Trường Đại Học Sư Phạm Khoa Toán  BÁO CÁO Đề tài: LÍ THUYẾT VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ SỰ BIẾN THIÊN TRONG DISCOVERING ALGEBRA Thực hiện: Nguyễn Thành Thái Nguyễn Thị Như Ngọc Lê Thị Thanh Tuyền Lê Mây Thu Lớp: Toán 3B Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc Huế, tháng 09 năm 2013 1 Để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh, tài liệu tham khảo cho giáo viên liên quan đến môn đại số, chúng tôi đã mạnh dạn dịch chương 2 trong sách “Discovering Algebra” và viết nên cuốn sách này. Trong quá trình biên soạn, chúng tôi đã phân chia mỗi bài học gồm 5 nội dung chính tương ứng với cuốn sách gốc, bao gồm: • Các ví dụ. • Sự khảo sát. • Bài tập • Suy luận và áp dụng • Bài tập ôn tập. Trong mỗi ví dụ đều có phương pháp giải cụ thể và hình ảnh minh họa. Phần khảo sát tạo điều kiện các em học sinh tự kiểm tra, đánh giá mức độ nắm vững kiến thức của bản thân. Ngoài ra, cuối mỗi bài lại có nhiều bài tập. Trong phần này, các em học sinh sẽ được củng cố kiến thức toán học cơ bản, được rèn luyện kĩ năng theo chuẩn kiến thức trong chương trình giáo dục phổ thông. Bên cạnh đó, chúng tôi chú ý chỉnh sửa cách diễn đạt ở một số chỗ cho thích hợp và dễ hiểu hơn. Chúng tôi hi vọng rằng với việc dịch chương 2 trong cuốn sách “Discovering Algebra” góp phần tích cực hơn nữa trong việc cung cấp các tài liệu bổ ích cho các thầy cô giáo để làm tư liệu, giúp các em học sinh tự học, rèn luyện kĩ năng giải toán, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức và góp phần rèn luyện tư duy toán học. 2 Mặc dù đã có nhiều cố gắng song cuốn sách này khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các độc giả để chúng tôi có thể hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn.Mục lục 3 Bìa của sách “Discovering Algebra” “ Khám phá đại số” luôn là vấn đề rộng lớn cho những ai đam mê toán học quan tâm. Đó cũng chính là ý nghĩa tựa đề của cuốn sách “Discovering Algebra”. Nội dung cuốn sách này bao gồm những vấn đề cơ bản về đại số, bước đầu giúp học sinh tiếp cận những kiến thức cơ bản và có cách nhìn sơ lược về đại số. Cuốn sách gồm 11 chương, được chia theo từng chủ đề cụ thể. Mỗi chương được cơ cấu theo từng đơn vị bài học ( khoảng 7-8 bài học), trong đó gồm lý thuyết, ví dụ và bài tập được biên soạn xen kẽ nhau. Cuối mỗi bài học đều có bài tập cơ bản giúp các em rèn kỹ năng giải toán và nắm chắc vấn đề đã được học, cùng với những 1-2 bài toán đố rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh. Trong quá trình biên soạn, tác giả không chỉ để cho học sinh tiếp thụ kiến thức một cách độc lập mà còn tạo điều kiện cho các em tổ chức làm nhóm. Một mặt giúp các em có thể đánh giá bản thân, mặt khác có thể rút kinh nghiệm và học hỏi từ bạn bè. Ngoài ra, tác giả cũng khuyến khích học sinh sử dụng các công cụ hỗ trợ cho quá trình tính toán như máy tính, thiết bị thu thập dữ liệu, các phần mềm toán học như Sketchpad đế việc học trở nên thuận tiện hơn. Các bài học thường được dẫn dắt bằng cách nêu vấn đề. Từ đó, dựa trên nguyên tắc tích cực và tự giác của người học sinh mà họ được hướng đích, được gợi động cơ trong qua trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Cuối