Khoa Toán - Cơ - Tin học Bộ môn Giải tích Phơng trình vi phân đạo hàm riêng Hà Nội, 2006 i Phơngtrìnhđạohmriêng Mục lục Chơng 1 Mở đầu. Phân loại phơng trình tuyến tính cấp hai 1 1.1 Giới thiệu chung . . . . . . . . . 1 1.2 Một số phơngtrìnhđạohàmriêngtiêubiểu 2 1.2.1 Các phơng trình đạo hàm riêng 2 1.3 Mộtsốvídụdẫntớicácbàitoánbiêncủaphơng trình đạo hàm riêng 3 1.3.1 Phơng trình dao động của dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.2 Phơng trình truyền nhiệt trong môi trờng đẳng hớng 5 1.3.3 PhơngtrìnhLaplace 7 1.4 Phân loại phơng trình vi phân cấp hai trong trờng hợp hai biến . . . . 7 1.5 Tính đặt chỉnh của bài toán phơng trình đạo hàm riêng. Phản ví dụ củaHadamard.ĐịnhlýCauchy-Kovalevskaia 13 Chơng 2 Phơng trình hyperbolic. Phơng trình truyền sóng trên dây 19 2.1 Đặtbàitoán 19 2.2 Phơng trình chuyển dịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Nghiệm của bài toán Cauchy của phơng trình truyền sóng. Công thức DAlembert 22 2.4 Nghiệm của bài toán biên-ban đầu. Phơngpháptáchbiến 25 2.5 Trờng hợp ngoại lực khác không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Giải bài toán biên-ban đầu với vế phải khác không . . . . . . . . . . . . 27 2.7 ý nghĩa vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chơng 3 Phơng trình elliptic. Bài toán biên của phơng trình Laplace 32 3.1 Hàm điều hoà. Các tính chất cơbản 32 3.1.1 Hàm điều hoà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.2 Nghiệm cơ bản của phơngtrìnhLaplace 33 3.1.3 Công thức Green đối với toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.4 Các tính chất cơ bản của hàm điều hoà . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 BàitoánDirichlettrong(Bàitoánbiênthứnhất) 38 3.2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.2 Hàm Green. Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.3 Bài toán Dirichlet ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 BàitoánNeumann 42 3.4 Giải bài toán Dirichlet trong trên mặt tròn bằng phơngpháptáchbiến 43 i ii Mục lục Chơng 4 Phơng trình parabolic. Phơng trình truyền nhiệt 50 4.1 Mở đầu. Định lý cực đại cực tiểu 50 4.2 Định lý duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu của bài toán Cauchy . . . 51 4.3 Giải bài toán Cauchy bằng phơngpháptáchbiến 51 4.4 Bài toán biên ban đầu thứ nhất 54 4.5 ý nghĩa vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Giải một số bài tập 57 Tài liệu tham khảo 66 1 Phơngtrìnhđạohmriêng Chơng 1 Mở đầu. Phân loại phơng trình tuyến tính cấp hai 1.1 Giới thiệu chung Phơng trình đạo hàm riêng là một lĩnh vực quan trọng của toán học. Có rất nhiều mô hình trong tự nhiên đợc mô tả bởi một phơng trình hoặc một hệ phơng trình vi phân nói chung và phơng trình vi phân đạo hàm riêng nói riêng. Định nghĩa 1.1. Một phơng trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x 1 , ,x n ), các biến độc lập x i và các đạo hàm riêng của nó đợc gọi là một phơng trình vi phân đạo hàm riêng (hay phơng trình đạo hàm riêng cho gọn). Nó có dạng F à x, u(x), u x 1 , , u x n , , k u x k 1 1 ãããx k n n , ả =0, (1.1) trong đó F là một hàm nào đó của các đối số của nó, với ký hiệu x =(x 1 , ,x n ) R n , u(x)=u(x 1 , ,x n ) (a) . Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phơng trình đợc gọi là cấp của phơng trình. Phơng trình đợc gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với ẩn hàm và các đạo hàm riêng của ẩn hàm. Ví dụ phơng trình tuyến tính cấp hai tổng quát đối với hàm u = u(x, y) có dạng a(x, y) 2 u x 2 +2b(x, y) 2 u xy + c(x, y) 2 u y 2 + d(x, y) u x + e(x, y) u y + f(x, y)u = g(x, y). (1.2) Phơng trình đợc gọi là á tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với đạo hàm riêng cấp (a) Ngời ta thờng sử dụng ký hiệu D k u = |k| u x k 1 1 ãããx k n n , với k =(k 1 , ,k n ) N n . 2 Chơng1.Mởđầu.Phânloại cao nhất của ẩn hàm. Ví dụ phơng trình á tuyến tính cấp hai tổng quát có dạng a(x, y, u, u x ,u y ) 2 u x 2 +2b(x, y, u, u x ,u y ) 2 u xy + c(x, y, u, u x ,u y ) 2 u y 2 + d(x, y, u, u x ,u y )=0. (1.3) Lý thuyết phơng trình đạo hàm riêng có hai n ét đặc thù cơ bản. Thứ nhất là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý, vì quá trình nghiên cứu các bài toán vật lý và cơ học dẫn đến các bài toán phơng trình đạo hàm riêng, vì vậy ngời ta còn gọi phơng trình đạo hàm riêng là phơng trình vật lý toán. Những nhà tiên phong trong lĩnh vực này là J.DAlembert (1717-1783), L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli (1700-1782), J.Lagrange (1736-1813), P.Laplace (1749-1827), S.Poisson (1781-1840), J.Fourier (1768-1830). Thứ hai là mối liên hệ mật thiết của phơng trình đạo hàm riêng với các ngành Toán học khác nh giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô, đại số, giải tích phức. Trong khuôn khổ chơng trình học, chúng ta sẽ đề cập đến các phơng trình tuyến tính cấp hai cơ bản nhất và các bài toán biên hoặc bài toán giá trị ban đầu tơng ứng, thông qua các phơng trình đặc trng của mỗi loại: đó là phơng trình Laplace, phơng trình truyền nhiệt trên một thanh và phơng trình truyền sóng trên dây căng thẳng, đặc trng cho phơng trình elliptic, parabolic và hyperbolic. 1.2 Một số phơng trình đạo hàm riêng tiêu biểu Trongmụcnàytagiớithiệumộtsốphơng trình đạo hàm riêng tiêu biểu, có ứng dụng trong thực tiễn trong các ngành khoa học thực nghiệm nh vật lý, hoá học, môi trờng, khoa học trái đất, 1.2.1 Các phơng trình đạo hàm riêng 1. Phơng trình Laplace do Laplace đa ra vào khoảng năm 1780 u = n X i=1 u x i x i =0,x R n . 2. Phơng trình Helmholtz đợc Helmholtz nghiên cứu vào năm 1860 u = u. 3. Phơng trình chuyển dịch tuyến tính u t + n X i=1 b i u x i =0. 