Nghiên cứu Khoa học cơ bản Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3 13 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ VÀ ỨNG DỤNG CHO CÁC TÍNH TOÁN NGUYÊN TỬ NCS. Cao Hồ Thanh Xuân và ctv Phòng Đào tạo ABSTRACT Operator method is an efficient non- pertubation method is used to study many problems in quantum physics. We show that the approximation method is of great importance in application of solving atomic Schrödinger equation. Applying for hydrogen atom as a sample problem, the accurate results in our research allow us to apply the method for atomic problems. Keyworks: Operator method, perturbation theory, Schrödinger equation. TÓM TẮT Phương pháp toán tử là một phương pháp phi nhiễu loạn hiệu quả đã được dùng để giải quyết nhiều bài toán khác nhau trong vật lý lượng tử. Chúng tôi chỉ ra rằng việc giải gần đúng phương trình Schrödinger cho nguyên tử có thể vận dụng trong điều kiện phổ quát nhất. Áp dụng cho bài toán nguyên tử hydro thu được kết quả với độ chính xác cao cho thấy có thể vận dụng tốt phương pháp này cho các bài toán nguyên tử phức tạp hơn. Từ khóa: Phương pháp toán tử, lý thuyết nhiễu loạn, phương trình Schrödinger. 1. Giới thiệu vấn đề Giải phương trình Schrödinger để tìm hàm sóng và năng lượng là một trong những công việc chính trong khảo sát các hệ lượng tử. Do tính phức tạp của các bài toán lượng tử, ngoại trừ bài toán nguyên tử hydro, hầu hết các trường hợp đều được giải bằng các phương pháp gần đúng khác nhau. Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn là một chọn lựa tốt cho nhu cầu thu được lời giải chính xác bằng số với sơ đồ tính bổ chính đến bậc bất kỳ. Tuy nhiên khó khăn đã nảy sinh do sự phân kỳ của chuỗi các bổ chính [1,5], nên việc xây dựng và ứng dụng các phương pháp phi nhiễu loạn để giải quyết các bài toán lượng tử là vấn đề quan trọng và cần thiết. Một trong các phương pháp phi nhiễu loạn đang được quan tâm là phương pháp toán tử (Operator Method, viết tắt là OM) đã được nhóm nghiên cứu của hai giáo sư Feranchuk I.D. và Komarov L.I. ở Đại học Tổng hợp Belarus xây dựng vào những năm 1980 [21] và được sử dụng rộng rãi trong một loạt các bài toán lượng tử [7,11-20,22-26,33-36,40-44]. Ý tưởng chính của OM nằm trong bốn bước sau: (1) - Biểu diễn toán tử Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy: ( , ) ( , , )H x p H a a  + → ; (2) - Tách từ Hamiltonian ra thành phần trung hòa: 0 ( , , ) ( , ) ( , , )H a a H a a V a a    + + + = + ; (3) - Chọn tham số  sao cho 0 ( , )H a a  + là thành phần chính của Hamiltonian và từ đây ta có nghiệm riêng của 0 ( , )H a a  + là năng lượng gần đúng bậc zero; (4) - Xem ( , , )V a a  + là thành phần nhiễu loạn và tính các bổ chính bậc cao theo các sơ đồ thích hợp. Như vậy, OM đã đưa ra một nguyên tắc phổ quát để chọn phần chính của Hamiltonian, dễ dàng ứng dụng cho các hệ lượng tử khác nhau mà không phụ thuộc nhiều vào đặc điểm riêng của hệ. Do đó, OM đã được dùng như một phương pháp phi nhiễu loạn hiệu quả, giải quyết nhiều bài toán khác nhau trong vật lý lượng tử. Một số thành công tiêu biểu của OM có thể nêu lên ở đây là: giải bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn và thu được năng lượng trạng thái cơ bản đạt độ chính xác cao khi tính gần đúng đến bổ chính bậc hai [21,42,44], dùng OM tìm được năng lượng trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của polaron phù hợp với số liệu tính toán của các phương pháp nghiên cứu khác [12,13,22,24,41], giải phương trình Schrödinger dưới dạng ma trận bằng OM sử dụng sơ đồ vòng lặp [10], giải được bài toán dao động tử phi điều hòa tổng quát và bài toán giếng thế đôi với các tham số được lựa chọn có giá trị nằm trong khoảng giới hạn Nghiên cứu Khoa học cơ bản Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3 14 cho phép [10,19,20], kết hợp được OM với đặc trưng của các nhóm SU(1,1) và O(4) của các toán tử sinh hủy [29,30], dùng OM cho hệ có vô hạn bậc tự do [21], cho hệ lượng tử bất kỳ trong trường hợp có phổ liên tục [23] hoặc cho hệ nhiều chiều [11,19,34-36]. Ngoài ra, OM cũng đã được cán bộ hướng dẫn đề cương này và nhóm nghiên cứu của ông phát triển cho các bài toán nguyên tử, phân tử trong trường điện từ [1-5,8,28,32], cho việc giải phương trình Dirac và một loạt các bài toán khác [33-36]. Cho đến nay, việc vận dụng OM giải các bài toán vật lý lượng tử vẫn còn là một vấn đề mang tính thời sự, thu hút sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu [2,4,16-18]. Qua nghiên cứu và khai thác trong một số bài toán cụ thể, OM đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau: (1) - Việc sử dụng phương pháp đại số tính toán các yếu tố ma trận giảm thiểu một khối lượng lớn tài nguyên tính toán; (2) - Có thể sử dụng các chương trình tính toán bằng các phần mềm tính toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica, Fortran để tự động hóa quá trình tính toán.; (3) - Cho phép xác định giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ (phi nhiễu loạn) trong toàn miền thay đổi tham số của trường ngoài. Trong đa số các bài toán vận dụng OM đã trình bày ở trên, các kết quả tính số chỉ dừng lại ở việc xác định năng lượng trạng thái cơ bản bằng cách sử dụng sơ đồ vòng lặp có tính đến các bổ chính bậc cao. Việc xác định năng lượng các trạng thái kích thích của các hệ lượng tử, nếu có, cũng chỉ dừng ở các mức năng lược kích thích bậc thấp nhất. Nguyên nhân của điều này là do kết quả tính toán phụ thuôc rất nhiều vào việc chọn lựa tham số tự do. Chúng ta gọi là tham số tự do vì thực chất Hamiltonian của hệ không phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này, tuy nhiên tham số tự do đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong việc thu được giá trị chính xác của nghiệm gần đúng và việc đạt được tốc độ hội tụ cao của nghiệm. Về nguyên tắc, việc chọn lựa tham số tự do cho trạng thái kích thích bất kỳ có thể dựa vào nguyên lý biến phân từ phương trình sau: 0= ∂ ∂  n E , với n E là năng lượng trạng thái kích thích và nb  = là tham số tự do đang được quan tâm. Ở trạng thái cơ bản, điều kiện trên trở thành: 0 0 )0( = ∂ ∂ n n E  , việc xác định 0n  từ điều kiện này cho phép thu được kết quả tính toán với độ chính xác rất cao. Trong các trường hợp khác tổng quát hơn thì 0nnb  ≠ và kết quả tính toán cho thấy có sự hạn chế khi vận dụng cho các trạng thái kích thích, do đó vấn đề chọn lựa tham số tự do sao cho tối ưu là vấn đề quan trọng vì nó sẽ quyết định mức độ thành công của việc ứng dụng OM cho mỗi bài toán lượng tử cụ thể. Công trình [10] đưa ra việc chọn lựa ngẫu nhiên tham số  ứng với giá trị thu được kết quả hội tụ cao nhất của nghiệm. Công trình [7] đưa ra phương pháp chọn lựa tối ưu tham số sau mỗi vòng lặp khi tính bổ chính bậc cao vào năng lượng, điều này sẽ làm tăng khối lượng tính toán lên nhiều lần khi vận dụng phương pháp cho hệ có nhiều bậc tự do. Hiện nay, vấn đề này vẫn còn là vấn đề mở cần có sự đầu tư nghiên cứu nhiều hơn [4], và đây cũng là một trong những vấn đề mà nghiên cứu này cần tập trung giải quyết. 