1 Chương I – HỆ THỐNG LÍ THUYẾT 1. Nguyên hàm 1.1 Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K, hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F’(x) = f(x) xK . Chú ý: Trong trường hợp K = [a; b], các đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là: xa F(x) F(a) lim f(b) xa      và xb F(x) F(b) lim f(b) xb      Ví dụ: 1) Hàm số F(x) = 3 x 3 là nguyên hàm của hàm số f(x) = x 2 trên R vì 3 2 x ( )' x x 3    R . 2) Hàm số F(x) = tanx là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 1 cos x trên khoảng ( ; ) 22   vì 2 1 (tanx)' x ( ; ) 22 cos x      . Định lí: Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đó: a) Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm f trên K. b) Với mỗi nguyên hàm G của hàm f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C xK . 1.2 Nguyên hàm một số hàm số thường gặp 2 Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm. Việc tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản hơn. Sau đây là bảng tính nguyên hàm các hàm số thường gặp. 1 2 1) 0dx C dx 1dx x C x 2) x dx C ( 1) 1 1 3) dx ln x C x                  4) Với k0 kx x kx x 2 2 coskx sinkx a) sinkxdx C b) coskxdx C kk ea c) e dx C d) a dx C (0 a 1) k lna 1 5) a) dx tan x C cos x 1 b) dx cotx C sin x                    1.3 Một số tính chất của nguyên hàm Nếu f, g là hai hàm liên tục trên K thì a) [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx    b) Với mọi số thực k0 ta có: kf(x)dx k f(x)dx  2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm Dựa vào các tính chất và bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản ta có thể tìm được nguyên hàm của khá nhiều hàm số. Tuy vậy, còn có nhiều hàm số chưa tìm 3 được nguyên hàm bởi cách trên. Cần giới thiệu cho học sinh một số phương pháp tính nguyên hàm hiệu qua hơn. 2.1 Phương pháp xác định nguyên hàm Một số bài toán chúng ta dùng đến định nghĩa và các phép phân tích cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm số. Định nghĩa: Giả sử y  f(x) liên tục trên khoảng (a; b), khi đó hàm số y  F(x) là một nguyên hàm của hàm số y  f(x) khi và chỉ khi F(x)  f(x), x(a;b). Vì (uv)’ = u’v + uv’, 2 u u'v uv' ( )' v v   nên ta có thể biến đổi vế phải để tìm nguyên hàm của các hàm số vê trái.(sau đó lấy vi phân hai vế). Cũng có thể sử dụng tính chất không đổi sau dấu vi phân của các hàm siêu việt để phân tích như de x = e x dx. Sử dụng các biến đổi cơ bản: −             f x dx F x c F x f x dF x f x dx         − Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì:       f x dx f x ;      d f(x)dx f(x)dx  − Nếu F(x) có đạo hàm thì: d(F(x)) F(x) C  2.2 Phương pháp đổi biến số Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lí: Định lí 2: a) Nếu f(x)dx F(x) C  và u (x) là các hàm số có đạo hàm thì f(u)du F(u) C  b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x (t) trong đó (t) cùng với đạo hàm của nó [ '(t)] là những hàm số liên tục ta sẽ được f(x) f[ (t)] '(t)dt    Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm: I f(x)dx  . 