Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình I phần mở đầu I.1 Lý chọn đề tài Giúp đỡ học sinh nhiệm vụ quan trọng mà ngời thầy thiết phải làm Nhiệm vụ dễ đòi hỏi phải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm nguyên tắc đắn Ngời học sinh với nỗ lực thân phải thu đợc nhiều tốt kinh nghiệm độc lập công tác Nhng Học sinh đứng trớc toán mà giúp đỡ nào, hay giúp đỡ tiến đợc Mặt khác thầy giúp đỡ nhiều học sinh chẳng phải làm Thầy giáo phải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, nh để học sinh có công việc hợp lý Trong kì thi chọn häc sinh giái cÊp hun, cÊp tØnh cđa trung häc sở thi vào lớp 10 thờng gặp toán giải phơng trình, hệ phơng trình không tắc, chúng thờng đợc thiết kế dới ý tởng bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức Phơng trình, hệ phơng trình không tắc phối hợp nhiều luồng kiến thức, kĩ giải toán Bài toán đòi hỏi ngời làm toán phải hiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt sử dụng Ngời làm toán cần tìm tòi, củng cố hệ thống, liên hệ kiến thức, đồng thời tập cho làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp toán học Là giáo viên dạy toán nhiều năm nhận thấy cần phải tập hợp lại thành chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ sử dụng dạng toán cách xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ ®éng, tù gi¸c häc tËp cđa häc sinh nh»m gióp học sinh giải số toán nhanh, gọn tiết kiệm đợc thời gian Căn vào thực tế trên, yêu cầu việc bồi dỡng học sinh giỏi đặc biệt việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh hoạt động học tập Với lý nêu có ý tởng xây dựng đề tài: Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình hệ phơng trình Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình I.2.Tính cần thiết đề tài Theo đề tài đa vào áp dụng có tác dụng sau: Nhằm nâng cao chất lợng Giải phơng trình, hệ phơng trình phơng pháp dùng bất đằng thức Giúp cho thầy trò dạy học đạt đợc kết cao kỳ thi, kỳ thi học sinh giỏi Toán, giải toán máy tính bỏ tói khèi THCS, häc sinh cã niỊm tin vµ kü vận dụng dạng toán giải phơng trình hệ phơng trình Góp phần nâng cao chất l ợng dạy học toán môn khác ngày cao I.2 Mục đích nghiên cứu Học sinh đạt đợc Giải phơng trình hệ phơng trình phơng pháp bất đẳng thức I.3 Đối tợng, phạm vi, kế hoạch, thời gian nghiên cứu 4.1 Đối tợng nghiên cứu: - Các dạng toán giải phơng trình, hệ phơng trình v bất đẳng thức chơng trình THCS 4.2 Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp khối khối trờng THCS Mạo Khê II Đông Triều - Quảng Ninh 4.3.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2005- 2006; 2006- 2007; 2007- 2008; 2008- 2009; 2009 - 2010 I.4 Đóng góp mặt lý luận thực tiễn I.4.1 Cơ sở lí lụân Nói đến dạy học công việc vừa mang tính khoa học vừa mang tính nghệ thuật Do đòi hỏi ngời giáo viên cần có lực s phạm vững vàng, phơng pháp giảng dạy phù hợp theo hớng tích cực giúp häc sinh chđ ®éng viƯc chiÕm lÜnh kiÕn thøc ViƯc t¹o cho häc sinh niỊm høng thó häc tập Giải phơng trình hệ phơng trình phơng pháp dùng bất đằng thức hoàn toàn phụ thuộc vào lực s phạm giáo viên Ngoài việc lên lớp ngời giáo