1 Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thƣờng gặp Nguyên hàm của những hàm số thƣờng gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp Cxdx 1 1 1 C x dxx 0ln xCx x dx Cedxe xx 10 ln aC a a dxa x x Cxxdx sincos Cxxdx cossin Cxdx x tan cos 1 2 Cxdx x cot sin 1 2 Cbax a baxd 1 1 1 1 1 C bax a dxbax 0ln 1 xCbax abax dx Ce a dxe baxbax 1 Cbax a dxbax sin 1 cos Cbax a dxbax cos 1 sin Cbax a dx bax tan 1 cos 1 2 Cbax a dx bax cot 1 sin 1 2 Cudu 1 1 1 C u duu 0ln uCu u du Cedue uu 10 ln aC a a dxa u u Cuudu sincos Cuudu cossin Cudu u tan cos 1 2 Cudu u cot sin 1 2 I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 Để tính tích phân b / a f[u(x)]u (x)dx ò ta thực hiện các bước sau: Bƣớc 1. Đặt t = u(x) và tính / dt u (x)dx= . Bƣớc 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b)= Þ = = a = Þ = = b . Bƣớc 3. b / a f[u(x)]u (x)dx f(t)dt b a = òò . Ví dụ 7. Tính tích phân 2 e e dx I x ln x = ò . Giải Đặt dx t ln x dt x = Þ = 2 x e t 1, x e t 2= Þ = = Þ = 2 2 1 1 dt I ln t ln 2 t Þ = = = ò . Vậy I ln 2= . 2 Ví dụ 8. Tính tích phân 4 3 0 cos x I dx (sin x cos x) p = + ò . Hƣớng dẫn: 44 3 3 2 00 cos x 1 dx I dx . (sin x cos x) (tan x 1) cos x pp == ++ òò . Đặt t tan x 1=+ ĐS: 3 I 8 = . Ví dụ 9. Tính tích phân 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3 = ++ ò . Hƣớng dẫn: Đặt t 2x 3=+ ĐS: 3 I ln 2 = . Ví dụ 10. Tính tích phân 1 0 3x I dx 1x - = + ò . Hƣớng dẫn: Đặt 3 2 22 1 3 x t dt t8 1x (t 1) - =Þ + + ò L ; đặt t tan u= L ĐS: I 3 2 3 p = - + . Chú ý: Phân tích 1 0 3x I dx 1x - = + ò , rồi đặt t 1 x=+ sẽ tính nhanh hơn. 2. Đổi biến số dạng 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính () b a f x dx ta thực hiện các bước sau: Bƣớc 1. Đặt x = u(t) và tính / ()dx u t dt . Bƣớc 2. Đổi cận: , x a t x b t . Bƣớc 3. / ( ) [ ( )] ( ) ( ) b a f x dx f u t u t dt g t dt . Ví dụ 1. Tính tích phân 1 2 2 0 1 I dx 1x = - ò . Giải Đặt x sin t, t ; dx cos tdt 22 pp éù = Î - Þ = êú ëû 1 x 0 t 0, x t 26 p = Þ = = Þ = 66 2 00 cos t cos t I dt dt cos t 1 sin t pp Þ = = - òò 6 6 0 0 dt t 0 66 p p pp = = = - = ò . 3 Vậy I 6 p = . Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 I 4 x dx=- ò . Hƣớng dẫn: Đặt x 2sin t= ĐS: I =p . Ví dụ 3. Tính tích phân 1 2 0 dx I 1x = + ò . Giải Đặt 2 x tan t, t ; dx (tan x 1)dt 22 æö pp ÷ ç = Î - Þ = + ÷ ç ÷ ÷ ç èø x 0 t 0, x 1 t 4 p = Þ = = Þ = 44 2 2 00 tan t 1 I dt dt 4 1 tan t pp +p Þ = = = + òò . Vậy I 4 p = . Ví dụ 4. Tính tích phân 31 2 0 dx I x 2x 2 - = ++ ò . Hƣớng dẫn: 3 1 3 1 22 00 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) == + + + + òò . Đặt x 1 tan t+= ĐS: I 12 p = . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4x = - ò . ĐS: I 2 p = . Ví dụ 6. Tính tích phân 31 2 0 dx I x 2x 2 - = ++ ò . ĐS: I 12 p = . 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lƣợng giác Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2 23 0 I cos x sin xdx p = ò . Hƣớng dẫn: Đặt t cosx= ĐS: 2 I 15 = . 