3 Chơng1.Mởđầu.Phânloại 4. Phơng trình Liouville đợc nghiên cứu vào khoảng 1851 u t n X i=1 (b i u) x i =0. 5. Phơng trình truyền nhiệt đợc Fourier công bố năm 1810-1822 u t = u. 6. Phơng trình Schrodinger (1926) iu t + u =0. 7. Phơng trình truyền sóng đợc DAlembert đ a ra năm 1752 u tt u =0. và dạng tổng quát của nó u tt n X i=1 a ij u x i x j + n X i=1 b i u x i =0. Trên đây là một số phơng trình đạo hàm riêng dạng tuyến tính, bên cạnh đó còn rất nhiều phơng trình đạo hàm riêng phi tuyến cũng nh hệ phơngtrìnhtiêubiểumà trong khuôn khổ một giáo trình 30 tiết ta sẽ không đề cập đến. Mục tiếp sau đây sẽ cho ta thấy một số cách xây dựng nên phơng trình đạo hàm riêng từ thực tiễn. 1.3 Một số ví dụ dẫn tới các bài toán biên của phơng trình đạo hàm riêng 1.3.1 Phơng trình dao động của dây Xét sợi dây căng thẳng theo trục Ox. Tác động làm sợi dây dao động. Ta sẽ nghiên cứu quy luật dao động của sợi dây. Ta có các giả thiết: Sợi dây rất mảnh và không cỡng lại sự uốn. Có lực căng T tơng đối lớn so với trọng lợng của dây, tức là bỏ qua đợc trong lợng của sợi dây. Ta chỉ xét những dao động ngang của sợi dây, tức là khi dao động, các phần tử của dây chỉ chuyển động theo phơng vuông góc với trục Ox, không xét các dao động của dây nằm ngoài mặt phẳng 0ux. 4 Chơng1.Mởđầu.Phânloại XéttạivịtríđiểmM trênsợidây,kýhiệuđộlệchcủaM sovớivịtrícânbằnglàu, khi đó u = u(x, t),vớix là toạ độ của M trên dây và t là thời gian. Tại thời điểm t = t 0 cho trớc ta có u = u(x, t 0 )=f(x), (1.4) tứclàtạiđiểmt = t 0 ,tanhậnđợc hình dáng của dây rung u = f(x). Giả thiết thêm rằng độ lệch của dây u(x, t) và đạo hàm riêng x u là rất nhỏ và có thể bỏ qua đại lợng ( x u) 2 . Xét đoạn dây giới hạn bởi hai điểm M 1 , M 2 với hoành độ tơng ứng x 1 và x 2 . Vì ta có thể bỏ qua đại lợng u 2 x nên độ dài của đoạn dây M 1 M 2 bằng: l 0 = Z x 2 x 1 p 1+u 2 x dx x 2 x 1 = l, (1.5) tức là bằng độ dài của đoạn M 1 M 2 ở trạng thái cân bằng, hay độ dài của sợi dây không đổi khi nó dao động. Vậy, theo định luật Hooke, lực căng của sợi dây cũng không thay đổi T = T 0 . Tasẽthiếtlậpphơng trình dao động của dây dựa vào nguyên lý DAlembert: Trong chuyển động của đ oạn dây, tổng các lực tác động vào đoạn dây, kể cả lực quán tính bằng không; do đó tổng các hình chiếu của các lực trên một trục bất kỳ là bằng không. Ta có hình chiếu lên trục u của tổng các lực tác dụng lên đoạn dây M 1 M 2 , bao gồm lực căng của dây, ngoại lực tác dụng và lực quán tính bằng không. Khiđótacólựccăngcủadâyhớng theo phơng tiếp tuyến tại M 1 và M 2 ,bằngT 0 . Nh vậy tổng hình chiếu các lực căng tại M 1 và M 2 lên trục u bằng Y = T 0 [sin (x 2 ) sin (x 1 )], (1.6) với (x) là góc hợp với trục Ox của véctơ tiếp tuyến tại điểm x. Thay sin (x)= tan (x) p 1+tan 2 (x) = u x q 1+ Ă u x  2 u x (1.7) vào (??),tađợc Y = T 0 " à u x ả x=x 2 à u x ả x=x 1 # = T 0 Z x 2 x 1 2 u x 2 dx. (1.8) Giả sử p(x, t) là ngoại lực tác động vào sợi dây, song song với trục u và phân phối trên một đơn vị chiều dài. Khi đó hình chiếu trên trục u của ngoại lực tác động lên đoạn dâyđangxétlà P = Z x 2 x 1 p(x, t)dx. (1.9) Gọi tỷ trọng dài của sợi dây là (x) (tức là mật độ phân bố vật chất theo chiều dài). Khiđólựcquántínhcủađoạndâyđangxétlà Z = Z x 2 x 1 (x) 2 u t 2 dx. (1.10) 5 Chơng1.Mởđầu.Phânloại Từ (??), (??), (??), áp dụng nguyên lý DAlembert ở trên ta đợc Y + P + Z = Z x 2 x 1 à T 0 2 u x 2 (x) 2 u t 2 + p(x, t) ả dx. (1.11) Chúýrằngx 1 và x 2 là những vị trí bất kỳ, ta suy ra biểu thức dới dấu tích phân của (??) phải triệt tiêu, tức là (x) 2 u t 2 = T 0 2 u x 2 + p(x, t). (1.12) Phơng trình (??) đợc gọi là phơng trình dao động của dây. Trong trờng hợp dây đồng chất, ngoại lực tác động bằng không, phơng trình (??) trở thành 2 u t 2 = a 2 2 u x 2 , với a = s T 0 (x) . (1.13) Lẽ dĩ nhiên, phơng trình (??) có vô số nghiệm. Để xác định đợc nghiệm ta cần ấn định thêm một số điều kiện phụ nào đấy, từ đó thiết lập nên các bài toán biên và bài toán giá trị ban đầu cho phơng trình (??). Việcnghiêncứucácbàitoánbiênvàbài toán giá trị ban đầu đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu phơng trình vi phân đạo hàm riêng. Khi số chiều của không gian tăng lên, ta có các bài toán truyền sóng trên màng rung ( u = u(x, y, t)) và bài toán truyền âm trong không gian (u = u(x, y, z, t)). Việc thiết lập các phơng trình đó đợc tiến hành tơng tự nh cách ở trên. 1.3.2 Phơng trình truyền nhiệt trong môi trờng đẳng hớng XétmộtvậtthểrắnV giới hạn bởi mặt kín trơn S, mà nhiệt độ của nó tại điểm (x, y, z) tại thời điểm t là một hàm u(x, y, z, t). Khi nhiệt độ tại các phần của vật thể khácnhauthìtrongvậtthểđócósựtraođổinhiệtlợng từ phần nóng hơn sang phần lạnh hơn. Xét một diện tích S trong vật thể. Khi đó nhiệt lợng Q truyền qua diện tích đó trong khoảng thời gian t sẽ tỷ lệ với tích St và với u n , trong đó vectơ n là vectơ pháp tại phần mặt S hớng theo chiều truyền nhiệt, tức là Q = k u n St, (1.14) k đợc gọi là hệ số truyền nhiệt. Vì môi trờng đang xét là đẳng hớng nên hệ số k không phụ thuộc vào phơng của mảnh S mà chỉ phụ thuộc vào (x, y, z).Tathiết lập sự thay đổi nhiệt lợng trong V trong khoảng thời gian t 1 đến t 2 bất kỳ, từ đó thiết lập đợc phơng trình truyền nhiệt. Gọi (x, y, z) là nhiệt dung và (x, y, z) là tỷ khối của V tại điểm (x, y, z),phầnthểtíchV sẽ hấp thụ đợc một nhiệt lợng Q 1 là Q 1 =[u(x, y, z, t 2 ) u(x, y, z, t 1 )](x, y, z)(x, y, z)V. (1.15) Từ đó suy ra thể tích V sẽ hấp thụ một lợng nhiệt là Q 1 = ZZZ V [u(x, y, z, t 2 ) u(x, y, z, t 1 )](x, y, z)(x, y, z)dV (1.16) 6 Chơng1.Mởđầu.Phânloại hay Q 1 = Z t 2 t 1 dt ZZZ V u t dV. (1.17) Mặt khác, nhiệt lợng