2. Ứng dụng phương pháp toán tử vào các tính toán nguyên tử Để ứng dụng phương pháp toán tử vào các tính toán nguyên tử, chúng ta bắt đầu từ bài toán nguyên tử hydro. Do bài toán này đã thu được giải chính xác, nên rất dễ kiểm nghiệm mức độ phù hợp của phương pháp khi so sánh với các kết quả đã biết trước đó. Điều này có ý nghĩa rất quan trọng cho việc vận dụng OM vào các bài toán nguyên tử phức tạp hơn. Trong nghiên cứu này, phép biến đổi Laplace đã được sử dụng để giải quyết vấn đề khó khăn nảy sinh do thành phần tương tác Coulomb có các biến số nằm trong mẫu số. Ngoài ra, sơ đồ vòng lặp có tính đến các bổ chính bậc cao nhằm thu được lời giải chính xác bằng số cho trạng thái cơ bản và một vài mức kích thích bậc thấp của nguyên tử hydro cũng được sử dụng để minh họa cho mức độ đáng tin cậy của phương pháp. Nghiên cứu Khoa học cơ bản Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3 15 2.1. Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro Phương trình Schrödinger không thứ nguyên cho nguyên tử hydro có dạng sau: ( ) ( ) ˆ , , , ,H x y z x y z   = , (1) với: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ˆ 2 Z H x y z x y z   ∂ ∂ ∂ = − + + −   ∂ ∂ ∂ + +   ,(2) và Z là điện tích hạt nhân. Hamiltonian (2) được chuyển sang biểu diễn toán tử sinh hủy dưới dạng:         ∂ ∂ −=         ∂ ∂ += +        1 2 ˆ , 1 2 ˆ aa , (3) trong đó , ,x y z  = và  là tham số thực dương tự do. Dễ dàng kiểm chứng các toán tử sinh huỷ (4) thoã mãn hệ thức giao hoán:   , 1a a   +   =     . (4) Để loại trừ khó khăn do có số hạng chứa biến động lực ở mẫu số khi chuyển về biểu diễn toán tử sinh hủy, chúng tôi sử dụng phép biến đổi Laplace như sau: 2 0 1 1 ˆ tr e U dt r t  +∞ − = = ∫ . (5) và để thuận tiện trong tính toán, chúng tôi sử dụng các toán tử: 2 2 2 1 2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ A a a a= + + , 2 2 2 1 2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ A a a a + + + + = + + , (6) 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 3N a a a a a a + + + = + + + . Khi đó, Hamiltonian (2) được biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy như sau: ( ) ( ) 1 1/ 2 ˆ ln 1 2 2 0 0 0 1 2 ( 1) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ! ! (1 2 ) j k j k N t j k j k j k Z H A A N dt A e A j k t t    + + − +∞ +∞ − + +∞ + + + = = − = − + − − + ∑∑ ∫ . (7) Sử dụng tư tưởng phương pháp toán tử ta tách toán tử Hamiltonian (7) thành hai thành phần: VHH ˆˆˆ )0( += , (8) Phần ‘trung hòa’ có dạng: ( ) 1 2 1/2 ˆ ln 1 2 (0) 2 2 2 0 0 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ( !) (1 2 ) j N t j j j j Z H N dt A e A j t t    − +∞ − + +∞ + = = − + ∑ ∫ , (9) chứa số thừa số các toán tử sinh, hủy bằng nhau. Toán tử “nhiễu loạn” ˆ V có dạng: ( ) ( ) 1 1/2 ˆ ln 1 2 2 0 0 0, 1 2 ( 1) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ! ! (1 