Đang tải... (xem toàn văn)
HÌNH HỌC LỚP 8 CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HÌNH HỌC LỚP 8 CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HÌNH HỌC LỚP 8 CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HÌNH HỌC LỚP 8 CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HÌNH HỌC LỚP 8 CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HÌNH HỌC LỚP 8 CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HÌNH HỌC LỚP 8 CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HÌNH HỌC LỚP 8 CHƯƠNG III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Trần Sĩ Tùng Hình học CHƯƠNG III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Tỉ số hai đoạn thẳng • Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo • Tỉ số hai đoạn thẳng khơng phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD đgl tỉ lệ với hai đoạn thẳng A′B′ C′D′ có tỉ lệ thức: AB A′B′ AB CD = = hay CD C′D′ A′B′ C ′D′ Định lí Ta-lét tam giác Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ AB′ AC′ AB′ AC ′ AB AC B′C ′ P BC ⇒ = ; = ; = AB AC B′B C′C B′B C′C Định lí Ta-lét đảo Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác AB′ AC′ = ⇒ B′C′ P BC B′B C′C Hệ Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho AB′ AC′ B′C′ B′C ′ P BC ⇒ = = AB AC BC Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng song song với cạnh cắt phần kéo dài hai cạnh lại A B’ B C’ C Tính chất đường phân giác tam giác Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn DB AB EB = = AD, AE phân giác góc ·BAC ⇒ DC AC EC Nhắc lại số tính chất tỉ lệ thức ad = bc a b = c d a c = ⇒ a ± b c ± d b d b = d a c a + c a − c = = = b d b + d b − d VẤN ĐỀ I Tính độ dài đoạn thẳng Trang 21 Đại số Trần Sĩ Tùng Bài Cho tam giác ABC, G trọng tâm Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt cạnh AB, BC D E Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết AD + EC = 16cm chu vi tam giác ABC 75cm HD: Vẽ DN // BC ⇒ DNCE hbh ⇒ DE = NC DE = 18 cm Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD M, cắt cạnh BC N cho MD = 3MA NB a) Tính tỉ số NC b) Cho AB = 8cm, CD = 20cm Tính MN NB = HD: a) Vẽ AQ // BC, cắt MN P ⇒ ABNP, PNCQ hbh ⇒ NC b) Vẽ PE // AD ⇒ MPED hbh ⇒ MN = 11 cm AB′ AC′ = Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm B′, C′ cho AB AC Qua B′ vẽ đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC C′′ a) So sánh độ dài đoạn thẳng AC′ AC′′ b) Chứng minh B′C′ // BC HD: a) AC′ = AC′′ b) C′ trùng với C′′ ⇒ B′C′ // BC Bài Cho tam giác ABC, đường cao AH Đường thẳng a song song với BC cắt cạnh AB, AC đường cao AH B′, C′, H′ AH ′ B′C ′ = a) Chứng minh AH BC b) Cho AH ′ = AH diện tích tam giác ABC 67,5cm2 Tính diện tích tam giác AB′C′ HD: b) S AB′C ′ = S ABC = 7,5cm Bài Cho tam giác ABC Gọi D điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = 13,5cm, DB = 4,5cm Tính tỉ số khoảng cách từ điểm D B đến cạnh AC DN = 0,75 HD: Vẽ BM ⊥ AC, DN ⊥ AC ⇒ BM Bài Cho tam giác ABC có BC = 15cm Trên đường cao AH lấy điểm I, K cho AK = KI = IH Qua I K vẽ đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M ∈ AB; F, N ∈ AC) a) Tính độ dài đoạn thẳng MN EF b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết diện tích tam giác ABC 270cm HD: a) EF = 10 cm, MN = 5cm b) SMNFE = S ABC = 90cm Bài Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo Qua điểm I thuộc đoạn OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh AB, BC tia DA, DC theo thứ tự điểm M, N, P, Q IM IB IM IB OD = = a) Chứng minh: OA OB IP ID OB IM IN = b) Chứng minh: IP IQ HD: Sử dụng định lí Ta-lét Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm cạnh AB, F trung điểm cạnh CD Chứng minh hai đoạn thẳng DE BF chia đường chéo AC thành ba đoạn HD: Gọi M, N giao điểm DE BF với AC