Q 1 bằng tổng nhiệt lợng Q 2 truyền từ ngoài vào qua biên S và lợng nhiệt Q 3 tự sinh trong V do các nguồn nhiệt khác nhau trong V .Tacó Q 2 = Z t 2 t 1 dt ZZ S k(x, y, z) u n dS, ( n là pháp tuyến trong của S). (1.18) Gọi F là mật độ nguồn nhiệt trong vật thể tại từng điểm. Khi đó Q 3 = Z t 2 t 1 dt ZZZ V F (x, y, z, t)dV. (1.19) Kết hợp (??), (??), (??) và hệ thức Q 1 = Q 2 + Q 3 ,tađợc Z t 2 t 1 dt ZZZ V u t dV = Z t 2 t 1 dt ZZ S k(x, y, z) u n dS + Z t 2 t 1 dt ZZZ V F (x, y, z, t)dV. (1.20) áp dụng công thức Oxtrogradski, chú ý rằng ~n là pháp tuyến trong của S,tađợc Z t 2 t 1 dt ZZZ V à u t div(k gradu) F (x, y, z, t) ả dV =0. (1.21) Vì thể tích V đợc lấy bất kỳ, ta có u t =div(k gradu)+F (x, y, z, t). (1.22) Phơng trình này gọi là phơng trình truyền nhiệt trong vật thể đẳng hớng không thuần nhất.Trongtrờng hợp thuần nhất, các hệ số , và k đềulàhằngsố,phơng trình truyền nhiệt ở trên trở thành u t = a 2 à 2 u x 2 + 2 u y 2 + 2 u z 2 ả + f(x, y, z, t):=u + f(x, y, z, t), (1.23) với a = s k ,f(x, y, z, t):= F (x, y, z, t) . Khi số chiều giảm, ta sẽ đợc các phơng trình truyền nhiệt trên bản mỏng (u = u(x, y, t)) và trên thanh (u = u(x, t)). Tơng tự phơng trình truyền sóng, ta cũng thiết lập các điều kiện ban đầu và điều kiện biên để xác định nghiệm của phơng trình truyền nhiệt, ta dẫn đến bài toán giá trị biên-ban đầu của phơng trình truyền nhiệt hoặc bài toán Cauchy c ủa phơng trình truyền nhiệt. 7 Chơng1.Mởđầu.Phânloại 1.3.3 Phơng trình Laplace Xét phơng t rình (??). Giả sử sau một thời gian nào đó, nhiệt độ trong môi trờng ổn định, không có sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian. Khi đó ta dẫn đến phơng trình u = 2 u x 2 + 2 u y 2 + 2 u z 2 =0, (1.24) gọi là phơng trình Laplace. Đối với phơng trình loại này, ta thiết lập các bài toán biên, với các giá trị trên biên đợc cho dới dạng trực tiếp ( u| S = (P )) hoặc gián tiếp ( u n | S = (P )). Bài toán tìm phân bố dừng của nhiệt độ bên trong vật thể theo nhiệt độ đãchotrênbiênđợc gọi là Bài toán Dirichlet, theo tên nhà toán học L.Dirichlet là ngời đầu tiên nghiên chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán này. Bài toán tìm nghiệm của phơng t rình dừng khi biết giá trị trên biên của đạo hàm theo hớng p háp tuyến của ẩn hàm đợc gọi là Bài toán Neumann. Bài toán tìm nghiệm của phơng trình khi biết giá trị trên biên của tổng giữa ẩn hàm cần tìm và đạo hàm theo hớng pháp tuyến của ẩn hàm gọi là Bài toán hỗn hợp. K hi vế phải của phơng trình là một hàm khác không thì ta gọi là Phơng trình Poisson. Việc nghiên cứu các phơng trình ở trên cũng nh các bài toán tơng ứng không chỉ có ý nghĩa về mặt định tính mà còn có ứng dụng rất thực tiễn trong các bài toán vật lý, hoá học, sinh thái học, . Có thể nêu một ví dụ đơn giản nhất là mô tả chuyển động không xoáy của chất lỏng lý tởng (thuần nhất, không nén đợc), tức là vect ơ vận tốc v của chất lỏng lý tởng sẽ là vector thế, tức là tồn tại hàm thế (x, y, z) sao cho ~v(x, y, z)= grad. Khi đó phơng trình chuyển động liên tục cho ta div ~v =0, hay div grad =0, tức là 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 =0. 