2 ) j k j k N t j k j k j k k j Z V A A dt A e A j k t t    + + − +∞ +∞ − + +∞ + + + = = ≠ − = − + − + ∑ ∑ ∫ , (10) Nghiệm gần đúng bậc zero của phương trình Schrödinger chính là nghiệm riêng chính xác của toán tử ( ) 0 ˆ H , còn các bổ chính bậc cao hơn có thể tính theo sơ đồ thích hợp. 2.2. Bộ hàm cơ sở Để thuận tiện khi tính các yếu tố ma trận chúng tôi sử dụng bộ hàm sóng của dao động tử điều hòa ba chiều viết qua biểu diễn toán tử sinh hủy: 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 ˆ ˆ ˆ , , 0 ! ! ! n n n n n n a a a n n n + + + = . (11) trong đó trạng thái chân không 0 được xác định bởi các phương trình sau: 1 2 3 ˆ ˆ ˆ 0 0, 0 0 , 0 0a a a= = = . (12) Tuy nhiên do bài toán có tính đối xứng cầu và bảo toàn đại lượng bình phương mô-men quỹ đạo cũng như hình chiếu mô-men quỹ đạo lên trục z nên ta cần xây dựng bộ hàm cơ sở thỏa mãn thêm các phương trình sau: Nghiên cứu Khoa học cơ bản Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3 16 2 ˆ , , ( 1) , ,L n l m l l n l m= + , ˆ , , , , Z L n l m m n l m= (13) Các toán tử 2 ˆ ˆ , Z L L biểu diễn qua các toán tử sinh hủy có dạng: 2 2 1 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4 4 L A A N N + = − + − + , (14) ( ) 2 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z L i a a a a + + = − (15) Khi xét trạng thái cơ bản ( 0, 0l m= = ) ta dùng bộ hàm cơ sở chuẩn hóa sau: ( ) 1 ˆ 0 2 ! 2 1 !! n n n A n n + = + . (16) Các yếu tố ma trận tương ứng với trạng thái (16) có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 , 2 0 ! 2 1 !! 2 2 ! 4 4 1 !! 1 4 3 4 2 4 1 !! ! ! 2 1 !! j n n n n j n n j n j Z H n n j n j j    + = + − − = + − +  −  +   ∑ , (17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 1 , 1 3 1 min( , ) , 0 1 2 2 1 2 1 2 3 4 ! 2 1 !! ! 2 1 !! 1 2 2 ! 2 2 4 1 !! 1 . 2 2 1 !! ! ! ! 2 1 !! 2 n s n s n s s n j n s n s n s j V s s s s n n s s j n s j Z n s j s j n j j       − + − + + =   = − + + + +   + + − + − − − − + + − − + ∑ (18) Tính đối xứng của yếu tố ma trận: , ,n s s n V V= cũng được chú ý đến khi tính toán. 2.3. Một số kết quả đạt được 2.3.1. Nghiệm gần đúng bằng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn tính đến bổ chính bậc ba Bảng 1: Năng lượng trạng thái cơ bản theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn  Năng lượng Độ chính xác ( ) 0 0.5 exact  = − 0.565884 0.590000 0.597705 - 0.495110 - 0.499602 - 0.499725 0.98% 0.07% 0.05% Bảng 2: Năng lượng một số trạng thái kích thích theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn n ω Năng lượng Nghiệm chínhxác Sai số (%) 1 0.171100 - 0.125357929414 - 1/8 0.29 2 0.059000 - 0.055412117890 - 1/18 0.26 3 0.025800 - 0.031329735610 - 1/32 0.26 4 0.013340 - 0.020035468894 - 1/50 0.18 5 0.007740 - 0.013867592849 - 1/72 0.15 Rõ ràng phương pháp toán tử sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn cho phép thu được kết quả tương đối chính xác và tham số  được chọn bằng cách thử sao cho đạt tốc độ hội tụ cao nhất. 2.3.2. Nghiệm chính xác bằng sơ đồ vòng lặp Hàm sóng chính xác có thể viết dưới dạng chuổi theo bộ hàm cơ sở như sau: ( ) 0 n k k k n n C k +∞ = ≠ Ψ = + ∑ . (19) Nghiên cứu Khoa học cơ bản Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3 17 Ta gọi hàm sóng gần đúng đến bậc (s) có dạng: ( ) ( ) ( ) 0 n s s s n k k k n n C k + = ≠ Ψ = + ∑ . (20) Các hệ số khai triển )(s k C của hàm sóng và giá trị )(s n  của năng lượng có thể tính số theo công thức truy hồi sau: ( ) ( ) 1 1 ( ) ( 1) 0 , 1 , , n s s s j jn jk k s k k n k j n jj C V C V j n j n s H  + − − − = ≠ ≠   = + ≠ ≤ +     −   ∑ ,(21) ( ) ( ) ( ) , 0 n s s s n n n nk k k k n H C V  + = ≠ = + ∑ (22) Lập trình tính toán trên Fortran 9.0 theo sơ đồ (22) với các yếu tố ma trận (17) và (18) cho trạng thái cơ bản chúng tôi thu được kết quả như trong Bảng 3. Bảng 3: Trị riêng bằng sơ đồ vòng lặp s ( ) 0 s  s ( ) 0 s  150 200 300 400 500 600 700 - 0.499746 - 0.499833 - 0.499908 - 0.499939 - 0.499956 - 0.499967 - 0.499973 800 900 1000 1100 1200 1300 1343 - 0.499978 - 0.499981 - 0.499984 - 0.499986 - 0.499988 - 0.499989 - 0.499990 Tốc độ hội tụ của bài toán phụ thuộc vào tham số tự do ω cũng được chúng tôi khảo sát và thu được kết quả như trong bảng 4: Bảng 4: Phụ thuộc tốc độ hội tụ vào tham số  ω s ω s 0.565884 0.848826 1.131768 1.697652 2.546479 3.395305 3.961189 1343 895 681 429 307 247 202 4.244131 4.583662 4.640250 4.753427 4.866604 4.979781 200 197 238 359 546 1289 Như vậy ta thấy phương pháp toán tử với sơ đồ vòng lặp cho ta hội tụ đến kết quả chính xác, cụ thể là với 1343 vòng lặp ta có năng lượng chính xác đến năm chữ số sau dấu phẩy ( ) 1343 0 0.499990  = − . Tuy số vòng lặp lớn nhưng số lượng tính toán ít hơn khi sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn là vì với mỗi bậc nhiễu loạn ta đều có tổng vô số hạn và tốc độ hội tụ của các tổng đó cũng không cao. 3. Kết luận Phương pháp toán tử kết hợp với phép biến đổi Laplace được ứng dụng rất hiệu quả cho việc giải phương trình Schrödinger nguyên tử hydro: (1) với sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn cho nghiệm gần đúng đến bổ chính bậc ba có độ chính xác rất cao, (2) với sơ đồ vòng lặp ta thu được nghiệm chính xác bằng số, (3) Tham số tự do  rất quan trọng trong việc nâng cao tốc độ hội tụ đến nghiệm chính xác khi sử dụng phương pháp toán tử kết hợp với phép biến đổi Laplace trong sơ đồ vòng lặp. Vì cách giải rất tổng quát, không cần tính đến đặc điểm riêng của Hamiltonian, cho nên chúng tôi có thể hy vọng là phương pháp Nghiên cứu Khoa học cơ bản Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3 18 toán tử có thể áp dụng tốt cho các bài toán nguyên tử khác và chúng tôi sẽ tiếp tục phát triển phương pháp này cho các bài toán khác phức tạp hơn trong các công trình tiếp theo. Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1]. Nguyễn Phương Duy Anh (2010), Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kì, Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán, trường Đại học Khoa học Tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh. [2]. Bùi Nguyễn Ngọc Thúy, Nguyễn Đình Luật, Nguyễn Văn Hoa, Cao Hồ Thanh Xuân, Lê Văn Hoàng (2012), Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho nguyên tử Hydro, Tạp chí Khoa học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Phần Khoa học Tự nhiên, số 36. [3]. Lê Văn Hoàng (2003), Phương pháp đại số cho tính toán các hệ nguyên tử, Tạp chí Khoa học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Phần Khoa học Tự nhiên, số 2, trang 115-125. [4]. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Lê Văn Hoàng (2012), Tham số tự do với sự hội tụ của phương pháp toán tử FK, Tạp chí Khoa học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Phần Khoa học Tự nhiên, số 33, trang 94-106. [5]. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kì, Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán, trường Đại học Khoa học Tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh. [6]. Cao Hồ Thanh Xuân (2008), Kiểm chứng Hệ thống tuần hoàn các nguyên tố hóa học bằng tính toán theo nguyên lý ban đầu (Ab Initio), Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán, trường Đại học Khoa học Tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh. Tiếng Anh: [7]. Chan Za An, I.D. Feranchuk, L.I. Komarov, L.S Nakhamchik (1986), Optimal Choice of A Parameter for The Operator Method of The Solution of The Schrödinger Equation, J. Phys. A 19, 1583. [8]. Le Van Hoang, Le Tran The Duy, Hoang Do Ngoc Tram, Ngo Dinh Nguyen Thach, Le Thi Ngoc Anh (2004), Exact Solution of Two-dimentinal Screened Donor State in A Magnetic Field, eprint arXiv:0410382. [9]. B. H. Bransden, C. J. Joachain (1996), Physics of Atoms and Molecules, Longman, England. [10]. F.M.Fernández, A.M.Mesón, E.A.Castro (1985), A Simple Iterative Solution of Schrödinger Equation in Matrix Representation Form, J. Phys. A 18, 1389. [11]. I. D. Feranchuk et al (1996), Two-level System in A One-mode Quantum Field: Numerical Solution on The Basis of The Operator Method, J. Phys. A 29, 4035. [12]. I.D. Feranchuk, S.I. Fisher, L.I. Komarov (1984), Analysis of The Polaron Problem on The Basis of The Operator Method, J. Phys. C 17, 4309. [13]. I.D. Feranchuk, S.I. Fisher, L.I. Komarov (1985), Analytical Investigation of The Polaron Problem, J. Phys. C 18, 5083. [14]. Ilya Feranchuk, Alexey Ivanov, (2004), Operator Method for Nonperturbative Description of Quantum Systems, In the book ‘Etude on Theor. Phys.’, Ed. Feranchuk I. et al, World Scientific, Singapore, 171-188. [15]. I. D. Feranchuk, A. A. Ivanov (2004), Operator Method for Nonperturbative Calculation of The Thermodynamic Values in Quantum Statistics. Diatomic Molecular Gas, J. Phys. A 37, 9841. [16]. I. D. Feranchuk, A.V. Leonov (2009), Analytical Analysis of The “Collapse- Revival” Effect in The Jaynes-Cummings Model, Phys. Lett. A 373, 517-520. [17]. I. D. Feranchuk, A.V. Leonov (2009), Resonant Modification of The Rabi Oscillation of A Two-level System, Phys. Lett. A 373, 4113-4116. [18]. I. D. Feranchuk, A.V. Leonov (2011), Strong Field Effects in The Evolution of A Nghiên cứu Khoa học cơ bản Tập san Khoa học & Giáo dục, số 3 19 Two-level System, Phys. Lett. A 375, 385- 389. [19]. I.D. Feranchuk, L.I. Komarov, I. V. Nechipor (1987), An Analytical Description of Some Quantum Systems in Periodic External Fields and Quasistationary Systems, J. Phys. A 20, 3849. [20]. I. D. Feranchuk, L. I. Komarov, I. V. Nichipor, A. P. Ulyanenkov (1995), Operator Method in The Problem of Quantum Anharmonic Oscillator, Ann. Phys. 238, 370-440. [21]. I. D. Feranchuk, L. I. Komarov (1982), The Operator Method of Approximate Solution of The Schrödinger Equation, Phys. Lett. A 88, 211-214. [22]. I.D. Feranchuk, L.I. Komarov (1982), The Regular Perturbation Theory in The Strong-coupling Polaron Problem, J. Phys. C 15, 1965. [23]. I. D. Feranchuk, L. I. Komarov (1984), The Operator Method of The Approximate Description of The Quantum and Classical Systems, J. Phys. A 17, 3111. [24]. I.D. Feranchuk, L.I. Komarov (2005), New Solution for The Polaron Problem, eprint arXiv:0510510v1. [25]. I. D. Feranchuk, A. L. Tolstik (1999), Operator Method for Coupled Anharmonic Oscillators, J. Phys. A 32, 2115. [26]. I. D. Feranchuk, V.V. Triguk (2011), Regular Perturbation Theory for Two- Electron, Phys. Lett. A 375, 2550-2554. [27]. James B. Foresman and Æleen Frisch, Exploring Chemistry with Electronics Structure methods, 2 nd edition, Gaussian Inc., Pittsburgh, PA. [28]. Le Van Hoang, Nguyen Thu Giang (1993), The Algebraic Method for Two- dimensional Quantum Atomic Systems, J. Phys. A 26, 1409. [29]. Christopher C. Gerry (1983), Generalised Coherent States and Group Representations on Hilbert Spaces of Analytic Functions, J. Phys. A 16, L1. [30]. Christopher C. Gerry (1984), On The Coherent States for The Hydrogen Atom, J. Phys. A 17, L737. [31]. L.I. Gurskii, L.I. Komarov, A.M. Solodukhin (1999), Group of Symmetry of the Periodic System of Chemical Elements, Int. J. Quant. Chem. 72, 499- 508. [32]. Le Van Hoang (2004), Algebraic Method with the use of many-particle Coulomb Green Function for Atomic Calculations, In the book ‘Etude on Theor. Phys.’, Ed. Feranchuk I. et al, World Scientific, Singapore, 231-249. [33]. Le Van Hoang, L.I Komarov, T.S. Romanova (1989), On the Coulomb Green function, J. Phys. A 22, 1543. [34]. Le Anh Thu, Le Van Hoang, L.I Komarov, T.S. Romanova (1994), Operator Representation of The Dirac Coulomb Green Function and Relativistic Polarizability of Hydrogen-like Atoms, J. Phys. B 27, 4083. [35]. Le Anh Thu, Le Van Hoang, L.I Komarov, T.S. Romanova (1996), Relativistic Dynamical Polarizability of Hydrogen-like Atoms, J. Phys. B 29, 2897. [36]. Le Van Hoang, Tony J. Viloria, Le Anh Thu (1991), On The Hydrogen-like Atom in Five-dimentional Space, J. Phys. A 24, 3021. [37]. F. Iachello, S. Oss (2002), Algebraic Method in Quantum Mechanics: from Molecules to Polymers, Eur. Phys. J. D 19, 307-314. [38]. Petr A. Khomyakov (2008), Operator Method for solution of The Schrodinger Equation with The Rational Potential, eprint arXiv:0102031v2. [39]. Maurice R. Kibler (2004), On the use of The Group SO(4,2) in Atomic and Molecular Physics, Mol. Phys. 102, 1221-1229. [40]. L.I. Komarov, T.S Romanova (1985), The Algebraic Method of solution of The Dirac Equation for a particle in a Coulomb potential, J. Phys. B 18, 859. [41]. Le Anh Thu, L.I. Komarov (1998), Operator Method in solving Non-linear . . [4], và đây cũng là một trong những vấn đề mà nghiên cứu này cần tập trung giải quyết. 2. Ứng dụng phương pháp toán tử vào các tính toán nguyên tử Để ứng dụng phương pháp toán tử vào các tính toán. sát các hệ lượng tử. Do tính phức tạp của các bài toán lượng tử, ngoại trừ bài toán nguyên tử hydro, hầu hết các trường hợp đều được giải bằng các phương pháp gần đúng khác nhau. Phương pháp. Schrödinger cho nguyên tử có thể vận dụng trong điều kiện phổ quát nhất. Áp dụng cho bài toán nguyên tử hydro thu được kết quả với độ chính xác cao cho thấy có thể vận dụng tốt phương pháp này cho các