4 Quy trình: Bước 1: Chọn x (t) , trong đó (t) là hàm số ta chọn cho thích hợp. Bước 2: lấy vi phân dx = '(t) dt Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt Bước 4: Tính I g(t)dt  Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: 5 Dấu hiệu Cách chọn 22 ax 22 xa 22 ax a x a x ; a x a x   (x a)(b x) x a sint ( t ) 22 x a cost (0 t )               a x (t [ ; ]\{0}) sint 2 2 a x (t [0; ]\{ }) cost 2               x a tan t ( t ) 22 x a cott (0 t )               x = acos2t x = a + (b – a)sin 2 t Ví dụ: Tính nguyên hàm: 23 1 I dx (1 x )    Giải: Đặt x = sint; t 22     32 23 2 dx costdt dt dx costdt; d(tant) cos t cos t (1 x ) x I (tdt) tant C C 1x               Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2. Tính I f(x)dx  Quy trình: 6 Bước 1: Chọn t (x) , trong đó (x) là hàm số được chọn sao cho phù hợp. Bước 2: Xác định vi phân dt '(x)dx Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt Bước 4: Tính I g(t)dt  Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn Hàm số phân thức Hàm số f(x, (x)) Hàm số asinx bcosx f(x) csinx dcosx e    Hàm số 1 f(x) (x a)(x b)   T là mẫu số t (x) xx t tan (cosx 0) 22  t x a x b (x a 0; x b 0) t x a x b (x a 0; x b 0)                       Ví dụ: Tính 2 x I dx 1x    Giải: Đặt 2 t 1 x x 1 t     2 2 2 42 dx 2tdt x (1 t ) dx .( 2t)dt 2(t 2t 1)dt 2 1x                Khi đó: 4 2 5 3 4 2 2 2 12 I 2 (t 2t 1)dt 2( t t t) C 53 22 (3t 10t 15)t C [3(1 x) 10(1 x) 15)] 1 x C 15 15                        2 2 (3x 4x 8) 1 x C 15       7 2.3 Phương pháp tích phân từng phần. Định lí 3: Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: u(x).v'(x)dx u(x).v(x) u'(x)v(x)dx  Bài toán: Tính tích phân bất định I f(x)dx  . Quy trình: Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: 12 I f(x)dx f (x).f (x)dx  Bước 2: Đặt 1 2 u f (x) du ? dv f (x)dx v          Bước 3: Tính I uv vdu  Ví dụ: Tính tích phân bất định 2 2 xln(x x 1 I x1     dx Giải: Ta có: 2 2 x I ln(x x 1). dx x1      Đặt 2 2 22 2 2 1x u ln(x x 1) x1 1 du dx x x x 1 x 1 dv x1 v x 1                         Khi đó: 2 2 2 2 I x 1.ln(x x 1) dx x 1.ln(x x 1) x C            Ngoài hai phương pháp chính trên thì để tìm nguyên hàm của một hàm số còn phải dùng nhiều phương pháp hỗ trợ, sự linh hoạt trong tính toán, phân tích. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu sơ bộ về một số phương pháp phụ có nhiều ứng dụng trong việc giải toán tìm nguyên hàm. 8 2.4 Một số phương pháp khác 2.4.1 Phương pháp dùng nguyên hàm phụ Ý tưởng chủ đạo của phương pháp xác định nguyên hàm của f(x) bằng kĩ thuật dùng nguyên hàm phụ là tìm kiếm một hàm số g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x) dễ xác định hơn so với hàm số f(x), từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x). Quy trình: Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x) Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x) tức là: 1 2 F(x) G(x) A(x) C (I) F(x) G(x) B(x) C          Bước 3: Từ hệ (I), ta nhận được: 1 F(x) [A(x) + B(x)] + C 2  là họ nguyên hàm của hàm số f(x). Ví dụ: Tính tích phân bất định: sinx I dx f(x)dx sinx cosx    . Giải: Chọn hàm số phụ cosx g(x) sinx cosx   . Gọi F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: sinx cosx f(x) g(x) sinx cosx    . 1 2 sinx cosx d(sinx cosx) F(x) G(x) dx ln sinx cosx C sinx cosx sinx cosx sinx cosx f(x) g(x) 1 F(x) G(x) dx x C sinx cosx                      Ta có hệ: 1 2 F(x) G(x) ln sinx cosx C F(x) G(x) x C             9 1 I F(x) (ln sinx cosx x) C 2       2.4.2 Phương pháp biến đổi, phân tích cơ bản. Quy trình: Bước 1: Phân tích f(x) về dạng n ii i1 f(x) a f (x)dx    , với f i (x) có nguyên hàm trong bảng các nguyên hàm cơ bản và a i là các hằng số. Bước 2: Tính: nn i i i i i 1 i 1 f(x)dx a f (x)dx a f (x)dx       Ví dụ: Tính tích phân bất định 32 I (x 2) dx  