Đề tài: cấu trúc vành_Luận văn tốt nghiệp

58 441 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/01/2015, 21:28

Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang 1 PHẦN MỞ ĐẦU – o — I. Lí do chọn đề tài: Trong môn học “Lí thuyết vành và trường” sinh viên đã được học một số tính chất của vành giao hoán, vành đòa phương, vành Euclide, vành Gauss . Tiếp đó, ở môn “Đại số giao hoán” sinh viên tiếp tục được học các loại vành như vành Artin, vành Noether. Như vậy, lớp các vành rất phong phú. Để tìm hiểu thêm tính phong phú của các loại vành tôi đã chọn đề tài “Cấu trúc vành” cho luận văn tốt nghiệâp của mình. II. Đối tượng nghiên cứu: Đề tài “Cấu trúc vành” nghiên cứu một số loại vành: vành đơn, vành nguyên thủy, vành trù mật, radical Jacobson, radical nguyên tố trên vành bất kì, vành nửa đơn, vành nửa nguyên tố … . Qua đó cho thấy một số tính chất và mối liên hệ giữa chúng. Nội dung đề tài được chia thành hai phần: A. Cơ sở lí thuyết (gồm năm mục). Ở mục một là kiến thức chuẩn bò, trong phần này trình bày sơ lược các kiến thức liên quan đến vành, module … để làm cơ sở cho các mục sau. Các mục còn lại nêu lên đònh nghóa và nghiên cứu một số tính chất của vành đơn, vành nguyên thủy, radical Jacobson, vành nửa đơn …. B. Bài tập (gồm 20 bài tập). III. Mục đích nghiên cứu: Nhằm giới thiệu một số loại vành và mối liên hệ giữa chúng, qua đó cho thấy tính phong phú của các loại vành. IV. Phương pháp nghiên cứu: Đề tài “Cấu trúc vành” được thực hiện chủ yếu bằng cách dòch từ tiếng Anh quyển “Algebra” của Thomas W. Hungerford (chương 9, từ trang 414 đến trang 450); bên cạnh có sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp một số kiến thức có liên quan. Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức nên đề tài khó tránh khỏi những sai sót. Kính mong nhận được những lời góp ý của q thầy cô và các bạn. Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang 2 LỜI CẢM ƠN – o — Đề tài “Cấu trúc vành” được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Thanh Bình và sự cố gắng, nổ lực của bản thân. Em xin chân thành gởi lời cám ơn đến thầy Nguyễn Thanh Bình và các thầy cô trong bộ môn Toán, khoa Sư Phạm, trường Đại Học Cần Thơ đã tích lũy cho em những kiến thức cần thiết và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho em trong lúc thực hiện và hoàn thành đề tài này. Xin cám ơn các bạn sinh viên lớp Sư Phạm Toán K25 đã động viên và giúp đỡ tôi. Một lần nữa xin gởi đến thầy Nguyễn Thanh Bình và các thầy cô trong bộ môn Toán lòng biết ơn sâu sắc. Cần Thơ, tháng 5 năm 2003 Sinh viên thực hiện Cao Minh Quang. Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang 3 MỤC LỤC – o — Trang Phần mở đầu 1 Lời cám ơn 2 Mục lục 3 Phần nội dung 4 A. Cơ sở lí thuyết 4 §1. Kiến thức chuẩn bò 4 §2. Vành đơn và vành nguyên thủy 15 §3. Radical Jacobson 24 §4. Vành nửa đơn 32 §5. Radical nguyên tố – vành nguyên tố và vành nửa nguyên tố 41 B. Bài tập 45 Phần kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang 4 PHẦN NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT §1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ – o — 1.1. Đònh nghóa: Vành là tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi trên R gồm phép cộng (+) và phép nhân (.) thỏa các điều kiện sau: (i) (R, +) là nhóm Abel. (ii) Phép nhân có tính chất kết hợp, tức là: a(bc) = (ab)c với mọi a, b ,c ∈ R. (iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là: a(b + c) = ab + bc (b + c)a = ba + ca với mọi a, b, c ∈ R. Vành R được gọi là có đơn vò nếu phép nhân của nó có đơn vò, phần tử đơn vò của R kí hiệu là 1 R hay 1 hoặc e. Vành R được gọi là thể nếu R có đơn vò 1 R ≠ 0 và mọi phần tử khác không của nó đều khả nghòch. Từ đó suy ra thể không có ideal thật sự. 1.2. Đònh lí: Nếu f: R → S là đồng cấu vành và I là ideal của R chứa trong Kerf thì tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : R/I → S sao cho f (a + I) = f(a) với mọi a ∈ R. Im f = Imf và Ker f = Kerf/I. f là đẳng cấu khi và chỉ khi f là toàn cấu và I = Kerf. Chứng minh: Đònh nghóa ánh xạ f : R/I → S a + I α f (a + I) = f(a) với mọi a ∈ R. Đònh nghóa này được xác đònh đúng đắn. Thật vậy, nếu a + I = b + I thì a – b ∈ I ⊂ Kerf nên f(a – b) = 0 hay f(a) = f(b). Dễ thấy f là đồng cấu vành thỏa f = f g với g: R → R/I là đồng Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang 5 cấu vành. Giả sử tồn tại đồng cấu vành h: R → R/I thỏa mãn f = hg, thế thì với mọi a ∈ R, ta có: f g(a) = hg(a) hay f [g(a)] = h[g(a)], suy ra f (a + I) = h(a + I). Vậy f = h và f được xác đònh duy nhất. Từ đònh nghóa ánh xạ f ta suy ra Im f = Imf. Ta có: Ker f = {a + I ∈ R/I | f (a + I) = 0} = {a + I ∈ R/I | f(a) = 0} = {a + I ∈ R/I | a ∈ Kerf } = Kerf/I. Ta chứng minh f là đẳng cấu khi và chỉ khi f là toàn cấu và I = Kerf. Giả sử f là đẳng cấu. Khi đó f là toàn cấu và là đơn cấu. Vì Imf = Im f nên f là toàn cấu và Ker f = 0 nên Kerf/I = 0 = I, suy ra Kerf = I. Ngược lại, do Kerf = I nên Ker f = Kerf/I = 0 nên f là đơn cấu. Dễ thấy f là toàn cấu. Vậy f là đẳng cấu. 1.3. Đònh lí: Giả sử I và J là các ideal của vành R sao cho I ⊂ J. Khi đó J/I là ideal của vành R/I. Chứng minh: Đònh nghóa ánh xạ f: R/I → R/J a + I α f(a) = a + J với mọi a ∈ R Đònh nghóa này xác đònh đúng đắn. Thật vậy, giả sử a + I = b + I thì a – b ∈ I ⊂ J, suy ra a + J = b + J. Dễ dàng kiểm tra được rằng f là đồng cấu vành. Mặt khác, ta có Kerf = {a + I ∈ R/I | f(a + I) = 