ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ PHƯỢNG SAI PHÂN DẠNG VÀ SỰ PHÂN DẠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ PHƯỢNG SAI PHÂN DẠNG VÀ SỰ PHÂN DẠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN MINH KHOA THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu 1 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ SAI PHÂN 2 1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Định nghĩa sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Áp dụng tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Áp dụng tìm công thức tổng quát của dãy số . . . . 8 2 PHÂN DẠNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 10 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp một 10 2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuần nhất hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.4 Phương trình sai phân bậc một hệ số hằng với vế phải là đa thức của n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.6 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là hàm đa thức nhân lũy thừa . . . . . . 14 2.1.7 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng với vế phải là hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng dùng nguyên lý chồng chất nghiệm để giải . . . . . . 16 i 2.1.9 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng giải bằng phương pháp biến thiên hằng số . . . . . . 17 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số 18 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3 Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao với hệ số hằng số 35 2.4 Một số ứng dụng mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.1 Ứng dụng giải hệ phương trình sai phân . . . . . . . 38 2.4.2 Giải phương trình sai phân phân thức . . . . . . . . 40 2.5 Một số bài toán thi học sinh giỏi và Olympic . . . . . . . . 41 Kết Luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii MỞ ĐẦU Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình sai phân đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Nhiều bài toán thực tế (hệ thống mạng điện, quá trình sản xuất,quản lý xí nghiệp, điều tra dân số, ) được mô tả bởi phương trình sai phân. Các nghiên cứu định tính, các hệ điều khiển mô tả bởi phương trình sai phân đã được nghiên cứu khá đầy đủ, nhất là các phương trình sai phân tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều. Nhưng để tạo lập được cách tiếp cận phù hợp, hiệu quả, có tính hệ thống cho chương trình giảng dạy nâng cao hướng đến các kì thi olympic quốc gia và quốc tế đối với học sinh phổ thông, ở đây trong luận văn này tác giả trình bày một số nghiên cứu định tính và phân dạng phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số. Luận văn gồm hai chương: Chương 1. Trình bày một số khái niệm về sai phân Chương 2. Phân dạng các phương trình sai phân tuyến tính Để hiểu và trình bày vấn đề một cách dễ dàng, tác giả đã cố gắng chứng minh chi tiết các tính chất, giải tường minh các ví dụ miêu tả. Đặc biệt làm sáng tỏ các khái niệm và các kết quả, các ví dụ được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày trong các tài liệu trích dẫn. Tác giả chân thành cảm ơn thầy TS.Nguyễn Minh Khoa - Trưởng khoa Khoa học cơ bản, ĐH Điện Lực, người thầy đã hướng dẫn tận