Chứng minh: AM = MN = NC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD Trang 22 Trần Sĩ Tùng Hình học DM CN m mAB + nCD = = Chứng minh rằng: MN = MA NB n m+n m n AB, ME = CD HD: Gọi E giao điểm MN với AC Tính EN = m+n m+n Bài 10.Cho tứ giác ABCD có góc B D góc vng Từ điểm M đường chéo AC, MN MP + = vẽ MN ⊥ BC, MP ⊥ AD Chứng minh: AB CD MN MP ; HD: Tính riêng tỉ số , cộng lại AB CD Bài 11.Cho hình bình hành ABCD Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC I cắt cạnh BC N, cắt đường thẳng AB M a) Chứng minh tích AM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí cát tuyến qua D b) Chứng minh hệ thức: ID = IM IN Bài 12.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm B′, C′ S ABC AB AC = Chứng minh: S AB′C ′ AB′ AC ′ M, cắt cạnh BC N Biết AC CH = AC′ C′H ′ Bài 13.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CD lấy điểm D, E, F cho 1 AD = AB , BE = BC , CF = CA Tính diện tích tam giác DEF, biết diện tích tam 4 2 giác ABC a (cm ) HD: Vẽ đường cao CH C′H′ ⇒ S ABC ⇒ SDEF = a2 (cm ) 16 16 AK = Trên cạnh BC lấy điểm L Bài 14.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK CL = Gọi Q giao điểm đường thẳng AL CK Tính diện tích tam giác cho BL ABC, biết diện tích tam giác BQC a2 (cm ) HD: SBED = SCEF = S ADF = SBLQ SCLQ 7 ⇒ S ABC = SBQC = a2 (cm2 ) SBLA SCLA 4 Bài 15.Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm D, E, F cho: AD BE CF = = = AB BC CA Tính diện tích tam giác tạo thành đường thẳng AE, BF, CD, biết diện tích tam giác ABC S HD: Gọi M, P, T giao điểm AE CD, AE BF, BF CD DD′ CM 6 2 = ⇒ = ⇒ SCMA = SCAD = S ABC = S Qua D vẽ DD′// AE Tính ME CD 7 7 SMPT = SABC − (SCMA + S APB + SBTC ) = S Bài 16.Cho a) HD: Vẽ LM // CK = = VẤN ĐỀ II Chứng minh hai đường thẳng song song Trang 23 Đại số Trần Sĩ Tùng Bài Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H AE AH CF CG = = = cho AB AD CB CD a) Chứng minh tứ giác EFGH hình bình hành b) Chứng minh hình bình hành EFGH có chu vi khơng đổi HD: b) Gọi I, J giao điểm AC với HE GF ⇒ PEFGH = 2( AI + IJ + JC ) = AC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC a) Chứng minh IK // AB b) Đường thẳng IK cắt AD, BC E F Chứng minh EI = IK = KF MI MK = ⇒ IK P AB HD: a) Chứng minh IA KB Bài Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt AC M AB K Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB F Qua F, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC P Chứng minh rằng: a) MP song song với AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng qui HD: b) Gọi I giao điểm DB với CF Chứng minh P, I, M thẳng hàng Bài Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng song song với BC qua O, cắt AB E đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD F a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD b) Từ O vẽ đường thẳng song song với AB AD, cắt BC DC G H Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH AE AF = HD: a) Chứng minh b) Dùng kết câu a) cho đoạn GH AB AD Bài a) VẤN ĐỀ III Tính chất đường phân giác tam giác Trang 24 Trần Sĩ Tùng Hình học Bài Cho tam giác ABC cân A, BC = 8cm, phân giác góc B cắt đường cao AH K, AK = AH a) Tính độ dài AB b) Đường thẳng vng góc với BK cắt AH E Tính EH HD: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n; AD đường phân giác góc A Tính tỉ số diện tích tam giác ABD tam giác ACD S m HD: ABD = S ACD n Bài Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD, BC = 10cm, AB = 15cm a) Tính AD, DC b) Đường phân giác ngồi góc B tam giác ABC cắt đường thẳng AC D′ Tính D′C HD: a) DA = 9cm, DC = 6cm b) D′C = 10cm Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM đường phân giác AD a) Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) diện tích ∆ABC S b) Cho n = 7cm, m = 3cm