0} = {a + I ∈ R/I | a + J = J} = {a + I ∈ R/I | a ∈ J} = J/I. Vì Kerf là ideal của R/I nên J/I là ideal của R/I. 1.4. Đònh nghóa: Ideal P của vành R được gọi là nguyên tố nếu P ≠ R và với mọi ideal A, B của R sao cho AB ⊂ P thì A ⊂ P hoặc B ⊂ P. 1.5. Đònh lí: Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang 6 (i) Trong vành R khác không, có đơn vò luôn tồn tại ít nhất một ideal tối đại. (ii) Cho A là ideal của vành R khác không có đơn vò, A khác R. Khi đó tồn tại ideal tối đại của R chứa A. Chứng minh: (i) Gọi S là tập tất cả ideal của R và khác R. Ta có S ≠ Þ vì (0) ∈ S. Xét (S, ⊆ ). Gọi (A i ) i∈I là dây xích trong S. Đặt A = Υ Ii i A ∈ , ta có A là ideal của R và khác R. Thật vậy, gọi x, y ∈ A thì tồn tại i, j ∈ I sao cho x ∈ A i và y ∈ A j . Do (A i ) i∈I là dây xích nên ta có thể giả sử x, y ∈ A i . Khi đó x – y ∈ A i và ax, xa ∈ A i với mọi a ∈ R, suy ra x – y ∈ A và ax, xa ∈ A với mọi a ∈ R, suy ra A là ideal của R. Nếu A = R thì 1 ∈ A, suy ra tồn tại i ∈ I sao cho 1 ∈ A i , suy ra A i = R (vô lí). Vậy A ≠ R, do đó A ∈ S. Theo bổ đề Zorn – Kuratowshi thì trong tập S tồn tại phần tử tối đại. Gọi M là phần tử tối đại trong S. Nếu M không phải là phần tử tối đại của R thì tồn tại ideal P nào đó của R sao cho M ⊂ P ⊂ R và M ≠ P ≠ R, suy ra P ∈ S (vô lí) vì M tối đại. Vậy M là ideal tối đại của R. (ii) Gọi S là tập tất cả các ideal của R chứa A và khác R. Bằng phương pháp chứng minh tương tự như trên thì trong (S, ⊆ ) tồn tại phần tử tối đại M và M chính là ideal tối đại của R chứa A. 1.6. Đònh lí: Cho A 1 , A 2 ,…, A n là các ideal của vành R thỏa R 2 + A i = R với mọi i = 1 n và A i + A j = R với mọi i ≠ j; i, j = 1 n. Nếu b 1 , b 2 , … , b n ∈ R thì tồn tại b ∈ R sao cho b ≡ b i (mod A i ) (i = 1 n). Chứng minh: Vì A 1 + A 2 = R và A 1 + A 3 = R nên R 2 = (A 1 + A 2 )(A 1 + A 3 ) = A 1 2 + A 1 A 3 +A 2 A 1 + A 2 A 3 ⊂ A 1 + A 2 A 3 ⊂ A 1 + A 2 ∩ A 3 . Vì R = A 1 + R 2 nên A 1 + R 2 ⊂ A 1 +(A 1 + A 2 ∩ A 3 ) = A 1 + A 2 ∩ A 3 ⊂ R suy ra R = A 1 + A 2 ∩ A 3 . Giả sử R = A 1 + A 2 ∩ A 3 ∩ …. ∩ A k-1 , khi đó: R 2 = (A 1 + A 2 ∩ A 3 ∩ …. ∩ A k-1 )(A 1 + A k ) ⊂ A 1 + A 2 ∩ A 3 ∩ …. ∩ A k , suy ra R = R 2 + A 1 ⊂ A 1 + A 2 ∩ A 3 ∩ …. ∩ A k ⊂ R hay R = A 1 + A 2 ∩ A 3 ∩ … ∩ A k . Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang 7 Vậy R = A 1 + Ι 1i i A ≠ . Tương tự, ta có R = A k + Ι ki i A ≠ , k = 1 n. Do đó với mọi k = 1 n, tồn tại a k ∈ A k , r k ∈ Ι ki i A ≠ sao cho b k = a k + r k và r k ≡ b k (mod A k ) , r k ≡ 0 (mod A i ). Đặt b = r 1 + r 2 + …+ r n . Khi đó b ≡ b i (mod A i ) với mọi i = 1 n. 1.7. Hệ quả: Nếu A 1 , A 2 , … , A n là các ideal của vành R thì tồn tại đơn cấu vành φ : R/(A 1 ∩ … ∩ A n ) → R/A 1 x R/A 2 