mỗi chương là phần ôn tập, giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện tính linh hoạt của tư duy, kỹ năng suy luận và ứng dụng đại số vào thực tế. Ngoài ra, còn có một phần gọi là Activity Day ở gần cuối chương, trong phần này, các học sinh sẽ được giao cho một hoặc một vài nhiệm vụ để làm nhóm hoặc cá nhân. Đây cũng là cơ hội để học sinh ứng dụng những tri thức đã học vào giải quyết các bài toán thực tế. Từ đó, giúp các em hiểu rõ mối quan hệ hai chiều giữa lí thuyết và thực tiễn, giữa học và hành. Đặc biệt giúp học sinh tự tạo động cơ và hứng thú học tâp, càng ý thức được việc học trên lớp. Qua cuốn sách này, các tác giả muốn nhấn mạnh cho học sinh hiểu rằng: tiếp thu tri thức khoa học cần có thực tiễn soi xét và kiểm chứng, ngay cả toán học cũng thế. Bất kì lý thuyết toán học nào dù trực tiếp hay gián tiếp nhất định phải phải tìm thấy ứng dụng trong thực tiễn. Việc kết hợp giữa “học và hành” cũng là cách giúp các em hoàn thiện nhân cách của bản thân mình. 4 Hình minh họa chương 2 Chương 2 trong sách “Discovering Algebra” có tựa đề là “Proportional Reasoning and Variation” có nghĩa là “ Lí thuyết về tỉ lệ thức và sự biến thiên”. Trong chương này, chúng ta sẽ: • Sử dụng lí thuyết về tỉ lệ thức để hiểu được một số vấn đề. • Tìm hiểu tỉ lệ là gì và sử dụng chúng để dự đoán kết quả. • Nghiên cứu về các đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch. • Sử dụng các phương trình và đồ thị để biểu diễn cho sự biến thiên. • Giải các bài toán thực tế liên quan đến sự biến thiên. • Ôn lại các quy tắc về thứ tự các phép toán. • Mô tả các thuật toán tìm số bằng cách sử dụng các biểu thức đại số. • Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi ngược. Chương 2 có 8 bài với 8 nội dung cụ thể. Tuy nhiên, tài liệu chương này trong sách “Discovering Algebra” thiếu mất bài số 2. Vì vậy chúng tôi chỉ trình bày 7 bài còn lại. Trong mỗi bài gồm 2 phần chủ yếu là lý thuyết và bài tập( cụ thể được chia ra 5 phần: một số ví dụ , khảo sát một bài toán thực tế, 5 các bài tập tự giải, áp dụng và ôn tập.). Phần lý thuyết được trình bày một cách logic giúp học sinh dễ dàng nắm bắt những kiến thức cơ bản, đồng thời luyện tập khả năng vận dụng vào giải các bài toán thực tế. Một số nội dung của chương 2 tương ứng với phần đại số trong chương trình sách giáo khoa toán lớp 7 hiện nay. Tuy nhiên vẫn có một số điểm giống nhau và khác nhau mà chúng tôi sẽ đề cập ở cuối phần báo cáo. Khi nói, “Tôi đã có 21 trong số 24 câu hỏi chính xác trong bài kiểm tra cuối cùng,” nghĩa là ta đang so sánh hai số.Tỉ lệ các câu hỏi chính xác so với tổng số câu hỏi là 21 24 . Ta có thể viết tỉ số 21:24, hoặc như một phân số, 21/24, cũng có thể như số thập phân, 0,875. Dấu gạch ngang phân số nghĩa làphépchia, do đó các biểu diễn đó là tương đương nhau. Ví dụ A: Viết tỉ lệ 210:230 theo nhiều cách. Lời giải: 210 330 hoặc 7 11 210:330 hoặc 7:11 Để chuyển từ một phân số nói chung sang một số thập phân, ta chia tử số cho mẫu số. Khi chia 21 cho 24, các chữ số thập phân của thương chỉ hữu hạn (hay kết thúc).Tỉ lệ 21 24 đúng 6 bằng 0,875. Nhưng khi chia 210 cho 330 hoặc 7 chia 11, ta thấy một phần