Diện tích tam giác ADM chiếm phần trăm diện tích tam giác ABC? n−m S HD: a) S ADM = b) S ADM = 20%S ABC 2(m + n) ABC Bài Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Gọi G trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai đường phân giác BD, AE a) Tính độ dài đoạn thẳng AD b) Chứng minh OG // AC HD: a) AD = 2,5cm b) OG // DM ⇒ OG // AC Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đường phân giác góc ·AMB cắt AB D, đường phân giác góc ·AMC cắt cạnh AC E Chứng minh DE // BC DA EA = ⇒ DE P BC DB EC Bài Cho tam giác ABC (AB < AC), AD phân giác góc A Qua trung điểm E cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC F, cắt đường thẳng AB G Chứng minh CF = BG BG BE.CD.BA CD.AB = = = HD: CF BD.CE AC BD AC Bài Cho tam giác ABC ba đường phân giác AM, BN, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4, 7, a) Tính MC, biết BC = 18cm b) Tính AC, biết NC – NA = 3cm OP c) Tính tỉ số OC MB NC PA = d) Chứng minh: MC NA PB 1 1 1 + + > + + e) Chứng minh: AM BN CP BC CA AB OP = HD: a) MC = 10cm b) AC = 11cm c) OC 1 1 AC AB > + e) Vẽ BD // AM ⇒ BD < 2AB ⇒ AM < ⇒ ÷ AC + AB AM AB AC HD: Trang 25 Đại số Trần Sĩ Tùng 1 1 1 1 > + > + ÷, ÷ ⇒ đpcm BN AB BC CP AC BC Bài Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC Đường phân giác góc AIB cắt cạnh AB M Đường phân giác góc AIC cắt cạnh AC N a) Chứng minh MM // BC b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN = AI? c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN ⊥ AI? AM AN = HD: a) Chứng minh BM CN Bài 10 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn DC, góc µ = 600 Đường phân giác góc D cắt D đường chéo AC I, chia AC thành hai đoạn theo tỉ số cắt đáy AB M Tính 11 cạnh đáy AB, DC, biết MA – MB = 6cm MB = ⇒ DC = 66cm, AB = 42cm HD: Chứng minh DC = AB + AD ⇒ DC = AB + AM ⇒ MA Bài 11 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt AB E, AD F cắt đường chéo AC AB AD AC + = G Chứng minh hệ thức: AE AF AG HD: Vẽ DM // EF, BN // EF Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADM, ABN Bài 12 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh CD lấy điểm N cho DN = BM Chứng minh ba đường thẳng MN, DB, AC đồng qui HD: Bài 13 a) HD: Tương tự: II TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Khái niệm hai tam giác đồng dạng Trang 26 Trần Sĩ Tùng Hình học a) Định nghĩa: Tam giác A′B′C′ gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: µ ′ = µ , µ ′ = µ , µ ′ = µ ; A′B′ = B′C ′ = C′A′ A A B B C C AB BC CA Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng: ∆ A′B′C ′ ∆ ABC b) Định lí: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với hai cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho Chú ý: Định lí trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại A M B N C Các trường hợp đồng dạng hai tam giác Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng với A′B′ B′C ′ C′A′ = = ⇒ ∆A′B′C′ ∆ABC AB BC CA Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng với A′B′ A′C′ µ µ = , A′ = A ⇒ ∆A′B′C′ ∆ABC AB AC Trường hợp 3: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với µ ′ = µ , µ ′ = µ ⇒ ∆A′B′C′ ∆ABC A A B B Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông Trường hợp 1: Nếu tam giác vuông có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với Trường hợp 2: Nếu tam giác vuông có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với Tính chất hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng với thì: • Tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng • Tỉ số hai đường phân giác tương ứng tỉ số đồng dạng • Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng tỉ số đồng dạng • Tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng • Tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng VẤN ĐỀ I Sử dụng tam giác đồng dạng để tính tốn Trang 27 Đại số Trần Sĩ Tùng Bài Cho tam giác A′B′C′ đòng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k a) Tính tỉ số chu vi hai tam giác b) Cho k = hiệu chu vi hai tam giác 40dm Tính chu vi tam giác P′ =k HD: a) b) P′ = 60(dm), P = 100(dm) P Bài Cho tam giác A′B′C′ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = Tính chu vi tam giác ABC, biết chu vi tam giác A′B′C′ 27cm HD: P = 20,25(cm) Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm Tam giác A′B′C′ đồng dạng với tam giác ABC có chu vi 75cm Tính độ dài cạnh ∆A′B′C′ HD: A′B′ = 15cm, B′C′ = 25cm, A′C ′ = 35cm Bài Cho tam giác ABC đường cao BH, CK a) Chứng minh ∆ABH ∆ACK b) Cho ·ACB = 400 Tính ·AKH HD: b) ·AKH = ·ACB = 400 Bài Cho hình vng ABCD Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P Q cho BP = BQ Gọi H hình chiếu B đường thẳng CP BH CH = a) Chứng minh ∆BHP ∆CHB b) Chứng minh: BQ CD c) Chứng minh ∆CHD ∆BHQ Từ suy ·DHQ = 900 HD: c) Chứng minh ·DHQ = ·CHD + ·CHQ = ·BHQ + ·CHQ = ·BHC = 900 Bài Hai tam giác ABC DEF có µ = µ , µ = µ , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm A D B E a) Tính độ dài cạnh AC, DF, EF, biết cạnh AC dài cạnh DF 3cm b) Cho diện tích tam giác ABC 39,69cm2 Tính diện tích tam giác DEF HD: a) ∆ABC ∆DEF ⇒ EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm b) SDEF = 22,33(cm2 ) Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm Gọi I, K hình chiếu H lên AB, AC a) Chứng minh ∆AKI ∆ABC b) Tính diện tích tam giác ABC c) Tính diện tích tứ giác AKHI 216 cm HD: b) S ABC = 39cm2 c) S AKHI = 13 Bài Cho tam giác ABC, có µ = 900 + µ , đường cao CH Chứng minh: A B ·CBA = ·ACH a) b) CH = BH AH Bài Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM CN cắt G Tính diệnt ích tam giác GMN, biết diện tích tam giác ABC S S HD: SGMN = 12 Bài 10 Cho hình vng ABCD, cạnh a Gọi E điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD I Trên EB lấy điểm M cho DM = DA a) Chứng minh ∆EMC ∆ECB b) Chứng minh EB.MC = 2a2 c) Tính diện tích tam giác EMC theo a HD: c) SEMC = a2 Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AB, lấy điểm M cho AM = 3MB Một đường thẳng qua M, song song với BC, cắt AC N Một đường thẳng qua N, song song với Trang 28 Trần Sĩ Tùng Hình học AB, cắt BC D a) Chứng minh ∆AMN ∆ NDC b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm Tính diện tích tam giác AMN, ABC NDC 200 32 cm , SNDC = cm HD: b) S AMN = 24cm , S ABC = 3 VẤN ĐỀ II Chứng minh hai tam giác đồng dạng Bài Cho tam giác ABC Gọi A′, B′, C′ trung điểm cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh ∆A′B′C′ ∆CAB b) Tính chu vi ∆A′B′C′, biết chu vi ∆ABC 54cm HD: b) P′ = 27(cm) Bài Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác Gọi E, F, H trung điểm AG, BG, CG Chứng minh tam giác EFH ABC đồng dạng với G trọng tâm tam giác EFH HD: Sử dụng tính chất đường trung bình trọng tâm tam giác Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm M, N, P cho AM, BN, CP đồng qui O Qua A C vẽ đường thẳng song song với BO cắt CO, OA E F a) Chứng minh: ∆FCM ∆OMB ∆PAE ∆PBO MB NC PA = b) Chứng minh: MC NA PB HD: b) Sử dụng định lí Ta-lét tam giác đồng dạng Bài Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AD = 8cm, AE = 6cm a) Chứng minh ∆AED ∆ABC b) Tính chu vi tam giác ADE, biết BC = 25cm c) Tính góc ADE, biết µ = 200 C HD: b) PADE = 24(cm) c) ·ADE = 20 Bài Cho góc ·xOy (·xOy ≠ 180 ) Trên cạnh Ox, lấy điểm A, B cho OA = 5cm, OB = 16cm Trên cạnh Oy, lấy điểm C, D cho OC = 8cm, OD = 10cm a) Chứng minh: ∆OCB ∆OAD b) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh ·BAI = ·DCI HD: Bài Cho tam giác ABC có cạnh AB = 24cm, AC = 28cm Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Gọi