x…xR/A n . Nếu R 2 + A i = R với mọi i = 1 n và A i + A j = R với mọi i ≠ j; i, j =1 n thì φ là đẳng cấu. 1.8. Đònh lí: Cho {R i | i ∈ I} là họ khác rỗng của các vành và ∏ ∈ I i i R là tích trực tiếp của các nhóm cộng R i . Khi đó: (i) ∏ ∈ I i i R là vành với phép (.) được đònh nghóa bởi {a i } i ∈ I {b i } i ∈ I = {a i b i } i ∈ I (ii) Nếu R i có đơn vò thì ∏ ∈ I i i R có đơn vò. (iii) Với k ∈ I phép chiếu chính tắc π k : ∏ ∈ I i i R → R k {a i } i ∈ I α a k là toàn cấu vành. (iv) Với k ∈ I phép nhúngï chính tắc i k : R k → ∏ ∈ I i i R a k α {a i } i ∈ I là đơn cấu vành. 1.9. Bổ đề: Cho S là vành của các ma trận vuông cấp n trên thể D. Khi đó S không có ideal thật sự. Chứng minh: Đặt S = Mat n D. Gọi I là một ideal khác không của S. Giả sử A = [a ij ] khác không, A ∈ I và a rs ≠ 0. Kí hiệu A ij (x) là ma trận có thành phần ij bằng x, các thành phần còn lại bằng 0. Với mỗi số thực b, tồn tại các số thực x, y Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang 8 sao cho ya rs x = b, suy ra A kr (y)AA se (x) = A ke (b) ∈ I với 1 ≤ k, e ≤ n. Vì mỗi ma trận của Mat n D là tổng của n 2 ma trận dạng A ke (b) nên thuộc I, do đó I = Mat n D = S. Vậy S không có ideal thật sự. 1.10. Đònh lí đệ qui: Cho tập hợp S, a ∈ S, với mỗi n ∈ N, f n : S → S là một hàm số. Khi đó tồn tại duy nhất hàm số ϕ : N → S thỏa ϕ (0) = a và ϕ (n + 1) = f n ( ϕ (n)) với mọi n ∈ N. Chứng minh: Gọi C là tập hợp các tập con Y của NxS sao cho nếu (0, a) ∈ Y và (n, x) ∈ Y thì (n + 1, f n (x)) ∈ Y với mọi n ∈ N. Khi đó C ≠ ∅ vì NxS ∈ C. Đặt R = Ι C Y Y ∈ thì R ∈ C. Gọi M là tập con của N chứa n ∈ N mà với mỗi n, tồn tại duy nhất một phần tử x n ∈ S sao cho (n, x n ) ∈ R. Ta chứng minh M = N bằng phương pháp qui nạp. Nếu 0 ∉ M thì tồn tại (0, b) ∈ R với b ≠ a và R\{(0, b)} ⊂ NxS trong C. Suy ra R = Ι C Y Y ∈ ⊂ R\{(0, b)} (vô lí). Vậy 0 ∈ M. Giả sử n ∈ M, tức là (n, x n ) ∈ R với x n là duy nhất thuộc S. Khi đó (n + 1, f n (x n )) ∈ R. Nếu (n + 1, c) ∈ R với c ≠ f n (x n ) thì R\{(n +1, c)} ∈ S (vô lí). Vì vậy x n+1 = f n (x n ) là phần tử duy nhất thỏa (n + 1, x n+1 ) ∈ R. Do đó N = M. Từ đây ta có thể đònh nghóa hàm số ϕ : N → S cho bởi n α ϕ (n) = x n . Vì (0, a) ∈ R nên ta có ϕ (0) = 0. Với mọi n ∈ N, ta có (n,x n ) = (n, ϕ (n)) ∈ R, vì vậy (n +1, f n ( ϕ (n))) ∈ R vì R ∈ C. Nhưng (n + 1, x n+1 ) ∈ R và x n+1 là duy nhất nên ϕ (n + 1) = x n+1 = f n ( ϕ (n)). 1.11. Đònh nghóa: Cho R là vành. Nhóm Abel (M, +) được gọi là R - module (trái) nếu tồn tại phép toán ngoài: RxM → M (r,m) α rm thỏa mãn các tính chất sau: (i) (a + b)m = am + bm. (ii) a(m 1 + m 2 ) = am 1 + am 2 . (iii) (ab)m = a(bm). Với mọi a, b ∈ R; m, m 1 , m 2 ∈ M. Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang 9 Nếu R có đơn vò 1 R và 1 R a = a với mọi a ∈ M thì M được gọi là R – module unita. Nếu R là thể thì R – module unita được gọi là không gian vector (trái). R – module phải được đònh nghóa tương tự. Trong đề tài này, phần lớn ta xét trên các R – module trái. 1.12. Bổ đề: Cho R và S là vành và ϕ: R  →  S là đồng cấu vành. Khi đó mọi S – module A có thể được tạo bởi một R – module với phép toán rx = ϕ(r)x (x ∈ A). 1.13. Đònh lí: Cho vành R và {A i | i ∈ I} là họ các module con của R - module A thỏa: (i) A là tổng của họ {A i | i ∈ I}. (ii) Với mọi k ∈ I, A k ∩ A k * = 0, trong đó A k * là tổng của họ {A i | i ≠ k}. Khi đó A ≅ ∑ ∈I i i A , trong đó ∑ ∈I i i A là tổng trực tiếp (ngoài) của họ các R – module {A i | i ∈ I}. 1.14. Đònh nghóa: Cho dãy đồng cấu R – module …  →  A n-1 → n f A n → +1n f A n+1  →  … . Ta nói nằng dãy trên là khớp tại A n (nửa khớp tại A n ) nếu Imf n = Kerf n+1 (Imf n ⊂ Kerf n+1 ). A n được gọi là mắt xích thứ n (n ∈ N * ). Dãy trên được gọi là khớp (nửa khớp) nếu nó khớp (nửa khớp) tại mỗi mắt xích, trừ mắt xích đầu và cuối (nếu có). Chú ý: Dãy đã cho khớp tại A n khi và chỉ khi f n+1 f n = 0 và Kerf n+1 ⊂ Imf n . Dãy đã cho nửa khớp tại A n khi và chỉ khi f n+1 f n = 0. Dãy 0 → A → f B là khớp khi và chỉ khi f là đơn cấu. Dãy B → g C → 0 là khớp khi và chỉ khi g là toàn cấu. * Dãy 0 → A → f B → g C → 0 được gọi là dãy khớp ngắn. Nếu Imf là hạng tử trực tiếp của B thì dãy khớp này gọi là dãy khớp bò chẻ. 1.15. Bổ đề năm ngắn: Cho vành R và biểu đồ giao hoán của các R – module và R – đồng cấu sau: Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang 10 0 → A → f B → g C → 0 α β γ 0 → A’ → f' B’ → g' C’ → 0 trong đó các dòng là khớp. Khi đó: (i) Nếu α , γ là đơn cấu thì β là đơn cấu. (ii) Nếu α , γ là toàn cấu thì β là toàn cấu. (iii) Nếu α , γ là đẳng cấu thì β là đẳng cấu. Chứng minh: (i) Lấy b ∈ B, giả sử β (b) = 0. Ta có γ g(b) = g’ β (b) = g’(0) = 0. Suy ra g(b) = 0 vì γ là đơn cấu. Do dòng trên khớp tại B nên b ∈ Kerg = Imf, vì vậy b = f(a) với a ∈ A. Mặt khác f’ α (a) = β f(a) = β (b) = 0. Do dòng dưới khớp tại A’ nên f’ là đơn cấu, do đó α (a) = 0. Vì α là đơn cấu nên a = 0, suy ra b = f(a) = f(0) = 0. Vậy β là đơn cấu. (ii) Lấy b’ ∈ B’,khi đó g’(b’) ∈ C’. Vì γ là toàn cấu nên g’(b’) = γ (c) với c ∈ C . Vì dòng trên khớp tại C nên g là toàn cấu, do đó c = g(b) với b ∈ B. Ta có g’ β (b) = γ g(b) = γ (c) = g’(b’), suy ra g’[ β (b) - b’] = 0 hay β (b) - b’ ∈ Kerg’ = Imf’, do đó f’(a’) = β (b) – b’với a’ ∈ A’. Vì α là toàn cấu nên a’ = α (a) với a ∈ A. Xét b – f(a) ∈ B thì β [b – f(a)] = β (b) - β f(a). Do biểu đồ giao hoán nên β f(a) = f’ α (a) = f’(a’) = β (b) – b’, vì vậy β [b – f(a)] = β (b) - β f(a) = β (b) – ( β (b) – b’) = b’. Do đó β là toàn cấu. (iii) Suy ra từ (i) và (ii). 