thập phân lặp đi lặp lại, chẳng hạn như 0,636363 Ta có thể sử dụng một dấu gạch ngang trên các con số mà lặp đi lặp lại đó để biễu diễn phần thập phân tuần hoàn, 7 11 = 0, 63 . Tỉ lệ thức là một biểu thức biểu thị hai tỉ lệ bằng nhau. Ví dụ, 2 3 bằng 8 12 là một tỉ lệ thức. Ta có thể sử dụng các số 2, 3, 8, và 12 để viết những tỉ lệ đúng: 2 3 = 8 12 3 12 2 8 = 3 12 12 8 = 12 8 3 2 = Bạn có đồng ý rằng tất cả các biểu thức trên là đúng không? Một cách để kiểm tra xem một tỉ lệ có đúng hay không là tìm số thập phân tương đương với mỗi vế. Nói rằng 3 8 = 2 12 là không đúng vì 0,375 không bằng 0, 16 . Trong đại số, một biến có thể đại diện cho một số chưa biết hoặc một tập hợp số. Trong tỉ lệ thức 2 3 = 6 m , ta có thể thay chữ cái m bằng bất kì số nào, nhưng chỉ có một số sẽ làm cho tỉ lệ thức đúng. Số đó là chưa biết cho đến khi tỉ lệ thức được giải. Khảo sát Giải quyết bài toán bằng phép nhân. Có thể dễ dàng đoán giá trị của M trong tỉ lệ 2 3 = 6 M . Trong tính toán này ta sẽ xem xét cách thức giải một tỉ lệ thức để tìm số chưa biết khi việc dự đoán là không dễ dàng. Thật khó để đoán giá trị của M trong tỉ lệ thức 19 M = 56 133 Bước 1: Nhân cả hai vế của tỉ lệ thức 19 M = 56 133 với 19. Tại sao ta cần làm điều này? M bằng mấy? Bước 2: Đối với mỗi biểu thức, chọn một số nhân cả tỉ lệ để giải tỉ lệ tìm ra số chưa biết. Sau đó nhân và chia để tìm giá trị chưa biết. a. 132 12 176 p = b. 21 35 20 Q = 7 c. 30 30 200 L = d. 130 78 15 n = Bước 3: Kiểm tra xem mỗi tỉ lệ thức trong bước 2 là đúng hay chưa bằng cách thay thế biến số bằng câu trả lời của bạn. Bước 4: Trong mỗi phương trình ở bước 2, các biến là tử số. Viết lời giải thích ngắn gọn về một cách giải tỉ lệ thức khi tử số là biến. Bước 5: Những tỉ lệ thức đã giải trong bước 2 được đổi bằng cách chuyển đổi tử số và mẫu số. Đó là, tỉ lệ trong mỗi vế đã được đảo ngược (ta có thể nhớ lại rằng hai phân số đảo ngược, ví dụ 12 p và 12 p được gọi là nghịch đảo.). Các lời giải ở bước 2 thực hiện các tỉ lệ mới này đúng hay không? a. 12 176 32p = b. 35 20 21 Q = c. 30 200 30L = d. 78 15 130 n = Bước 6: Ta có thể sử dụng những gì vừa tìm được để giúp cho việc giải một tỉ lệ thức có chứa biến ở mẫu như thế nào, ví dụ như 20 135 = 12 k ? Tại sao nó đúng? Hãy giải phương trình. Bước 7: Có nhiều cách để giải tỉ lệ thức. Đây là ba phiếu học tập trả lời câu hỏi “ 13 là 65% của số nào ? “Các bước mà mỗi học sinh thực hiện là gì ? .Những phương pháp nào ta có thể sử dụng để giải tỉ lệ thức ? Trong việc tìm hiểu này, ta đã phát hiện ra rằng có thể giải tìm ra tử số chưa biết trong một tỉ lệ thức bằng cách nhân cả hai vế của tỉ lệ thức với mẫu số dưới giá trị cần tìm. Ta cũng có thể nghĩ ra một tỉ lệ thức như 19 M = 56 133 giống như là : “Khi một số được chia cho 19, kết quả là 56 133 ”. Để tìm số đó ta cần làm mất phép chia.Nhân 19 để làm mất phép chia. 8 Ví dụ B: Jennifer ước tính rằng cứ ba sinh viên thì có 2 người sẽ tham dự bữa tiệc lớp. Cô biết có 750 sinh viên trong lớp học của mình.Thiết lập và giải tỉ lệ thức để giúp cô ấy ước tính có bao nhiêu sinh viên sẽ tham dự. Lời giải: để thiết lập tỉ lệ thức, chắc rằng cả tỉsốđược so sánh tương tự. Dùng a để đại