viên phải không ngừng học hỏi, tìm tòi tài liệu có liên quan để truyền thụ cho học sinh cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, phù hợp với khả tiếp thu đối tợng học sinh Hớng đổi phơng pháp dạy học Toán trờng THCS tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình khả tự học, nhằm hình thành cho học sinh t tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn: tác động đến tình cảm ®em l¹i niỊm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh Đặc biệt năm học toàn ngành giáo dục sức thực vận động “X©y dùng trêng häc th©n thiƯn, häc sinh tÝch cùc việc tạo hứng thú học tập cho học sinh tạo cho em có niềm tin học tập, khơi dậy em ý thức ngày đến trờng niềm vui I.4.2 Cơ sở thực tiễn Bản thân giáo viên đà trực tiếp giảng dạy môn Toán có nhiều năm tham gia vào công tác bồi dỡng học sinh giỏi môn Toán, Toán máy tính trờng THCS Mạo Khê II thấy rằng: - Đối với học sinh giải phơng trình, hệ phơng trình phơng pháp dùng bất đẳng thức em tích cực số điều nh kết nhanh, xác, làm đợc nhiều tập khoảng thời gian ngắn, tạo hứng thú cho học sinh học toán - Đối với giáo viên đa số kiến thức đà khó lại rộng lớn bao trùm Do để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững sâu khó, có lẽ ngời suy nghĩ cố gắng hoàn thành nhiệm vụ đợc nghiên cứu tìm tòi đà có nhà khoa học - Nguyên nhân góp phần không nhỏ cho việc nghiên cứu tìm lời giải cho toán ngời phải có trí tuệ, phải bậc vĩ nhân Suy nghĩ phần Ngọc không mài không sáng đợc - Do đòi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết tinh thần học hỏi cao đáp ứng đợc chuyên môn, công việc giảng dạy Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh khoa học với toán song không vận dụng đợc vào cấp học phổ thông, cha tìm đợc phơng pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chơng trình học, nội dung sách giáo khoa hành II phần nội dung II.1.1 Một số thành tựu Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình Thực tế qua theo dõi chất lợng båi dìng häc sinh giái ë khèi 8, cã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thấy đa số em tích cực t duy, hứng thú với tập mới, kiến thức so với lớp lại Đặc biệt lớp có thi đua tìm cách giải hay nhÊt, nhanh nhÊt Kh«ng khÝ líp häc lu«n s«i nỉi, không gò bó, học sinh đợc độc lập t Điều hứng thú phát huy đợc trí lực em, giúp em phát triển kỹ nghiên cứu khoa học hứng thú việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ II.1.2 Một số tồn nguyên nhân Sáng kiến kinh nghiệm đợc áp dụng hai khối khối khả nhận thức học sinh không đồng đều, đa số học sinh thiếu động học tập, lời học, không tích cực học tập cho chuyên đề khó không quan trọng, không thiết thực vËy viƯc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cđa mét sè học sinh hạn chế Hơn học sinh đợc quan tâm gia đình.Vì đòi hỏi cố gắng tận tâm ngời thầy dần giúp em hòa nhập với khả nhận thức chung cuả môn học II.13 Vấn đề đặt Rèn luyện Giải phơng trình hệ phơng trình phơng pháp dùng bất đằng thức cách hình thành kiến thức, kỹ cho học sinh phơng pháp luyện tập thông qua tập quan trọng để nâng cao chất lợng dạy học môn Với học sinh họat động giải tập hoạt động tích cực có tác dụng sau: - Rèn kỹ vận dụng kiến thức đà học, kiến thức tiếp thu đợc qua giảng thành kiến thức mình, kiến thức đợc nhớ lâu đợc vận dụng thờng xuyên - Đào sâu mở rộng kiến thức ®· häc mét c¸ch sinh ®éng, phong phó, hÊp dÉn - Là phơng tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá cách tốt kiến thức đà học - Phát triển lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh II.2.