1.16 Đònh lí (đặc trưng của dãy khớp bò chẻ): Cho dãy khớp ngắn các R – module 0 → A → f B → g C → 0, khi đó các khẳng đònh sau là tương đương: (i) Dãy khớp bò chẻ ra. (ii) Tồn tại một R – đồng cấu h: B  →  A sao cho hf = 1 A . (iii) Tồn tại một R – đồng cấu i: C  →  B sao cho gi = 1 C . Khi các điều kiện trên thỏa thì B = A ⊕ C. 1.17. Đònh nghóa: [...]... quả 1.32) nên R là vành Artin trái 2.10 Bổ đề (Schur): Cho A là module đơn trên vành R và B là R - modul Khi đó: (i) Mỗi đồng cấu R-module khác không f : A  → B là đơn cấu (ii) Mỗi đồng cấu R-module khác không g : B  → A là toàn cấu (iii) Vành các tự đồng cấu D = HomR(A,A) là thể GVHD: Nguyễn Thanh Bình 18 SVTH: Cao Minh Quang Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành Chứng minh: (i) Kerf là module con...Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành Module P trên vành R được gọi là xạ ảnh nếu cho bất kì biểu đồ của các đồng cấu R – module P f A g B  0 → → với dòng dưới là khớp (g là toàn cấu) thì tồn tại một đồng cấu R – module h: P  → A sao cho biểu đồ P h f A g B  0 → → là giao hoán (tức là gh = f) Module J trên vành R được gọi là nội xạ nếu cho bất kì biểu đồ của các đồng cấu R – module... Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành Vành R chứa ít nhất một ideal trái tối tiểu I (suy ra từ đònh lí 1.21, 1.25 và hệ qủa 1.32) Vì A khớp nên tồn tại a ∈ A sao cho Ia ≠ 0, suy ra Ia là module con của A, do A đơn nên Ia = A nh xạ θ : I  → Ia, cho bởi i α ia là một toàn cấu R – module khác không, kết hợp bổ đề 2.10, suy ra θ là đẳng cấu hay I ≅ Ia = A Tương tự ta cũng có I ≅ B Vậy A ≅ B 2.16 Bổ đề: Cho... lượt là các toàn cấu chính tắc, khi đó ánh xạ φ : R  → ∏ R/P P∈ ℘ cho bởi r α φ (r) = { λ P(r)}P∈℘ = {r + P}P∈℘ là đơn cấu vành thỏa π p φ (R) = R/P với mọi P ∈ ℘ Suy ra R đẳng cấu với tích trực tiếp dưới của các vành nguyên thủy GVHD: Nguyễn Thanh Bình 32 SVTH: Cao Minh Quang Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành Ngược lại, giả sử {Ri | i ∈ I} là họ các vành nguyên thủy và một đơn cấu vành φ : R  →... Thanh Bình 19 SVTH: Cao Minh Quang Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành Giả sử R là vành nguyên thủy và A là R – module khớp đơn Có thể xem A là một không gian vector trên thể D = HomR(A,A) Khi đó R đẳng cấu với vành trù mật của các tự đồng cấu của D – không gian vector A Chứng minh: Với mỗi r ∈ R, ánh xạ α r : A  A xác đònh bởi α r(a) = ra là một D – → tự đồng cấu của A, tức là α r ∈ HomR(A,A) Với r,... = ( σ f)( θ α d θ -1) GVHD: Nguyễn Thanh Bình 22 SVTH: Cao Minh Quang Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành Vì σ là toàn