Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích Lời Cảm Tạ ∗∗∗∗∗ Được sự phân công của bộ môn cùng với niềm hứng thú của bản thân, tôi nhận đề tài luâïn văn tốt nghiệp từ những ngày đầu năm học. Đây là một vấn đề tương đối mới lạ, suốt một thời gian dài, nguồn tài liệu mà tôi tìm được vẫn còn nhiều hạn chế. Có những lúc tôi nghó rằng mình phải bỏ cuộc vì không biết phải tiếp tục như thế nào, nhưng rồi được các thầy cô nhiệt tình chỉ dạy và bạn bè đôïng viên ủng hộ, tôi đã quyết tâm đi hết chẵng đường dang dở. Đến nay luận văn “Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích” đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy Cô trong bộ môn Toán đã cung cấp cho em những kiến thức q báu trong bốn năm ở trường đại học. Đẵc biệt, em xin ghi nhớ công ơn của thầy Lê Hồng Đức đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt em trong suốt thời gian thực hiện đề tài. Đồng thời, em cũng chân thành cảm ơn cô Trần Thò Thanh Thúy đã sửa chữa những sai sót trong bản luận văn và cô Lại Thò Cẩm đã động viên, giúp đỡ em. Xin cảm ơn các anh chò, các bạn sinh viên đã nhiệt tình ủng hộ tôi hoàn thành luận văn này. Trần Hoài Ngọc Nhân Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích PHẦN MỞ ĐẦU I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Giải tích hàm là một môn học được quan tâm nhiều trong chương trình giải tích ở đại học. Giải tích hàm thường xem xét đến các tính chất của các họ ánh xạ nào đó. Trong khi xem xét đến các tính chất của các ánh xạ ta thường mở rộng miền xác đònh để từ đó xác đònh được các ánh xạ mới vừa bảo toàn được các tính chất vốn có của ánh xạ đã cho vừa được xác đònh trên các tập hợp lớn hơn, thậm chí trên cả không gian. Việc mở rộng để được các ánh xạ mới trên cơ sở các ánh xạ đã cho thường được gọi là thác triển các ánh xạ.Trong việc thác triển các ánh xạ, chúng ta thấy người ta thường quan tâm đến việc thác triển các ánh xạ liên tục. Vì muốn xem xét một cách toàn diện theo một trình tự phức tạp của các không gian chứa tập xác đònh của ánh xạ ban đầu nên em đã quyết đònh chọn đề tài “Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích”. II/ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Tập trung nghiên cứu khả năng thác triển của các ánh xạ. Trong những điều kiện nào thì các ánh xạ có thác triển bảo toàn tính liên tục? Ứng dụng của việc thác triển ? Hệ thống việc thác triển liên tục trong các không gian bắt đầu từ không gian các số thực đến không gian mêtric, không gian tôpô và không gian đònh chuẩn để thấy được sự so sánh trong các không gian. III/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Luận văn đã sắp xếp, hệ thống lại các kết quả về thác triển các ánh xạ liên tục trong các không gian từ đơn giản đến phức tạp nhằm đưa ra một cách nhìn toàn diện hơn về quá trình thác triển các ánh xạ liên tục. Cụ thể các vấn đề đã được trình bày theo một quan điểm thống nhất: ² Xây dựng một hệ thống lí thuyết về thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian. ² Chứng minh và làm sáng tỏ một số chứng minh, các kết quả đã biết. ² Bài tập được giới thiệu sau mỗi chương có mối liên kết chặt chẽ với lí thuyết và tạo thành một chuỗi, bài sau sử dụng kết quả của bài trước. ² Các kết quả phổ biến nhiều sách đã trình bày, sinh viên chỉ nhắc lại hoặc nêu hướng chứng minh. IV/ PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN NGHIÊN CỨU: Phương pháp nghiên cứu: Các phương pháp chính được sử dụng là tổng hợp, phân tích và so sánh. Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích ² Tổng hợp: Tổng hợp các kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, trình bày lại theo cách riêng. ² Phân tích: Trên cơ sở kiến thức đã học và đọc tài liệu đi sâu phân tích làm rõ vấn đề. ² So sánh: Sử dụng phương pháp so sánh để thấy được sự khác biệt của vấn đề thác triển liên tục trong từng không gian cụ thể. Phương tiện nghiên cứu: Các sách về giải tích của các tác giả trong và ngoài nước, tìm kiếm các kết quả được công bố từ internet. V/ CÁC BƯỚC THỰC HIỆN: ² Tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, tóm tắt các các kết quả có liên quan. ² Phân loại theo từng nhóm, soạn dàn ý và tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn để viết thành đề cương. ² Tiếp tục tham khảo tài liệu để bổ sung, đồng thời phân tích làm rõ, dần hoàn chỉnh theo từng phần. VI/ CÁC THUẬT NGỮ ĐƯC DÙNG TRONG LUẬN VĂN: Các thuật ngữ trong luận văn chủ yếu được sử dụng từ các giáo trình. Để thống nhất, sinh viên dùng từ hàm để chỉ một ánh xạ có tập đích là tập hợp số (thực hoặc phức), từ hàm số chỉ một ánh xạ có tập nguồn và tập đích đều là các tập hợp số. VII/ NỘI DUNG LUẬN VĂN: Luận văn gồm có 4 chương, sau mỗi chương là phần bài tập có liên quan ² Chương mở đầu. Kiến thức chuẩn bò. Nhắc lại một số khái niệm, đònh lí đã được học trong giải tích cổ điển, trong không gian mêtric, không gian tôpô và không gian đònh chuẩn, tạm thời chấp nhận một vài đònh lí mà cách chứng minh quá phức tạp. ² Chương 1. Thác triển ánh xạ liên tục trong giải tích cổ điển. Trình bày một số kết quả thác triển liên tục trong giải tích cổ điển. ² Chương 2. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian mêtric. Trình bày một số kết quả thác triển liên tục đặc trưng của không gian mêtric. Trong chương này ta nghiên cứu, chứng minh điều kiện cần và đủ để có thể thác triển một ánh xạ liên tục (liên tục đều), trường hợp đặc biệt là các đònh lí của Tietze Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích và Uryson về thác triển một hàm liên tục, bò chặn trên một không gian con đóng. Phần bài tập sẽ tổng quát một số nội dung đã được nghiên cứu trong chương 1. ² Chương 3. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian tôpô. Nhiều sự kiện trong không gian mêtric không phụ thuộc vào khoảng cách mà chỉ phụ thuộc vào họ các tập hợp mở trong không gian ấy. Vì vậy ta sẽ thác triển ánh xạ liên tục trong môït không gian tổng quát lớn hơn không gian mêtric, đó là không gian Tôpô. Ta tìm tôpô cho không gian nguồn hoặc không gian đích làm cho ánh xạ liên tục, điều kiện để một ánh xạ liên tục trên tập con đóng (hay trù mật) của không gian có thác triển liên tục, nhờ vào sự compact hóa theo Alecxandrop để thác triển liên tục, bước đầu làm quen với sự compact hóa theo Stone − Cech. ² Chương 4. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian đònh chuẩn. Tìm hiểu việc thác triển trong không gian đònh chuẩn bảo toàn tính tuyến tính liên tục, lướt qua cách chứng minh đònh lí Hahn −Banach, chủ yếu nghiên cứu các ứng dụng và mở rộng, đồng thời cũng tìm hiểu việc thác triển một ánh xạ tuyến tính liên tục không âm. VIII/ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI: Nội dung luận văn tập trung nghiên cứu các vấn đề cơ bản nhất, nhiều ứng dụng rộng rãi của các vấn đề lí thuyết vào từng trường hợp cụ thể đã bò bỏ qua và việc tổng quát các kết quả cũng dừng lại ở một mức độï nhất đònh. Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích MỤC LỤC Chương mở đầu. Kiến thức chuẩn bò. 1 1. Trong giải tích cổ điển 1 2. Không gian mêtric 1 3. Không gian tôpô. 5 4. Không gian đònh chuẩn. 