áp dụng giảng dạy II.2.1.các bớc tiến hành Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình Để bồi dỡng học sinh giỏi Toán nói chung giải toán máy tính nói riêng có hiệu theo phải làm đợc công việc sau: Đầu năm phân loại đối tợng học sinh, chọn em học Toán trở lên chăm học vào đội tuyển HSG Toán - Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán - So¹n néi dung båi dìng häc sinh giái, néi dung båi dìng häc sinh giái ph¶i hƯ thèng, phân loại đợc dạng Toán khối đợc phân công bồi dỡng - Lên kế hoạch bồi dỡng học sinh giỏi theo tuần - Thờng xuyên tìm hiểu nghiên cứu kiến thức có liên quan mạng internet Kế hoạch bồi dỡng học sinh giỏi : Dạy từ buổi tuần Ii.2.2 Quá trình thực I)- áp dụng bất đẳng thức Cauchy Kiến thức Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc đối cới hầu hết học sinh Tuy nhiên, ngời ta xây dựng đợc nhiều toán hay khó Bất đẳng thức cauchy đợc phát biểu: Cho dÃy số không âm a1,a2, an Ta có bất đẳng thức: a1 + a2 + .an n n a1a2 an Và dấu xảy a1=a2= =an Bất đẳng thức đợc minh nhiều tài liệu, xin phép không trình bày chứng minh viết Một số ví dụ Phơng trình, hệ phơng trình giải cách dùng bất đẳng thức cauchy phong phú đa dạng Thông qua ví dụ điển hình mong nhận dạng nhanh đặc điểm toán Ví dụ 1: Giải phơng trình: x + y + z + = x − + y − + z − (Tun sinh 10, THPT Lª Hång Phong TP Hå ChÝ Minh - 1993 -1994) * Lời giải: Điều kiện có nghÜa: x ≥ ; y ≥ ; z Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình áp dụng Bất đẳng thc Cauchy, ta cã: (1) x − ≤ x − +1 (2) y −3 ≤ y −3 +4 z −5 ≤ z −5+9 (3) Céng (1), (2), (3), ta cã: x − + y − + z − ≤ x + y + z + Đẳng thức xảy ra: Khi x-2=1 y-3=2 z-5=3 Vậy nghiệm phơng trình là: (x ; y, z) = (3, 5, 8) Nhận xét: Đây phơng trình vô tỷ không tắc, toán có cách giải khác, nhiên với cách giải dùng bất đẳng thức Cauchy dụng ý ngời viết Đây toán bản, tạo nhiều tơng tự với chút biến đổi Ví dụ 2: Giải phơng trình: 16 x + = 63 x + x Lêi giải: Điều kiện có nghĩa: Vì 16x4 + > nên x3 + x > 0x>0 áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho số dơng 4x; 4x2 +1 ; ta cã: 63 x + x = 33 x (4 x + 1).2 ≤ x + (4 x + 1) + = x + x + => 16x3 + ≤ 4x2 + 4x + ⇔ 8x3 + 2x2 - 2x + ≤ ⇔ (2x-1)2 (2x2 + 2x + 1) ≤ ⇔ (2x - 1)2 ≤ 0, v× (2x - 1)2 ≥ 0, nªn x = 1/2 tháa m·n NhËn xét: Đây toán phơng trình vô tỷ khó, hiểu giải cách nâng lên lũy thừa toán phức tạp khó giải đợc Bằng cách quan sát, sử dụng điều kiện hợp lý, bất đẳng thức Cauchy kết hợp Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình với biến đổi tơng đông tìm lời giải Quan sát kỹ tạo lớp toán cách biển đổi lên Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình 2x2 + =3 y4 y2 + =3 x4 2x2 + 1 + 2y2 + = x y Lêi gi¶i: Céng vÕ với vế ta có: (1) áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta cã: y2 + y2 + x2 + x2 + 1 ≥ 3.3 x x = x x 1 ≥ 3.3 y y = y y x2 = VËy dÊu b»ng x¶y ë (1) khi: x4 y2 = y4 ⇔ x=±1 y=±1 Vậy tập nghiệm hệ phơng trình là: ( x ; y) = {(1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1) NhËn xÐt: §øng ë gãc độ đó, lệ phơng trình đối xứng loại 2, toán giải theo phơng trình chung Vận dụng bất đẳng thức cauchy lời giải độc đáo sáng tạo Chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy phơng trình (1) dễ phát so với hệ phơng trình đầu cho áp dụng cách giải, ta tạo nhiều hay khó Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình : Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình 2x2 =y + x2 y2 =z 1+ y2 2z2 =x 1+ z2 Lêi gi¶i: DƠ thÊy ( x; y; z) = (0; 0; 0) nghiệm phơng trình Xét x # y # 0, z # x, y, z > áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta cã: 1+ x ≥ 2x , 1+ y2 ≥ 2y ,1 +z2 ≥2z Nªn ta cã: 2x2 ≤x 1+ x2 ; y2 ≤y 1+ y2 ; 2z2 z Vậy 1+ z2 từ hệ phơng trình ta cã: y ≤ x ≤ z ≤ y ®ã x = y = z Gi¶i ta cã: x = y = z = VËy hƯ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm (x, y, z) = {(0, 0, 0) ; (1, 1, 1)} Nhận xét: Đây hệ phơng trình có dạng hoán vị, cách giải trên, toán cách giải khác Tuy nhiên cách giải ngắn gọn, phù hợp với học sinh THCS hơn, Bất đẳng thức Cauchy đà đem lại lời giải hay, độc đáo II)- áp dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI 1- Kiến thức: Khi nhắc đến bất đẳng thức không nhắc đến Bất đẳng thức Binhiacôpski Đây bất đẳng thức quen thuộc với học sinh, đợc sử dụng nh công cụ, phần nghiên cứu dới dạng ứng dụng giải phơng trình, hệ phơng trình không mẫu mực Trớc hết ta phát biểu bất đửng thức Binhiacôpski Giả sử: a1, a2,, an vµ b1, b2,…bn lµ hai h·y sè tïy ý Ta có bất đẳng thức (a1b1 + a2b2+ anbn) 2 (a12 + a2 + + an ).(b12 + b2 + + bn2 ) Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình Và dấu b»ng x¶y khi: a1 a2 a = = n b1 b2 bn Bất đẳng thức đợc chứng minh nhiều tài liệu, xin phép không trình bày cách chøng minh bµi viÕt nµy Mét sè vÝ dụ: Kỹ thuật dùng bất đẳng thức Bunhiacôpski giải phơng trình, hệ phơng trình thờng phong phú đa dạng Khi giải dạng toán phơng pháp này, cần quan sát, có kỹ nhận biết cặp số Sau số ví dụ phân tích nhận biết này: Ví dụ 1: Giải phơng trình x + x − = x − x + 16 Lời giải: Điều kiện có nghĩa x áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpki ta cã: x − + x − ≤ 12 + 12 ( x − 1) + ( x − 3) ⇒ x − + x − ≤ x − x + 16 Đẳng thức xảy x x = 1 x −3 ≥ ⇔ x − = ( x − 3) x≥3 ⇔ x≥3 x − x + 10 = ⇔ x = (lo¹i x = < 3) Vậy phơng trình có nghiệm x = NhËn xÐt: NhËn biÕt hai bé s x − 1; x 1; để dùng bất đẳng thức Bunhia -côpski đánh giá vế trái kỹ thuật hay khó Bài toán giải theo cách khác phức tạp gặp khó khăn, Chúng ta tạo toán tơng tự Ví dụ 2: Giải phơng trình x + x − = x − 12 x + 38 Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng tr×nh “ (Thi häc sinh giái THCS TP Hå ChÝ Minh 2002 - 2003) Lời giải: Điều kiện có nghĩa: x áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có: Vế trái: x + x − ≤ + ( ) ( 7− x + x −5 ) (1) =2 