4 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2 5 0 I cos xdx p = ò . Hƣớng dẫn: Đặt t sin x= ĐS: 8 I 15 = . Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2 42 0 I cos x sin xdx p = ò . Giải 22 4 2 2 2 00 1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx 4 pp == òò 22 2 00 11 (1 cos 4x)dx cos2x sin 2xdx 16 4 pp = - + òò 22 2 00 11 (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x) 16 8 pp = - + òò 3 2 0 x 1 sin 2x sin 4x 16 64 24 32 p æö p ÷ ç = - + = ÷ ç ÷ ç èø . Vậy I 32 p = . Ví dụ 14. Tính tích phân 2 0 dx I cos x sin x 1 p = ++ ò . Hƣớng dẫn: Đặt x t tan 2 = . ĐS: I ln 2= . Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 a t : 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t 3.2. Dạng liên kết Ví dụ 15. Tính tích phân 0 xdx I sin x 1 p = + ò . Giải Đặt x t dx dt= p - Þ = - x 0 t , x t 0= Þ = p = p Þ = ( ) 0 0 ( t)dt t I dt sin( t) 1 sin t 1 sin t 1 p p p- p Þ = - = - p - + + + òò 00 dt dt II sin t 1 2 sin t 1 pp p = p - Þ = ++ òò ( ) ( ) 2 2 00 dt dt t tt 24 cos sin cos 24 22 pp pp == p - + òò 2 0 0 t d 2 4 t tan 2 t 2 2 4 cos 24 p p æö p ÷ ç - ÷ ç ÷ ÷ ç æö èø p p p ÷ ç = = - = p ÷ ç ÷ ÷ ç æö èø p ÷ ç - ÷ ç ÷ ÷ ç èø ò . Vậy I =p . Tổng quát: 5 00 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2 pp p = òò . Ví dụ 16. Tính tích phân 2 2007 2007 2007 0 sin x I dx sin x cos x p = + ò . Giải Đặt x t dx dt 2 p = - Þ = - x 0 t , x t 0 22 pp = Þ = = Þ = ( ) ( ) ( ) 2007 0 2007 2007 2 sin t 2 I dx sin t cos t 22 p p - Þ = - pp - + - ò 2 2007 2007 2007 0 cos t dx J sin t cos t p == + ò (1). Mặt khác 2 0 I J dx 2 p p + = = ò (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4 p = . Tổng quát: 22 nn n n n n 00 sin x cos x dx dx , n sin x cos x sin x cos x 4 pp + p = = Î ++ òò Z . Ví dụ 17. Tính tích phân 6 2 0 sin x I dx sin x 3 cos x p = + ò và 6 2 0 cos x J dx sin x 3 cos x p = + ò . Giải I 3J 1 3- = - (1). ( ) 66 00 dx 1 dx I J dx 2 sin x 3 cos x sin x 3 pp + = = p + + òò Đặt t x dt dx 3 p = + Þ = 1 I J ln 3 4 += (2). Từ (1) và (2) 3 1 3 1 1 3 I ln 3 , J ln 3 16 4 16 4 = + = - . Ví dụ 18. Tính tích phân 1 2 0 ln(1 x) I dx 1x + = + ò . Giải Đặt 2 x tan t dx (1 tan t)dt= Þ = + x 0 t 0, x 1 t 4 p = Þ = = Þ = ( ) 44 2 2 00 ln(1 tan t) I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt 1 tan t pp + Þ = + = + + òò . Đặt t u dt du 4 p = - Þ = - t 0 u , t u 0 44 pp = Þ = = Þ = 6 0 4 0 4 I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du 4 p p ộ ổ ửự p ữ ỗ ờỳ ị = + = - + - ữ ỗ ữ ữ ỗ ờỳ ốứ ởỷ ũũ 44 00 1 tan u 2 ln 1 du ln du 1 tan u 1 tan u pp ổ ử ổ ử - ữữ ỗỗ = + = ữữ ỗỗ ữữ ữữ ỗỗ ố ứ ố ứ ++ ũũ ( ) 44 00 ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I 4 pp p = - + = - ũũ . Vy I ln 2 8 p = . Vớ d 19. Tớnh tớch phõn 4 x 4 cos x I dx 2007 1 p p - = + ũ . Hng dn: t xt=- S: 2 I 2 = . Tng quỏt: Vi a > 0 , 0a> , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [ ] ; - a a thỡ x 0 f(x) dx f(x)dx a1 aa -a = + ũũ . Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn Ă v tha f( x) 2f(x) cos x- + = . Tớnh tớch phõn 2 2 I f(x)dx p p - = ũ . Gii t 2 2 J f( x)dx p p - =- ũ , x t dx dt= - ị = - x t , x t 2 2 2 2 p p p p = - ị = = ị = - [ ] 22 22 I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx pp pp ị = - = ị = + = - + ũũ 22 0 2 cos xdx 2 cos xdx 2 pp p - = = = ũũ . Vy 2 I 3 = . 3.3. Cỏc kt qu cn nh 7 i/ Vi a > 0 , hm s f(x) l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ a a f(x)dx 0 - = ũ . ii/ Vi a > 0 , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ aa a0 f(x)dx 2 f(x)dx - = ũũ . iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim) 22 nn 00 (n 1)!! , n !! cos xdx sin xdx (n 1)!! ., n !! 2 pp ớ - ù ù ù ù ù == ỡ ù - p ù ù ù ù ợ ũũ neỏu n leỷ neỏu n chaỹn . Trong ú n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn: 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = = 6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = = . Vớ d 21. 2 11 0 10!! 2.4.6.8.10 256 cos xdx 11!! 1.3.5.7.9.11 693 p = = = ũ . Vớ d 22. 2 10 0 9!! 1.3.5.7.9 63 sin xdx . . 10!! 2 2.4.6.8.10 2 512 p p p p = = = ũ . II. TCH PHN TNG PHN 1. Cụng thc Cho hai hm s u(x), v(x) liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú ( ) ( ) / / / / // uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + ị = + ( ) b b b a a a d uv vdu udv d(uv) vdu udvị = + ị = + ũ ũ ũ b b b b bb aa a a a a uv vdu udv udv uv vduị = + ị = - ũ ũ ũ ũ . Cụng thc: bb b a aa udv uv vdu=- ũũ (1). Cụng thc (1) cũn c vit di dng: bb b // a aa f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx=- ũũ (2). 2. Phng phỏp gii toỏn Gi s cn tớnh tớch phõn b a f(x)g(x)dx ũ ta thc hin Cỏch 1. Bc 1. t u f(x), dv g(x)dx== (hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm v(x) v vi phõn / du u (x)dx= khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn b a vdu ũ phi tớnh c. Bc 2. Thay vo cụng thc (1) tớnh kt qu. c bit: 8 i/ Nếu gặp b b b ax a a a P(x) sin axdx, P(x) cosaxdx, e .P(x)dx ò ò ò với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)= . ii/ Nếu gặp b a P(x) ln xdx ò thì đặt u ln x= . Cách 2. Viết lại tích phân bb / aa f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx= òò và sử dụng trực tiếp công thức (2). Ví dụ 1. Tính tích phân 1 x 0 I xe dx= ò . Giải Đặt x x ux du dx dv e dx ve = = í í ï ï ïï Þ ìì = ïï = ï ï î î (chọn C0= ) 11 1 1 x x x x 0 0 00 xe dx xe e dx (x 1)e 1Þ = - = - = òò . Ví dụ 2. Tính tích phân e 1 I x ln xdx= ò . Giải Đặt 2 dx du u ln x x dv xdx x v 2 í ï = ï = í ï ï ïï Þ ìì ïï = ïï î = ï ï î ee e 22 1 11 x 1 e 1 x ln xdx ln x xdx 2 2 4 + Þ = - = òò . Ví dụ 3. Tính tích phân 2 x 0 I e sin xdx p = ò . Giải Đặt x x u sin x du cos xdx dv e dx ve = = í í ï ï ïï Þ ìì ïï = = ïï î î 22 x x x 2 2 0 00 I e sin xdx e sin x e cos xdx e J pp p p Þ = = - = - òò . Đặt x x u cos x du sin xdx dv e dx ve = =- í í ï ï ïï Þ ìì = ïï = ï ï î î 22 x x x 2 0 00 J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I pp p Þ = = + = - + òò 2 2 e1 I e ( 1 I) I 2 p p + Þ = - - + Þ = . Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. 9 Ví dụ 7. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx p = ò . Hƣớng dẫn: Đặt tx= 2 0 I 2 t cos tdt 2 p Þ = = = p - ò LL . Ví dụ 8. Tính tích phân e 1 I sin(ln x)dx= ò . ĐS: (sin1 cos1)e 1 I 2 -+ = . III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phƣơng pháp giải toán 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) dx= ò , ta thực hiện các bước sau Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x a 1 x 2 x b f(x) + 0 - 0 + Bƣớc 2. Tính 12 12 b x x b a a x x I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - + ò ò ò ò . Ví dụ 9. Tính tích phân 2 2 3 I x 3x 2 dx - = - + ò . Giải Bảng xét dấu x 3- 1 2 2 x 3x 2-+ + 0 - 0 ( ) ( ) 12 22 31 59 I x 3x 2 dx x 3x 2 dx 2 - = - + - - + = òò . Vậy 59 I 2 = . Ví dụ 10. Tính tích phân 2 2 0 I 5 4cos x 4 sin xdx p = - - ò . ĐS: I 2 3 2 6 p = - - . 2. Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân [ ] b a I f(x) g(x) dx=± ò , ta thực hiện Cách 1. Tách [ ] b b b a a a I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ± ò ò ò rồi sử dụng dạng 1 ở trên. 10 Cách 2. Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). Ví dụ 11. Tính tích phân ( ) 2 1 I x x 1 dx - = - - ò . Giải Cách 1. ( ) 2 2 2 1 1 1 I x x 1 dx x dx x 1 dx - - - = - - = - - ò ò ò 0 2 1 2 1 0 1 1 xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx = - + + - - - ò ò ò ò 0 2 1 2 2 2 2 2 1 0 1 1 x x x x x x 0 2 2 2 2 æ ö æ ö ÷÷ çç = - + + - - - = ÷÷ çç ÷÷ çç è ø è ø . Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x – 0 + + x – 1 – – 0 + ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 0 1 I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx - = - + - + + - + - + ò ò ò ( ) 1 2 02 11 0 x x x x 0 - = - + - + = . Vậy I0= . 3. Dạng 3 Để tính các tích phân { } b a I max f(x), g(x) dx= ò và { } b a J min f(x), g(x) dx= ò , ta thực hiện các bước sau: Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x)=- trên đoạn [a; b]. Bƣớc 2. + Nếu h(x) 0> thì { } max f(x), g(x) f(x)= và { } min f(x), g(x) g(x)= . + Nếu h(x) 0< thì { } max f(x), g(x) g(x)= và { } min f(x), g(x) f(x)= . Ví dụ 12. Tính tích phân { } 4 2 0 I max x 1, 4x 2 dx= + - ò . Giải Đặt ( ) ( ) 22 h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - + . Bảng xét dấu x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 + ( ) ( ) ( ) 1 3 4 22 0 1 3 80 I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx 3 = + + - + + = ò ò ò . Vậy 80 I 3 = . Ví dụ 13. Tính tích phân { } 2 x 0 I min 3 , 4 x dx=- ò . . số trước khi lấy tích phân từng phần. 9 Ví dụ 7. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx p = ò . Hƣớng dẫn: Đặt tx= 2 0 I 2 t cos tdt 2 p Þ = = = p - ò LL . Ví dụ 8. Tính tích phân e 1 I sin(ln. 1 ++ ££ +- ò . V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong 14 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn. tan x 1=+ ĐS: 3 I 8 = . Ví dụ 9. Tính tích phân 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3 = ++ ò . Hƣớng dẫn: Đặt t 2x 3=+ ĐS: 3 I ln 2 = . Ví dụ 10. Tính tích phân 1 0 3x I dx 1x - = + ò . Hƣớng dẫn: