Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Một số bài toán về bất đẳng thức Bài 1: ( ) ( ) ( ) cbaabc4cbba b) cabcabcba a) :có luônta c b, a, mọi vớirằng minh Chứng 22 222 ++++ ++++ Bài 2: ( )( )( ) abc8accbba :có luônta c b, a, dong số mọi vớirằng minh Chứng +++ Bài 3: ( )( )( ) 24 S 1 18 :rằng minh Chứng .u uu uS ặt Đ k 3; 2; 1; n với 3n2n1nn 1 u :sau nhdịnh xác ợcĐ u , ,u,u số Dãy k321 n n21 <++++= = +++ = Giải: ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) .18 S 1 18 1 S 6 1 3k2k1k 1 6 1 3k2k1k 1 2k1kk 1 5.4.3 1 4.3.2 1 4.3.2 1 3.2.1 1 S3 :Vậy 3n2n1n 1 2n1nn 1 3 1 3n2n1nn 3 . 3 1 3n2n1nn 1 u :có .24 S 1 24 1 uS cóta 1 kVới n k ><< +++ = +++ ++ + + + = +++ ++ = +++ = +++ = = Bài 4: ( ) cba cba3 ac ac cb cb ba ba :có luônta c b, a, dong số mọi vớiminh Chứng 222222222 ++ ++ + + + + + + + + Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 1 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) úngĐ0 cbac abab caba bcbc cbba acac cba ac acb cb cba ba bac cba3 ac ac cb cb ba ba cbaTBĐ 222 222 222222 222 222222 ++ + ++ + ++ ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ Bài 5: 2ba c) 2ba b) 2ba a) :rằng minh Chứng .2ba Cho 884422 +++ =+ Bài 6: 1 :rằng minh Chứng .2 Cho 2222 +++ =+++ dcba dcba Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 8dcba dcba1111dcba4 :2C 1dcba4dcbadcba4 cdbdbcadacab2dcbadcba4 cdbdbcadacab2dcba3 :cóta vế với vếCộng ; ad2ad;cd2dc;bc2cb :có:C1 2 222222222222 2222 2 2222 22222222 2222 222222 =+++ ++++++=+++ +++=++++++ ++++++++++++ ++++++++ +++ Bài 7: 2 25 b 1 b a 1 a :rằng minh Chứng .1ba mãnthoả b a, dong số haiCho 22 ++ + =+ Giải: 2 25 2 ba 4 2 2 b 1 a 1 2 2 b 1 b a 1 a b 1 b 222 22 = + + ++ = +++ ++ + a 1 a Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 2 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 8: .abc16ba :rằng minh Chứng .1cba :mãnthoả a, b, c ngod sốba Cho + =++ Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) abc16baab4ba :có lại cba4bacba4cba1 Có 2 22 ++ +++++= Bài 9: abcba :rằng minh Chứng .4cba :mãnthoả a, b, c ngod sốba Cho + =++ Bài 10: c 1 b 1 a 1 bca ac abc cb cab ba :thức dẳngbất minh Chứng 222 ++ + + + + + + + + Bài 11: 3 4 c,b,a0 :rằng minh Chứng 2cba 2cba :mãnthoả c b, a, sốba Cho 222 =++ =++ Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 c0 ; 3 4 b0 :tự ngoT 3 4 a00a4a3a2a22cbcb2 2 2 2 2 22 ++ Bài 12: [ ] ( ) ( ) 222 2 cba4cba1 :có luônta 0;1c b, a, mọi vớirằng minh Chứng +++++ Giải: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 3 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị ( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 222 2 cba4cba1 :Vậy cc;bb;aa :có lại cba4cba1 +++++ +++++ Bài 13: + + + + + + + + + + > ca b cb a ba c 2 b ac a cb c ba 0cb,a, mọi vớirằng minh Chứng Giải: ( ) ++ ++ += ++ ++ + + + + + + ++ b 1 a 1 2 c c 1 a 1 2 b b 1 c 1 2 a a b a c 2 1 a c a b 2 1 c b c a 2 1 b ac a cb c ba :cóta yx2yx :thức dẳngbất dụng áp ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + = + + + + + + + + + + ++ + + + + + ++ ++ + + + cb a ca b ba c 2 ba2 c22 ca2 b22 cb2 a22 ba c22 ca b22 cb a22 :cóta yx2yx:thức ẳngdbất dụng áp lại ba c22 ca b22 cb a22 b 1 a 1 2 c c 1 a 1 2 b