cấu, dùng bổ đề 2.16 (với V = V2, g = θ α d θ -1), thì tồn tại d* -1 ∈ D2 sao cho θ α d θ = α d* Đặt β : D1  → D2 là ánh xạ được xác đònh bởi * β (d) = d , với d ∈ D1 thì θ α d θ -1 = α β (d ) Ta có β là đơn cấu Thật vậy, nếu d* = β (d) = 0 thì θ α d θ -1 = α d* = 0, vì vậy α d = 0,... Thanh Bình 20 SVTH: Cao Minh Quang Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành vành con của R Từ tính trù mật của R ≅ Im α trong HomD(A,A) ta thấy ánh xạ ϕ : Rm  HomD(Vm,Vm) cho bởi r α α rVm là một toàn cấu → 2.14 Đònh lí (Wedderburn – Artin): Các điều kiện sau trên vành R – Artin trái là tương đương: (i) R đơn (ii) R nguyên thủy (iii) R đẳng cấu với vành các tự đồng cấu của không gian vector hữu hạn chiều... Quang Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành r – er ∈ R với mọi r ∈ R Chú ý: Mỗi ideal trái của vành R có đơn vò là chính qui (với e = 1R) 2.3 Đònh lí: Module trái A trên vành R là đơn khi và chỉ khi A đẳng cấu với R/I, trong đó I là ideal trái tối đại chính qui Chứng minh: Giả sử module trái A đơn, tức là A = Ra (với 0 ≠ a ∈ A) Xét ánh xạ φ : R  → A, xác đònh bởi r α ra Dễ thấy φ là toàn cấu, đặt Ker... k = β (d), suy ra β là toàn cấu, vì vậy β là đẳng cấu hay D1 ≅ D2 Với d ∈ D1 và v ∈ V1 thì θ (dv) = θ α d(v) = α β (d ) θ (v) = β (d) θ (v) Do {u1, … , uk} là D1 – độc lập tuyến tính trong V1 khi và chỉ khi { θ (u1), … , θ (uk)} là D2 – độc lập tuyến tính trong V2 nên ta suy ra dim D1 V1 = dim D 2 V2 GVHD: Nguyễn Thanh Bình 23 SVTH: Cao Minh Quang Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành §3 RADICAL JACOBSON... một ideal trái tối đại chính qui I0 của R (bổ đề 3.4) Vì a ∈ K ⊂ Io nên ra ∈ Io với mọi r ∈ R Do r + ra ∈ T ⊂ Io nên r ∈ Io với mọi r ∈ R, suy ra R = Io (mâu thuẫn tính tối đại của Io) Vậy T = R, do đó a tựa chính qui trái, suy ra K là ideal trái tựa chính qui trái GVHD: Nguyễn Thanh Bình 25 SVTH: Cao Minh Quang Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành 3.6 Bổ đề: Cho R là vành có R- module trái đơn Nếu I . loại vành tôi đã chọn đề tài Cấu trúc vành cho luận văn tốt nghiệâp của mình. II. Đối tượng nghiên cứu: Đề tài Cấu trúc vành nghiên cứu một số loại vành: vành đơn, vành nguyên thủy, vành. f là đồng cấu vành thỏa f = f g với g: R → R/I là đồng Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang 5 cấu vành. Giả sử tồn tại đồng cấu vành h: R → R/I. của vành giao hoán, vành đòa phương, vành Euclide, vành Gauss . Tiếp đó, ở môn “Đại số giao hoán” sinh viên tiếp tục được học các loại vành như vành Artin, vành Noether. Như vậy, lớp các vành
- Xem thêm -

Xem thêm: Đề tài: cấu trúc vành_Luận văn tốt nghiệp, Đề tài: cấu trúc vành_Luận văn tốt nghiệp, Đề tài: cấu trúc vành_Luận văn tốt nghiệp