A MỘT SỐ KỸ NĂNG KHI DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY I BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Cho n số thực không âm a1 , a , , a n , n ∈ Z , n ≥ , ta ln có: a1 + a + + a n ≥ n n a1 a a n Dấu “=” xảy a1 = a = = a n II MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Kỹ thuật tách ghép số 1.1 Kỹ thuật tách ghép Bài 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ ab bc ac = 8abc (đpcm) Bài 2: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ac + bd ≤ ( a + b )( c + d ) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ac + bd ( a + b )( c + d ) = ≤ ⇒ ac + bd ≤ a c + ( a + b) ( c + d ) b d ( a + b) ( c + d ) 1 a c  1 b d  1a+b c+d  + + +  +  =   =1 2a+b c+d  2a+b c+d  2a+b c+d  ( a + b )( c + d ) (đpcm) a > c Chứng minh rằng: b > c Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa  c( a − c ) + c( b − c ) ≤ ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: c( a − c ) + c ( b − c ) ab = c ( a − c) c ( b − c) + b a a b ≤ 1c a−c 1c b−c  + +  +  2b a  2a b  ≤ 1c c 1c c  +1−  +  +1−  = 2b a 2a b ⇒ c( a − c ) + c( b − c ) ≤ ab (đpcm) Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: + abc ≤ (1 + a )(1 + b )(1 + c ) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: + abc (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≤3 1 a b c +3 (1 + a ) ( + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1 1  1 a b c  ≤  + + + + +   1+ a 1+ b 1+ c  1+ a 1+ b 1+ c  1+ a 1+ b 1+ c  ≤  + +  =1 1+ a 1+ b 1+ c  ⇒ + abc ≤ (1 + a )(1 + b )(1 + c ) (đpcm) a ≥ Chứng minh rằng: b ≥ Bài 5: Cho số thực dương a, b thỏa  a b − + b a − ≤ ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a b − = a ab − a ≤ Tương tự: b a − ≤ ( a + ab − a ) = ab (1) 2 ab (2) Cộng theo vế (1) (2), ta được: a b − + b a − ≤ ab (đpcm) Bài 6: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16ab( a − b ) ≤ ( a + b ) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 16ab( a − b ) = 4.( 4ab )( a − b )  4ab + ( a − b )   ( a + b)  ≤ 4. = 4.   = ( a + b ) (đpcm)     2 Bài 7: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ( a (1 + b ) + b(1 + c ) + c(1 + a ) ≥ 33 abc + abc ) Giải: Ta có: a (1 + b ) + b(1 + c ) + c(1 + a ) = ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a + b + c ≥ 33 abc ab + bc + ca ≥ 33 ( abc ) ( ⇒ ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) ≥ 33 abc + 33 ( abc ) = 33 abc + 33 abc ( ⇒ a (1 + b ) + b(1 + c ) + c(1 + a ) ≥ 33 abc + abc ) ) (đpcm) Bài 8: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: ab + a b + ≥ a + b +1 b a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ab + a b  ab a   ab b   a b  + = + + + + +  b a  2b   2a   2b 2a  ≥2 ab a ab b a b +2 +2 = a + b + (đpcm) 2b 2a 2b 2a Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 10 Tìm GTLN của: A =a 2b3c Giải: Ta có: 10 = a + b + c = a a b b b c c c c c a + + + + + + + + + ≥ 1010   2 3 5 5 2 b   3 c   5 a b c a b c ⇒       ≤ ⇒       ≤ ⇒a 2b3c ≤22 3355 = 337500  2  3 5  2  3 5 10 a = a b c a b c a+b+c  = =  = ⇔ b = Dấu “=” xảy ⇔  ⇔ = = = 10 a + b + c = 10 c =   Vậy GTLN A 337500 1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo Bài 1: Chứng minh rằng: a b + ≥ , ∀a,b > b a Giải: Vì a,b > nên a b > 0, >0 b a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b a b + ≥ = (đpcm) b a b a Bài 2: Chứng minh rằng: a + ≥ , ∀a > a −1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a+ 1 = a −1+ + ≥ ( a − 1) + = + = (đpcm) a −1 a −1 a −1 Bài 3: Chứng minh rằng: a2 + a2 +1 ≥ , ∀a ∈ R Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 + a +1 = a2 +1+1 a +1 = a2 +1 + a +1 ≥2 a2 +1 a2 +1 = (đpcm) 3a ≤ , ∀a ≠ Bài 4: Chứng minh rằng: + 9a Giải: Với ∀a ≠ , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3a 1 1 = = ≤ = 4 1 9a + 9a + 3a 2 3a 2 (đpcm) + 2 3a 3a 3a 3a 2  a2  A = ( a + 1) +  +  , ∀a ≠ −1 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  a +1    Giải:  a + 2a +   A = ( a + 1) +   a +1    2  ( a + 1) + 1 = ( a + 1) +    a +1  2   = ( a + 1) +  a + +  a +1  2 = 2( a + 1) + Cauchy 1 + ≥ 2( a + 1) +2=2 2+2 ( a + 1) ( a + 1) 2 Dấu “=” xảy 2( a + 1) = ( a + 1) hay a = −2±4 Vậy GTNN A = 2 + Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = a + , ∀a > a2 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: A=a+ a a a a 1 = + + ≥ = 33 = 2 a a a a 2 2 a 2 2 Dấu “=” xảy Vậy GTNN A = a = hay a = a 33 Bài 7: Chứng minh rằng: a + ≥ , ∀a > b > b ( a − b) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a+ 1 = b + ( a − b) + ≥ 33 b.( a − b ) =3 b( a − b ) b( a − b ) b( a − b ) Bài 8: Chứng minh rằng: a + ( a − b )( b + 1) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ≥ , ∀a > b > a+ ( b + 1) + ( b + 1) + = ( a − b) + −1 ( b + 1) ( b + 1) 2 ( a − b )( b + 1) ( a − b) 2 ( b + 1) ( b + 1) ≥ ( a − b ) −1 = ( b + 1) ( b + 1) 2 ( a − b) 2 1.3 Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: a+b b+c c+a  + + a + b + c = 2 Phép cộng:  2( a + b + c ) = ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a )  abc = ab bc ca ,  a b c = ( ab )( bc )( ca )  Phép nhân:  ( a, b, c ≥ 0) Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: bc ca ab + + ≥ a+b+c a b c Giải: Ta có: bc ca ab  bc ca   ca ab   ab bc  + + =  + +  + +  +  a b c 2 a b  2 b c  2 c a ≥ bc ca ca ab ab bc + + = a+b+c a b b c c a Bài 2: Cho ba số thực abc ≠ CMR: a2 b2 c2 b c a + + ≥ + + b2 c2 a2 a b c Giải: Ta có: a2 b2 c2  a2 b2   b2 c2   c2 a2  + + =  + +  + +  +  b2 c2 a2  b2 c2   c2 a2   a2 b2        ≥ a2 b2 b2 c2 c2 a2 b c a b c a + + = + + ≥ + + 2 2 a b c a b c b c c a a b Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc = CMR: b+c c+a a+b + + ≥ a + b + c +3 a b c Giải:  bc b + c c + a a + b bc ca ab ca ab   + + ≥ + + = 2  a + b + c  a b c a b c    bc ca   ca ab   ab bc       =  a + b + b + c + c + a        ≥2 ( bc ca +2 a b ) ( ca ab +2 b c ab bc c a ) ( =2 a+ b+ c = ≥ a + b + c + 33 Vậy a+ b+ c + a+ b+ c a b c = a + b + c +3 b+c c+a a+b + + ≥ a + b + c +3 a b c Bài 4: Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p = a+b+c CMR: ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ abc Giải: Ta có: ( p − a )( p − b )( p − c ) = ( p − a )( p − b ) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a ) ( p − a) + ( p − b) ( p − b) + ( p − c) ( p − c) + ( p − a ) ≤ 2 2 p − ( a + b) p − ( b + c) p − ( c + a ) ≤ = abc 2 Bài 5: Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p = a+b+c CMR: 1  1 1 + + ≥ 2 + +  p−a p −b p −c a b c Giải: Ta có: ) 1 1 1  1 1  1 1  + + =   p−a + p−b+ 2 p−b + p−c+ 2 p−c + p−a      p−a p −b p −c 2      1 ≥ + + ( p − a )( p − b ) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a ) 1 + + ( p − a) + ( p − b) ( p − b) + ( p − c) ( p − c) + ( p − a ) 2  1 1 ≥ 2 + +  a b c ≥ 1.4 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau Với n ∈ N ∗ x1 , x , , x n >  ( x1 + x + + x n )    x1 + 1  + +  ≥ n x2 xn   Chứng minh bất đẳng thức : Ta có với x1 , x , , x n >  ( x1 + x + + x n )    x1 + 1  + +  ≥ n n x1 x x n n n = n2  x2 xn  x1 x x n Với n = x1 , x , x3 >  ( x1 + x + x3 )    x1 + 1 + ≥9 x x3   Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: b+c c+a a+b + + ≥6 a b c Giải: Ta có: b+c c+a a+b  b+c  c+a  a+b + + = 1 +  + 1 +  + 1 + −3 a b c a   b   c   a+b+c b+c+a c+a+b = + + −3 a b c 1 1 = ( a + b + c) + +  − ≥ − = a b c Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: a b c + + ≥ b+c c+a a+b (Bất đẳng thức Nesbit) Giải: Ta có: a b c a   b   c   + + = 1 +  + 1 +  + 1 + −3 b+c c+a a+b  b+c  c+a  a+b a+b+c b+c+a c+a+b = + + −3 b+c c+a a+b 1   = ( a + b + c) + + −3 b+c c+a a+b 1   = [ ( b + c ) + ( c + a ) + ( a + b ) ] + + −3 b+c c+a a+b ≥ −3= 2 Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: c2 a2 b2 a+b+c + + ≥ a+b b+c c+a Giải:  c2 a2 b2 c2   a2   b2   + a +  + b +  − ( a + b + c) + + = c + a+b b+c c+a  a+b  b+c  c+a       c   a   b   = c1 +  + a1 +  + b1 +  − ( a + b + c)  a+b  b+c  c+a  a+b+c b+c+a c+a+b = c  + a  + b  − ( a + b + c)  a+b   b+c   c+a  a b   c = ( a + b + c) + +  − ( a + b + c)  a+b b+c c+a  a b  c  = ( a + b + c) + + − 1 a+b b+c c+a  Theo bất đẳng thức Nesbit chứng minh thì: a b c + + ≥ b+c c+a a+b Do c2 a2 b2 3  a+b+c + + ≥ ( a + b + c )  − 1 = (đpcm) a+b b+c c+a 2  Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a + b + c ≤ Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Giải: Do a + b + c ≤ ta có: 1 1 1  2 + + ≥ ( a + b + c)  + +  a + 2bc b + 2ca c + 2ab  a + 2bc b + 2ca c + 2ab  ( ) 1   = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac  + +   a + 2bc b + 2ca c + 2ab  1   = a + 2bc + b + 2ac + c + 2ab  + + ≥9  a + 2bc b + 2ca c + 2ab  [( ) ( ) ( )] Kỹ thuật đổi biến số Có tốn mặt biểu thức tốn học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta đưa toán dạng đơn giản dễ nhận biết Bài 1: Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b CMR: ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) ≤ abc (1) Giải: y+z  a = b + c − a = x  z+x   Đặt: c + a − b = y ⇔ b = a + b − c = z   x+ y  c =  Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: x y.z ≤ x+ y y+z z+x 2 Do tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại nên : x, y , z > Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x+ y y+z z+x ≥ xy yz zx = xyz 2 Hay ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) ≤ abc (đpcm) Bài 2: Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b CMR: a b c + + ≥ (1) b+c−a z c+a −b a+b−c y+  a = Giải:b + c − a = x >  z+x   c + a − b = y > ⇔ b =  a + b − c = z >   x+ y  c =  Đặt: Khi vế trái bất đẳng thức (1) trở thành: y+z z+x x+ y + + 2x 2y 2z Ta có: y+ z z+ x x+ y 1 y x 1 z + + =  + +  + 2x 2y 2z 2 x y 2 x   ≥ Hay a b c + + ≥3 b+c−a c+a −b a+b−c 2 y x + x y x 1 z y +  +  z  2 y z    z x + x z z y =3 y z (đpcm) Bài 3: Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b CMR: a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c (1) b+c−a c+a −b a+b−c Giải: Đặt: y+z  a = b + c − a = x >  z+x   c + a − b = y > ⇔ b = a + b − c = z >   x+ y  c =  Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y) 4x 4y 4z ≥ x+ y+z Ta có: ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y) 4x 4y 4z ≥ ≥ Hay yz zx xy  yz zx   zx xy   xy yz  + + =  + +  + +  +  x y z 2 x y  2 y z  2 z x      yz zx + x y zx xy + y z xy yz = z+x+ y z x a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c (đpcm) b+c−a c+a −b a+b−c Bài 4: Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p = ( p − a) + ( p − b) + ( p − c) ≥ a+b+c CMR: p ( p − a )( p − b )( p − c ) (1) Giải: Ta có: p−a = b+c−a >0 Tương tự: p−b > p−c > Đặt: p − a = x >  p − b = y > ⇒ p = x + y + z p − c = z >  Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: 1 x+ y+z + + ≥ xyz x y z Ta có: 1 1 1 + + =  + 2 x 2 x y z y 1 + x2 y2 ≥ Hay  1 1 +  +  2 y z   ( p − a) + 1 + y2 z2 ( p − b) + 1 1 x+ y+z = + + = 2 xy yz zx xyz z x ( p − c)  1 1  +  +   z x    ≥ p ( p − a )( p − b )( p − c ) (đpcm) Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: a b c + + ≥ (1) b+c c+a a+b Giải: Đặt: y+z−x  a = b + c = x  z+x− y   c + a = y ⇒ b = a + b = z   x+ y−z  c =  Khi bất đẳng thức (1) trở thành: y+z−x z+x− y x+ y−z + + ≥ 2x 2y 2z Ta có: y+ z− x z+ x− y x+ y− z 1 y x 1 z + + =  + +  + 2x 2y 2z 2 x y 2 x   ≥ Hay 2 y x + x y x 1 z y +  + − z 2 y z    z x + x z z y 3 − = y z 2 a b c + + ≥ (đpcm) b+c c+a a+b Bài 6: Cho số thực không âm a, b, c thỏa ( a + c )( b + c ) = CMR: 1 + + ≥4 2 ( a − b) ( a + c) ( b + c) (1) Giải: Đặt:  x = y  a + c = x  xy = 1  ⇒ ⇒ y =  x b + c = y a − b = x − y  a − b = x − y   Khi vế trái bất đẳng thức (1) trở thành: 1 + + ≥4 ( x − y) x y Ta có: 1 1 + 2+ = + x2 + y2 = + x2 + y2 2 x − xy + y ( x − y) x y ( x − y) = Vậy ( ) ( ) 1 + x2 + y2 − + ≥ 2 x2 + y2 − + = 2 x −2+ y x −2+ y 1 + + ≥ (đpcm) 2 ( a − b) ( a + c) ( b + c) Bài 7: Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz = Tìm GTNN biểu thức: A= x2 ( y + z) y y + 2z z + y ( z + x) z z + 2x x + z ( x + y) x x + 2y y Đề thi Đại học khối A năm 2007 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: A≥ x 2 yz y y + 2z z ≥ ≥ + x x xyz y y + 2z z 2x x y y + 2z z y 2 zx z z + 2x x + + + y y yzx z z + 2x x 2y y z z + 2x x z 2 xy x x + 2y y + + z z zxy x x + 2y y 2z z x x + 2y y   x x = ( − 2a + 4b + c ) a = y y + z z     Đặt: b = z z + x x ⇒  y y = ( a − 2b + 4c )   c = x x + y y    z z = ( 4a + b − 2c )  Khi A≥  − 2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c  + +   9 a b c  ≥ 2  b a c   c a b  − + 4 a + c + b  +  a + b + c  9     ≥ 2 b a c c a b  − + 4.3.3 + 3.3  = ( − + 12 + 3) = 9 a c b a b c   Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c = Vậy GTNN A ... =  Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: x y.z ≤ x+ y y+z z+x 2 Do tam giác, tổng độ dài hai cạnh ln lớn độ dài cạnh cịn lại nên : x, y , z > Áp dụng bất đẳng thức Cauchy. .. −1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a+ 1 = a −1+ + ≥ ( a − 1) + = + = (đpcm) a −1 a −1 a −1 Bài 3: Chứng minh rằng: a2 + a2 +1 ≥ , ∀a ∈ R Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2... x >  z+x   c + a − b = y > ⇔ b = a + b − c = z >   x+ y  c =  Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y) 4x 4y 4z ≥ x+ y+z Ta có: ( y +