1.4 Phân loại phơng trình vi phân cấp hai trong trờng hợp hai biến Chúng ta đi phân loại phơng trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai trong trờng hợp hai biến. Xét phơng trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính với các hệ số thực a(x, y)u xx +2b(x, y)u xy + c(x, y)u yy + F(x, y, u, u x ,u y )=0, (1.25) và điểm (x 0 ,y 0 ) cố định. Phơng trình (??) tại điểm (x 0 ,y 0 ) đợc gọi là a) thuộc loại ellip (hay phơng trình elliptic) nếu tại điểm đó b 2 ac < 0, b) thuộc loại hyperbol (hay phơng trình hyperbolic) nếu tại điểm đó b 2 ac > 0, [...]... chỉnh (đặt đúng đắn, đặt tốt well-posed) của một bài toán phơng trình vi phân đạo hàm riêng: Một bài toán đợc gọi là đặt đúng đắn nếu thỏa mãn cả ba điều kiện trên Nếu không thỏa mãn một trong ba điều kiện trên thì bài toán đợc gọi là bài toán đặt không đúng đắn (đặt không chỉnh ill-posed problem) Ví dụ 4 1 Xét bài toán Cauchy cho phơng trình vi phân thờng y 0 = f (x, y), y(x0 ) = y0 Ngời ta chứng... và b1 triệt tiêu, còn c1 = 4 Vậy ta có dạng chính tắc của phơng trình đã cho là 4u + 5(2u ) + u + u + 12u = 0 11 1 u + u + u + 3u = 0 4 4 (1.61) (1.62) 1.5 Tính đặt chỉnh của bài toán phơng trình đạo hàm riêng Phản ví dụ của Hadamard Định lý Cauchy - Kovalevskaia Trong các bài toán vật lý dẫn đến các bài toán của phơng trình đạo hàm riêng, một vấn đề thực tiễn đặt ra là các sai số do thực nghiệm,... và g 2.2 Phơng trình chuyển dịch Phần này nhằm bổ trợ cho vi c tìm nghiệm của phơng trình truyền sóng bằng công thức DAlembert Xét phơng trình ut + bux = 0, (x, t) R ì (0, +) (2.11) Ta tìm nghiệm của phơng trình trong lớp các hàm số có đạo hàm riêng liên tục Chú ý rằng khi xem vế trái của phơng trình (??) là một hàm theo (x, t; b) thì đạo hàm theo hớng (b, 1) triệt tiêu Khi đó, với mỗi điểm cố định... cách mở rộng kết quả trên cho trờng hợp phơng trình đạo hàm riêng Giả sử biến của phơng trình là x = (x1 , x2 , , xn ) đợc tách thành x = (x0 , xn ) = (x0 , t), trong đó x0 = (x1 , x2 , , xn1 ), t = xn , ở đây t đóng vai trò biến thời gian còn x0 đóng vai trò biến không gian Bài toán Cauchy của phơng trình đạo hàm riêng (??) là tìm nghiệm của phơng trình biết rằng trên mặt phẳng t = t0 và trong... phơng trình vi phân thờng ady 2 2bdxdy + cdx2 = 0 (1.32) Ngợc lại, nếu (x, y) = C là nghiệm tổng quát của phơng trình (??) thì hàm z = (x, y) là nghiệm riêng của phơng trình (??) Chứng minh () Theo giả thiết, vì z = (x, y) là nghiệm của (??) nên ta có a2 + 2bx y + c2 = 