SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 -2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Đề có 01 trang) Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1. a) Tính giá trị biểu thức: ( ) ( ) ( ) 13 3 +−+−= xyyxyxM , biết 33 223223 −−+=x , 33 2121721217 −−+=y . b) Giải phương trình: 3 5 11 2 22 = ++ − +− xx x xx x . Bài 2. a) Giải hệ phương trình:      +=++ =++ 9612 43 233 22 xyxx xyx . b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên ( ) ( ) ( ) abc cabcab P 111 −−− = . Bài 3. Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: 2 3 111 = − + − + − c c b b a a . Chứng minh tam giác ABC đều. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD. a) Chứng minh AH vuông góc với BH. b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng. Bài 5. Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 1=++ zyx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xzxz z zyzy y yxyx x F ++ + ++ + ++ = 22 4 22 4 22 4 . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2012 -2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Bài Đáp án Điểm Bài 1 5,0 điểm a) 2.5 điểm Ta có M = (x – y)(x 2 + xy + y 2 + 3) = x 3 + 3x – (y 3 + 3y). 0.5 Áp dụng ( ) ( ) baabbaba −−−=− 3 33 3 ta có: = 3 x 243324223223 3 3 33 =+⇒−=       −−+ xxx 0,75 = 3 y 224332242121721217 3 3 33 =+⇒−=       −−+ yyy 0,75 Vậy M = 220− . 0.5 b) 2,5 điểm Ta thấy 0 = x không thoả mãn phương trình. 0.5 Với 0≠x , ta có pt đã cho ⇔ 3 5 1 1 1 1 1 2 = ++ − −+ x x x x (1) Đặt t x x =+ 1 thì 2≥t . Pt (1) trở thành 3 5 1 3 3 5 1 1 1 2 2 = − + ⇔= + − − t t tt 1.0 ( )     −= = ⇔=+−⇔=−−⇔ 5 7 2 075)2(01435 2 t t tttt . Chỉ có 2=t thoả mãn, khi đó 12 1 =⇔=+ x x x (t/m). Vậy pt có một nghiệm là x = 1. 1.0 Bài 2 5,0 điểm a) 2.5 điểm Hệ pt ⇔ ( )      =+− =+− 1)2( 12 23 2 2 yx yx . Đặt 2−= xa , hệ trở thành      =+ =+ 1 1 33 22 ya ya . 0.5 ( ) ( )    =−+− ≤≤− ⇔    +=+ ≤≤− ⇒ 20)1()1( 11,11,1 223322 yyaa ya yaya ya . 1.0 Từ (1), suy ra (2) có vế trái 0 ≥ , dấu bằng xảy ra ⇔ a 2 (1-a) = y 2 (1- y) = 0. Kết hợp 1 22 =+ ya ta có    = = 1 0 y a hoặc    = = 0 1 y a . Thay vào ta có nghiệm    = = 1 2 y x ;    = = 0 3 y x . 1.0 b) 2,5 điểm Điều kiện có nghĩa là a, b, c 0 ≠ . Ta có P = abccba cbaabc 1111 −+++−−− , nên P nguyên ⇔ S = abccba 1111 −++ nguyên. 0.5 Không mất tính tổng quát, giả sử 1 ⇒<<≤ cba abccba 1111 −++ < 3 hay S < 3. Hơn nữa ta có abcacba 11111 >>++ ⇒ S > 0. Do đó S = 1 hoặc S = 2. 0,5 +) S = 1. Ta có 1 = abccba 1111 −++ < cba 111 ++ < a 3 ⇒ a 3 >1 ⇒ a =1 hoặc a = 2. Với a = 1 ⇒ 1 = 1 + b 1 + c 1 - bc 1 ⇒ b 1 + c 1 - bc 1 = 0 không xảy ra. 0,5 Với a = 2 ⇒ 1 = 2 1 + b 1 + c 1 - ⇔ bc2 1 b 1 + c 1 - bc2 1 = 2 1 . Suy ra b 2 > 2 1 ⇒ b < 4. Từ đó 42 << b ⇒ b = 3. Thay vào được c = 5. Vậy a = 2, b = 3 , c = 5. 0,5 +) S = 2. Ta có 2 = abccba 1111 −++ < cba 111 ++ < a 3 ⇒ 2 3 <a ⇒ a =1. Thay vào được b 1 + c 1 - bc 1 = 1 ⇒ b 2 >1 ⇒ b =1 loại vì không thỏa mãn b > a. Kết hợp các trường hợp và do vai trò bình đẳng nên các số (a, b, c) cần tìm là: (2,3,5), (2,5,3), (3,5,2), (3,2,5), (5,3,2), (5,2,3). 0,5 Bài 3 2,5 điểm Đặt      =+ =+ =+ zba yac xcb thì x, y, z dương và . 2 , 2 , 2 zyx c yzx b xzy a −+ = −+ = −+ = 0,5 Ta có: z zyx y yzx x xzy ba c ac b cb a c c b b a a 222111 −+ + −+ + −+ = + + + + + = − + − + − 0,5 2 3 2 3 111 2 3 2 1 2 1 2 1 =−++≥−         ++       ++         += z y y z z x x z y x z y . Dấu “=” xảy ra zyx ==⇔ . 1,0 Với x = y = z thì a = b = c hay tam giác ABC đều. 0,5 Bài 4 5,0điểm x D A B C I M N P E H a) 2.5 điểm Vẽ tia Bx // AC, cắt tia PD tại E. Ta có BE = PC = BN. 0,5 Do 0 90=∠=∠ NHENBE nên B, H cùng thuộc đường tròn đường kính NE. Suy ra 0 45=∠=∠ NEBNHB (1). 1,0 Tương tự hai điểm A, H cùng thuộc đường tròn đường kính PN, suy ra 0 45=∠=∠ APNAHN (2). Từ (1) và (2) suy ra 0 90=∠AHB hay ta có BHAH ⊥ . 1,0 b) 2.5 điểm Từ giả thiết suy ra 0 90=∠AIB nên I là điểm chính giữa của cung AIB của đường tròn đường kính AB. 1,0 Mặt khác, theo kết quả câu a thì tia HN là tia phân giác của AHB∠ và AHB∠ là góc nội tiếp chắn cung AIB của đường tròn đường kính AB, nên tia HN phải đi qua I. Do đó 3 điểm H, N, I thẳng hàng. 1,5 Bài 5 2,5 điểm Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yx yxyx yx yxyx yxyx yxyx x −+ ++ + = ++ −++ = ++ 22 44 22 4444 22 4 2 1,0 ( ) ( ) yxyxyxyx yx yx 4 3 4 5 4 1 2 1 22 −=−++≥−+ + + ≥ . Tương tự ( ) ( ) zy zyzy y 4 3 4 52 22 4 −≥ ++ , ( ) ( ) xz xzxz z 4 3 4 52 22 4 −≥ ++ . 1,0 Vậy 2F ( ) ( ) . 4 1 2 1 24 3 4 5 ≥⇒= ++ =++−++≥ F zyx zyxzyx Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 3 1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 4 1 . 0,5 _____________ Hết ___________ Ghi chú: Mọi cách giải đúng và gọn đều cho điểm tối đa tương ứng. . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI T NH HÀ T NH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 -2013 ĐỀ CH NH THỨC Môn: TOÁN (Đề có 01 trang) Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1. a) T nh giá trị. ) xzxz z zyzy y yxyx x F ++ + ++ + ++ = 22 4 22 4 22 4 . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ T NH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI T NH CẤP THCS - NĂM. trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là h nh chiếu vuông góc của M xuống c nh AB, AC và H là h nh chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD. a) Chứng minh AH vuông góc với BH. b) Đường thẳng