diện cho số học sinh sẽ tham dự. Trong tỉ lệ thức, khi a chia cho 750, câu trả lời là 2 3 Nhân với 750 để bỏ phép chia 750∙ 2 3 a = Nhân và chia 500 a= Jennifer có thể ước tính rằng có 500 sinh viên sẽ tham dự bữa tiệc. Ví dụ C:Sau bữa tiệc, Jennifer phát hiện ra rằng có 70% sinh viên tham dự. Hỏi có bao nhiêu sinh viên tham dự? Lời giải: 70% nghĩa là 70 trong số 100. Từ đó, ta sẽ viết và giải một tỉ lệ thức để trả lời câu hỏi “Nếu cứ trong 100 sinh viên có 70 sinh viên tham dự bữa tiệc thì có bao nhiêu sinh viên trong số 750 sinh viên tham dự?” 9 Lấy s đại diện cho số học sinh đã tham dự. Viết tỉ lệ thức 70 100 750 s = Nhân với 750 đểbỏ phép chia 70 750 100 s • = Nhân và chia 525 s= Vậy 525 trong số 750 sinh viên đã tham dự bữa tiệc. Ta đã làm việc với các tỉ lệ thức và tỉsố trong bài học này.Các số có thể viết dưới dạng tỉ số của hai số nguyên được gọi là số hữu tỷ. Bài tập Luyện tập kĩ năng 1. Liệt kê các phân số theo thứ tự tăng dần bằng cách ước tính giá trị của nó.Sau đó sử dụng máy tính để tìm giá trị của mỗi phân số. a. 7 8 b. 13 20 c. 13 5 d. 52 25 2. Bà Lenz đã thu thập thông tin về các sinh viên trong lớp của mình. Mắt nâu Mắt xanh Mắt màu hạt dẻ Lớp 9 9 3 2 Lớp 8 11 7 1 Viết các tỉ số này dạng phân số. a. Số học sinh lớp 9 có mắt màu nâu so với số học sinh lớp 9. b. Số học sinh lớp 8 có mắt màu nâu so với số học sinh có mắt màu nâu c. Số học sinh lớp 8 có mắt màu xanh so với số học sinh lớp 9 có mắt màu xanh d. Tất cả học sinh có mắt màu hạt dẻ so với số học sinh cả lớp 3. Các cụm từ như mỗi đơn vị đo lường dặm trên gallon, phần triệu(ppm), và số tai nạn trên 1000 người biểu thị các tỉ số.Viết mỗi tỉ số bên dưới dạng phân số. Sử dụng một số và một đơn vị trong cả tử số và mẫu số a. Năm 2000, McLaren là chiếc xe nhanh nhất được sản xuất. Tốc độ tối đa của nó được ghi nhận là 240 dặm mỗi giờ. 10 [...]... đó là biến tỉ lệ thuận Biến tỉ lệ thuận Một phương trình dưới dạng y=kx là một biến tỉ lệ thuận Đại lượng được thể hiện bởi x và y là tỷ lệ thuận và k là hằng số biến thiên Bạn có thể biểu diễn bất kỳ tỷ số, tỷ lệ, hoặc hệ số chuyển đổi với một biến tỉ lệ thuận Sử dụng một phương trình biến thiên tỉ lệ thuận hoặc đồ thịlà môt cách thay thế cho việc giải quyết các tỷ lệ thức Một phương trình biến đổi... tin cơ bản về tỉ lệ vàng, chẳng hạn như giá trị chính xác của nó, tại sao nó đại diện cho một tỉ số lí tưởng” của toán học ,và làm thế nào để dựng một hình chữ nhật vàng.( Tỉ lệ chiều dài so với chiều rộng của hình chữ nhật đó là tỉ lệ vàng.)  Một số lịch sử của tỉ lệ vàng, trong đó có vai trò của nó trong kiến trúc Hi Lạp cổ đại  Một trong những sự kiện toán học thú vị nhất về tỉ lệ vàng, chẳng... inch, L1 , và để máy tính của bạn hoàn thành việc tính các giá trị tỉ số Bước 3: So sánh những tỉ lệ của cm so với inch trong các đơn vị đo lường khác nhau xem như thế nào? Nếu một trong các tỉ lệ là khác so với những tỉ lệ khác, kiểm tra lại việc đo lường của bạn Bước 4: chọn một tỉ lệ đại diện duy nhất của cm so với inch Viết một câu giải thích ý nghĩa của tỉ lệ này Bước 5: Sử dụng tỉ lệ của bạn,... tử số và mẫu số của mổi phân số là tương đương: 60 giây = 1 phút, 60 phút = 1 giờ, và mi = 5280ft Các phân số tương đương với 1 được chọn để khi các đơn vị bị triệt tiêu thì kết quả là dặm ở tử số và giờ ở mẫu số Tốc độ 12,8 dặm trong 1 giờ là một tỉ lệ bởi vì nó có mẫu số là 1 Trong ví dụ b, bạn đã thấy rằng 12, 8 dặm trong một giờ là một tỉ lệ Một tỉ lệ đi (hoặc tốc độ) là một ví dụ về một tỉ lệ Trợ... hơn về những con kênh nổi tiếng tại www.keymath.com/DA Các tỷ số, các tỷ lệ và các yếu tố chuyển đổi có liên quan chặt chẽ 129km Trong điều tra này, bạn đã thấy cách chuyển đổi tỷ lệ 80mi sang một tỷ lệ xấp xỉ 1,6km trong mỗi dặm Bạn cũng có thể sử dụng tỷ lệ đó như một hệ số chuyển đổi giữa km và dặm Các số trong tỷ lệ khác nhau, nhưng kết quả tỷ lệ vẫn như nhau, hoặc là hằng số Km và dặm là tỷ lệ. .. thiết lập một tỉ lệ thức và chuyển đổi mỗi chiều dài sau a 215cm = x inch b 1cm = x inch c 1inch = x cm d Một ô cửa kích thước 80 inch cao bao nhiêu cm? Bước 6: Sử dụng tỉ lệ của bạn, thiết lập một tỉ lệ thức và giải tìm ra các giá trị đã yêu cầu a y cm = x inch Tìm y b c cm = i inch Tìm i 15 Trong việc khảo sát bạn đã tìm thấy một tỉ lệ thông thường, hoặc số hạng chuyển đổi giữa inch và cm Một khi... bán bằng lít Đơn vị đo khoảng cách là cây số chứ không phải là dặm, và các loại rau được bán bằng kilo (kilogram) chứ không phải là pound Sự khảo sát Chuyển từ centimet sang inch Trong điều tra này, bạn sẽ tìm thấy một tỉ lệ để giúp bạn chuyển từ inch sang centimet và centimet sang inch Sau đó bạn sẽ sử dụng tỉ lệ này vào tỉ lệ để 14 chuyển số đo từ các hệ thống chuẩn tại Hoa Kì sang số đo trong hệ... phí cho mỗi pound vận chuyển một gói phần mềm, và số lượng bánh trong mỗi hộp đều là các tỉ lệ Các tỉ lệ giúp việc tính toán dễ dàng hơn trong nhiều tình huống thực tế Ví dụ, cửa hàng tạp hóa lưu trữ giá trái cây và rau theo đồng bản Anh Tỉ lệ dùng so sánh dễ dàng hơn trong các tình huống khác Ví dụ, trung bình đánh bóng của một cầu thủ bóng chày là tỉ lệ của số lần đánh trúng trên tổng số lần đánh... có x hoặc y là số 0? Đại lượng tỉ lệ nghịch y= k x là một biến nghịch đảo Hai Một phương trình dưới hình thức đại lượng x và y là tỷ lệ nghịch, k là hằng số biến thiên Ví dụ B Elaine, Ellen và Eleanor là những người sinh ba giống hệt nhau, cùng chơi trên một ván bập bênh Hai người trong số họ ngồi cùng một bên và một người ngồi ở bên còn lại, cần có một sự thận trọng trong việc xác định vị trí để cân... thống đo của trung tâm về thu nhập của họ và giải thích tại sao lại khác nhau như vậy 14 Sử dụng thứ tự của các phép toán để tính những biểu thức bên dưới Kiểm tra kết quả của bạn trên máy tính a 5∙ −4 + 8 b – 12 ÷(7 – 4) c – 3 – 6∙25÷30 d 18(−3)÷81 Dự án Tỉ lệ vàng Trong dự án này, bạn sẽ nghiên cứu con số nổi tiếng được gọi là tỉ lệ vàng ( Có rất nhiều quyển sách và trang web về chủ đề này Tìm liên . ALGEBRA Thực hiện: Nguyễn Thành Thái Nguyễn Thị Như Ngọc Lê Thị Thanh Tuyền Lê Mây Thu Lớp: Toán 3B Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc Huế, tháng 09 năm 2013 1 Để đáp ứng nhu cầu học tập. 120 ml nước đường. Thông thường cũng công thức bánh này cần bao nhiêu ly ? (1000 ml = 1l, 1 .06 quart = 1l, 4 ly = 1 quart ) Ôn tập 12. Các sinh viên khoa toán và các câu lạc bộ cờ đã làm