Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án. Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án.Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án. Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án.Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án. Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án.Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án. Đề thi toán cao học Đại học ĐN có đáp án.
D:\TienDanhBk\Hoctap\Dethithutoan1.doc Page 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2012 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MÔN THI: TOÁN 1_Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THI THỬ 1 Câu 1 (2 điểm) Tính các giới hạn sau: a. lim ௫→ మೣ మ ି௦ସ௫ ௫ మ b. lim ௫→ஶ ( ଶ௫ାହ ଶ௫ାଵ ) ௫ Câu 2 (2 điểm) a. Tính gần đúng A = ln( √ 1,03 య + √ 0,98 ర −1) b. Tìm cực trị của hàm hai biến z = f(x,y) = xy với điều kiện x + y = 1 Câu 3 (2 điểm) Giải các phương trình vi phân sau: a. ݕ ᇱ +2ݔݕ=ݔ.݁ ି௫ మ b. ݕ ᇱᇱ +2ݕ ᇱ +ݕ=6ݔ.݁ ௫ Câu 4 (2 điểm) a. Tính diện tích miền D giới hạn bởi: ݔ ଶ +ݕ ଶ =2ݔ,ݔ ଶ +ݕ ଶ =4ݔ,ݕ=ݔ,ݕ=0. b. Tính tích phân đường: I = ( ݔݕ ଶ −ݕ ଷ ) ݀ݕ+(4ݕݔ ଶ ( ) +ݔ ଷ )݀ݔ Với (L): là phần elip ௫ మ ଵ + ௬ మ ସ =1, ݔ≥0 lấy từ điểm A(0,-2) đến điểm B(0,2) Câu 5 (2 điểm) a. Xét sự hội tụ của chuỗi số: ∑ ସ ( ାଵ ) ! ଷ! ஶ ୀଵ b. Tìm miền hội tụ của chuỗi số: ∑ ( ! ) మ ( ଶ ) ! (ݔ−1) ஶ ୀଵ ======================Hết======================= D:\TienDanhBk\Hoctap\Dethithutoan1.doc Page 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2012 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MÔN THI: TOÁN 1_Thời gian làm bài: 180 phút ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ 1 Câu Ý Điểm 1 a. 1 điểm lim ௫ → మ ೣ మ ି ௦ ସ ௫ ௫ మ = lim ௫ → ସ ௫ . మ ೣ మ ା ସ ௦ ସ ௫ ଶ ௫ lim ௫→ ସ௫. మೣ మ ାସ.