tâm tác giả hoàn thành luận văn này. Xin được cảm ơn trường ĐH Khoa học (ĐH Thái Nguyên) nơi tác giả hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các thầy cô. Cuối cùng xin được cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tác giả vượt qua nhiều khó khăn để hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, tháng 8, 2014 Tác giả Đỗ Thị Phượng 1 Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ SAI PHÂN Các định nghĩa, định lý và các tính chất liên quan tới sai phân trong chương này được trích theo tài liệu [1], [4]. 1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân 1.1.1 Định nghĩa sai phân a. Định nghĩa sai phân bậc một Ta gọi sai phân hữu hạn bậc một của hàm số x(n) = x n với n ∈ N là hiệu ∆x n = x n+1 − x n . Ví dụ 1.1. Hàm x n cho ở dạng bảng n 0 1 2 3 4 x n 1 2 4 7 5 Có các sai phân hữu hạn bậc một là ∆x 0 = x 1 − x 0 = 2 − 1 = 1; ∆x 1 = x 2 − x 1 = 2; ∆x 2 = x 3 − x 2 = 3; ∆x 3 = x 4 − x 3 = −2. b. Định nghĩa sai phân cấp cao Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm x n là sai phân của sai phân bậc một của x n và nói chung sai phân cấp k của hàm x n là sai phân của sai phân cấp k − 1 của nó. Từ đó ta có các công thức của sai phân cấp cao như sau. 2 • Sai phân cấp 2 của hàm x n là ∆ 2 x n = ∆(∆x n ) = ∆x n+1 − ∆x n = x n+2 − x n+1 − (x n+1 − x n ) = x n+2 − 2x n+1 + x n • Sai phân cấp 3 của hàm số x n là ∆ 3 x n = ∆(∆ 2 x n ) = ∆ 2 x n+1 − ∆ 2 x n = x n+3 − 2x n+2 + x n+1 − (x n+2 − 2x n+1 + x n ) = x n+3 − 3x n+2 + 3x n+1 − x n . • Tổng quát sai phân cấp k của x n là ∆ k x n = ∆(∆ k−1 x n )= ∆ k−1 x n+1 − ∆ k−1 x n = k  i=0 (−1) i C i k x n+k−i . Ví dụ 1.2. Xét hàm x n trong ví dụ 1.1 ta có: ∆ 2 x 0 = x 2 − 2x 1 + x 0 = 1; ∆ 2 x 1 = x 3 − 2x 2 + x 1 = 1; ∆ 2 x 2 = x 4 − 2x 3 + x 2 = −5; ∆ 3 x 0 = x 3 − 3x 2 + 3x 1 − x 0 = 0; ∆ 3 x 1 = x 4 − 3x 3 + 3x 2 − x 1 = 6; ∆ 4 x 0 = x 4 − 4x 3 + x 2 − 4x 1 + x 0 = −7. 1.1.2 Tính chất của sai phân Tính chất 1.1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị hàm số theo công thức ∆ k x n = k  i=0 (−1) i C i k x n+k−i. (1.1) Chứng minh. Ta chứng minh công thức (1.1) theo phương pháp qui nạp. Với k = 1 ta có: ∆x n = x n+1 − x n = C 0 1 x n+1 − C 1 1 x n , công thức (1.1) đúng. Giả sử (1.1) đúng với k tức là ta có giả thiết qui nạp ∆ k x n = k  i=0 (−1) i C i k x n+k−i . 3 Ta chứng minh (1.1) đúng với k + 1 tức là: ∆ k+1 x n = ∆ k x n+1 −∆ k x n = k  i=0 (−1) i C i k x n+1+k−i − k  i=0 (−1) i C i k x n+k−i . Ở tổng thứ hai ta đổi chỉ số i = i  −1, sau đó thay i  = i ta nhận được k  i=0 (−1) i C i k x n+k−i = k+1  i  =1 (−1) i  −1 C i  −1 k x n+k+1−i  . Do đó ta nhận được: ∆ k+1 x n = k  i=0 (−1) i C i k x n+k+1−i + k+1  i=1 (−1) i C i−1 k x n+k+1−i = k  i=1 (−1) i C i k x n+k+1−i + x n+k+1 + k  i=1 (−1) i C i−1 k x n+k+1−i +(−1) k+1 x n = k  i=1 (−1) i (C i k + C i−1 k )x n+k+1−i + x n+k+1 + (−1) k+1 x n = k  i=1 (−1) i C i k+1 x n+k+1−i + x n+k+1 + (−1) k+1 x n = k+1  i=0 (−1) i C i k+1 x n+k+1−i . Vậy công thức (1.1) đúng với k + 1, theo nguyên lý qui nạp công thức (1.1) đúng với mọi giá trị k ∈ N. Tính chất 1.2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính. Chứng minh. Ta phải chứng minh ∆ k (αx n + βy n ) = k  i=0 (−1) i C i k (αx n+k+i + βy n+k−i ) =α k  i=0 (−1) i C i k x n+k−i + β k  i=0 (−1) i C i k y n+k−i =α∆ k x n + β∆ k y n . Tính chất 1.3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là: 4 1. Đa thức bậc m − k nếu k < m. 2. Hằng số, nếu k = m. 3. Bằng 0 nếu k > m. Chứng minh. Do tính chất 2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính, nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức P m (n) = n m là đủ. 1. Ta có ∆n m = (n + 1) m − n m = C 0 m + C 1 m n + + C m m n m − n m = C 0 m + C 1 m n + + C m−1 m n m−1 = P m−1 (n). Giả sử tính chất này đúng với k = s < m ta chứng minh nó đúng với k = s + 1 < m. Ta có ∆ s+1 n m = ∆(∆ s n m ) = ∆ s (n + 1) m − ∆ s n m = ∆P m−s (n) = P m−s−1 (n). Vậy ta có tính chất trên đúng với k = s + 1 < m. Tức là ta đã chứng minh được (1) theo nguyên lý quy nạp. 2. Khi k = m,( theo chứng minh 1), ta có ∆ m n m = P m−m (n) = P 0 (n) = C(const). 3. Khi k > m ta có ∆ k n m = ∆ k−m (∆ m n m ) = ∆ k−m C = ∆ k−m−1 (∆C) = 0. Tính chất 1.4. N  n=n 0 ∆ k x n = ∆ k−1 x N+1 − ∆ k−1 x n 0 với k ∈ Z + . Chứng minh. Ta có N  n=n 0 ∆ k x n = N  n=n 0 ∆(∆ k−1 x n ) = ∆ k−1 x n 0 +1 − ∆ k−1 x n 0 + + ∆ k−1 x N+1 − ∆ k−1 x N = ∆ k−1 x N+1 − ∆ k−1 x n 0 . 5 Tính chất 1.5. Công thức sai phân từng phần ∆(x k .y k ) = x k ∆y k + y k+1 ∆x k . Chứng minh. Ta có ∆(x k .y k ) = x k+1 y k+1 − x k y k = x k+1 y k+1 − x k y k+1 + x k y k+1 − x k y k = y k+1 (x k+1 − x k ) + x k (y k+1 − y k ) = x k ∆y k + y k+1 ∆x k . Tính chất 1.6. (Tổng sai phân) n  k=1 ∆x k = x k+1 − x 1 . Chứng minh n  k=1 ∆x k = ∆x 1 + ∆x 2 + + ∆x n−1 + ∆x n = x 2 − x 1 + x 3 − x 2 + + x n − x n−1 + x n+1 − x n = x n+1 − x 1 . 1.2 Áp dụng 1.2.1 Áp dụng tính tổng Ví dụ 1.3. Tính tổng S n = n  k=1 3 k−1 sin 3 x 3 k . Xuất phát từ hệ thức sau và tính chất của tổng sai phân sin 3 x = 1 4 [3 sin x −sin 3x] ta nhận được S n = 1 4 [3 n sin x 3 n − sin x]. Ví dụ 1.4. Tính tổng S n = n  k=1 2 k+1 tan 2 x 2 k . tan x 2 k−1 . 6 [...]... chất liên quan tới phương trình sai phân trong chương này được trích theo tài liệu [2], [3] 2.1 2.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp một Định nghĩa 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng: a(n)x(n + 1) + b(n)x(n) = f (n), (2.1) trong đó x(n), x(n + 1) là cặp giá trị liền nhau bất kì của hàm đối số nguyên cần tìm x(n);... thì phương trình (2.2) gọi là phương trình thuần nhất 10 (2.2) ii Nếu fn = 0 thì phương trình (2.2) gọi là phương trình không thuần nhất iii Nếu an , bn là hằng số không phụ thuộc n thì phương trình (2.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng iiii Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hay được dùng để mô tả các mô hình kinh tế, mô hình quản lý xã hội Ví dụ 2.2 Sản phẩm của. .. quát của (2.4) có dạng xn = xn +x∗ , ¯ n trong đó xn là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng ¯ −b dạng xn = cλn với λ = ¯ hoặc λ = q , còn x∗ là nghiệm riêng bất kì của n a phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Ví dụ 2.5 Phương trình xn+1 − 3xn = 1 1 Giải Có xn = c.3n và x∗ = − suy ra nghiệm tổng quát của phương trình ¯ n 2 1 là xn = c.3n − 2 12 2.1.4 Phương trình sai phân. .. tính thuần nhất (2.13) và x∗ là một nghiệm n riêng tùy ý của (2.12) 2.2.3 Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số Dạng 1 