8 Chương 1. Thác triển ánh xạ liên tục trong giải tích cổ điển. 14 Bài tập chương 1. 17 Chương 2. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian mêtric. 18 §1. Thác triển ánh xạ liên tục. 18 §2. Thác triển hàm liên tục. 21 §3. Thác triển ánh xạ liên tục đều. 26 Bài tập chương 2. 27 Chương 3. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian tôpô. 31 §1. Thác triển ánh xạ liên tục. 31 §2. Thác triển hàm liên tục. 35 §3. Compact hóa theo Alecxandrop. 40 Bài tập chương 3. 42 Chương 4. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian đònh chuẩn. 51 §1. Thác triển toán tử tuyến tính liên tục. 51 §2. Đònh lí Hahn − Banach. 54 §3. Mở rộng đònh lí Hahn – Banach. 58 §4. Thác triển ánh xạ tuyến tính liên tục không âm. 61 Bài tập chương 4. 66 Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 1 PHẦN NỘI DUNG Chương mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này sẽ trình bày sơ lược các khái niệm cơ bản với nội dung tối thiểu cần thiết cho các chương sau. Các chứng minh đều không được đưa vào, người đọc có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo. 1/ Trong giải tích cổ điển: 1.1/ Hàm số liên tục: Đònh nghóa: Cho hàm số f : A → R ² f được gọi là liên tục tại điểm x 0 ∈ A nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ A, |x − x 0 | ≤ δ ta có |f(x) − f(x 0 )| ≤ ε. ² f được gọi là liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi điểm x 0 ∈ A. 1.2/ Hàm số liên tục đều: Đònh nghóa: Hàm số f : A → R được gọi là liên tục đều trên A nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x, x’ ∈ A, |x − x’| ≤ δ ta có |f(x) − f(x’)| ≤ ε. 1.3/ Đường thẳng số mở rộng: Đònh nghóa: Ta thêm vào R hai phần tử phân biệt không thuộc R, ký hiệu là + ∞ và − ∞. Ta mở rộng các phép toán +, . và quan hệ thứ tự ≤ lên R = R ∪ {+ ∞} ∪ {− ∞} như sau: ∀x ∈ R: x + (+ ∞) = (+ ∞) + x = + ∞ x + (− ∞) = (− ∞) + x = − ∞ (+ ∞) + (+ ∞) = + ∞, (− ∞) + (− ∞) = − ∞ ∀x ∈ R * + : x(+ ∞) = (+ ∞)x = + ∞, x(− ∞) = (− ∞)x = − ∞ ∀x ∈ R * − : x(+ ∞) = (+ ∞)x = − ∞, x(− ∞) = (− ∞)x = + ∞ (+ ∞)(+ ∞) = (− ∞)(− ∞) = + ∞, (+ ∞)(− ∞) = (− ∞)(+ ∞) = − ∞ ∀x ∈ R: − ∞ < x < + ∞, − ∞ ≤ − ∞, + ∞ ≤ + ∞ R được gọi là đường thẳng số mở rộng. 2/ Không gian mêtric: 2.1/ Mêtric trên một tập hợp: Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 2 Đònh nghóa: Cho tập hợp X tùy ý. Ánh xạ d : X × X → R được gọi là một mêtric (khoảng cách) trong X nếu: i/ d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X d(x, y) = 0 ⇔ x = y ii/ d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X iii/ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X Tập X với mêtric d trang bò trên X được gọi là một không gian mêtric. Ký hiệu: (X, d). 2.2/ Khoảng cách giữa các tập hợp: Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d) và A, B là hai tập con khác rỗng của X . Khi đó: d(A, B) = inf{d(x, y): x ∈ A, y ∈ B} được gọi là khoảng cách giữa các tập A và B. 2.3/ Không gian con: Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), E ⊂ X, E ≠ φ. Với mỗi cặp phần tử x, y ∈ E ta đặt d E (x, y) = d(x, y). Khi đó d E là một mêtric trên E được gọi là mêtric trên E cảm sinh bởi mêtric d. Không gian mêtric (E, d E ) được gọi là không gian mêtric con của không gian mêtric (X, d). 