VÕ ph¶i: x2 - 12x + 38 = (x-6)2 + ≥ (2) VËy vÕ tr¸i ≤ ≤ vÕ phải x = Từ (1), (2) đẳng thức x¶y khi: x −5 ( x − 6) = x=6 Vậy phơng trình có nghiệm x = Nhận xét: Đây toán học sinh Nhận biết hai bộ: − x ; x − vµ 1; để sử dụng bất đẳng thức Buhnhia-côpski đánh giá vế trái kết hợp dùng đẳng thức để đánh giá vế phải Cách thiết lế toán nh kiểm tra đợc nhiều luồng kiến thức học sinh Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình ( x + y + z ) = 26( + y + z ) x + y + z = 92 Lêi gi¶i: áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có: ( x + y + z ) ≤ (12 + 32 + )( x + y + x ) ⇒ ( x + y + z ) ≤ 26( x + y + x ) Đẳng thức (1) x¶y x y z = = kÕt (1) hợp với hệ phơng trình ta tìm ®ỵc nghiƯm nhÊy (x, y, z) = (1 ; ; 4) Nhận xét: Đây hệ phơng trình không mẫu mực Để phát cách vận dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta ý đến vế phải chơng trình thứ (chứa x2 + y2 + z2), Sau chọn số Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình thích hợp 1; 3; x, y, z để đánh giá Phơng trình thứ hai chỉu dùng đánh giá xong phơng trình thứ Những kiểu dƠ thiÕt kÕ, xong khã gi¶i Ngêi gi¶i ph¶i cã kiến thức định bất đẳng thức Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình + x1 + + + x2 + + x2006 = 2006 2007 2006 − x1 + + − x2 + − x2006 = 2006 2005 2006 Lêi giải: Điều kiện có nghĩa; -1 xi ; i = 1, …., 2006 ¸p dơng bÊt đẳng thức Bunhia-côpski ta có: 2006 ( 2007 = 2006 + x1 + + x2 + + + x2006 ) ≤ (1 + + + 1)(1 + x1 + + x2 + + + x2006 ) 2006.2007 ≤ 2006.(2006 + x1 + x2 + + x2006 ) ⇒ x1 + x2 + + x2006 ≥ 2006 2005 = 2006 ( (1) − x1 + − x2 + + − x2006 ) 2006.2005 ≤ 2006.(2006 − x1 − x2 − − x2006 ) ⇒ x1 + x2 + + x2006 ≤ (2) Tõ (1), (2) ⇒⇒ x1 + x2 + .+ x2006 điều kiện bất đẳng thức hệ xảy ra, nên hệ đà cho tơng đơng víi: + x1 = + x2 = = + x2006 Tơng đơng với: x1 = − x2 = = − x2006 x1 + x2 + + x2006 = NguyÔn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình => x1 = x2 = … x 2006 = 1/2006 Nhận xét: Đây toán khó, biết phải sử dụng bất đẳng thức Cách đánh giá liên lục hai phơng trình so sánh với đòi hỏi ngời giải phải có kỹ thuân thục, sáng tạo, nhậy bén vận dụng bất đẳng thức nói chung n+k n − x1 + + − x2 + − xn = n Tỉng qu¸t ta có toán sau: + x1 + + + x2 + + xn = n nk n III)- Giải phơng trình cách đánh giá ẩn 1- Kiến thức: Nhiều toán tởng chừng không giải đợc , thật bất ngờ chung ta cần đánh giá, so sánh ẩn phơng trình toán cho ta lời giải thú vị đến bất ngờ Kỹ thuật phần thờng sử dụng quan sát ẩn, để đánh giá hai vế phơng trình hệ để tìm kiên hệ ẩn số, từ có đợc phơng trình , hệ phơng trình đơn giản Một ví dụ: Trong phần thông qua ví dụ, quan sát cách đánh giá ẩn với số, từ xác định đợc nghiệm hệ Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh 20 x + 10 x + = y + 2(2 x − 3) y + x − 16 x + 20 3x + x + Lời giải: * Xét vế trái: 20 x + 10 x + 20 x + 10 x + ( x − 2) ≤ = −7+7= − 3x + x + 3x + x + 3x + x + Đẳng thức xảy hki x = (1) * XÐt vÕ ph¶i: y2 + (2x - 3) y + 5x2 - 16x + 20 = (y+2x-3)2 + (x-2)2 + NguyÔn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình Đẳng thc xảy x = , y = (2) Từ (1), (2) phơng trình có nghiệm Nhận xét: Đây toán phức tạp, không giải đợc trực tiếp Bằng quan sát đánh giá hai vế phơng trình với số 7, toán có nghiệm Cách tạo đợc toán không khó nhng giải đợc không dễ Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình: x + 1998 y = 1998 1998 − x + y = 1998 (Tun sinh 10, chuyªn toán, ĐHSP Vinh 1998) Lời giải: Điều kiện bài: 1998 ≥ x, y ≥ - NÕu x > y th×: x + 1998 − y > y + 1998 − x => V« lý - NÕu x > y th×: x + 1998 − y > y + 1998 − x => V« lý - VËy x = y ta có hệ phơng trình: Bình phơng hai vế: x + 1998 − x = 1998 x + x(1998 − x) + 1998 − x = 1998 ⇔ x = , x = 1998 Vậy phơng trình cã hai nghiÖm (x ; y) = {(0 ; 0) , (1998 ; 1998)} Nhận xét: Bài toán có vai trò bình đẳng Bằng đánh giá hai ẩn, ta tìm đợc x = y then chốt ý tởng đợc sử dụng rộng chứa ẩn có vai trò nh IV)-Một số cách sử dụng khác bất đẳng thức 1- Kiến thức Đà nói bất đẳng thức rộng khó, việc sử dụng đa dạng phong phú, thiết mục đà kiểm tra qua nét chính, kiến thức kinh điển Trong mục xét thêm số kỹ thuật khác mà tởng chừng nh đơn giản song lại gặp khó khăn Một số ý là: Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình - Điều kiện toán - Tính chất lũy thừa, ≤ a ≤ 1, m > n > => am ≤ an ≤ 1 ≤ a; m < m => am an - Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối |A| +|B| |A + B| ≥ |A| - |B| ; |A| ≥ -A - Làm trội bất đẳng thức không chặt, Một số ví dụ Sau thông qua số ví dơ, chóng ta thÊy sù linh ho¹t cđa ý tëng sư dơng, sư dơng phong phó cđa øng dơng bÊt đẳng thức Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình: x +1 + y = x + y +1 = (Thi học sinh giỏi Toán THCS Thành phố Hồ Chí Minh 2002 - 2003) Lời giải: Điều kiện toán x, y => x + ≥ 1, y + ≥ VËy: x +1 + y ≥ x + y +1 ≥ Đẳng thức xảy x = , y = Vậy toán có nghiệm x = y = Nhận xét: Quả thật toán có lời giải bất ngờ đơn giản, cần sử dụng điều kiện nh nhận xét tìm đợc lời giải toán không khó, giải theo cách khác nhng dài không đẹp Vì trớc giải hệ phơng trình vô tỷ nên quan tâm đến điều kiện ẩn số Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình: (1) x 2006 + y 2006 = x 2007 + y 2007 = (2) Lời giải: Từ phơng trình (1) ta cã: |x| ≤ 1, |y| ≤ => - x ≥ 0,1 -y ≥ LÊy ph¬ng trình (1) trừ (2) vế với vế, ta có: x 2006 (1 − x ) + y 2006 (1 − y ) = Mµ x 2006 (1 − x) + y 2006 (1 − y ) ≥ Đẳng thức xảy x = 0, y = hc x = 1, y = VËy toán có hai nghiệm x = 0, y = vµ x = 1, y = NhËn xÐt: toán đà sử dụng tính chất lũy thõa ≤ a ≤ 1, m > n > =>am ≤ an ≤1 chóng ta cã thĨ më rộng số ẩn Dạng có dùng để tính giá trị biểu thức vấn đề tìm giá trị ẩn, Cách thiết kế kiểu không khó Ví dụ 3: Giải phơng trình x2 x +1 + x2 − x − = Lời giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức A B > 0, VËy ta cã ≥ A + B ≥ A + B DÊu b»ng x¶y x2 − x +1 + x2 − x − = x2 − x +1 + − x2 + x x2 − x +1+ − x2 + x = Đẳng thức xảy x x + 1).