M, N hình chiếu điểm B, C đường thẳng AD BM AM DM = a) Tính tỉ số b) Chứng minh CN AN DN BM = HD: a) Chứng minh ∆BDM ∆CDN ⇒ b) Chứng minh ∆ABM ∆CAN CN Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ CE ⊥ AB CF ⊥ AD, BH ⊥ AC a) Chứng minh ∆ABH ∆ACE b) Chứng minh: AB AE + AD AF = AC HD: b) Chứng minh: AB.AE = AC.AH, AD.AF = AC.CH ⇒ đpcm Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Trang 29 Đại số Trần Sĩ Tùng a) Chứng minh OA.OD = OB.OC b) Đường thẳng qua O, vng góc với AB, CD theo thứ tự H, K Chứng minh OH AB = OK CD HD: a) Chứng minh ∆OAB ∆OCD Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi O giao điểm ba đường cao AH, BK, CI a) Chứng minh OK.OB = OI.OC b) Chứng minh ∆OKI ∆OCB c) Chứng minh ∆BOH ∆BCK d) Chứng minh BO.BK + CO.CI = BC HD: Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm a) Tính BC b) Từ trung điểm M BC, vẽ đường thẳng vng góc với BC, cắt đường thẳng AC H cắt đường thẳng AB E Chứng minh ∆EMB ∆CAB c) Tính EB EM d) Chứng minh BH vng góc với EC e) Chứng minh HA.HC = HM.HE HD: a) BC = 9(cm) c) EM = 6(cm), EB = 7,5(cm) Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Hãy nêu cặp tam giác đồng dạng b) Cho AB = 12,45cm, AC = 20,50cm Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH, CH HD: b) BC = 23,98cm, AH = 10,64cm, HB = 6,45cm, HC = 17,53cm 20 cm Bài 12 Cho tam giác ABC đường cao AH, AB = 5cm, BH = 3cm, AC = a) Tính độ dài AH b) Chứng minh ∆ABH ∆CAH Từ tính ·BAC HD: a) AH = 4cm b) ·BAC = 900 Bài 13 Cho tứ giác ABCD, có ·DBC = 900 , AD = 20cm , AB = 4cm , DB = 6cm , DC = 9cm a) Tính góc ·BAD b) Chứng minh ∆BAD ∆DBC c) Chứng minh DC // AB HD: a) ·BAD = 900 Bài 14 a) HD: BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài Cho tam giác ABC vuông A, AB = 15cm, AC = 20cm Tia phân giác góc A, cắt cạnh BC D Trang 30 Trần Sĩ Tùng Hình học DB DC b) Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC E Chứng minh ∆EDC ∆ABC c) Tính DE diện tích tam giác EDC DB 60 2400 = (cm2 ) HD: a) c) DE = (cm) , SEDC = DC 49 Bài Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a Vẽ đường cao BH, CK a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC HK a) Tính a3 a2 HD: c) HC = , KH = a − 2b 2b Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm K, H cho BK CH = BI Chứng minh: a) ∆KBI ∆ICH b) ∆KIH ∆KBI c) KI phân giác góc ·BKH d) IH KB + HC.IK > HK BI HD: d) Chứng minh IH KB + HC.IK = BI (KI + IH ) > HK BI Bài Cho tam giác ABC (AB < AC) Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM a) Chứng minh HD + DM = HM b) Vẽ đường cao BF, CE So sánh hai đoạn thẳng BF CE c) Chứng minh ∆AFE ∆ABC d) Gọi O trực tâm ∆ABC Chứng minh BO.BF + CO.CE = BC µ A HD: a) AB < AC ⇒ DC > MC, ·CAH > ⇒ D nằm H M ⇒ đpcm b) BF < CE d) BO.BF = BC.BH, CO.CE = BC.CH AD AE = Bài cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AB AC Đường trung tuyến AI (I ∈ BC) cắt đoạn thẳng DE H Chứng minh DH = HE DH HE = HD: ⇒ đpcm BI IC Bài Cho tam giác ABC vuông A, µ = 300 đường phân giác BD (D ∈ AC) C DA a) Tính tỉ số b) Cho AB = 12,5cm Tính chu vi diện tích tam giác ABC CD DA = HD: a) b) BC = 25cm, AC = 21,65cm DC Bài Cho tam giác ABC cạnh a, M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho ·DME = 600 a2 b) Chứng minh ∆MBD ∆EMD ∆ECM ∆EMD c) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng DE a) Chứng minh BD.CE = a Bài Cho tam giác ABC cân A, µ = 200 , AB = AC = b, BC = a Trên cạnh AC lấy điểm D A cho ·DBC = 200 HD: c) Vẽ MH ⊥ DE, MK ⊥ EC ⇒ MH = MK; MK = MC − CK = a) Chứng minh ∆BDC ∆ABC b) Vẽ AE vng góc với BD E Tính độ dài đoạn thẳng AD, DE, AE Trang 31 Đại số Trần Sĩ Tùng c) Chứng minh a3 + b3 = 3ab2 b DE = b − a a2 HD: b) AE = , , AD = b − c) AD = DE + AE ⇒ đpcm 2 b Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, K