0, x y (1.33) à ả2 à ả x x a 2b + c = 0 y y (1.34) hay Theo định lý hàm ẩn, hàm y = y(x) đợc xác định từ hệ thức (??) có đạo hàm. .. suy ra đợc nghiệm của bài toán Cauchy tơng ứng là Z t u(x, t) = g(x tb) + f (x + (s t)b, s)ds, (x, t) R ì (0, +) (2.14) 0 Chú ý Phơng pháp mà ta sử dụng ở mục này dựa trên cơ sở đa một phơng trình đạo hàm riêng về phơng trình vi phân thờng tơng ứng Ngời ta gọi phơng pháp này là phơng pháp đặc trng 2.3 Nghiệm của bài toán Cauchy của phơng trình truyền sóng Công thức DAlembert Xét bài toán Cauchy thuần... hàm thoả mãn phơng trình 2 2 azx + 2bzx zy + czy = 0, (1.30) thì trong (??) ta có a1 = c1 = 0, tức là phơng trình ban đầu trở nên đơn giản hơn, từ đó đa phơng trình đợc xét về phơng trình dạng chính tắc Bổ đề dới đây thể hiện mối liên quan giữa nghiệm của phơng trình (??) với vi c đa phơng trình (??) về dạng đơn giản hơn 9 Chơng 1 Mở đầu Phân loại Bổ đề 1.1 Nếu z = (x, y) là một nghiệm của phơng trình. .. định ở (??) và (??) thực sự là nghiệm của bài toán biên-ban đầu đang xét Cụ thể là ta cần tìm điều kiện để chuỗi (??) hội tụ đều Sử dụng các kết quả của giải tích Fourier ta có Hàm 0 trong [0, l] có các đạo hàm liên tục cho tới cấp hai, có đạo hàm cấp ba liên tục từng khúc và 0 (0) = 0 (l) = 00 (0) = 00 (l) = 0 0 0 Hàm 1 trong [0, l] khả vi liên tục, có đạo hàm cấp hai liên tục từng khúc và 1 (0) =... Thay biểu thức nghiệm vào phơng trình (??) ta đợc X kx X kx 00 2 (Tk + k Tk ) sin = fk (t) sin l l k=1 k=1 Đồng nhất hệ số hai vế ta đợc hệ phơng trình vi phân 00 2 Tk + k Tk = fk , (2.56) 28 Chơng 2 Phơng trình hyperbolic 0 với điều kiện có nghiệm của phơng trình là Tk (0) = Tk (0) = 0 áp dụng lý thuyết phơng trình vi phân thờng ta có ngay công thức nghiệm của phơng trình là Z t 1 Tk (t) = fk ( )... là các hàm đủ trơn Ta nhắc lại rằng bài toán tìm nghiệm của phơng trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu tại t = t0 là bài toán Cauchy Trong phơng trình vi phân thờng, ứng với trờng hợp n = 2, ta đã có định lý Cauchy khẳng định rằng bài toán Cauchy có nghiệm giải tích duy nhất trong một lận cận nào đó của t0 , nếu các hệ số và số hạng tự do của phơng trình là các hàm giải tích trong khoảng (a, b) 3 t0 . . . 1 1.2 Một số phơngtrìnhđạohàmriêngtiêubiểu 2 1.2.1 Các phơng trình đạo hàm riêng 2 1.3 Mộtsốvídụdẫntớicácbàitoánbiêncủaphơng trình đạo hàm riêng 3 1.3.1 Phơng trình dao động của dây . . đợc mô tả bởi một phơng trình hoặc một hệ phơng trình vi phân nói chung và phơng trình vi phân đạo hàm riêng nói riêng. Định nghĩa 1.1. Một phơng trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x 1 , ,x n ), các. hàm u(x 1 , ,x n ), các biến độc lập x i và các đạo hàm riêng của nó đợc gọi là một phơng trình vi phân đạo hàm riêng (hay phơng trình đạo hàm riêng cho gọn). Nó có dạng F à x, u(x), u x 1 ,