2.4/ Không gian mêtric tích: Đònh nghóa: Cho hai không gian mêtric (X, d X ) và (Y, d Y ) Khi đó X × Y = {(x, y): x ∈ X, y ∈ Y} là không gian mêtric với mêtric d((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = )x;x(d)x;x(d 21 2 Y21 2 X + , trong đó (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ X × Y. Không gian mêtric X × Y được gọi là không gian mêtric tích của các không gian mêtric X và Y 2.5/ Sự hội tụ trong không gian mêtric: 2.5.1/ Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d). Dãy {x n } ⊂ X được gọi là hội tụ về một điểm a ∈ X nếu limd(x n , a) = 0. Khi đó x được gọi là giới hạn của dãy {x n }. Ký hiệu: limx n = a hoặc x n → a. 2.5.2/ Đònh lý: Giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất. 2.6/ Lân cận: Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), x 0 ∈ X, ε > 0. ² Tập S(x 0 , ε ) = {x ∈ X : d(x, x 0 ) < ε }được gọi là hình cầu mở tâm x 0 bán kính ε. Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 3 ² Tập S[x 0 , ε] = {x ∈ X : d(x, x 0 ) ≤ ε }được gọi là hình cầu đóng tâm x 0 bán kính ε. ² Cho A ⊂ X. Tập A được gọi là một lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại ε > 0 sao cho S(x, ε) ⊂ A. 2.7/ Các loại điểm: Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), x ∈ X, A ⊂ X. ² x được gọi là điểm trong của tập A nếu ∃ε > 0 : S(x, ε) ⊂ A. ² x được gọi là điểm dính của tập A nếu ∀ε > 0 : S(x, ε) ∩ A ≠ φ. ² x được gọi là điểm giới hạn của tập A nếu tồn tại ε > 0 sao cho S(x, ε) ∩ (A \ {x}) ≠ φ 2.8/ Tập mở, tập đóng: 2.8.1/ Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), A ⊂ X. ² A được gọi là tập mở nếu mọi điểm x ∈ A đều là điểm trong của A. ² A được gọi là tập đóng nếu X \ A là tập mở. 2.8.2/ Đònh lý: x là điểm dính của tập A ⇔ tồn tại dãy {x n } ⊂ A thỏa mãn x n → x. 2.8.3/ Đònh lý: A là tập đóng ⇔ A chứa mọi điểm giới hạn của A. 2.8.4/ Đònh lý: (Tính chuẩn tắc của không gian) Với mọi cặp tập hợp đóng rời nhau A và B trong không gian mêtric (X, d) đều tồn tại cặp tập hợp mở G và H rời nhau sao cho A ⊂ G và B ⊂ H. 2.9/ Phần trong, bao đóng: 2.9.1/ Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), A ⊂ X. ² Phần trong của tập A là tập hợp tất cả các điểm trong của A. Ký hiệu: IntA. ² Tập đóng bé nhất trong X chứa A được gọi là bao đóng của A. Ký hiệu: A . 2.9.2/ Đònh lý: d(x, A) = 0 ⇔ x ∈ A . 2.10/ Tập hợp trù mật: Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), A ⊂ X, B ⊂ X. ² Nếu B ⊂ A thì A được gọi là trù mật trong B. ² Nếu A = X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X. 2.11/ Không gian đầy: Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d). Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 4 ² Dãy {x n } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho: ∀m, n > N ⇒ d(x m , x n ) < ε ² Không gian mêtric X được gọi là không gian đầy nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. ² Tập E ⊂ X được gọi là không gian đầy nếu không gian con (E, d E ) là không gian đầy. 2.12/ Ánh xạ liên tục: 2.12.1/ Đònh nghóa: Cho hai không gian mêtric (X, d X ), (Y, d Y ) và ánh xạ f : X → Y. ² f được gọi là liên tục tại x 0 ∈ X nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ X, d X (x, x 0 ) < δ ⇒ d Y (f(x), f(x 0 )) < ε ² f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x thuộc X. ² f được gọi là liên tục đều nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x, x’∈ X, d X (x, x’) < δ ⇒ d Y (f(x), f(x’)) < ε 2.12.2/ Đònh lý: Cho hai không gian mêtric (X, d X ), (Y, d Y ) và ánh xạ f : X → Y. Khi đó f liên tục tại x 0 khi và chỉ khi: ∀{x n } ⊂ X, x n → x 0 ⇒ f(x n ) → f(x 0 ) 2.12.3/ Đònh lý: Cho ánh xạ f : X → Y. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: a/ f liên tục trên X. b/ Nếu G là tập mở trong Y thì f −1 (G) là tập hợp mở trong X. c/ Nếu G là tập đóng trong Y thì f −1 (G) là tập hợp mở trong X. 2.12.4/ Đònh lý: Với mọi tập hợp A ≠ φ, hàm khoảng cách d(x, A) liên tục đều. 2.12.5/ Đònh lý: Giới hạn của một dãy ánh xạ liên tục hội tụ đều là một ánh xạ liên tục. 2.12.6/ Đònh lý: Cho {X i } i là các không gian mêtric và ánh xạ f : T → ∏ ∞ = 1 i i X xác đònh trên không gian T. Đặt f(t)= (x 1 (t), x 2 (t),… , x i (t),… ) thì x m là ánh xạ từ T tới X m . Khi đó điều kiện cần và đủ để ánh xạ f liên tục là các ánh xạ x m liên tục với mọi m = 1, 2,… 2.13/ Ánh xạ đồng phôi: Đònh nghóa: Cho hai không gian mêtric (X, d X ), (Y, d Y ). Nếu ánh xạ f : X → Y là một song ánh, f liên tục và f −1 liên tục thì f được gọi là một phép đồng phôi từ X vào Y. Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 5 Khi đó các không gian X và Y được gọi là đồng phôi với nhau 2.14/ Ánh xạ k − Lipsit: Đònh nghóa: Cho hai không gian mêtric (X, d X ), (Y, d Y ). Ánh xạ f : X → Y được gọi là ánh xạ k − Lipsit nếu: ∀x, x’ ∈ X , d X (x, x’) < δ ⇒ d Y (f(x), f(x’)) < k.d X (x, x’). 2.15/ Tập bò chặn: Đònh nghóa: Cho M ⊂ (X, d). M được gọi là bò chặn nếu tồn tại S(x, ε) ⊃ M. 3/ Không gian tôpô: 3.1/ Không gian tôpô: Đònh nghóa: Cho một tập hợp X ≠ φ . Họ τ các tập con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu: i/ φ ∈ τ, X ∈ τ. ii/ {G α } α∈ I ⊂ τ ⇒ Υ τ∈α α G ∈ τ. iii/ ∀G 1 , G 2 ∈ τ ⇒ G 1 ∩ G 2 ∈ τ. Tập hợp X cùng với tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô. Ký hiệu: (X, τ). ² Họ τ = {φ, X} là một tôpô trên X. (X, τ) được gọi là không gian tôpô thô. ² Họ τ = {A | A ⊂ X} là một tôpô trên X. (X, τ) được gọi là không gian tôpô rời rạc. 3.2/ So sánh các tôpô: Đònh nghóa: Cho τ 1 , τ 2 là hai tôpô trên X. Ta nói τ 1 là yếu (nhỏ, thô) hơn τ 2 , hay nói cách khác τ 2 là mạnh (lớn, mòn) hơn τ 1 nếu τ 1 ⊂ τ 2 . Ký hiệu: τ 1 ≤ τ 2 . 3.3/ Tập mở, tập đóng, lân cận: 3.3.1/ Đònh nghóa: Cho (X, τ) là không gian tôpô. ² Tập G ⊂ X được gọi là tập mở trong (X, τ) nếu G ∈ τ. ² Tập F ⊂ X được gọi là tập đóng trong (X, τ) nếu X\F ∈ τ. ² Cho A ⊂ X và V ⊂ X. V được gọi là một lân cận của tập hợp A nếu tồn tại G ∈ τ : A ⊂ G ⊂ V. Nếu A = {x} thì V được gọi là một lân cận của điểm x. Nếu V là tập mở thì V là lân cận mở của A. ² Họ tất cả các lân cận của x trong (X, τ) được gọi là hệ lân cận của x. [...]... là các hàm số liên tục nhưng hàm số f không liên tục trên X vì f không liên tục tại x = 1 * 30 Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích Chương 3 THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ Nhiều sự kiện trong không gian mêtric không phụ thuộc vào khoảng cách mà chỉ phụ thuộc vào họ các tập hợp mở trong không gian ấy Vì vậy ta sẽ thác triển ánh xạ liên tục trong môït không. .. 2/ Thác triển một ánh xạ liên tục đều : Cuối cùng ta nêu một đònh lý về sự thác triển ánh xạ liên tục đều trong không gian mêtric đầy đủ (hãy so sánh với đònh lý 1.8) 26 Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích Đònh lý 3.2: Cho không gian mêtric X, A trù mật trong X và f là ánh xạ liên tục đều từ A vào không gian mêtric đầy đủ Y Khi đó tồn tại ánh xạ liên tục f : X → Y thác triển. .. là R và φ * 18 Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích Chương 2 THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC §1 THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC Vì R là một không gian mêtric với khoảng cách thông thường nên một số đònh lý đã phát biểu ở chương 1 có thể tổng quát cho không gian mêtric Nói chung, trong không gian