(2.x + x ) > Mµ x2 -x + > => x ≥ ⇔s - ≤ x ≤ C¸ch 2: ¸p dơng bất đẳng thức A A dấu xảy A ≤ x2 -x + > => |x2 -x + 1| = x2 -x + |x2 -x - 2| ≥ (-x2 - x - 2) |x2 -x + 1| + |x2 -x - 2| ≥ x2 -x + - (x2 -x - 2) = Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình Đẳng thức xảy khi: x2 -x - ≤ ⇔ - ≤ x ≤ Nhận xét: Thông thờng học sinh dùng phơng án phá dấu giá trị tuyệt đối Nhng cách giải sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối đà cho lời giải đơn giản ngắn gọn Nếu tăng thêm biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối đợc nhiều toán hay khó II.3 Phơng pháp nghiên cứu- kết nghiên cứu II.3.1.Phơng pháp 1/ Nghiên cứu lý luận Để viết đợc kinh nghiệm thân đà sử dụng phơng pháp sau: *-Nghiên cứu tài liệu : +SGK - Sách tham khảo ; tạp trí toán học *-Sử dụng phơng pháp phân tích lên (xuống), tổng hợp dạy học *- So sánh, tổng kết *- Kết hợp với hội đồng s phạm nhà trờng nghiên cứu vận dụng kiến thức hợp lý không sức học sinh khuôn khổ chơng trình học Tổng kết kinh nghiệm thực tế giảng dạy (đặc biệt bồi dỡng học sinh giỏi) thân đồng nghiệp Tham gia lớp bồi dỡng giáo viên Sở Giáo dục Đào tạo tổ chức 2/ Nghiªn cøu thùc tiƠn - KiĨm tra häc sinh lớp 8, II.3.1 Kết - Đà hình thành cho học sinh số kỹ Giải phơng trình, hệ phơng trình phơng pháp dùng bất đẳng thức Giúp cho học sinh nhìn nhận dạng toán dới lăng kính nhiều mặt với nhiều màu sắc khác trình vận dụng linh hoạt kĩ thuật giải - Ôn tập, củng cố đào sâu kiến thức số học, đại số có liên quan đồng thời giúp cho học sinh hình thành thói quen suy nghĩ định hớng tìm tòi lời giải trớc toán Từ giúp học sinh có thói quen giải toán theo trình tự khoa học - Xây dựng đợc hệ thống phơng pháp kỹ Giúp cho học sinh giáo viên có t liệu tham khảo cho hoạt động dạy học toán Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình häc víi viƯc båi dìng häc sinh kh¸, giái nhà trờng phổ thông - Hình thành học sinh thói quen khai thác kiến thức chơng trình theo chiều sâu Giúp cho em có đợc t sâu sắc linh hoạt, độc lập sáng tạo trình giải toán - Giúp cho học sinh phân loại đợc dạng tập phơng pháp, kỹ giải cho loại tạo điều kiện cho em nhìn nhận vấn đề toán học (phơng trình) dới mắt hoàn thiện - Hình thành học sinh thói quen khám phá, khai thác tìm tòi lời giải cho toán phát huy đợc tích cực suy nghĩ trình giải toán - Góp phần trau dồi cho học sinh phẩm chất nh tính độc lập kiên trì sáng tạo tích cực tìm tòi giúp em hoàn thiện dần phẩm chất đạo đức, phẩm chất trí tuệ trình học toán nhà trờng phổ thông - Phát huy đợc đức tính tự học, tự tìm tòi nghiên cứu góp phần tô điểm cho việc đổi phơng pháp giảng dạy học tập giáo viên học sinh mà hạt nhân là: " Lấy lôgic học học sinh làm trung tâm " từ nâng cao bớc chất lợng học tập môn toán cho em Vì năm học từ năm 2005 - 2006 đến năm 2009 - 2010 kết cho thấy toán đa em tích cực học tập, làm đợc tơng đối tốt đạt 65% - 70% ngày gây niềm tin cho học sinh Đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp khối khối trờng THCS đà đạt học sinh giỏi cÊp cã c¶ cÊp qc gia kÕt qu¶ thĨ nh sau: - Năm học 2005 2006: Đạt em häc sinh giái cÊp hun vµ em häc sinh giỏi cấp tỉnh - Năm học 2006 2007: Đạt em học sinh giỏi cấp huyện em học sinh giỏi cấp tỉnh - Năm học 2007 2008: Đạt em học sinh giỏi cấp huyện em học sinh giỏi cấp tỉnh - Năm học 2008 2009: Đạt em học sinh giỏi cấp tỉnh, có em đạt giải nhì đợc thi tiếp Quốc gia vào ngày 13/3/2009 đạt giải khuyến khích cấp Quốc gia - - Năm