ସ௫ ଶ௫ ( do ݏ݅݊4ݔ~4ݔ݇ℎ݅ݔ→0) lim ௫ → ( 2 . ݁ ଶ௫ మ + 8 ) = 2.1+8=10 0.25 0.25 0.5 b. 1 điểm lim ௫ → ஶ ( ଶ ௫ ା ହ ଶ ௫ ା ଵ ) ௫ = lim ௫ → ஶ ( ଶ ௫ ା ଵ ା ସ ଶ ௫ ା ଵ ) ௫ = lim ௫ → ஶ ( 1 + ସ ଶ ௫ ା ଵ ) ௫ =lim ௫→ஶ {[( 1+ 4 2ݔ+1 ) మೣశభ ర ] ర మೣశభ } ௫ = ݁ రೣ మೣశభ . Khi ݔ→∞ݐℎì ସ௫ ଶ௫ାଵ →2 Do đó: lim ௫ → ஶ ( ଶ௫ାହ ଶ ௫ ା ଵ ) ௫ = e 2 0.25 0.25 0.25 0.25 2 a. Tính gần đúng A = ln ( √ 1 , 03 య + √ 0 , 98 ర − 1 ) 1 điểm Đặt z = ln( √ ݔ య + ඥ ݕ ర -1) x 0 = 1, ∆ ݔ = 0 , 03 y 0 =1, ∆ݕ=−0,02 z’ x = భ య ௫ ష మ య ( √ ௫ య ା √ ௬ ర ିଵ) , z’ y = భ ర ௫ ష షయ ర ( √ ௫ య ା √ ௬ ర ିଵ) Ta co: A ≈ ln( √ ݔ య + ඥ ݕ ర −1)= ln( √ 1 య + √ 1 ర −1)+ భ య ௫ ష మ య ( √ ௫ య ା √ ௬ ర ିଵ) .∆ݔ+ భ ర ௫ ష షయ ర ( √ ௫ య ା √ ௬ ర ି ଵ ) . ∆ ݕ Thay số x= x 0 , y = y 0, ta được kết quả: A ≈ 0,005 0.25 0.25 0.25 0.25 b. Tìm cực trị của z = f(x,y) = xy với điều kiện x + y = 1 Đặt L= xy + λ(x+y-1) Giải hệ: ቐ ܮ ௫ ᇱ = 0 ܮ ௬ ᇱ =0 ݔ+ݕ=1 ⇒ ൝ ݕ + ߣ = 0 ݔ+ߣ=0 ݔ+ݕ=1 Ta được: x=y=1/2, λ=-0,5 Tính d 2 L = ܮ ௫௫ ᇱᇱ +2 ܮ ௫௬ ᇱᇱ + ܮ ௬௬ ᇱᇱ =2>0 0.25 0.25 0.25 0.25 D:\TienDanhBk\Hoctap\Dethithutoan1.doc Page 3 Z max = f(1/2,1/2)=1/4 tại điểm M(1/2,1/2) 3 a. ݕ ᇱ + 2 ݔݕ = ݔ . ݁ ି ௫ మ 1 điểm Đây là phương trình vi phân cấp 1thuần nhất tuyến tính. Ta có công thức nghiệm như sau: y=݁ ( ିଶ௫ ) ௗ௫ {ܥ+ ݁ ଶ௫ௗ௫ .ݔ݁ ି௫ మ ݀ݔ} y=݁ ି௫ మ {ܥ+ ݁ ௫ మ .ݔ݁ ି௫ మ ݀ݔ} y= ݁ ି௫ మ { ܥ + ݔ݀ݔ } y= ݁ ି ௫ మ { ܥ + ௫ మ ଶ } 0.25 0.25 0.25 0.25 b. ݕ ᇱᇱ + 2 ݕ ᇱ + ݕ = 6 ݔ . ݁ ௫ (1) 1 điểm • Phương trình đặc trưng: k 2 +2k+1=0 Giải ra được nghiệm kép k 0 = -1 y 0 = C 1 .e -x +C 2 .x.e -x • Nghiệm riêng: Ta có: f(x)= e x .6x λ=1≠ k 0 => m = 0 P(x)=6x => n=1 Ta có y * = e x (A.x+B) y *’ = e x (A.x+B+A) y *’’ = e x (A.x+B+2A) Thay vào (1) ta có: Ax+B+2A+2(Ax+B+A)+Ax+B = 6x ቄ 4ܣ=6 ܣ+ܤ=0 ⇔ ൜ ܣ=3/2 ܤ=−3/2 => y * =e x ( ଷ ଶ .x− ଷ ଶ ) Kết luận: Nghiệm của phương trình: y=y 0 +y * = C 1 .e -x +C 2 .x.e -x + e x ( ଷ ଶ .x − ଷ ଶ ) 0.25 0.25 0.25 0.25 4 a. Tính diện tích miền D giới hạn bởi: ݔ ଶ + ݕ ଶ = 2 ݔ , ݔ ଶ + ݕ ଶ = 4 ݔ , ݕ = ݔ , ݕ = 0 . 1 điểm Chuyển sang tọa độ cực: ቊ ݔ=ݎܿݏ߮ ݕ = ݎݏ݅݊߮ ݎ ≥ 0 0.25 D:\TienDanhBk\Hoctap\Dethithutoan1.doc Page 4 Miền D biến thành miền E: ቊ 2 ܿݏ߮ ≤ ݎ ≤ 4 ܿݏ߮ 0 ≤ ߮ ≤ గ ସ Diện tích miền D: S= ݀߮ ݎ݀ݎ ସ ௦ఝ ଶ ௦ఝ ഏ ర = 3( గ ସ + ଵ ଶ )(đ.v.d.t) 0.25 0.5 b. I = ( ݔ ݕ ଶ − ݕ ଷ ) ݀ݕ + ( 4 ݕ ݔ ଶ ( ) + ݔ ଷ ) ݀ݔ .Với (L): là phần elip ௫ మ ଵ + ௬ మ ସ = 1 , ݔ ≥ 0 lấy từ điểm A(0,-2) đến điểm B(0,2) 1 điểm I= ∮ − ( ை ) = I 1 +I 2 • Tính I 1 : AnBOA là đường cong kín thỏa mãn các điều kiện của công thức Green: ܲ ௬ ᇱ = 4x 2 ܳ ௫ ᇱ =y 2 I 1 = ∬ (ݕ ଶ −4ݔ ଶ )dxdy Biến đổi tọa độ cực: ቄ ݔ=ݎܿݏ߮ ݕ=2ݎݏ݅݊߮ , dxdy= 2rdrd߮,(ݕ ଶ −4ݔ ଶ )=-4r 2 .cos2߮ (ܦ) ൝ ݔ ଶ 1 + ݕ ଶ 4 ≤1 ݔ≥0 ⇔ ൝ ݎ ଶ ≤1 ݎܿݏ߮≥0 −ߨ≤߮≤ߨ ,ݎ≥0 ⇔(ܧ)ቊ −ߨ 2 ≤߮≤ ߨ 2 0≤ݎ≤1 Thay vào công thức đổi biến tọa độ cực: I 1 = -8 ܿݏ ഏ మ ି ഏ మ 2߮d߮ ݎ ଷ ݀ݎ ଵ =0 • Tính I 2 : Đường BA là đường thẳng x = 0 => dx = 0, với -2≤ݕ≤2 Thay vào ta được: I 2 = − ݕ ଷ ଶ ି ଶ ݀ݕ =0 Vậy I = 0 0.25 0.25 0.25 0.25 5 a. ܺ é ݐ ݐ í ݊ ℎ ℎ ộ ݅ ݐ ụ ܿ ủ ܽ ܿ ℎ ݑ ỗ ݅ 4 ( ݊ + 1 ) ! 3 ݊ ! ஶ ୀ ଵ 1 điểm Ta tính D= lim ௫ → ஶ ௨ శ భ ௨ = lim ௫ → ஶ ସ శ భ ( ା ଶ ) ! ଷ ( ା ଵ ) ! . ଷ ! ସ ( ା ଵ ) ! = lim ௫ → ஶ ସ(ାଵ) ( ା ଵ ) =4>1 Kết luận: Chuỗi đã cho phân kỳ 0.5 0.5 b. ܶ ì ݉ ݉݅ ề ݊ ℎ ộ ݅ ݐ ụ ܿ ủ ܽ ܿ ℎ ݑ ỗ ݅ ( ݊ ! ) ଶ ( 2 ݊ ) ! ( ݔ − 1 ) ஶ ୀ ଵ • Tính bán kính hội tụ: R = lim ௫ → ஶ ௨ ௨ శ భ = lim ௫ → ஶ ( ! ) మ ( ଶ ) ! . ( ଶ ା ଶ ) ! ( ା ଵ ) ! మ = lim ௫ → ஶ ( ଶ ା ଵ ) ( ଶ ା ଶ ) ( ା ଵ ) మ =4 0.5 D:\TienDanhBk\Hoctap\Dethithutoan1.doc Page 5 R=4 • Xét tại 2 đầu mút: +với (x-1)= 4: U n (5): phân kỳ (do U n (5) không tiến tới 0 khi n tiến về vô cùng) Tương tự với điểm (x-1) = -4 • Kết luận: Miền hội tụ: -4 ≤ ݔ − 1 ≤ 4 ⇒ − 3 ≤ ݔ ≤ 5 0.25 0.25 . D:TienDanhBkHoctapDethithutoan1.doc Page 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2012 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MÔN THI: TOÁN 1_Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THI THỬ 1 Câu. D:TienDanhBkHoctapDethithutoan1.doc Page 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2012 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MÔN THI: TOÁN 1_Thời gian làm bài: 180 phút ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ 1 Câu. d 2 L = ܮ ௫௫ ᇱᇱ +2 ܮ ௫௬ ᇱᇱ + ܮ ௬௬ ᇱᇱ =2>0 0.25 0.25 0.25 0.25 D:TienDanhBkHoctapDethithutoan1.doc Page 3 Z max = f(1/2,1/2)=1/4 tại điểm M(1/2,1/2) 3 a. ݕ ᇱ + 2 ݔݕ = ݔ . ݁ ି ௫ మ