b 1 c 1 2 a :cóta yx 4 y 1 x 1 :thức dẳngbất dụng áp Bài 14: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 3 b1a1 c c1a1 b c1b1 a :rằng minh Chứng .1abc :mãnthoả a, b, c ngod số các Cho 333 ++ + ++ + ++ = Giải: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 4 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 b3 8 c1 8 a1 c1a1 b o 4 a3 c1b164 c1b1a .3 8 c1 8 b1 c1b1 a d 3 3 33 + + + + ++ = ++ ++ + + + + ++ :tự ngT :ợcta Cosi thức dẳngbất dụng áp ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 abc.3 2 cba 4 3 b1a1 c c1a1 b c1b1 a 4 c3 8 b1 8 a1 b1a1 c 3 333 3 = ++ + ++ + ++ + ++ + + + + ++ :cóta thức dẳngbất ba của vế với vếCộng Bài 15: . 512 729 c 1 1 b 1 1 a 1 1 :rằng minh Chứng 6.cba :mãnthoả c b, a, dong thực sốba Cho 333 + + + =++ Bài 16: . 2 cba ba c ca b cb a :thức dẳngbất minh Chứng dong. số cáclà cb, a, Cho 222 ++ + + + + + Giải: thức dẳngbất ba của vế với vếCộng c 4 ba ba c ;b 4 ca ca b :cóta tự ngT Cosi). T(BĐ a 4 cb cb a :có 2 2 2 + + + + + + ơ + + + Bài 17: 6accbba b) 5,31c1b1a a) :rằng minh Chứng 1.cba :mãnthoả 0 c b, a, Cho <+++++ <+++++ =++> Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 5 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 18: 22 yx yx :rằng minh CHứng 1.y.x y,x Cho 22 + => Giải: ( ) ( ) ( ) 22 yx 2 yx yx xy2yx yx yx 2 22 += + = + Bài 19: 3 4 c, b, a :rằng minh Chứng .1cabcab 2cba :mãnthoả c b, a, số các Cho 222 =++ =++ Bài 20: ( ) .abba 4 ba 2 ba 2 + + + + :rằng minh Chứng 0b a, Cho Giải: ( ) ( ) ( ) .abba 4 ba 2 ba :Vậy 0 2 1 b 2 1 aab ba 2 1 baabbaab 2 1 baab :Xét hiệu 2 1 baab 2 1 ba 2 ba 4 ba 2 ba :Có 2 22 2 + + + + + = ++=+ ++ ++ ++ + = + + + Bài 21: .2 ba c ac b cb a :rằng minh Chứng 0. c b, a, Cho > + + + + + > Giải: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 6 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị .2 ba c ac b cb a :dợcta thức dẳngbất ba của vế với vếCộng cba c2 ba c ; cba b2 ca b :tự Tong . cba a2 cb a :Vậy a2 cba 1 a cb 2 1 1. a cb :Cosi dụng áp + + + + + ++ +++ + ++ + ++ = + + + Bài 22: 8 11 a :rằng minh Chứng 1.b 1;a Cho b) .2 1-x x :rằng minh Chứng 1.x Cho a) 22 + >> > a b b Giải: ( ) 2 1x 1 1x 1x 11x 1-x x a) += + = ( ) ( ) 8 1b b . 1a a .2 1a b . 1b a 2 1a b 1b a b) 2222 = + B i 22: 4 3 z2yx 1 zy2x 1 zy2x 1 thi 4 z 1 y 1 x 1 mãnthoả 0 z y, x, Nếu:rằng minh Chứng ++ + ++ + ++ =++> Giải: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 7 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị ( ) ( ) 4 3 z 3 y 3 x 3 16 1 z2yx 1 zy2x 1 zy2x 1 :dợcta vế với vếCộng z 2 y 1 x 1 16 1 2zyx 1 z 1 y 2 x 1 16 1 z2yx 1 :tự Tong z 1 y 1 x 2 16 1 z 1 x 1 y 1 x 1 16 1 zx 1 yx 1 4 1 zxyx 1 zy2x 1 :Có = ++ ++ + ++ + ++ ++ ++ ++ ++ ++= +++ + + + +++ = ++ Bài 23: 14 zyx 2 zxyzxy 3 :rằng minh Chứng 1.zyx mãnthoả z y, x, ngod sốba Cho 222 > ++ + ++ =++ Giải: zxyzxy 2 zyx 1 zx2yz2xy2 1 2 zxyzxy 2 zyx 2 zx2yz2xy2 2 zyx 2 222 222222 ++ + ++ + ++ = ++ + ++ + ++ = ++ + ++ . zxyzxy 3 ( ) ( ) 1 8 zyx 1 2zx2yz2xy 1 .2 4 zyx 4 zyxzx2yz2xy2 4 zyx 1 2zx2yz2xy 1 :Có 222 222222 ++ + ++ = ++ = +++++ ++ + ++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 zxyzxy :hay y-x :Từ 6 zxyzxy 2 zxyzxy3zyx0zyyzxyzyx 0zx2yz2xy2z2y2x20xzzy 2 222 222 222 ++ ++ ++++++ ++++ Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 8 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 24: 2 5 1y4 2 +=+ yx :rằng minh Chứng .x mãnthoả y x, thực số haiCho 2 Giải: ( ) ( ) 2 5 4 5 4 1 1y4x 2 1 y21x 22 2 2 + = ++ +=+ yx :Vậy yx :copxki -Bunhia thức dẳngbất dụng áp Bài 25: +++ x y y x 34 x y y 2 2 2 2 x :rằng minh Chứng không. khácthực số là hai y x, Cho Giải: 2aa x y y x =+ặt Đ ( )( ) ( ) dúng :thành trỏ thức dẳngBát 01a2a02a3a 2 + Bài 26: [ ] 6cba 0c bad 222 ++ =++ :rằng minh Chứng :mãnthoả 2 1;- oạn thuộc thực số cáclà c b, a, Cho Giải: ( )( ) 66cbacb 2c 2bbo 2aa02aa02a1a2a1 22 2 22 =+++++ + + ++ 2 2 a :dợcta vế với vếCộng c tự ngT Bài 27: 2 3 ba c ac b o + + + + + cb a :rằng minh Chứng ng.d sốba là c b, a, Cho Giải: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 9 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] 2 3 ba c ac b 9 ba 1 ac 1 cb 1 baaccb 3 ba 1 ac 1 cb 1 baaccb 2 1 3 ba 1 ac 1 cb 1 cba ba c ac b + + + + + + + + + + +++++ + + + + + +++++= + + + + + ++= + + + + + cb a :Có cb a Bài 28: ( )( )( ) z1y1 ++ =++> x-14z2yx :rằng minh Chứng 1.zyx và 0z y, x, số các Cho Giải: ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) (dúng) y-1y1 :minh chứng Cần 2 + =+ += 2 2 y1y1y1z1y1x14 y1zx2z1x14 Bài 29: 9 ab2c 1 ca2b 1 bc2 22 + + + + + ++> 2 a 1 :rằng minh Chứng 1. cba và 0 c b, a, Cho Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 9 ab2c 1 ca2b 1 bc2 ab2cca2bbc2a ab2c 1 ca2b 1 bc2 cba ab2c 1 ca2b 1 bc2 22 222 22 2 22 + + + + + +++++= + + + + + ++ + + + + + 2 22 a 1 . a 1 a 1 Bài 30: 6 ba 1 22 + + =+> ab 1 :cóta 1 ba mãnthoả 0b a, mọi vớirằng minh Chứng Bài 31: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 10 [...]... liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Bài 1: Tím giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P ( x ) = Giải: P( x ) = x2 + x + 2 x ( x + 1) + 1 ( = ) x( x + 1) + 1 + 1 2 x ( x + 1) + 1 x2 + x + 2 với x R x ( x + 1) + 1 = x ( x + 1) + 1 + 1 x ( x + 1) + 1 2 x = 0 dấu dẳng thức khi x ( x + 1) + 1 = 1 x = 1 Bài 2: Giả sử x, y, z là các số dư ong thay dổi và thoả... của 3 bất dẳng thức trê n ta được : x2 y 1 1 4 4 3 + 3 4 + 3.x + 3.y 4. + 2 + xy 2 = 12 3 dấu bằng khi x = y = z = 1 z z z P 1 Vậy Pmax = khi x = y = z = 1 3 Bài 3: 1 Với nhưng giá trị của x thoả mãn : x , hãy tim giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 f ( x ) = 2 x 2 + 5 x + 2 + 2 x + 3 2 x Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 17 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức. .. 3 3 2 2 3 3 2 2 Bài 41: Cho a, b, c là ba số dưong Chứng minh rằng : a b c a+b+c + + 3 b c a abc Giải: áp dụng Cosi : a a b a 2b 3a + + 33 2 = 3 tư ơng tự dược : b b c b c abc b b c 3b + + 3 c c a abc c c a 3c + + 3 a a b abc Cộng vế với vế ta dược diều phả i chứng minh 14 Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 42: Chứng minh... ) ) 2 1 + 12 ( a + b ) 2 +b 2 2 Bài 33: Cho a, b > 0 thoả mãn : a + b = 1 Chứng minh rằng : 1 1 3 + 1+ a 1+ b 4 Giải: 1 1 1 1 1 4 + = + [ (1 + a ) + (1 + b ) ] 1 + a 1 + b 3 1 + a 1 + b 3 Bài 34: Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 11 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Cho a, b, c là các số thực thoả mãn : ab + bc + ca = 4 Chứng minh rằng... Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 37: Chứng minh rằng với mọi x thoả mãn 1 x 5, ta có : 5 - x + x 1 2 Giải: 5- x + x 1 2 ( ) 5 - x + x 1 2 4 4 + 2 ( 5 x )( x 1) 4 2 x = 5 2 ( 5 x )( x 1) 0 Đ úng dấu bằng khi x = 1 Bài 38: Với các số a, b, c > 0 thoả mãn diều kiện abc = 1 Chứng minh rằng : a b c 1 + + 2... dụng Cosi cho 2 số không am : ( x + 2 ) và ( 2x + 1) có : 4( x + 3) 2 x ( x + 2)( 2x + 1) x + 2 + 2x + 1 = 3x + 3 dấu dẳng thức khi : x + 2 = 2x + 1 x = 1 2 2 áp dụng Cosi cho 2 số không am : 4 và ( x + 3) có : 4+x +3 x +7 = Dấu dẳng thức khi : 4 = x + 3 x = 1 2 2 3x + 3 x + 7 ( x + 2 )( 2x + 1) + 4( x + 3) 2 x + 2 x = 5 dấu dẳng thức khi x = 1 2 2 Vậy : f ( x ) min = 5 khi x = 1 Bài 4: Tim giá... 2 2 Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi ( ) ( Bất đẳng thức - Cực trị ) 2 4 1 4 4 1 x y +1 x 2 y2 +1 2 8 2 4 2 2 1 1 1 5 5 Q x 2 y2 +1 x 2 y2 +1 = x 2 y2 +1 4 8 2 8 2 2 2 2 dấu bằng khi x y = 1 ( Vậy Q min = ) ( [( ) ] ) 5 khi x 2 = y 2 = 1 2 Bài 6: Giả sử a, b, c là các số thực dưong thoả mãn diều kiện b 2 + c 2 a 2 t ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 2 ( b + c 2 ) + a 2 b12 + c12 ... sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 8: Tim các cặp số dưong ( x; y ) thoả mãn : 2x 2 + 2 y 2 x 2 y 2 6 xy 4 x + 4 y + 10 = 0 sao cho tích xy dạt giá trị nhỏ nhất Giải: 2x 2 + 2 y 2 x 2 y 2 6 xy 4 x + 4 y + 10 = 0 2( x 2 + y 2 + 1 2 x + 2 y 2 xy ) ( x 2 y 2 + 2 xy + 1) + 9 = 0 ( xy + 1) = 2( y + 1 x ) + 9 9 dấu bằng khi x - y = 1 2 2 xy + 1 3 xy 2 dấu bằng khi x = 2; y = 1 Bài 9: tim... x = y = 2 x y 2 2 Vậy Pmin = 8 khi x = y = 2 20 Vũ Đức Kiên Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 11: a6 b6 c6 Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 3 + + b + c3 c3 + a 3 a 3 + b3 trong dó a, b, c là các số thực dưong thoả mãn diều kiện : a + b + c = 1 Giải: áp dụng Bunhia - copxki ( b3 + c3 ) +( 2 ( a 3 + b3 + c3 ) c +a 3 2 3 ) +(... giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = ( x + y )( x + z ) 4( x + 3) trong dó x, y, z là ba số dưong thay dổi luôn thoả mãn diều kiện ( x + y + z ) xyz = 1 Giải: T = ( x + y )( x + z ) = x 2 + xz + xy + yz = x ( x + y + z ) + yz 1 Từ : ( x + y + z ) xyz = 1 x ( x + y + z ) = thay vào T ta có : yz 1 T= + yz 2 dấu dẳng thức khi yz = 1 yz Bài 5: T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 1 x 10 y10 1 16 . học sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Một số bài toán về bất đẳng thức Bài 1: ( ) ( ) ( ) cbaabc4cbba b) cabcabcba a) :có luônta c b, a, mọi vớirằng minh Chứng 22 222 ++++ ++++ Bài 2: ( )( )(. sinh giỏi Bất đẳng thức - Cực trị Bài 8: .abc16ba :rằng minh Chứng .1cba :mãnthoả a, b, c ngod sốba Cho + =++ Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) abc16baab4ba :có lại cba4bacba4cba1 Có 2 22 ++ +++++= Bài 9: abcba :rằng. a, b, c ngod sốba Cho + =++ Bài 10: c 1 b 1 a 1 bca ac abc cb cab ba :thức dẳngbất minh Chứng 222 ++ + + + + + + + + Bài 11: 3 4 c,b,a0 :rằng minh Chứng 2cba 2cba :mãnthoả c b, a, sốba Cho 222 =++ =++ Giải: (