học 2008 2009: Đạt em học sinh giỏi cấp tỉnh, có em đạt giải đợc thi tiếp Quốc gia vào ngày 19/3/2010 đạt giải ba cÊp Quèc gia PhÇn III: PhÇn kÕt luËn – Kiến nghị III.1.Kết luận - Khi cha đợc tiếp cận với toán không tắc, hầu hết học sinh tỏ lúng túng, phơng hớng tìm lời giải Khi làm quen Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình với phân tích sâu sắc, hầu hết em thích thú say mê lạ, sáng tạo, không m¸y mãc - Víi kiÕn thøc nh vËy c¸c em nắm tốt hơn, liên hệ kiến thức với mật thiết hơn, thực bồi bổ chất toán cho em tốt môn học kh¸c cịng nh cc sèng - NhiỊu häc sinh huyện đợc học, đà thành công nhiều kỳ thi học sinh giỏi toán, thi vào trờng chất lợng cao năm gần Phơng trình, hệ phơng trình không tắc dạng toán khó, đa dạng, thờng đợc dùng kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, nh thi vào lớp chất lợng cao Các toán nh vấn đề nan giải hầu hết học sinh nói chung, học sinh giỏi nói riêng Trong số năm qua, trăn trở để tìm ý tởng cho toán hay khó này,tôi đà tìm tòi, phân dạng để giảng dạy nhằm mục đích truyền đạt hiệu đến với học sinh Thật bất ngờ, giảng dạy chuyên đề này, thấy học sinh say mê tự khám phá lời giải Bớc đầu đà làm cho học sinh khám phá, tự tìm kiến thức có liên quan để giải Qua đây, thấy kiến thức toán học sinh đợc nâng nhiều phần khác Sử dụng bất đẳng thức tính chất vào giải phơng trình, hệ phơng trình ứng dụng lớn Sự phân chia nh ý tởng nhiều phần cha nêu hết, Đề tài hy vọng giúp phần khó khăn giảng dạy hy vọng bạn đồng nghiệp nêu tiếp ứng dụng mà viết cha nêu đợc Mặc dù đà giành nhiều thời gian, công sức, tìm hiểu, rút kinh nghiệm cố gắng đề tài song nhiều lí do, lí hạn chế kiến thức nh phơng pháp nên đề tài tránh khỏi thiếu xót.Tôi mong đợc đóng góp, bổ sung Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình III.2- Kiến nghị: - Với nhà trờng: Cần khuyến khích động viên giáo viên thực áp dụng sáng kiến hay để đẩy mạnh phong trào chuyên môn nhà trờng - Với Phòng, Sở giáo dục: Đề nghị quan tâm đầu t mở nhiều chuyên đề bồi dỡng chuyên đề có liên quan đến môn Toán đặc biệt bồi dỡng giáo viên ôn học sinh giỏi để nâng cao trình độ, phơng pháp, lực s phạm cho giáo viên dạy học Tôi xin chân thành cảm ơn! Mạo Khê, ngày 20 tháng năm 2010 Ngời viết Nguyễn Thị Hạnh Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình đánh giá hội đồng khoa học Trờng thcs mạo phòng gd - đt Sở gd - đt tỉnh khê II huyện đông quảng ninh triều Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II .. .Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình I.2.Tính cần thiết đề tài Theo đề tài đa vào áp dụng có tác dụng sau: Nhằm nâng cao chất lợng Giải phơng trình, hệ phơng trình phơng... phơng trình đối xứng loại 2, toán giải theo phơng trình chung Vận dụng bất đẳng thức cauchy lời giải độc đáo sáng tạo Chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy phơng trình (1) dễ phát so với hệ phơng trình. .. lời giải hay, độc đáo II)- áp dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI 1- Kiến thức: Khi nhắc đến bất đẳng thức không nhắc đến Bất đẳng thức Binhiacôpski Đây bất đẳng thức quen thuộc với học sinh, đợc