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng số dạng: axn+2 + bxn+1 + cxn = 0 (2.14) 18 Cách giải Phương trình (2.14) có nghiệm tầm thường xn = 0 Ta tìm nghiệm khác 0 ở dạng xn = αλn , α = 0, λ = 0 Thay vào phương trình (2.14) ta nhận được... Khi đó nghiệm riêng của phương trình là: x∗ = xn n 16 ∗(2) + xn (2.10) ∗(k) + + xn 2.1.9 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng giải bằng phương pháp biến thiên hằng số Định nghĩa 2.9 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng giải bằng phương pháp biến thiên hằng số có dạng: axn+1 + bxn = fn , (2.11) fn bất kì a, b = 0 Cách giải Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất xn... = −n2 n Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: xn = xn + x∗ = c − n2 ¯ n Từ giả thiết ta có x0 = 100 suy ra c = 100 Vậy nghiệm của phương trình là xn = 100 − n2 13 2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là hàm lũy thừa Định nghĩa 2.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là hàm lũy thừa là phương trình có dạng axn+1 + bxn = α.β n (2.6)... 1)n! 17 2.2 2.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất có dạng: axn+2 + bxn+1 + cxn = fn , (2.12) trong đó a, b, c là hằng số, a, c = 0 Nếu fn = 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng: axn+2 + bxn+1 + cxn = 0 (2.13) Ví dụ 2.14 Hãy mô tả quy luật sản xuất của một nhà máy thủy... lượng điện của tháng trước cộng với 0, 5% sản lượng điện của tháng trước nữa Giải Gọi xn là sản lượng điện của tháng thứ n Ta có: xn+1 = xn + 2%xn + 0, 5%xn−1 ⇔ xn+1 − 1, 02xn − 0, 005xn−1 = 0 Đây là phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng số của (2.13) 2.2.2 Cách giải Nghiệm tổng quát của (2.12) có dạng xn = xn + x∗ , trong đó xn là nghiệm n của phương trình sai phân tuyến tính thuần... riêng của phương trình: xn+2 − 10xn+1 + 25xn = n ∗(1) ∗(1) Ta tìm xn ở dạng xn = an + b ∗(2) Còn xn là nghiệm riêng của phương trình: xn+2 − 10xn+1 + 25xn = 2n ∗(2) Ta có xn = c.2n Vậy x∗ = an + b + c2n n 1 1 1 n+ + 2n 16 32 9 Ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình: Thay vào phương trình ta tìm được x∗ = n xn = xn + x∗ = (A + Bn)5n + n 1 1 1 n+ + 2n 16 32 9 Dạng 6 Phương trình sai phân tuyến. .. 2000 Gọi xn là số người của Hà Nội tại thời điểm thứ n Theo bài toán ta có phương trình xn+1 = 1, 01xn ; x0 = 1, 6 triệu Vậy q = 1, 01 suy ra x10 = 1, 6.(1, 01)10 = 1, 6.1, 104621 ≈ 1, 77 triệu người 2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuần nhất hệ số hằng Định nghĩa 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuần nhất hệ số hằng là phương trình có dạng: axn+1 + bxn = fn , . −2. b. Định nghĩa sai phân cấp cao Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm x n là sai phân của sai phân bậc một của x n và nói chung sai phân cấp k của hàm x n là sai phân của sai phân cấp k − 1 của nó. Từ đó. tính và phân dạng phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số. Luận văn gồm hai chương: Chương 1. Trình bày một số khái niệm về sai phân Chương 2. Phân dạng các phương trình sai phân tuyến. [3]. 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một 2.1.1 Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp một Định nghĩa 2.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng: a(n)x(n +