điểm AM cho AM = 3AK, BK cắt AC N, P trung điểm NC a) Tính tỉ số diện tích tam giác ANK AMP b) Cho biết diện tích ∆ABC S tính diện tích tam giác ANK AB AC + =6 c) Một đường thẳng qua K cắt cạnh AB, AC I J Chứng minh AI AJ S ANK S = HD: a) b) S AMP = S AMC ; SAMC = SABC ⇒ S ANK = S AMP 30 c) Vẽ BE // IJ, CH // IJ (E, H ∈ AM) ⇒ ∆EBM = ∆HCM ⇒ EM = MH; AB AE AC AH = , = ⇒ đpcm AI AK AJ AK Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC O giao điểm đường trung trực, H trực tâm, G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh ∆OMN ∆HAB b) So sánh độ dài AH OM c) Chứng minh ∆HAG ∆OMG d) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng GH = 2GO HD: b) AH = 2OM d) ·HGO = ·HGM +·MGO = ·HGM + ·AGH = ·MGA = 1800 ⇒ đpcm Bài 11 Cho tam giác ABC, đường cao AK BD cắt G Vẽ đường trung trực HE, HF AC BC Chứng minh: a) BG = 2HE b) AG = 2HF HD: ∆ABG ∆FEH ⇒ đpcm Bài 12 Cho hình thang vng ABCD (AB // DC, µ = µ = 900 ) Đường chéo BD vng góc với A D cạnh bên BC Chứng minh BD = AB.DC HD: Chứng minh ∆ABD ∆BCD Bài 13 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), O trung điểm cạnh đáy BC Một điểm D di động cạnh AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE = OB2 Chứng minh: BD a) Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng b) Tam giác DOE đồng dạng với hai tam giác c) DO phân giác góc ·BDE , EO phân giác góc ·CED d) Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED không đổi D di động AB HD: d) Vẽ OI ⊥ DE, OH ⊥ AC ⇒ OI = OH Bài 14 Cho tam giác ABC, µ ,µ góc nhọn Các đường cao AA′, BB′, CC′ cắt BC H a) Chứng minh: A′A.A′H = A′B.A′C b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giả sử đường thẳng GH song song với cạnh đáy BC Chứng minh: A′A2 = A′B A′C A′A HD: a) Chứng minh ∆BA′H BB′C, ∆CAA′ ∆CB′B b) GH // BC ⇒ A′H = Bài 15 Cho hình thang KLMN (KN // LM) gọi E giao điểm hai đường chéo Qua E, vẽ 1 = + đường thẳng song song với LM, cắt MN F Chứng minh: EF KN LM Trang 32 Trần Sĩ Tùng Hình học EF EF , LM KN Bài 16 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC BC D E; đường thẳng song song với AC, cắt AB BC F K; đường thẳng song song với BC, cắt AB AC M N Chứng minh: AF BE CN + + =1 AB BC CA AF KC CN KE = , = HD: Chứng minh ⇒ đpcm AB BC CA BC Bài 17 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, OA′ OB′ OC′ + + = CA, AB A′, B′, C′ Chứng minh: AA′ BB′ CC ′ SBOC OA′ OA′ OI SBOC = OI = = HD: Vẽ AH ⊥ BC, OI ⊥ BC ⇒ ; ⇒ S ABC AA′ AA′ AH S ABC AH HD: Tính tỉ số SCOA OB′ S AOB OC ′ = , = ⇒ đpcm S ABC BB′ S ABC CC ′ Bài 18 Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R Chứng minh PB QC RA = (định lí Ceva) đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui O PC QA RB HD: Qua C A vẽ đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP E cắt PB OB RA AD QC EC = , = , = đường thẳng CR D Chứng minh ⇒ đpcm PC EC RB OB QA AD Bài 19 Trên đường thẳng qua cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R (không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng PB QC RA = (định lí Menelaus) hàng PC QA RB HD: Gọi khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng PQR m, n, p PB n QC p RA m = , = , = Ta có: ⇒ đpcm PC p QA m RB n Bài 20 a) HD: Tương tự: Trang 33 ... tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với µ ′ = µ , µ ′ = µ ⇒ ∆A′B′C′ ∆ABC A A B B Các trường hợp đồng dạng tam giác vng Trường hợp 1: Nếu tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác. .. cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với Tính chất hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng với thì: • Tỉ số hai... cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng với A′B′ B′C ′ C′A′ = = ⇒ ∆A′B′C′ ∆ABC AB BC CA Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng