < AC Tia phân giác BAC cắt (O) M, cắt BC I a) Chứng minh AB IC = AI MB b) Trên tia AB lấy điểm D cho AD = AC Kẻ Dx vng góc với DA cắt tia AM E Tứ giác ADEC hình ? Chứng minh c) Tiếp tuyến (O) C cắt tia DE G Chứng minh tứ giác BDGC nội tiếp Biên soạn: GV Bùi Công Luân – Buicongluan.ltqb@gmail.com 11 ... Buicongluan.ltqb@gmail.com Đề cương ơn tập Tốn học kỳ II a) x − x + = b) − x + x + = c) − x + 8x − = 20 20 + =9 e) (2 x + 1)( x − 1) = ? ?2 x f) x − 13 x + 36 = x −1 x h) x − x + = i) − x + x + = g) x + x + = 100 100 2x... − 2y = 14 2x + 3y = 3)  4x + 6y = 10 4x − 6y = 6)  10x − 15y = 18 Bài 2: Giải hệ phương trình sau:   x + 2y + y + 2x =  1)   − =1  x + 2y y + 2x   3x  x +1 − y + =  2)   2x... GV Bùi Công Luân – Buicongluan.ltqb@gmail.com Đề cương ơn tập Tốn học kỳ II b) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm c) Tìm m để (d1): y = 2x – cắt (d) (P) điểm d) Chứng minh (d2): y = - x + m2 cắt (P)