mêtric, để bài toán thác triển có lời giải, cần phải đặt một... vậy ánh xạ f liên tục Vì A là trù mật trong X, nên theo hệ quả 1.7.1, nếu f tồn tại thì f là duy nhất * Nhận xét: Một số các hàm liên tục trên R có thể xem là thác triển của các hàm liên tục liên tục trên tập số hữu tỷ Q trù mật trong R, ví dụ như hàm số mũ thực là thác triển liên tục của hàm số mũ hữu tỷ 20 Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích §2 THÁC TRIỂN HÀM LIÊN TỤC Trong. .. tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG 2 Bài 1: Hãy tổng quát các kết quả của chương 1 cho không gian mêtric Giải Với phương pháp chứng minh hoàn toàn tương tự ta có được các kết quả sau đây: (1) Cho không gian mêtric X và không gian mêtric đầy Y Nếu ánh xạ f : E → Y liên tục nhưng không liên tục đều trên tập bò chặn E ⊂ X thì f không thể thác triển liên tục trên... nếu các vectơ của S trực giao với nhau từng đôi một 4.7.5/ Đònh lý: (Riesz) Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert X Khi đó tồn tại x0 ∈ X sao cho: f(x) = (x, x0) (x ∈ X) Phần tử x0 được xác đònh duy nhất và x 0 = f 13 Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích Chương 1 THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN 1/ Thác triển hàm số liên tục: ... hàm liên tục g là thác triển của g thỏa mãn: sup g(x) = sup g(y) x∈ X y∈ A , inf g(x) = inf g(y) x∈ X y ∈A (2.9) 1 ( g − β) α Khi đó vì g là thác triển liên tục của g nên f là thác triển liên tục của Đặt f = f= 1 (g − β) Từ (2.9) suy ra sup f (x ) = sup f (y) và inf f (x) = inf f (y ) x∈ X y∈ A α x∈ X y ∈A 25 * Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích §3 THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN... 3.8/ Ánh xạ liên tục: 3.8.1/ Đònh nghóa: Cho hai không gian tôpô (X, τX), (Y, τY) và ánh xạ f : X → Y 6 Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích ² f được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mỗi lân cận W của f(x0) (trong Y) đều tồn tại một lân cận V của x0 (trong X) sao cho f(V) ⊂ W ² f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x thuộc X 3.8.2/ Đònh lý: Cho hai không. .. một ánh xạ liên tục từ không gian tôpô (X, τ’) vào không gian Tôpô (Y, σ’) * Người ta thường phát biểu kết quả trên như sau: Nếu f là một ánh xạ liên tục của không gian tôpô X (gọi là không gian nguồn của f) vào không gian tôpô Y (gọi là không gian đích của f ), thì f vẫn còn là một ánh xạ liên tục nếu ta làm mạnh tôpô của không gian nguồn và giảm nhẹ tôpô của không gian đích Vì vậy một câu hỏi không. .. nhưng không liên tục đều trên tập bò chặn E ⊂ R thì hàm số này không thể thác triển liên tục trên R Chứng minh Giả sử f được thác triển trên R thì nó cũng được thác triển trên E , lúc đó thác triển của f sẽ liên tục đều trên E và do đó cũng liên tục đều trên E ⊂ E (trái giả thiết) Như vậy: Một hàm số không liên tục đều trên tập bò chặn E ⊂ R thì không thể thác triển liên tục trên R * Để bài toán thác triển . tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 14 Chương 1 THÁC TRIỂN ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN 1/ Thác triển hàm số liên tục: Giả sử f là một hàm số liên. chương 1. 17 Chương 2. Thác triển ánh xạ liên tục trong không gian mêtric. 18 §1. Thác triển ánh xạ liên tục. 18 §2. Thác triển hàm liên tục. 21 §3. Thác triển ánh xạ liên tục đều. 26 Bài tập. năng thác triển của các ánh xạ. Trong những điều kiện nào thì các ánh xạ có thác triển bảo toàn tính liên tục? Ứng dụng của việc thác triển ? Hệ thống việc thác triển liên tục trong các không gian