Giải: 7 3 2 6 3 4 x I (x 2) dx (x 4x 4)dx x 4x C 7           Việc biến đổi, phân tích các hàm số trong bài toán tìm nguyên hàm là rất quan trọng, cần thiết. Học sinh cần thông thạo các công thức biến đổi cơ bản và linh hoạt trong việc biến đổi các hàm số. Tổng hợp, hệ thống lại lí thuyết nguyên hàm là một trong những hoạt động quan trọng của dạy học nguyên hàm. Nó giúp học sinh nắm bắt cơ sở lí thuyết để vận dụng vào làm bài tập. Tính tích phân bất định (nguyên hàm) là một trong những phần quan trọng của chương trình toán 12 ở Trung Học Phổ Thông, nó có hệ thống bài tập rất đa dạng, phong phú. Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp được học để làm bài tập là một hoạt động quan trọng. Học sinh nhận biết được bài tập, đưa ra các phương pháp giải phù hợp chính là thành công hay nói đúng hơn là việc dạy học phần nguyên hàm đạt được mục tiêu đề ra. Để giúp học sinh rèn luyện kĩ năng giải toán chúng tôi xin đưa ra một số hoạt động dạy học giải bài tập trong phần tích phân bất định. 10 Chương II – MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC NGUYÊN HÀM QUA CÁC BÀI TẬP Lượng bài tập cũng như số dạng toán trong chủ đề tích phân là rất lớn. Tuy nhiên trong khuôn khổ phạm vi đề tài, chúng tôi xin đưa ra một số dạng bài tập cơ bản thường gặp. 2.1. Một số bài toán sử dụng định nghĩa, bảng nguyên hàm cơ bản * Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa Ví dụ 1: Xác định họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = (x 2 + 3x + 2)e x Giáo viên đặt câu hỏi mở: – Yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa nguyên hàm trên một khoảng? Học sinh: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu f(x) = F’(x) với mọi x  K. – Hãy biến đổi f(x) về dạng: f(x) = [g(x) + g’(x)]e x ? Học sinh: f(x) = [(x 2 + x + 1) + (2x + 1)]e x = [(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1)’]e x . – Hãy xét hàm số: F(x) = (x 2 + x + 1)e x . Tính F’(x) = ? Học sinh: F’(x) = [(x 2 + x + 1) + (2x + 1)]e x = (x 2 + 3x + 2)e x = f(x). Lời giải: Ta có: f(x) = [(x 2 + x + 1) + (2x + 1)]e x = [(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1)’]e x . Xét hàm số: F(x) = (x 2 + x + 1)e x . Ta có: F’(x) = [(x 2 + x + 1)e x ]’ = [(x 2 + x + 1) + (2x + 1)]e x = (x 2 + 3x + 2)e x = f(x). Vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là: F(x) = (x 2 + x + 1)e x + C. Từ ví dụ trên, giáo viên rút ra kết luận: Để tính nguyên hàm của hàm số dạng: f(x) = [g(x) + g’(x)]e x thì ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xét hàm số F(x) = f(x)e x . Nhận xét rằng: F’(x) = f(x)e x + f’(x)e x = [f(x) + f’(x)]e x . Bước 2: Vậy F(x) = f(x)e x + C là nguyên hàm của hàm số f(x). [...]... 6 – Với phương pháp tích phân từng phần như trên thì ta phải tính tích phân từng phần bao nhiêu lần? Học sinh: Ta phải tích phân từng phần 3 lần – Như vậy, đối với bài toán này thì việc sử dụng phương pháp tích phân từng phần là khá phức tạp và mất nhiều thời gian Vậy ngoài phương pháp này thì còn có cách nào khác tính nhanh hơn và đơn giản hơn hay không? Học sinh: Ta có thể sử dụng phương pháp đổi... xsin x  cos x  C Giáo viên: Như vậy với việc dùng phương pháp tích phân từng phần thì việc những tích phân phức tạp sẽ được tính dễ dàng hơn bằng việc tính qua một tích 29 phân khác Phương pháp này sẽ phát huy hiệu quả nếu dùng đúng với những hàm số nhất định như hàm lượng giác, siêu việt Dấu hiệu nhận biết một số hàm số sử dụng phương pháp tích phân từng phần: Hàm số Cách đặt u  P(x)  Đặt  dv... chính là phương pháp đổi biến số, đó là một phương pháp được sử dụng phổ biến để giải quyết các bài toán 15 tính tích phân Phương pháp đổi biến số này có hai dạng là: t = ( x ) và x = ( t ) Ở bài trên ta đã sử dụng phương pháp đổi biến số dạng t = ( x ) * Phương pháp đổi biến số dạng t = ( x ) Bài toán 1: Tính tích phân bất định I =  f (x)dx bằng phương pháp đổi biến số dạng: t = ( x ) Quy trình... viên nhận xét: Ở bài toán này sau khi dùng tích phân luân hồi, ta đã biến đổi ra 1 tích phân để triệt tiêu tích phân còn lại Mỗi loại hàm số thì có một 34 cách biến đổi và phân tích các nhau, các em hãy nhớ dạng tổng quát của các hàm số này và phương pháp tích phân từng phần để vận dụng vào mỗi bài toán cho hợp lí Giáo viên có thể ra thêm bài tập rèn luyện cho học sinh: 1 I   x sin x cos 2 xdx 3 I ... chung về phương pháp đổi biến số dạng: t = ( x ) và đưa ra một số dấu hiệu, giáo viên đưa ra một số bài tập để học sinh vận dụng phương pháp một cách thành thạo hơn Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: I =  x2 dx 1 x Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở hướng dẫn học sinh: 16 x2 thuộc dạng nào trong những dạng trên và ta sẽ sử 1 x – Ở đây, hàm số dụng phương pháp đổi biến số như thế nào ? Học sinh:... ? Học sinh:  (uv)'dx   (u 'v  uv')dx  uv   vdu   udv - Từ đó ta có:  udv  uv   vdu 28 Trong thực tế có rất nhiều bài toán khi tính tích phân  udv thì rất khó khăn (hoặc không thể tính được theo các phương pháp đã học) nhưng nếu chuyển sang tính uv   vdu thì sẽ dễ dàng hơn nhiều Ví dụ 1: Tính I   xcosxdx Giáo viên hướng dẫn: − Các em hãy tính I bằng phương pháp đặt ẩn phụ hay phân tích. .. không đổi thì phải dùng tích phân luân hồi, (sử dụng tích phân từng phần sau đó phân tích) Ví dụ 4: Tính I   e x 1  sinx dx 1  cos x Giáo viên: 33 – Hãy xét xem hàm số trên có đặc điểm gì? Đối chiếu với bảng dấu hiệu hãy đưa ra cách đặt hợp lí Học sinh: Hàm số trên là tích của hàm siêu việt và hàm lượng giác, cả hai hàm đều có tính chất đặc biệt của đạo hàm nên ta sẽ dùng tích phân luân hồi – Hãy áp...  cos x)  C Các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần rất phong phú Việc chọn biến để đặt ẩn là yếu tố quan trọng, quyết định sự thành công của việc tính tích phân Ví dụ 3: Tính tích phân bất định I   sin(ln x)dx Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở: − Hàm số sin(lnx) thuộc dạng nào? − Xem P(x) là đa thức bậc 0 thì chúng ta phải đặt thế nào? Tính I? Học sinh: +) Thuộc dạng hàm lượng giác... chúng tôi xin giới thiệu một số dạng toán điển hình có thể giải bằng nhiều cách khác nhau Tuy nhiên các em học sinh nên chọn nhanh nhất, hiệu quả nhất x3 Ví dụ 1: Tính tích phân bất định sau: I   dx ( x  1)10 Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán trên bằng phương pháp tích phân từng phần Học sinh: Lời giải u  x 3 du  3x 2 dx   Đặt  dx   1 dv  v   ( x  1)10 9( x  1) 9   35 x3... c) f(x) = cot2 t; d) f(x) = tan4 t 2.2 Các bài toán sử dụng phương pháp đổi biến số Ví dụ 1 Tính tích phân bất định sau: I   (2x  1) 3 dx Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở: – Đây là đa thức bậc ba đơn giản, hãy phân tích (2x + 3)3 ? Học sinh: (2x + 3)3 = 8x3 + 12x2 + 6x + 1 – Yêu cầu học sinh sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính ? Học sinh: I   (2x  1)3 dx   (8x 3  12x 2  6x  1)dx 